02 初等模型

问题分析
左轮盘
录像带运动
右轮盘半径增大
计数器读数增长变慢 右轮转速不是常数
录像带运动速度是常数
模型假设
• 录像带的运动速度是常数 • 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 与右轮转数 成正比 成正比， ； w； ；
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 录像带厚度（加两圈间空隙） • 空右轮盘半径记作 • 时间
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A ） 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算 B(n1+1, n2) ） 应计算r 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算 A(n1, n2+1) ） ， 应计算r 是否会出现？ 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
甲系11席 乙系6 丙系4 甲系11席，乙系6席，丙系4席 11
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 。 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N)， 自然应有n 自然应有 ， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数， 和 均为整数， 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
∑ 2π (r + wi ) = vt
i =1
m
m = kn
2 π rk n + n v
2
t =
π wk
v
2
模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 变化， 乘以转过的长度， 乘以转过的长度，即
2 2
3. 考察 到t+dt录像带在 考察t到 录像带在 右轮盘缠绕的长度， 右轮盘缠绕的长度，有
第二章
初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.8 启帆远航
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系 ，丙系 ），代表 名 甲系 ），代表 三个系学生共 ，乙系60，丙系40）， 会议共20席 按比例分配，三个系分别为10， ， 席 会议共 席，按比例分配，三个系分别为 ，6，4席。 席如何分配。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 席如何分配 现因学生转系，三系人数为 若增加为21席 又如何分配。 若增加为 席，又如何分配。
π [( r + wkn ) − r ] = wvt ( r + wkn ) 2π kdn = vdt
⇓
t =
⇓
2
π wk
v
2 π rk n + n v
2
思 考
3种建模方法得到同一结果
∑
m
2 π ( r + wi ) = vt
2 2
i =1
π [( r + wkn ) − r ] = wvt
t=
π wk
思考 要求
计数器读数是均匀增长的吗？ 计数器读数是均匀增长的吗？ 不仅回答问题， 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 录像带转过时间的关系。
观察
计数器读数增长越来越慢！ 计数器读数增长越来越慢！ 录像机计数器的工作原理
右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 录像带运动方向 0000 计数器
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给A 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 rA, rB的定义
n 2 ( n 2 + 1)
2 p2
<
n1 ( n 1 + 1 )
v
2
( r + wkn ) 2π kdn = vdt
2π rk n + n v
2
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。 但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思 考
模型中有待定参数
r , w, v , k ,
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 不全为整数时， 应满足的准则： 不全为整数时 方向取整； 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整； 方向取整. [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） 比例加惯例” ），但不满足 ） 比例加惯例 ）， Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！ 值方法满足 ） ） 令人遗憾！
“公平”分配方 公平” 公平 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 − p2 / n2 的 = rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2) 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n 若增加1席 问应分给A, 还是B 设A, B已分别有 1, n2 席，若增加 席，问应分给 还是 已分别有 即对A不公平 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对 不公平
另一种确定参数的方法——测试分析 测试分析 另一种确定参数的方法
t = an 2 + bn , 只需估计 a,b 将模型改记作
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组 n)数据即可 再有一组(t, 数据即可 理论上，已知 实际上，由于测试有误差， 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： 现有一批测试数据： t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051 60 2760 160 5525 80 3413 184 6061 用最小二乘法可得
2 p1
该席给A 该席给 否则, 该席给B 否则 该席给
p i2 , i = 1, 2 , 该席给 值较大的一方 定义 Q i = 该席给Q值 ni ( ni + 1)
推广到m方 推广到 方 分配席位
p i2 , i = 1, 2， , m L 计算 Q i = ni ( n i + 1)
该席给Q值最大的一方 该席给 值最大的一方
a = 2 . 61 × 10 − 6 , b = 1 . 45 × 10 − 2 .
模 型 检 验
应该另外测试一批数据检验模型： 应该另外测试一批数据检验模型：
t = an + bn ( a = 2 . 61 × 10 , b = 1 . 45 × 10
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ−6
−2
)
模 型 应 用
回答提出的问题： 回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 分 分钟的节目。 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 分钟的节目 揭示了“ 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时， 即可。 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
“公平”分配方 公平” 公平 法 人数 席位
A方 方 B方 方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 的 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的 虽二者的绝对 不公平度相同 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的 但后者对 的不公平 程度已大大降低! 程度已大大降低!
1032 632 342 = 96.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4
Q1最大，第20席给甲系 最大， 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果
Q3最大，第 最大， 21席给丙系 席 公平吗？ 公平吗？
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 个席位 三系用 值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕