复习课：直线与圆的位置关系12
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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系
3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
《直线与圆的位置关系》
《直线与圆的位 置关系》
2023-11-10
目 录
• 引言 • 直线与圆的位置关系概述 • 判断直线与圆的位置关系的方法 • 直线 复习与思考
01
CATALOGUE
引言
课程背景介绍
平面解析几何是数学的基础知识，而直线与圆的位置关系是解析几何中的重要内 容之一。
在物理学中，圆和直线是非常重要的概 念，它们被广泛应用于各种现象和实验
中。
例如，在力学中，圆被用来描述物体的 运动轨迹，而直线则被用来描述物体的 运动速度和方向。此外，在电磁学中， 圆和直线也被广泛应用于描述电磁波的
传播和电场线的分布。
另外，在光学中，直线则被用来描述光 的传播路径和光的干涉现象，而圆则被 用来描述光的衍射现象。因此，掌握直 线与圆的位置关系对于理解物理现象和
解决物理问题非常重要。
直线与圆在经济学中的应用
在经济学中，直线与圆的位置关系也 被广泛应用于各种经济理论和模型中 。
VS
例如，在供需模型中，直线被用来表 示供给曲线和需求曲线，而圆则被用 来表示市场均衡点。此外，在货币供 应和货币政策中，直线则被用来表示 货币供应量和利率之间的关系，而圆 则被用来表示通货膨胀率和失业率之 间的权衡关系。
对于练习题，需要仔细计算公共弦的长度，避免出错。
对于思考题，可以通过几何方法证明两点之间线段最短 ，也可以用解析几何的方法证明。
通过本章的学习，可以进一步加深对平面几何的认识和 理解，同时为后续学习空间几何打下基础。
THANKS
感谢观看
相交直线的性质
01
02
03
相交直线的夹角
两条相交直线之间的夹角 是锐角或直角，且夹角的 大小取决于两条直线的倾 斜程度。
2023-11-10
目 录
• 引言 • 直线与圆的位置关系概述 • 判断直线与圆的位置关系的方法 • 直线 复习与思考
01
CATALOGUE
引言
课程背景介绍
平面解析几何是数学的基础知识，而直线与圆的位置关系是解析几何中的重要内 容之一。
在物理学中，圆和直线是非常重要的概 念，它们被广泛应用于各种现象和实验
中。
例如，在力学中，圆被用来描述物体的 运动轨迹，而直线则被用来描述物体的 运动速度和方向。此外，在电磁学中， 圆和直线也被广泛应用于描述电磁波的
传播和电场线的分布。
另外，在光学中，直线则被用来描述光 的传播路径和光的干涉现象，而圆则被 用来描述光的衍射现象。因此，掌握直 线与圆的位置关系对于理解物理现象和
解决物理问题非常重要。
直线与圆在经济学中的应用
在经济学中，直线与圆的位置关系也 被广泛应用于各种经济理论和模型中 。
VS
例如，在供需模型中，直线被用来表 示供给曲线和需求曲线，而圆则被用 来表示市场均衡点。此外，在货币供 应和货币政策中，直线则被用来表示 货币供应量和利率之间的关系，而圆 则被用来表示通货膨胀率和失业率之 间的权衡关系。
对于练习题，需要仔细计算公共弦的长度，避免出错。
对于思考题，可以通过几何方法证明两点之间线段最短 ，也可以用解析几何的方法证明。
通过本章的学习，可以进一步加深对平面几何的认识和 理解，同时为后续学习空间几何打下基础。
THANKS
感谢观看
相交直线的性质
01
02
03
相交直线的夹角
两条相交直线之间的夹角 是锐角或直角，且夹角的 大小取决于两条直线的倾 斜程度。
直线与圆的位置关系
直线和圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系 公共点个数
相交
相切
相离
2
交点
1
切点
0
无
公共点名称
直线名称 数量关系
割线
切线无ຫໍສະໝຸດ d<rd=r
d>r
切线方程的求法
课堂检测
y x 2 与圆 ( x 1)2 ( y 1)2 r 2当r为 1、直线 何值时（1）相交？（2）相切？（3）相离？
x0 y y0 ( x x0 ) y0 2 2 化简，得 x0 x y0 y x0 y0
因为点M在圆上 x0 y 0 r 2
2 2
所以过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程 因此所求切线方程
如果x0 0或y0 0过点M（x0 ，y0）的切线方程满足 式
2、圆 x 2 x y 4 y 3 0 上到直线 x y 1 0 的距离为 2 的点共有（ ）个
2 2
x 2 y 2 6 x 8 y 16 0上一点 3、求过圆
（6，7）的圆的切线方程。 4、直线 kx y 4 2k 0 与曲线 y 1 4 x 2 相切，则实数k的值是 （ ）
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？
d r
（1）d<r （2）d=r （3）d>r
点在圆内 点在圆上 点 在圆外
2、“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句， 它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太 阳看成一个圆，地平线看成一条直线, 那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？
代数法
利用判别式△
1、用方程组的解的个数判断直线和圆的位置关系
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
高考数学(文科)总复习 9.2 直线、圆的位置关系
=0,求得k值,从而得到切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0.
3.圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则
L
2
2 =r2-d2;②代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,方程组
y kx b,
(x a)2 (
2
3 1 2 = 10 .
32 12 4
答案 10 4
考向三 定点直线系
例3 (2019届河南安阳9月调研,14)方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示
的直线恒过一定点,该定点坐标为
.
解析 由方程(a-1)x-y+2a+1=0可得a(x+2)-x-y+1=0.又知该方程对一切
解法二(代数法):联立方程
x x
2 2
y2 y2
2x 4x
3 2
0, y3
0,
解得
x1 y1
1, 2,
x2 y2
3, 0,
即
方程组有2组解,也就是说,两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.故选
C. 答案 C
考向三 与圆有关的切线问题
3.两圆的位置关系的判定 设圆O1的方程为(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R>0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r> 0),其中R>r.
【知识拓展】 1.常见的圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数. (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数. (3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程:x2+y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系 方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,因 此注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解). 2.与圆的切线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;
3.圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则
L
2
2 =r2-d2;②代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,方程组
y kx b,
(x a)2 (
2
3 1 2 = 10 .
32 12 4
答案 10 4
考向三 定点直线系
例3 (2019届河南安阳9月调研,14)方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示
的直线恒过一定点,该定点坐标为
.
解析 由方程(a-1)x-y+2a+1=0可得a(x+2)-x-y+1=0.又知该方程对一切
解法二(代数法):联立方程
x x
2 2
y2 y2
2x 4x
3 2
0, y3
0,
解得
x1 y1
1, 2,
x2 y2
3, 0,
即
方程组有2组解,也就是说,两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.故选
C. 答案 C
考向三 与圆有关的切线问题
3.两圆的位置关系的判定 设圆O1的方程为(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R>0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r> 0),其中R>r.
【知识拓展】 1.常见的圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数. (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数. (3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程:x2+y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系 方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,因 此注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解). 2.与圆的切线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
, 到直线： − − = 的距离 =
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
154408_直线与圆的位置关系(复习课)_刘锐
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6.圆系方程: 圆系方程: 圆系方程 ①设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 设圆 和圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交,则 .若两圆相交, 过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ 为参数,圆系中不包括圆C 为参数,圆系中不包括圆 2,λ=-1为两圆的公 为两圆的公 共弦所在直线方程). 共弦所在直线方程 . 与直线l: ②设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线 : 设圆 : 与直线 Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的 ,若直线与圆相交, 圆系方程为x 圆系方程为 2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ 为参数). 为参数 .
3.两圆 2+y2-6x+4y+12=0和 x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系 两圆x 两圆 和 的位置关系 是( C ) (A)相离 相离 (B)外切 外切 (C)相交 相交 (D)内切 内切
4.已知圆 :(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 :x-y+3=0当直线 已知圆C: 及直线l: 当直线l 已知圆 > 及直线 当直线 被C截得的弦长为2 3时,则a=( C ) 截得的弦长为 (A) 2 (B) 2 - 2 (C) 2 -1 (D) 2 +1
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6.直线 直线3x+4y+m=0与圆 2+y2-5y=0交于两点 ,B,且OA⊥OB 与圆x 交于两点A 直线 与圆 交于两点 , ⊥ (O为原点 ,求m的值 为原点), 的值. 为原点 的值
直线与圆的位置关系(复习课)
B
10
O
C
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
B
O
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
P 4cm l A
P 4cm A l
2．如图，A，B是⊙O的两点，AC是 ⊙O的切线，∠B＝65°则∠BAC=( B ) A、35° B、25°C、50° D、65°
O B A C
3、已知:PA为⊙O的切线，A为切点， OB交⊙O于点B ，PB＝2，PA ３ ＝4.⊙O的半径r=
O
r
r
B２
４
P
A
B
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
O
B
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
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直线与圆的位置关系
一、学习目标：
1、 会判断直线和圆的位置关系；熟练掌握切线的性质、判定方法及切线长定理的用法；三
角形内心的性质及其应用。
2、 通过观察、看图、分析、对比提高学生的解决问题的能力，进一步强化分类归纳思想。
二、知识点复习
问题1：已知：两条直线相交于点P ，且∠APB=30°，O 是PB 上的一点，OP=24，⊙O 的半径为r 。
当r 满足怎样的调节时，直线PA 与⊙O 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点?
问题2：如图：∠OPN=30°，M 为OP 的中点，以点O 为圆心，OM 判断PN 与⊙O 的位置关系，并说明理由。
变式：点M 是⊙O 上的一定点，动点A 从点M 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周顺时针运动一周。
如图：⊙O 的半径为12，PM=OM ，则当点A 运动的时间为2s 判断PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由。
在点A 运动的过程中，PA 与⊙O 还有没有其他相切的位置？时间为几秒？
问题3：
①过点P 作出另一条⊙O 的切线PB ，切点为B 连接AB ，又能得到什么结论？（该图反映的是哪个定理？）
②若C 为圆O 上的任意一点（不与A 、B 重合），请讨论∠C 与∠APB 之间的关系。
在上图中，过点C 作出圆O 的切线，分别交PA 、PB 于点Q 、R ， 提出问题：已知三角形如何作出它的内切圆？
x
F E
G
D
C
P B
A
P
二、检测训练：
1、已知：PA 、PB 分别与⊙O 相切与点A 、B ，C 为圆O 上的任意一点（不与A 、B 重合），若∠ACB=65°则∠P= ；若∠P=50°则∠ACB=
C
K
N
C
2、如图，点P 、Q 分别是△MNK 的外心和内心，且∠KQN=100°则∠M= ， ∠KPN=
3、如图，已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点做⊙O 的切线BC 若A D ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。
4、如图，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5⊙O 和三角形三边所在直线相切，切点为D 、E 、F 。
求⊙O 的半径。
5、在平面直角坐标系中，A （8，0），B （0，6）⊙I 和△AOB 的三边 相切于E 、F 、G ，CD 切⊙I 于点P ，交AO 于C ，AB 于D ，
且OC+BD=9，求四边形BOCD 的周长和CD 的长。
6、已知△ABC 的内切圆O 与各边相切与D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ）
A 、三条中线交点
B 、三条高的交点
C 、三条角平分线交点
D 、三条边的垂直平分线的交点 三、课堂小结： 1、知识方面： 2、方法思想：
探讨：矩形ABCG 与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使得∠APE 为直角的点P 的个数（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3。