2-4-2 抛物线的简单几何性质
2-4-2 抛物线的简单几何性质
基础巩固强化一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么，|AB |等于( )A ．8B ．10C ．6D ．4[答案] A[解析] 由题意，|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝(x 1＋x 2)＋2＝6＋2＝8，选A.2．(2013·新课标Ⅰ文，8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.3．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 [答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ，∵|PF|＝4∴p2＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4.4．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)[答案] B[解析]∵圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．5．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为() A．45°B．60°C．90°D．120°[答案] C[解析]设抛物线方为y2＝2px(p>0)．如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AF A1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠F A1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.二、填空题6．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.[答案] ±2 3[解析] 设正三角形边长为x . 363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23，当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.7．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．三、解答题8．(2013·福建文，20)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |；(2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．[解析] (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1.由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5.所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[分析] 如图所示，线段AB 中点到y 轴距离取最小值时，其横坐标取最小值，因此，只要A 、B 两点的横坐标之和取最小即可．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝| BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ，由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而 (y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2， ∴y 1＋y 2＝±22，∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.[点评] 本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程求解，这样解答简捷准确．。
抛物线的几何性质
抛物线的几何性质抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值.()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
高中数学选修2-1自主学习导学案：2.4.2 抛物线的简单几何性质
§2.4.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=． （2） 所有焦点弦中，通径最短． （3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．（4）以AB 为直径的圆与准线相切．（5）112+=FA FB p．4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =________．（2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =，则焦点到AB 的距离为 ． 变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____________；（2）PM PF +的最小值为______，此时P 点的坐标为_________． 考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：1y kx =- 和抛物线C ：24y x =，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C: 24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________．考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C: 24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．变式1．直线l 和抛物线C: 24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______．变式2．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：24y x =上求一点，使得点 P 到直线3y x =+的距离最短．考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-22．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．82．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 33．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．26．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．127．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．28．过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 11．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．12．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ．15．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．17．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值．18．已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB相切．§2.4.2 抛物线的简单几何性质（教师版）1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=．222121212222222212021221πθπθθθθθθθ==∴≠=-=+-⋅-=∴=-+=∴=-=+=:,,,:()tan ,,tan :,tan ,,tan ()tan sin AB p AB p y p l y x x y py p py y p y y pAB y y p 解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得（2） 所有焦点弦中，通径最短．()()()2222221221223θθθ=≤∴≥∴:sin sin ,sin ,:;,:;.p AB pp AB p p 解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质（3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．212221212221212222244⋅=-==∴==:,,,()y y p y y x x p p y y P x x P 解由问题的解法知:（4）以AB 为直径的圆与准线相切． （5）112+=FA FB p． 4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =_____4____ （2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =AB 的距离为 2 ． 【答案】（1）4；（2）2；变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____3(,2________； （2）PM PF +的最小值为____72__，此时P 点的坐标为_____(2,2)____．考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：y ＝kx-1 和抛物线C ：y 2＝4x ，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．解：（1）01k k ==-或；（2）10k k >-≠且；（3）1k <- 【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________． 答案：101或或y x y x ===+．解析：（1）若直线与x 轴垂直，则0x =，满足题意． （2）若直线的斜率存在，设直线方程为：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得到2440ky y -+=，①若0k =，则1y =，满足题意②若0k ≠，令0∆=，解得1k =，所以1y x =+ 综上所述，所求直线方程为101或或y x y x ===+考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解法1：直线AB 的方程为1y x =+，代入抛物线方程得：2610x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=，121x x =，所以8AB ==．解法2：1212()()62822p pAB x x x x p =+++=++=+= 【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．【解析】︱AB ︱=8变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C:24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．【答案】y ＝x －1考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．【解析】设抛物线的方程为y 2=2px(p≠0),与y=x 联立方程组,消去y,得x 2-2px=0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=2p ，又因为P(2,2)为AB 的中点，所以2p=4,所以y 2=4x ．变式1．直线l 和抛物线C:24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______． 【答案】y ＝2x －3变式2．若直线x-y=2与抛物线y 2=4x 交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，联立直线方程与抛物线方程得方程组整理得x 2-8x+4=0，所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=x 1+x 2-4=4，所以线段AB 的中点坐标为(4,2)．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0),线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程． 【解析】(1)由于抛物线的焦点为(1,0),所以12p=，2p =，所求抛物线的方程为y 2=4x ． (2)方法一:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2114y x = ①, 2224y x =②,且x 1+x 2=4,y 1+y 2=2，由②-①得(y 1+y 2)(y 2-y 1)=4(x 2-x 1), 所以21212y y x x -=-,所以所求直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．方法二:显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y-1=k(x-2),k≠0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由21(2)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得ky 2-4y-8k+4=0,所以y 1+y 2=4k， 又M 点是AB 的中点，所以y 1+y 2=2,所以k=2，故直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：y 2＝4x 上求一点，使得点 P 到直线 y ＝x+3 的距离最短． 【解析】00(.)P x y 解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点，2004y x =则，d ==2004y x =将代入得：d=20)y R =∈，0min 2,y d ∴==当时(1,2)P 此时方法2：0x y m -+=设直线与抛物线相切，2244400y xy y m x y m ⎧=⇒-+=⎨-+=⎩，0:1m ∆==由得，(1,2)P 此时.考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证:直线AB 过定点．【解析】(1)设点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则有k OA= 11y x ,k OB=22y x ． 因为OA ⊥OB,所以k OA ·k OB =-1,所以x 1x 2+y 1y 2=0．因为21y=2px 1,21y=2px 2,所以2212y y2p 2p+y 1y 2=0．因为y 1≠0,y 2≠0,所以y 1y 2=-4p 2,所以x 1x 2=4p 2． (2)因为221122y 2px y 2px ＝，＝，所以(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2),所以12AB 121212y y 2p 2p,k x x y y y y -=-++所以＝，故直线AB 的方程为y-y 1=122p y y + (x-x 1),所以1112122px 2pxy y ,y y y y +-++＝即211121212y 2px y y 2pxy .y y y y -+=+++ 因为21y=2px 1,y 1y 2=-4p 2,所以212122px 4p y ,y y y y -=+++所以y=122p y y + (x-2p),即直线AB 过定点(2p,0)．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．【解析】(1)因为l :x －y －2=0，所以l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为(2，0)，所以p22=，，所以y 2=8x ． (2)① 设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则211211222222y x y 2px 2p y 2px y x 2p ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩，， 则12PQ221212y y 2p k y y y y 2p 2p==+－，－又因为P,Q 关于直线l 对称， 所以k PQ =－1，即y 1+y 2=－2p,所以12y y p,2+=－又因为P,Q 的中点一定在直线l 上， 所以1212x x y y 22p,22++=+=－ 所以线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p)．②因为中点坐标为(2-p ，-p)，121222222121212y y 2p y y 2p y y x x 42p y y 8p 4p 2p +=⎧+=⎧⎪+⎨⎨+==+=⎩⎪⎩－，－，即－－， 所以12212y y 2p y y 4p 4p +=⎧⎨=⎩－，－，即方程y 2+2py+4p 2－4p=0有两个不等实根．所以Δ>0,(2p)2－4(4p 2－4p)>0⇒ 4p (0,).3∈ 【方法技巧】应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-2【解析】选D ．因为抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,所以=-1,所以=-1,所以y 1+y 2=-1．因为y 1y 2=-1,所以x 1+x 2=+=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=3，所以两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)中点坐标为．代入y=x+b,可得b=-2．2．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．【解析】设抛物线上的点A(y12,y1),B(y22,y2)关于直线l对称．则122212221212y yk1y yy y y yk(1)1 22-⎧-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩＝，，，得12212y y kk11y y2k2+-⎧⎪⎨+-⎪⎩＝，＝，所以y1,y2是方程22k11y ky02k2-＋＋＋＝的两个不同根．所以Δ=k2-42k11()2k2-＋>0,解得-2<k<0．故实数k的取值范围是-2<k<0．答案:-2<k<01．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2 B．1 C．4 D．8【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C．【答案】 C2．(2014·成都高二检测)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2 3 B．4 C．6 D．4 3【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P⎝⎛⎭⎫m24，m，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝＋2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D ．【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2．∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1． 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 【解析】 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C ．5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．2【解析】选B ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．由题意知AB 的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2．由得x 2-4x+1=0,所以x 1+x 2=4,x 1x 2=1．所以|AB|====2．6．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C ．【答案】 C7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D ．【答案】 D8．(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】选C ．点(-1,0)在抛物线y 2=x 的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x 轴．9．(2016·西安高二检测)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C ．由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l 与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l 的倾斜角为60°或120°,即直线l 的斜率为±．【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A ．10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋x2，由题意有x ＋14＝x 2＋x2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24．【答案】 ⎝⎛⎭⎫18，±2411．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1．【答案】 0或112．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】 由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝2 3＋14p 2． 由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6． 【答案】 614．直线y=kx+2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k= ．【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y 得:k 2x 2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k -2)2-16k 2=0,解得k=1．答案:0或115．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ． 【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x 2得4x 2-4x+b=0．令Δ=16-16b=0,解得b=1，所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短．由4x 2-4x+1=0,解得x=，所以y=1,所求点为．答案:16．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2． ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p2，解得p ＝2或p ＝4． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y ．17．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3． 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3． 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．18．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1．设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10， 解得k ＝－16或16．19．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3．(1)求抛物线E 的方程．(2)已知点G(-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切． 【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ． (2)因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2,由抛物线的对称性, 不妨设A(2,2), 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．方法二:(1)同方法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==．又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
高中数学 错误解题分析 2-4-2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质双基达标 限时20分钟1．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是 ( )．A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3³12－2³0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.答案 A2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为 ( )．A ．213B ．215C ．217D ．219解析 不妨设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1>x 2.由直线AB 斜率为－2， 且过点(1，0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝2＋3，x 2＝2－3，代入直线AB 方程得y 1＝－2－23，y 2＝23－2.故A (2＋3，－2－23)，B (2－3，23－2)．|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝215. 答案 B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析 抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得 y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x＝－1. 答案 B4．抛物线顶点在坐标原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析 ∵过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍． ∴所求抛物线方程为x 2＝±16y . 答案 x 2＝±16y5．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →²AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析 ∵抛物线的焦点为F (1，0)，设A (y 024，y 0)，则OA →＝(y 024，y 0)，AF →＝(1－y 024，－y 0)，由OA →²AF →＝－4，得y 0＝±2， ∴点A 的坐标是(1，2)或(1，－2)． 答案 (1，2)或(1，－2)6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴． 解 (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .综合提高（限时25分钟）7．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )．A.13B.23C.23D.223 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，①∵|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|FA |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2.②由①②得x 2＝1，∴B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.故选D.答案 D8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M ，N 两点，自M ，N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1，N 1，则∠M 1FN 1等于 ( )． A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 解析 如图，由抛物线的定义，得|MF |＝|MM 1|，|NF |＝|NN 1|. ∴∠MFM 1＝∠MM 1F ， ∠NFN 1＝∠NN 1F .设准线l 与x 轴的交点为F 1， ∵MM 1∥FF 1∥NN 1， ∴∠MM 1F ＝∠M 1FF 1， ∠NN 1F ＝∠N 1FF 1.而∠MFM 1＋∠M 1FF 1＋∠NFN 1＋∠N 1FF 1＝180°， ∴2∠M 1FF 1＋2∠N 1FF 1＝180°，即∠M 1FN 1＝90°. 答案 C9．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A ，B 的抛物线方程是________．解析 该等边三角形的高为32.因而A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，－12.可设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)．A 在抛物线上，因而p ＝±312.因而所求抛物线方程为y 2＝±36x . 答案 y 2＝±36x 10．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)．直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，2)，则直线l 的方程为________． 解析 抛物线的方程为y 2＝4x ，设直线l 与抛物线C 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减得，y 12－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 答案 y ＝x11．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y ，得 4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2 ＝p －22，x 1x 2＝14.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5（p －22）2－4³14＝15. 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6.∴y 2＝－4x 或y 2＝12x .12．(创新拓展)如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A 、B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)证明直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即A 点的坐标为(2k 2，2k)．同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得B 点的坐标为(2k 2，－2k )． ∴AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k 2(x －2k 2)， 化简并整理，得(1k－k )y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数，当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2，0)．(2)解 由于AB 所在直线过定点P (2，0)，所以可设AB 所在直线的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x 并整理得y 2－2my －4＝0.∴y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4.于是|y 1－y 2|＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝（2m ）2＋16＝2m 2＋4.S △AOB ＝12³|OP |³(|y 1|＋|y 2|)＝12|OP |²|y 1－y 2|＝12³2³2m 2＋4＝2m 2＋4.∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.。
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲(教师版)
专题 3.11
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点 F 叫
作
抛(2)物Fra bibliotek线的
焦
集
点
，
合
直
线
l
语
叫
作
抛
言
物
线
的
准
线
表
设点 M(x,y)是抛物线上任意一点，点 M 到直线 l 的距离为 d，则抛物线就是点的集合 P={M||MF|=d}.
最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型 1
动点的轨迹问题】
【方法点拨】
根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点 F，和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹，
因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.
高考复习材料
【例 1】（2024·上海市高三开学考试）在平面上，到点(1,0)的距离等于到直线 + 2 = 3的距离的动点
（
）
A．2 = 4
B．2 = −4
1
1
C．2 = 2
D．2 = −2
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为2 = , ≠ 0，于是得22 = ⋅ (−1)，解得 = −4，
所以所求抛物线方程是2 = −4.
故选：B.
【变式 4-1】（2024·全国·高三专题练习）焦点在直线3−4−12 = 0上的抛物线的标准方程为（
4，则抛物线的标准方程为（
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能力拓展提升
一、选择题
10．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()
A．4B．6C．8D．12
[答案] B
[解析]本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
11．已知A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()
A．x－p＝0 B．4x－3p＝0
C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0
[答案] C
[解析]如图所示：
∵F为垂心，F为焦点，OA＝OB，∴OF垂直平分AB.
∴AB为垂直于x轴的直线
设A为(2pt2,2pt)(t>0)，B为(2pt2，－2pt)，
∵F为垂心，∴OB⊥AF，∴k OB·k AF＝－1，
即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2
＝54 ∴AB 为x ＝2pt 2
＝5
2p ，∴选C.
二、填空题
12．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为______．
[答案] (－9，－6)或(－9,6)
[解析] 由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p
2－(－9)＝10，
∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .
将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)．
13．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.
[答案] 8 [解析]
如图，k AF ＝－3， ∴∠AFO ＝60°，
∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题
14．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切． [解析] 如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，M 为AB 的中心，作MM ′⊥l 于M ′，
则由抛物线定义可知|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 在直角梯形BB ′A ′A 中，|MM ′|＝1
2(|AA ′|＋|BB ′|) ＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2|AB |，
即|MM ′|等于以|AB |为直径的圆的半径． 故以|AB |为直径的圆与抛物线的准线相切．
15．一抛物线拱桥跨度为52m ，拱顶离水面6.5m ，一竹排上载有一宽4m ，高6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y . 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－1
26， ∵6.5－1
26>6，∴能通过．
16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．
(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
[分析] (1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．
[解析]
(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又F (3
2，0)，所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．
联立⎩⎨⎧
y 2＝6x ，y ＝3(x －3
2)，
消去y 得 x 2－5x ＋9
4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ， 所以|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知
|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－3
2，所以M 到准线的距离为3＋32＝9
2.。