(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题4三角函数、解三角形第30练三角恒等变换文(含解析)
【加练半小时】高考数学江苏专用文科专题复习31专题4 三角函数解三角形 word版含答案
2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S ＝________. 3．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 的形状为________三角形． 4．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________. 5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则c ＝________.6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2＋c 2－b2，BC →BA →＝12，则tan B ＝________.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________. 8．锐角三角形的内角分别是A 、B 、C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________． ①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .9．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2sin(A ＋B )－3＝0，则c ＝________.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 的形状为________三角形．11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________ m.12．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a cos A ＝c sin C，则A ＝________. 13．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a ，1b ，1c成等差数列，则函数y ＝sin B ＋cos B 的取值范围是________．答案解析1．45° 2.152 3.等腰直角 4.31010解析 由题意得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB BC cos B ＝2＋9－6222＝5，即AC ＝5， 则BC sin A ＝AC sin B ，3sin A ＝522，得sin A ＝31010. 5.6±22 6.2－3 7.π4 8.①②③ 9. 6解析 ∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∵sin(A ＋B )＝32， 又sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形， ∴C ∈(0，π2)，C ＝π3. ∴根据余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝6， ∴c ＝6(负值舍去)．10．钝角 11.507 12.π4 13.7814．(1， 2 ]解析 依题意得2b ＝1a ＋1c， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－(2ac a ＋c )22ac ≥2ac －(2ac a ＋c )22ac ≥2ac －(2ac 2ac )22ac ＝12，当且仅当a ＝c 时取等号，又B ∈(0，π)，所以B ∈(0，π3]， 因为y ＝2sin(B ＋π4)，B ＋π4∈(π4，7π12]，sin(B ＋π4)∈(22，1]，所以y ∈(1， 2 ]。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时阶段滚动检测(四)文(含解析)
阶段滚动检测（四）一、填空题1.已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{0,1,2,4}，则A ∩B ＝________.2.在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2两点，则ω的最小值为________.4.两等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且S n T n ＝n ＋12n ，则a 8b 5＝________.5.已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________.6.在Rt△ABC 中斜边BC ＝a ，以A 为中点的线段PQ ＝2a ，则BP →·CQ →的最大值为________.7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，cos 2A 2＝12＋b 2c，则△ABC 的形状为________三角形.8.(2019·江苏省徐州市第一中学月考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若f (lg2·lg50＋(lg5)2)＋f (lg x －2)<0，则x 的取值范围为________.9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是________.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是________.11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n(n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝________.12.已知a >0，b >0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________.13.已知m ，n ∈R ，若关于实数x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根x 1，x 2满足0<x 1<1，x 2>1，则nm的取值范围为________.14.对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任意一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请根据上面探究结果：计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32019＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫20182019＝________.二、解答题15.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3·a ＝2b ·sin A . (1)求B 的大小；(2)若b ＝6，求a ＋c 的取值范围.16.学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买.(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由.17.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝7，S 3＝27. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝13－a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1.18.设函数f (x )＝e x＋ax ＋b 在点(0，f (0))处的切线方程为x ＋y ＋1＝0. (1)求a ，b 的值，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当x ≥0时，f (x )>x 2－4.19.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.20.已知函数f (x )＝e x－2x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－a ，x ∈[－1,1]恰有2个零点，求实数a 的取值范围.答案精析1.{0,1}2.2.53.1254.895.192 6.0 7.直角8.(0,10)解析 lg2·lg50＋(lg5)2＝lg2·(lg5＋lg10)＋(lg5)2＝lg2·(lg5＋1)＋(lg5)2 ＝lg2＋lg2·lg5＋(lg5)2＝lg2＋lg5·(lg5＋lg2)＝lg2＋lg5＝1， 所以f (lg2·lg50＋(lg5)2)＋f (lg x －2)<0， 即f (1)＋f (lg x －2)<0，f (lg x －2)<－f (1)，因为函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )在R 上单调递增， 所以f (lg x －2)<f (－1)， 即lg x －2<－1， lg x <1,0<x <10. 9.(π，10)解析 设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5，如图可知，x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π，x 5∈(π，10)，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 5∈(π，10).10.0或－14解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以周期为2，作图如下：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点时直线y ＝x ＋a 过点A (1,1)或与f (x )＝x 2相切，即1＝1＋a ，解得a ＝0或x 2＝x ＋a ，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14. 11.3×21009－3解析 ∵a n a n ＋1＝2n，令n ＝1，求得a 2＝2，当n ≥2时a n a n －1＝2n －1，∴a n ＋1a n －1＝2， ∴数列{a n }的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列.则S 2018＝1－210091－2＋－210091－2＝3×21009－3.12.11解析 ∵1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (3a ＋2b )＋b a＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ，∵a >0，b >0，∴b a >0，a b>0， ∴b a ＋a b≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号. 3a ＋2b ＋b a≥5＋6＝11. ∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 13.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12 解析 设f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1，∵关于实数x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根x 1，x 2满足0<x 1<1，x 2>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1>0，2m ＋n ＋3<0，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(不含边界)，设k ＝nm，则k 的几何意义为过原点的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1＝0，2m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，即A (－2,1)，此时OA 的斜率k ＝－12，直线2m ＋n ＋3＝0的斜率k ＝－2， 故－2<k <－12.14.2018解析 由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，∴f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0， 得x ＝12.∴f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2，故设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32019＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫20182019＝m ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20182019＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫20172019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＝m ，两式相加得2×2018＝2m ，则m ＝2018，故答案为2018. 15.解 (1)锐角△ABC 中，3a ＝2b ·sin A ， ∴由正弦定理得3sin A ＝2sin B ·sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝32. 又0<B <π2，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝6sinπ3＝43，∵a ＝43sin A ，c ＝43sin C ＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A .∴a ＋c ＝43sin A ＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2， ∴π3<A ＋π6<2π3. ∴32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.∴63<12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤12.∴a ＋c 的取值范围为(63，12].16.解 (1) 设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则y ＝1x[1 500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号.故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付的费用最少. (2)y ＝1x[1 500x ×0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1426(x ≥20).函数y 在[20，＋∞)上为增函数， 所以y ≥20＋10020＋1426＝1451，而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件. 17.(1)解 由a 1＋2d ＝7,3a 1＋3d ＝27， 解得a 1＝11，d ＝－2，可得a n ＝13－2n . (2)由(1)得，b n ＝2n ，1b n b n ＋1＝14nn ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所求式等于1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1.18.(1)解 f ′(x )＝e x＋a ，由已知，f ′(0)＝－1，f (0)＝－1，故a ＝－2，b ＝－2.f ′(x )＝e x －2，当x ∈(－∞，ln2)时， f ′(x )<0，当x ∈(ln2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在x ∈(－∞，ln2)时单调递减， 在x ∈(ln2，＋∞)时单调递增. (2)证明 f (x )>x 2－4，即x 2＋2x －2ex<1，设g (x )＝x 2＋2x －2ex ，∴g ′(x )＝4－x2ex ，x ∈[0,2)时，g ′(x )>0，x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在[0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，g (x )max ＝g (2)＝6e2<1，故当x ≥0时，f (x )>x 2－4. 19.(1)解 因为S n ＝－12n 2＋kn＝－12(n －k )2＋k 22，又因为k ∈N *，所以当n ＝k 时， (S n )max ＝S k ＝k 22＝8，解得k ＝4，这时S n ＝－12n 2＋4n ； 所以a 1＝S 1＝－12×12＋4×1＝72， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n ＋92， 又a 1＝S 1＝72也适合这个公式， 所以a n ＝－n ＋92. (2)证明 设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1，① 所以12T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝2－22n －n 2n ＝2－n ＋22n ， 所以T n ＝4－n ＋22n －1.所以T n <4.20.解 (1)因为f (x )＝e x －2x ，所以f ′(x )＝e x －2.所以f ′(0)＝－1，又f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝－x ， 即x ＋y －1＝0.(2)由题意得，g (x )＝e x －2x －a ，所以g ′(x )＝e x －2.由g ′(x )＝e x －2＝0，解得x ＝ln2，故当－1≤x <ln2时，g ′(x )<0，g (x )在[－1，ln2)上单调递减； 当ln2<x ≤1时，g ′(x )>0， g (x )在(ln2,1]上单调递增.所以g (x )min ＝g (ln2)＝2－2ln2－a .又g (－1)＝e －1＋2－a ，g (1)＝e －2－a ，结合函数的图象(图略)可得，若函数恰有两个零点， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝e －1＋2－a ≥0，g＝e －2－a ≥0，g＝2－2ln2－a <0，解得2－2ln2<a ≤e－2. 所以实数a 的取值范围为(2－2ln2，e －2].。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.7 Word版含
姓名，年级：时间：§4。
7 解三角形的实际应用考情考向分析以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为填空题或解答题，中档难度．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ〈360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东（西)α例：（1）北偏东α:(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模），利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")（1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α,β的关系为α＋β＝180°.( ×)（2）俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为错误!.（×)（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √）（4）方位角大小的范围是［0,2π），方向角大小的范围一般是错误!.( √）题组二教材改编2.[P18例1］如图所示,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m,∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.答案502解析由正弦定理得错误!＝错误!，又B＝30°，∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!(m)．3．[P21T3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．答案错误!a解析由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝错误!－错误!＝γ－α＝30°,∴在△PAB中,asin 30°＝错误!，∴PB＝错误!a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋a sin β＝错误!a×sin60°＋a sin 15°＝错误!a.题组三易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°,CD＝40 m，则电视塔的高度为_____ m.答案40解析设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝错误!x.在△BCD中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD,3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°,即x2－20x－800＝0，解得x＝－20（舍去)或x＝40。
【加练半小时】高考数学江苏专用文科专题复习24专题4三角函数解三角形word版含答案
训练目标(1)随意角的观点；(2) 弧度制； (3)三角函数的观点；(4)三角函数线 .(1)终边同样的角及表示；(2) 弧长公式、扇形面积公式的应用；(3) 三角函数的坐训练题型标法定义 .(1)利用直角坐标系成立象限角，使随意角有了一致的载体；(2)弧度制使角与实解题策略数成立了一一对应关系；(3) 用单位圆上点的坐标表示三角函数是研究三角函数的基础； (4) 可利用三角函数线解简单的三角不等式.1．若角α知足 180 °<α<360 °，角 5α与α有同样的始边，且又有同样的终边，那么角α＝ ________. 2．终边在如下图暗影部分(包含界限 )内的角可表示为________________ ．3．设会合 M ＝ { x|x＝k× 180°＋ 45°，k∈Z } ， N＝ { x|x＝k× 180°＋ 45°，k∈Z} ，那么 M，N 的24关系是 ________．4．已知角α的终边经过点 P(m，－ 3)，且 cos α＝－4，则 m＝ ________. 55． (2014大·纲全国改编 )已知角α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ________.6． (2015河·南开封第一次摸底 )若 cos θ＝3， sin θ＝－4，则角θ的终边所在直线的方程为55________．7． (2015 ·南衡阳八中第一次月考湖 )已知点P(cos α， tan α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．8．若 sin α<0 且 tan α<0，则α是第 ________象限角．9．已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是________．10．已知角α的极点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P(－ 4m，3m)(m>0) 是角α终边上一点，则2sin α＋ cos α＝ ________.11．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l .若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α＝ ________弧度时，这个扇形的面积最大．12．已知角θ的极点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若 P(4， y)是角θ终边上一点，且25，则 y＝ ________.sin θ＝－53，则合适条件的角α的会合为 ________________ ．13．角α知足 sin α≥214．已知 sin θ·tan θ<0，则角θ位于第 ________象限．答案分析1． 270 °π3π2.[2 k π＋ 4， 2k π＋ 4 ](k ∈ Z )4 3． MN4.－ 45.－56． 4x ＋ 3y ＝ 07.二 8.四9． 2分析设此扇形的半径为 r ，弧长为 l ，则 2r ＋ l ＝ 4，面积 S ＝ 112 2，2 rl ＝ r (4－2r)＝－ r ＋ 2r ＝－ (r － 1) ＋ 12故当 r ＝1 时 S 最大，这时 l ＝ 4－ 2r ＝ 2.进而 α＝ l ＝ 2＝ 2.r 1211.2 12.－ 810.5π 2π ，k ∈ Z13． [2k π＋ ， 2k π＋3]314．二或三。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题4三角函数、觖三角形第32练解三角形的实际应用理
第32练 解三角形的实际应用[基础保分练]1．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．3．(2018·扬州模拟)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．4．(2018·苏州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围是________．5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(b ＋2sin C )cos A ＝－2sin A cos C ，且a ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．36.如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝km ，则C ，D 之间的距离为______km.37.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得∠BCD ＝，∠BDC ＝，CD ＝6，并在点C 测得塔顶A 的仰角为，则塔高AB 为π3π4π4________．8．(2018·如东调研)已知△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是AC 边的中点，线段BD ＝x ，△ABC 的面积S ＝2，则x 的取值范围是________．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝，b ＝2，则△ABC 周长的取π33值范围是________．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin A ，且B >，则π2sin A ＋sin C 的最大值是________．[能力提升练]1.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度：AB ＝5km ，BC ＝8km ，CD ＝3km ，DA ＝5km ，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km.2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．3.如图，在△ABC 中，AB ＝，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos∠DAC ＝，cos C ＝，231010255则AC ＝___________.4设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝(a cos B ＋b cos A )2，且△ABC 的面积为25，则△ABC 周长的最小值为________．5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°.根据以上性质，函数f (x )＝＋＋ x －1 2＋y 2 x ＋1 2＋y 2的最小值为________．x 2＋ y －2 26．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝ln2∶ln4∶ln t ，且·＝mc 2，有下列结论：CA → CB → ①2<t <8；②－<m <2；29③当t ＝4，a ＝ln2时，△ABC 的面积为；15ln228④当2<t <8时，△ABC 为钝角三角形．5其中正确的是________．(填写所有正确结论的序号)答案精析基础保分练1．等边三角形 2. 3.(0，π3]70434．(2,4] 5. 6. 7.6(－1)3538．[，＋∞)3解析 根据题意，设BC ＝a ，因为△ABC 为等腰三角形，又因为D 是AC 的中点，作DF 垂直于BC 于点F ，作AE 垂直于BC 于点E ，则DF 等于AE 的一半，F 点是靠近C 点的四等分点，根据△ABC 的面积S ＝2，得到a ×AE ＝4⇒AE ＝，DF ＝，在△DBF 中，BD ＝＝4a 2a BF 2＋DF 2≥＝，916a 2＋4a 22×34a ×2a 3当且仅当a ＝，342a 即a ＝时等号成立．2639．(4，6]3310.98解析 ∵a cos A ＝b sin A ，∴＝，a sin A bcos A 又由正弦定理得＝，a sin Ab sin B ∴sin B ＝cos A ＝sin ，(π2－A )∵B >，∴π－B ＝－A ，π2π2∴B ＝A ＋，π2∴C ＝π－A －B ＝－2A ，π2∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋cos2A＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－22＋.(sin A －14)98∵0<A <，0<－2A <，π2π2π2∴0<A <，π4∴0<sin A <.22∴当sin A ＝时，sin A ＋sin C 取得最大值.1498能力提升练1．7 2.21 3. 410＋10525．2＋3解析 根据题意画出图象，函数f (x )＝＋＋表示的是点(x ，y )到点 x －1 2＋y 2 x ＋1 2＋y 2x 2＋ y －2 2C (1,0)的距离与到点B (－1,0)，到A (0,2)的距离之和，设这个等腰三角形的费马点在高线AD 上，设O 点即为费马点，连结OB ，OC ，则∠DOB ＝60°，∠DOC ＝60°，B (－1,0)C (1,0)，A (0,2)，OD ＝，OC ＝，OA ＝2－，332313距离之和为2OC ＋OA ＝2－＋1343＝2＋.36．①②④解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝ln2∶ln4∶ln t ，∴a ∶b ∶c ＝ln2∶ln4∶ln t ，故可设a ＝k ln2，b ＝k ln4＝2k ln2，c ＝k ln t ，k >0.∵b －a <c <b ＋a ，∴k ln2<c <3k ln2，则2<t <8，当2<t <8时，a 2＋b 2－c 2<0，故△ABC 为钝角三角形．5·＝ab cos C ＝ab ·CA → CB → a 2＋b 2－c 22ab＝＝，a 2＋b 2－c 225k 2ln22－c 22又·＝mc 2，CA → CB → ∴m ＝＝CA → ·CB → c 25k 2ln22－c 22c 2＝－.5k 2ln222c 212∵k ln2<c <3k ln2，∴<<，5k 218k 2ln225k 22c 25k 22k 2ln22即<<，∴－<m <2.5185k 2ln222c 25229当t ＝4，a ＝ln2时，△ABC 的面积为，故四个结论中，只有③不正确．15ln224。
江苏专用2020版高考数学一轮复习加练半小时专题4三角函数、解三角形第28练三角函数的图象与性质文含解析
第28练 三角函数的图象与性质[基础保分练]1.(2018·全国Ⅲ改编)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为________.2.已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________. 3.如果函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝2π3对称，那么|φ|的最小值为________.4.(2019·苏州调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为________.5.如图是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象，已知函数图象经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0两点，则ω＝________，φ＝________.6.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________________.7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，下列四个命题①f (x )是以π为周期的函数； ②f (x )的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ③当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )，f (x )取得最小值－1；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.正确的有________.(填序号)8.已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13π6的图象与直线y ＝m 有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，那么x 1＋x 2＝________.9.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________.10.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为________.[能力提升练]1.若任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (x )的图象的对称轴方程为________.2.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为________.4.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3).若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________. 5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则对于下列判断：①直线x ＝π2是函数f (x )图象的一条对称轴；②函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3为偶函数；③函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12≤x ≤35π12的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是________.(写出所有正确判断的序号)6.某学生对函数f (x )＝2x cos x 的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数f (x )在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ③函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称；④存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立.其中正确的结论是__________.(填写所有你认为正确结论的序号)答案精析基础保分练1.π2.－453.π64.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13π6，25π65.2 －π36.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋φ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3， 最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2，∵f (－x )＝f (x )，∴φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2cos2x ，∴由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， 可得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .7.②④解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，所以可知函数的周期为2π，所以①错误；结合函数的图象可知，当x ＝5π4＋2k π，k ∈Z ，函数图象对称，所以②正确；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )或x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，函数取到最小值，所以③错误；结合图象可知，当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22，所以④正确，故答案为②④. 8.7π3解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13π6的图象，可看作函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度得到，相应的对称轴也向左平移π3个单位长度， ∴x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝7π3.9.2或－2 10.3 能力提升练1.x ＝k π＋π4，k ∈Z2.5π123.7π4解析 由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示. 由图可知， 当22≤a <1时， 方程f (x )＝a 恰有三个根. 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4.4.π2 5.②③ 6.④。
加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：34专题4 三角函数解三角形 含答案
训练目标(1)三角函数知识的深化及提高；(2)数学知识的规范应用和思维严谨性训练. 训练题型 (1)三角函数的求值与化简；(2)三角函数图象及变换；(3)三角函数性质；(4)正弦、余弦定理的应用.解题策略 (1)三角变换中公式要准确应用，角的范围、式子的符号等要严格界定；(2)讨论性质要和图象结合，在定义域内进行；(3)解三角形问题可结合“大边对大角”，充分考虑边角条件.1．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________. 2．(2015·河北衡水冀州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为________．3．已知平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是________．4．(2015·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝60°，若三角形有两解，则b 的取值范围为________． 5．在四边形ABCD 中，BC ＝2，DC ＝4，且∠A ∶∠ABC ∶∠C ∶∠ADC ＝3∶7∶4∶10；则AB ＝________.6．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈(－π2，3π2)，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是________．7．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α的值为________． 8．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为________．9．(2015·辽宁三校联考)已知函数f (x )＝|cos x |sin x ，给出下列五个说法：①f (2 014π3)＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间[－π4，π4]上单调递增； ④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点(－π2，0)成中心对称． 其中正确说法的序号是________．10．(2015·临沂月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cosx ＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图象关于点(π6，0)对称． (1)当x ∈(0，π2)时，求f (x )的值域； (2)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．答案解析1．0解析 sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，因为α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以α是第二或第四象限角，sin α与cos α异号，所以原式＝0.2．y ＝2sin 2x解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为y ＝－cos 2x ＋1＝2sin 2x .3．16解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得a ＝5，b ＝4，cos α＝35，sin α＝45，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 4．(1，233) 解析 ∵△ABC 中，a ＝1，A ＝60°， ∴由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝132＝233， ∴b ＝233sin B ，B ＋C ＝120°. ∵三角形有两解，∴A <B <180°－A ，且B ≠90°，∴60°<B <120°，且B ≠90°，即32<sin B <1，∴b 的取值范围为(1，233)． 5．3 2解析 连结BD ，由题意得∠A ＝45°，∠ABC ＝105°，∠C ＝60°，∠ADC ＝150°，∴在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝22＋42－2×2×4×12＝12， ∴BD ＝23，∵BC ＝2，DC ＝4，∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴∠CBD ＝90°.∵∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝15°，∴∠BDA ＝120°，∵在△ABD 中，有AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴AB ＝BD sin ∠ADB sin A ＝23sin 120°sin 45°＝3 2. 6．[0,2)解析 函数化为f (x )＝错误!画出f (x )的图象可以看出，要使方程f (x )＝k 至少有两个根，k 应满足0≤k <2. 7.3130130 解析 ∵π2<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2， 而sin(2α－β)＝35>0， ∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 8．[2，6) 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得ac ＝b 2sin 2B ·sin A sin C ⇒4＝43b 2sin A sin(120°－A )， 即b 2＝3sin A sin (120°－A )＝3sin A (32cos A ＋12sin A )＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14(1－cos 2A )＝6sin (2A －30°)＋12， 因为30°<A <90°，所以30°<2A －30°<150°， 1<sin(2A －30°)＋12≤32， 所以632≤b 2<61，即4≤b 2<6，所以2≤b < 6. 9．①③解析 ①f (2 014π3)＝f (671π＋π3)＝|cos(671π＋π3)|·sin(671π＋π3)＝cos π3(－sin π3)＝－34，正确． ②令x 1＝－π4，x 2＝5π4，则|f (x 1)|＝|f (x 2)|， 但x 1－x 2＝－6π4＝－3π2， 不满足x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )，不正确．③f (x )＝⎩⎨⎧ 12sin 2x ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，－12sin 2x ，2k π＋π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴f (x )在[－π4，π4]上单调递增，正确． ④f (x )的周期为2π，不正确．⑤∵f (－π＋x )＝－|cos x |sin x ，f (－x )＝－|cos x |sin x ，∴f (－π＋x )＋f (－x )≠0，∴f (x )的图象不关于点(－π2，0)成中心对称，∴不正确． 综上可知，正确说法的序号是①③.10．解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )， ∴f (x )＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )．∵函数f (x )的图象关于点(π6，0)对称，∴f (π6)＝0， 即sin(2×π6－A )＝0. 又A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∴f (x )＝sin(2x －π3)． ∵x ∈(0，π2)，∴2x －π3∈(－π3，2π3)， ∴－32<sin(2x －π3)≤1， 即函数f (x )的值域为(－32，1]． (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得sin B ＋sin C ＝b sin A a ＋c sin A a， 又∵a ＝7，A ＝π3，∴sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )． ∵sin B ＋sin C ＝13314，∴b ＋c ＝13. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ，即49＝(b＋c)2－3bc＝169－3bc，∴bc＝40.∴S△ABC＝12bc sin A＝10 3.。
2020版江苏省高考文科数学三轮复习 三角函数、解三角形解答题专题练(5页)
解答题专题练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B＋c cos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．3．已知函数f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x (x ∈R )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中常数a ∈R .(1)求a 的值及函数f (x )的最小正周期T ；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最值及相应的x 值．4．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解答题专题练(一)1．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以T ＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 2．解：(1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin B sin B cos C ，即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4，则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cos A ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0<A <34π，所以0<t ≤2，sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52.(2)由(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S max ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2.3．解：(1)f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x －1，由函数f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即a 2sin π2－cos π2－1＝0，得a ＝2.从而f (x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )max ＝2－1；当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )min ＝－2.4．解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ，得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20， 因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21， 故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.。
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第30练 三角恒等变换
[基础保分练]
1cos2072°cos212°＋sin2072°sin212°＝________.
2.(2018·常州调研)已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32
，则cos(α－β)＝________.
3.已知sin α＝45，π2<α<π，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.
4.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝____________________________.
5.△ABC 中，cos A cos B －sin A sin B ＝－12
，则角C 的大小为________.
6.(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝________.
7.已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25
，则tan(β－2α)＝________.
8.(2018·苏州模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点
A (t,2t )(t <0)，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π
3＝________.
9.若α，β都是锐角，sin α＝35，sin(α－β)＝513
，则cos β＝________. 10.(2019·如东调研)函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在[0，π]上的单调递减区间为__________.
[能力提升练]
1.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos C cos B ＝3a －c b
，则cos B 的值为________.
3.3tan10°＋3tan20°＋tan10°tan20°＝________.
4.若tan(α－β)＝1，tan α＝3，则tan2β＝________.
5.已知α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，tan α，tan β分别是lg(6x 2＋5x ＋2)＝0的两个实数根，则α＋β＝________.
6.关于函数f (x )＝3cos2x －2sin x cos x ，有如下命题：
①x ＝π3
是f (x )图象的一条对称轴； ②⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心；
③将f (x )的图象向左平移π6
个单位长度，可得到一个奇函数图象. 其中真命题的序号为________.
答案精析
基础保分练
112 2.－12 3.210
4.－1
5.60°
6.2
7.－112
8.－25＋1510
9.6365 10.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π 能力提升练
1.－12
2.13
3.1
4.43
5.－π4
解析 因为lg(6x 2＋5x ＋2)＝0，所以6x 2＋5x ＋1＝0，又tan α，tan β分别是lg(6x 2＋5x
＋2)＝0的两个实数根，所以tan α，tan β是6x 2＋5x ＋1＝0的两根，所以tan α＝－12
，tan β＝－13或tan α＝－13，tan β＝－12，所以tan α＋tan β＝－56，tan αtan β＝16，因此tan(α＋β)＝－561－16
＝－1，又tan α<0，tan β<0知－π2<α<0，－π2<β<0，所以－π<α＋β<0，故α＋β＝－π4
. 6.②③
解析 函数f (x )＝3cos2x －2sin x cos x 可化为f (x )＝3cos2x －sin2x ，
所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的对称轴为x ＝k π2－π12
，k ∈Z ，故命题①错误；
函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，取k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0，命题②正确； 函数f (x )向左平移π6
个单位长度， 得g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝－2sin2x ，g (x )为奇函数，命题③正确.。