棱柱的概念及性质
棱柱知识点总结
棱柱知识点总结一、概念棱柱是指所有侧面都是平行的多边形，顶面和底面都是相同的多边形，多边形的边称为棱。
棱柱的名称通常取决于它的底面，如三棱柱、四棱柱等。
二、分类1. 依据底面的形状，棱柱可以分为三角柱、四边形柱、五边形柱等。
2. 依据侧面的形状，棱柱可以分为正棱柱和斜棱柱。
3. 依据棱的个数，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
三、性质1. 棱柱的底面和顶面是平行且相等的多边形。
2. 棱柱的侧面是由底面和顶面相对应的边组成的矩形或平行四边形。
3. 棱柱的高是指底面到顶面的距离，它通常是侧面的垂直距离。
四、表面积和体积计算1. 表面积棱柱的表面积包括底面和顶面的面积以及侧面的面积。
计算公式为：S = 2B + Ph，其中B为底面积，P为底面的周长，h为高。
2. 体积棱柱的体积是指内部空间的容积，也可以理解为底面积乘以高。
计算公式为：V = Bh，其中B为底面积，h为高。
五、常见问题1. 如何判断一个几何体是棱柱？可以通过检查其底面和顶面是否平行且相等的多边形，以及侧面是否由相对应的边组成的矩形或平行四边形来判断。
2. 如何计算棱柱的表面积和体积？需要先计算底面积和高，然后根据公式进行求解。
如果底面是正多边形，可以直接使用相应的公式进行计算。
3. 棱柱的内角和外角和为多少？棱柱的内角和为180度，外角和为360度。
六、解题技巧1. 计算底面积时，要根据底面的形状选择合适的公式进行计算。
2. 高的选择往往关键，根据题目提供的信息选择合适的高。
3. 在计算表面积和体积时，注意单位的转换和精确度的保持。
七、相关定理1. 棱柱的底面和顶面平行时，对应边是平行的。
2. 棱柱的底面和顶面相等时，侧面是等边的。
八、应用场景1. 地质勘探中，棱柱的体积可以用来估算矿藏的储量。
2. 工程测量中，棱柱的表面积可以用来计算材料的用量。
3. 几何画图中，利用棱柱的性质可以更准确地绘制建筑物的透视图。
九、拓展阅读1. 棱柱与棱锥的区别：棱柱是所有侧面都是平行的多边形，而棱锥是除了底面之外，侧面都是三角形或者锥形的几何体。
高考数学知识点：棱柱的性质
高考数学知识点：棱柱的性质
高考数学知识点：棱柱的性质
棱柱的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;
②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
棱柱和它的性质
1 1 AB ′ = a + c， = ( a + b )， AN = b + c AM 2 4
1 1 1 MN = AN AM = a + b + c 2 2 4 AB′ M N 1 1 1 = (a + c)( a + b + c) 2 2 4
1 1 1 = + cos 60 + = 0 2 2 4
侧面
D1 A1 B1
C1 A1
C1
A1 B1 B1
E1 C1 E
D1
D A B
面
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点 做棱柱的顶点； 做棱柱的顶点 不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱 柱的对角线 对角线； 对角线 两个底面的距离叫做棱柱的高 棱柱的高。 棱柱的高 如图所示：
棱柱与它的性质
棱柱的概念和性质
我们常见的一些物体，例如三棱镜，方砖 以及螺杆的头部，它们都呈棱柱形状，如 图：
观察下列几何体并思考：具备哪些性 质的几何体叫做棱柱？
D1 A1 B1 C1 A1 C1 A1 B1 C A B B C B1 E D E1 C1
D1
D A B
C A
定义：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行，这些面围成的几何体 叫做棱柱 棱柱。 棱柱 两个互相平行的面叫做棱柱的底面 棱柱的底面，其 棱柱的底面 余各面叫做棱柱的侧面 棱柱的侧面。 棱柱的侧面 两个面的公共边叫做棱柱的棱 棱柱的棱 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 棱柱的侧棱。 棱柱的侧棱
为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系
B
M
1 1 3 1 则MN = ( , 0, )，A(0, , 0)，B′( , 0,1) 2 4 2 2
棱柱的有关性质和判定方法
棱柱的有关性质和判定方法
棱柱是一种立体图形，具有以下性质：
1. 边：棱柱由若干个平行的矩形面组成，每个矩形面的边数相等且长度相等，这些边称为棱柱的边。
2. 顶点：棱柱有两个平行的底面，每个底面都有若干个顶点，这些顶点被底面上的边连接起来，称为棱柱的顶点。
3. 面：棱柱由两个平行的底面和连接底面的侧面组成，每一个侧面都是一个长方形，这些侧面也是棱柱的面。
判定一个图形是否为棱柱一般有以下几种方法：
1. 观察面：如果一个图形有两个平行的底面，且底面之间的连接侧面全部是矩形，则这个图形是棱柱。
2. 观察边和顶点：如果一个图形的所有边数相等且长度相等，且所有顶点被边连接起来的形状满足棱柱的定义，则这个图形是棱柱。
3. 观察投影：将图形在一个平面上作平行投影，如果投影在平面上是一个多边形，且多边形的边数相等且长度相等，则这个图形是棱柱。
需要注意的是，以上方法只是判定一个图形是否为棱柱的一般方法，对于特殊的几何形状可能需要更具体的判定方法。
棱柱的概念
三棱镜
棱柱
1、棱柱的定义
有两个面互相平行，其余各面都是
四边形，并且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，这些面围成的几何体叫
做棱柱。
1、棱柱的定义
有两个面互相平行，其余各面都是
四边形，并且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，这些面围成的几何体叫
做棱柱。
2、棱柱各部分的名称
棱柱的底面：两个互相平行的面 棱柱的侧面：其余各面 棱柱的棱：两个面的公共边
正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
(2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面 都是矩形.
A
E1
A1
B1
C1
D1Βιβλιοθήκη E H B棱柱的侧棱：两个侧面的公共边
C
D
棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点 棱柱的对角线：不在同一个面上的 两个顶点的连线 棱柱的高：两个底面的距离
3、棱柱的表示方法
（1）用表示底面各顶点的字母表示 如图：记作棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 （2 ）用表示一条对角线端点 的两个字母表示 如图：记作棱柱A C1
5、棱柱的性质
(1) 侧棱平行且相等，侧面是平行四边形；
(2) 两个底面与平行于底面的截面是 全等的多边形；
5、棱柱的性质
(3) 过不相邻的两条侧棱
的截面是平行四边形．
问题：有两个面互相平行，其余各面都是平
行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
特殊的棱柱:
(1)直棱柱的每一个侧面都是矩形；
E A B C D A1 B1 E1
D1 C1
4、棱柱的分类
（1）按底面边数分，可以把棱柱分为三棱柱， 四棱柱，五棱柱，……
立体几何中的棱柱与棱锥的性质
立体几何中的棱柱与棱锥的性质在立体几何中，棱柱与棱锥是两种常见的立体图形。
它们具有一些特定的性质和特征，下面将对这两种几何图形进行详细介绍。
一、棱柱的性质棱柱是由两个平行相等的多边形底面及连接底面上相对顶点的若干条棱构成的立体图形。
在棱柱中，可以明显地看出以下几个性质：1. 底面：棱柱的底面是相等且平行的多边形。
常见的棱柱底面有三角形、四边形、五边形等各种形状。
底面的形状决定了整个棱柱的特征。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部平行于棱柱的轴线，并且相互之间平行。
3. 棱：棱柱的棱是指连接棱柱底面上对应顶点的线段。
共有n条棱，其中n为底面的边数。
4. 高度：棱柱的高度是指两个底面之间的垂直距离。
5. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积与高度的乘积来计算，即V = 底面积 ×高度。
6. 表面积：棱柱的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
二、棱锥的性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点到一个中心点的直线段（称为棱锥的轴）所构成的立体图形。
棱锥具有以下几个主要的性质：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等不同形状。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部汇集于锥的顶点，并与底面上的顶点相交。
3. 棱：棱锥的棱是指连接底面顶点和顶点的线段。
4. 底面角：棱锥的底面角是指底面上相邻两边之间的夹角。
5. 高度：棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，与底面垂直。
6. 体积：棱锥的体积可以通过底面面积与高度的乘积再除以3来计算，即V = (底面积 ×高度) / 3。
7. 表面积：棱锥的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
总结：棱柱和棱锥是立体几何中常见的两种图形，它们有着各自独特的性质。
棱柱由两个平行的底面和连接底面的棱构成，而棱锥由一个底面和连接底面顶点到一个中心点的棱构成。
棱柱的性质
定义：有两个面互相平行，而其余每相邻两个面
的交线互相平行，这样的多面体叫做棱棱柱柱的．底面平行且全等，
两个互相棱平柱行的侧的面平是平面行叫四做边形棱柱的底面，
E1
其余各面叫做棱柱的侧面．
棱柱的侧棱平行且相等，
A1 B1 C1
D1
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
棱与棱的公共顶点叫做棱柱的顶点，
练习4：
一个正三棱柱的底面边长4，髙为6，过下底 面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点做截 面，求此截面的面积
先求A’B
A’
A’B =A’C BO
C’ A’ B’
A’O BC A
C
ΔA’BC的面积S
B B OC
是AA’的中点，P是BC上的一点。
（1）画出该三棱柱的侧面展开图。A’
C’
（2）该三棱柱的侧面展 开图的对角线的长度。
B’ M
（3）当P是BC中点时，P沿着棱柱 侧面经过棱CC’到M的最短路线长是
A
多少？
C P B
（4） P沿着棱柱侧面经过棱CC’到M的最短路
线长是 2 9 时，设这条最短路线与CC’的交点为 N。求PC, NC和PN的长
棱长都相等的长方体是正方体。都是四棱柱源自练习1： 下列语句中正确的是：
(1)底面是平行四边形的四棱锥是平行六面体 (2)底面是矩形的直平行六面体是长方形
(3)棱柱的侧面都是平行四边形 (4)直四棱柱是直平行六面体 (5)直平行六面体是长方体
(6)有一条侧棱与底面相交的两条边垂直的棱柱是直棱柱
(7)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
(8)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
练习2：
如图所示为长方体ABCD-A’B’C’D’, 当平面BCFE把这个长方体截成两部分后， 各部分形成的多面体还是棱柱吗？ 如果是，说明理由，并指出底面和侧棱。
(完整版)棱柱的性质及判定归纳
完整版)棱柱的性质及判定归纳
1.引言
棱柱是一种基础的几何体，具有特定的性质和判定方法。
本文将介绍棱柱的概念、性质以及判定方法，帮助读者更好地理解和应用棱柱。
2.棱柱的定义
棱柱是一个具有两个平行的多边形底面，并且通过这些底面的边相互连接而形成的立体。
底面的多边形称为底面多边形，连接底面相邻顶点的边称为侧边。
所有的侧边的长度和形状都相同。
3.棱柱的性质
底面多边形的边数称为棱柱的侧面数，侧面数可以是任意正整数。
棱柱的高度是连接底面两个对应顶点的线段的长度。
棱柱的体积可以通过底面的面积乘以高度来计算。
棱柱的表面积可以通过底面的周长加上底面与侧面的面积之和来计算。
棱柱的对角线可以从一个底面的顶点连接到另一个底面的相应顶点。
棱柱的正棱柱是指底面是正多边形的棱柱。
棱柱可以根据侧面数进一步分类，如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
4.棱柱的判定方法
判断一个几何体是否为棱柱，可以通过以下条件判断：
底面是多边形；
侧面的边数与底面的边数相等；
侧面的边与底面的边一一对应。
5.应用举例
棱柱广泛应用于建筑、工程等领域。
例如，在建筑中，电线管通常采用圆柱形状，水塔通常采用圆柱形状。
在工程中，一些管道的形状也可以近似看作棱柱形状。
6.总结
本文从定义、性质和判定方法三个方面全面介绍了棱柱的性质和判定方法。
通过理解和掌握这些内容，读者将能够更好地应用棱
柱，提高解决实际问题的能力。
同时，本文也提到了一些棱柱的应用领域，展示了棱柱在实际生活中的重要作用。
棱柱的性质
H B
E C D
不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，
2、棱柱的表示方法 1．用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如图： 记作棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 E1
A1 B1 C1
D1
E A B C D
2 ．用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如图：记作棱柱A C1
3、棱柱的分类:
底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。
底面是矩形的直平行六面体是长方体。
棱长都相等的长方体是正方体。 都是四棱柱
练习1：
下列语句中正确的是： (1)底面是平行四边形的四棱锥是平行六面体
(2)底面是矩形的直平行六面体是长方形
(3)棱柱的侧面都是平行四边形
1、棱柱的概念 定义：有两个面互相平行，而其余每相邻两个面 的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱． 棱柱的底面平行且全等， 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面， 棱柱的侧面是平行四边形
棱柱的侧棱平行且相等，
E1 A1
其余各面叫做棱柱的侧面． 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
B1
C1
D1
棱与棱的公共顶点叫做棱柱的顶点， 两个底面的距离叫做棱柱的高．
A’
A
E
D
B’ B
C
练习3： 正棱柱ABC-A’B’C’中，AB=3，AA’=4,M 是AA’的中点，P是BC上的一点。
（1）画出该三棱柱的侧面展开图。A’ C’
（2）该三棱柱的侧面展 开图的对角线的长度。
B’
M
（3）当P是BC中点时，P沿着棱柱 A 侧面经过棱CC’到M的最短路线长是 多少？
B
C P
(4)直四棱柱是直平行六面体
棱柱及其性质1
棱柱的分类:
根据底面边数分为：三棱柱、四棱 柱、五棱柱等
正方体 是哪一类 棱柱？
根据侧棱与底面是否垂直分为： 正四棱柱就 是正方体， 斜棱柱 对吗？ 正棱柱 直棱柱 按底面是否正多边形分为{
{
正 四 棱 柱
其它直棱柱
这两种分类彼此又可渗透，例如斜三 棱柱、直四棱柱、正五棱柱等
棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正 棱柱集合之间存在怎样的包含关系？
P= 直四棱柱 ,Q=
这些集合间的关系是（ B ） A. P M N Q
B. Q M N P C. P N M Q D. Q N M P
3、有两个面是对应边平行的全等多边形，其
余面都是平行四边形的几何体是否是棱柱？
巩固 4.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,给出三个论断: 提高
两个互相平行的面 底面 ： 棱柱的底面
侧面 ： 除底面外的其余各面 棱柱的侧面 侧棱 ： 两个侧面的公共边 棱柱的侧棱 顶点 ： 侧面与底面的公共顶点 棱柱的顶点
棱柱的概念和性质
两个互相平行的面 棱柱的底面：
H/
除底面外的其余各面 棱柱的侧面：
两个侧面的公共边 棱柱的侧棱：
侧面与底面的公共顶点 棱柱的顶点： 不在同一个面上的两 对角线 ： 棱柱的对角线
每相邻两个面的交线互相 互相平行 ，这样的
多面体叫做棱柱。
观察下面的几何体，哪些是棱柱？
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何
体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的
几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
棱柱的概念和性质
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9．7棱柱的概念及性质
一、教学目标理解棱柱的概念、分类；掌握棱柱的性质．
二、教具准备投影胶片、多媒体课件．
三、教学过程
设置情境
教师拿几个模型（如图1）一一呈现出来让同学们观察，并讨论哪些是棱柱．
①②③④
⑤⑥⑦
（图1）
教师指出①③⑤为棱柱，然后问，棱柱有什么样的特征？应当怎么定义呢？
（1）概念（出示模型或投影仪）
通过举实际生活中的例子，介绍概念：棱柱的定义、底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高．
（2）棱柱的分类（见图2）
（图2）
从侧棱与底面的关系来分可分为：斜棱柱、直棱柱、正棱柱．
从底面多边形的边数来分可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．
2．棱柱的性质（见图3）
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形．
（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
一些常见的四棱柱
（1）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。
（2）直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体。
（3）长方体：底面是矩形的直平行六面体。
（4）正四棱柱：底面是正方形的直平行六面体。
（5）正方体：棱长都相等的长方体。
{正方体}⊂≠{正四棱柱}⊂≠{长方体}⊂≠{直平行六面体}⊂≠{平行六面体}
3．例题分析
例1 . 下列命题中正确的是（ ）
A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D ．有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱
解：如图4，面//ABC 面111A B C ，但图中的几何体中每相邻两
个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱．A 、B 都 不正确．当两个相邻侧面都垂直于底面时，它们的公共侧棱 垂直于底面，因此这样的棱柱是直棱柱，故选D ．
例2 . 下列命题中的假命题是（ ） A ．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高 B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C ．直棱柱的侧面是矩形
D ．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱往
解：A ．直棱往的侧棱垂直于底面，是直棱柱的高，命题为真．
B ．有一个侧面是矩形，并不能保证侧棱垂直于底面，命题为假．
C ．直棱柱的侧面是矩形，命题为真．
D ．因棱柱的侧棱相互平行，因此，有一条侧棱垂直于底面，则所有侧棱都垂直于底面，
构成直棱柱，命题为真． 故选B ．
例3 . 棱柱成为直棱柱的一个充要条件是（ ） A ．棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直 B ．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直 C ．棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直 D ．棱柱的侧面与底面都是矩形
解：A ．棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱是直棱柱．（棱柱的一条侧棱与底面的两
边垂直，没有明确这两条边是否相交，保证不了测棱与底面垂直．）
B ．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱柱是直棱柱.(棱柱有一个侧面与底面的一
C A A 1B 1
C 1
(图4)
条边垂直，即底面上一条直线与侧面垂直，侧面与底面垂直，保证不了侧棱与底面垂直．）
C ．棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直．（侧面与底面垂直，侧面又是矩形，根据两
平面垂直的性质定理，侧棱垂直于底面．）
D ．棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形．（棱柱是直棱柱，底面不一定是矩形．）
故选C ． 4．演练反馈
1．请归纳棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之间的关系。
2．判断正误：
（1）直棱柱的侧棱长与高相等（ ）
（2）直棱柱的侧面及不过相邻的两条侧棱的截面都是矩形（ ） （3）正棱柱的侧面是正方形（ ）
（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，那么它是直棱柱（ ） （5）如果棱柱有两个相邻侧面是矩形，那么它是直棱柱（ ） 3
5［学生讨论，教师补充完善．］ 1．什么叫棱柱？ 2
．棱柱的分类． 3．棱柱的性质． 四、布置作业
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）
A ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B ．每个侧面是全等的矩形
C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D ．底面是正方形，有两个侧面是矩形
2．棱柱的侧面是_________形，直棱柱的侧面是_________形， 正棱柱的侧面是________形．
3．如图5，直四棱柱1AC 中，各棱长均为a ，120ADC ∠= ， 求对角线1BD 与1AC 的长． ［参考答案］
1．C 2．平行四边形；矩；全等的矩 3．1BD
=，12A C a =
D C B A
A 1
1
C 1
D 1
(图5)。