[平面几何教法研究 ]2关于平面几何课入门阶段的教学
探究平面几何的入门教学
探究平面几何的入门教学七年级学生，第一学期就开始学习几何。
俗话说：“万事开头难” 初学者学习起来有时会不适应，觉得很难，甚至中学高部有的学生也觉得学好几何比学好代数难，究其原因在于几何研究的对象、过程、思维方式、语言的表达与代数有较大的区别，并且几何的语言是人们从长期的实践中抽象提炼而成的，具有概括性、抽象性、逻辑性较强等特点。
因此，在教学中，教师要把好学生几何的“入门”关。
下面结合自己的探索实践，谈几点自己粗略的见解和体会。
一、正确理解和掌握好基本概念。
几何概念，文字语言精炼、严密，教学中，要引导学生养成“咬文嚼字”的良好习惯，有的概念的教学方法可以用学语法和划分句子成分的方法，找出语句中的主干，抓住概念的关键词，可以加深对概念的理解。
如教“两点间的距离”这个概念时，不少学生会理解成“连接两点间的线段”。
但如果划分这个概念的句子成分：（连接两点的）（线段的）长度叫做（两点间的）距离，句子的主干为“长度”叫做“距离”，这样浅而易见：“两点间的距离”是“长度”，是一个正数，而不是线段这个图形。
这样教学，就能使学生正确理解这个概念了。
还有的概念的教学方法可以运用反例对比，正确理解概念的本质。
如图（1）, 则正确表达了/ 1与/2是对顶角，图（2）的三个图表示/ 1与/2 不是对顶角。
对于一些相近的概念，教学时可以采用对比分析的方法，要分清它们之间的联系和区别，如教学直线、射线、线段的概念时，这三个概念既有联系又有区别，教学时可用对比方法找出它们的共同点，更重要的是找出它们的不同点，这样就可以排除共同因素的干扰，从而使概念更清晰，理解更深刻。
二、强化“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”的互化。
几何中常用的“语言”有三种，即“文字语言”，如定义、定理、公理等用“文字”的表达方式；“图形语言”是根据“文字语言”画出图形；“符号语图（1）言”即结合图形用一定的数学符号来表达相关的数量关系或位置关系。
如“文字语言”为“点D是线段AB的中点”，用“图形语言”表示为图（3），用“符号语言”可表示为“ AD=BL=1 AB"2或“ AB=2BD‘或“AB=2AD'。
论初中平面几何的入门教学
论初中平面几何的入门教学从学习代数转到学习平面几何，产生了三个变化：学习的内容从以“数”为主变为以“形”为主；培养的能力从以“运算”为主变为以“推理”为主；使用的语言从以“代数语言”为主变为以“几何语言”为主。
因此学生在开始学习平面几何时，往往会感到困难。
表现在对图形不太熟悉，语言不太习惯，概念不易理解，推理论证更是不易掌握。
为了使学生能学好平面几何，抓好平面几何的入门教学是非常重要的。
解决好以下三个问题是搞好平面几何的入门教学的关键。
第一．激发学生学习平面几何的兴趣，是搞好入门教学的前提。
一开始学习平面几何就要让学生对它产生浓厚的兴趣，上好引言课是非常重要的，要用生动的语言介绍平面几何发展的历史，选择一些有趣的几何问题让学生思考和操作，举一些容易产生视错觉的例子让学生观察，发现问题（如上图）。
还可以介绍平面几何在生产和生活实际中的应用，以提高学生学好平面几何积极性和自觉性。
在学习平面几何知识时注意联系日常生活实际，结合几何图形举一些生活有趣味的例子，让学生观察、思考和动手操作，还可以设计一些教具和学具进行演示和实验，帮助学生理解所学的知识，选择一些内容启发学生自己猜想和探索，这些都有助于提高学生学习的兴趣，为搞好入门教学奠定基础。
第二．重视几何概念教学是搞好入门教学的关键。
平面几何入门教学的特点之一，是概念多，一下子出来很多概念，学生不容易理解和掌握，因此抓好概念教学对于进一步学习平面几何是至关重要的。
要注意以下几点：⒈区别情况，分别对待⑴不加定义的原始概念，如点、直线、连结、延长等，只要求学生正确理解，准确地运用于画图或表述。
⑵虽有定义但涉及内容较少的概念，如端点、角的边和顶点等，这些概念比较简单，不是教学的重点。
⑶一些基本的、常用的概念，既有定义，还有判定定理和性质，如平行线、等腰三角形等，这些概念比较重要，对以后的学习影响较大，必须要求学生在理解的基础上，较熟练地掌握，并能正确运用。
⒉从实例引入，在丰富感知的基础上，抽象出概念的本质属性利用实物、教具模型和图形等形式，通过学生观察、画图、度量、实验等手段来引入概念，形成丰富的感性知识，然后通过分析、比较、抽象和概括提高到理性认识，抓住概念的本质属性。
平面几何入门教学的思考与策略
平面几何入门教学的思考与策略平面几何是数学中的一个重要分支，也是初中数学教学的一部分。
对于初学者来说，平面几何可能会让人感到有一定的难度，在教学中我们需要考虑一些思考和策略来帮助学生更好地理解和掌握这个知识点。
我们需要明确教学的目标。
平面几何的目标是使学生掌握基本的图形的性质、特征和定理，能够正确运用这些知识解决与平面几何相关的问题。
在教学中，我们要注重培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
我们需要合理安排教学内容和教学方法。
在内容上，我们可以分为基础内容和拓展内容两部分。
基础内容主要包括图形的命名、测量、分类等基本概念和性质，以及直线、角、三角形、平行四边形等基本图形的性质和定理。
拓展内容可以包括相似三角形、圆、重心、垂心等进阶知识点。
在教学方法上，我们可以采用讲授与实践相结合的方法。
可以使用教具、示意图等辅助工具，进行直观展示和演示，帮助学生更好地理解和记忆知识点。
可以设计一些练习题和问题，让学生动手解决，培养他们的解决问题的能力。
我们还可以采用启发式的教学方法。
通过设计一些引导性的问题，让学生自己发现和探索知识点，培养他们的发散思维能力和自主学习能力。
在教学过程中可以提出一些问题，如“如何判断一个三角形是等边三角形？”“如何找到一个圆的圆心？”等等，让学生自己思考和探索，并给予适当的引导和指导。
我们要注重巩固和拓展知识。
平面几何是一个基础知识，很多高级数学知识都建立在平面几何基础上。
在教学过程中，我们要不断巩固和拓展学生的知识，并与其他知识点进行联系和应用。
可以设计一些综合性的训练题，让学生运用所学的知识解决综合性问题，提高他们的综合运用能力。
平面几何入门教学需要考虑思考和策略，明确教学目标，合理安排教学内容和方法，采用启发式的教学方法，注重巩固和拓展知识。
通过这些方法和策略，帮助学生更好地理解和掌握平面几何，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
平面几何入门教学的思考与策略
平面几何入门教学的思考与策略作为平面几何学科的入门教学，我们需要思考和制定恰当的教学策略，从而使学生能够理解和掌握平面几何的基本概念、性质和推理方法。
下面将从几个方面探讨平面几何入门教学的思考与策略。
一、知识框架的建立在建立知识框架时，我们可以从基本概念、基本定理、基本性质入手，逐步形成点、线、面、角等基本要素的概念体系，然后引入三角形、平行四边形、梯形、圆等基本图形，建立相应的定理、性质体系，最后涵盖各种几何关系和形状结构，形成一个完整的知识体系。
二、教学方法的选择平面几何教学中应采用的方法不仅包括知识讲解、示范演示、习题训练等常规教学方式，还应注意启发式教学、探究式教学等教学模式的运用。
启发式教学是指在教学过程中通过一些巧妙的引导，使学生在自己思考、发现和推理的基础上，达到认知上的升华和知识理解的提高。
在平面几何教学中，通过引导学生自主发现和推导，让学生在实践中不断掌握几何图形、定理性质和推理方法，提高学习兴趣和探索精神。
探究式教学是指以问题为导向，培养学生自主解决问题的能力和方法，让学生在探索实践中深入理解知识，获得实际应用的能力。
在平面几何教学中，可以提出一系列具有实际背景的问题，引导学生自主探究、分析和解决问题，锻炼学生的逻辑思维和实践能力。
三、教学重点和难点的突出在平面几何入门教学中，特别需要突出教学重点和难点，深入剖析和讲解一些较难的定理和推理方法，梳理重点知识点和重点难点的学习方法和技巧，让学生在掌握入门知识的基础上深入了解和掌握相关定理和推理方法，提高解题能力。
在平面几何教学中，常见的难点有：应用相对位置逻辑解题，根据延长线互相分割的性质解题，三角形的相似、全等性质等等。
在教学中，需要针对性地分析和讲解这些难点，学生的解题方法和技巧，提高学生的解题效率和正确率。
总之，平面几何的入门教学需要有清晰的知识框架和教学方法，强调启发式教学和探究式教学的应用，突出教学重点和难点的讲解和解决，从而提高学生平面几何的基础知识、推理方法和解题能力。
平面几何入门教学论文
浅谈平面几何入门教学平面几何是一门基础学科，是学好理科的关键之一。
平面几何也是所有学生进入初中后感到学习难度较大的课程之一。
因为几何与代数有不同之处，代数易于按照法则公式运算，而几何不仅要研究图形，还要按照逻辑推理进行论证。
为此，平面几何入门知识教学至关重要。
一、要重视基础知识的教学首先要重视基本概念的教学。
几何的概念、公理、定理都是平面几何教学的核心内容，是几何基础知识的起点，对一些原始概念如点、直线、射线、线段、边、角等，只要求知道并理解就可以了，而对于以后常用的概念，如垂线、平行线、中垂线、角平分线等，则不仅要求学生理解，而且还要求记得牢，会表达会应用。
对一个概念的建立，不仅要从正面分析，抽象认识，有时还要通过反例来加深对概念本质的理解。
合理使用数学语言，用学生都能理解的方式陈述定义，引导学生多角度全方位地理解数学概念。
从而提高学生分析问题解决问题的能力。
二、要重视学生的识图、作图能力几何教学离不开图形。
学几何首先要具备识图能力，充分认识图形的本质特征，分清相关图形或类似图形的联系与区别，并且能在复杂的图形中突出所要研究的图形及识别变式图形。
使学生能从复杂图形中分出基本图形，并能认识各种图形中间的联系。
还可以运用直观教具或运用旋转、平移变换图形的方式让学生根据变化画出图形，从而直观、清楚地看出一些几何概念和题目的特征，以增强识图能力。
三、要注重培养学生几何语言表达能力几何语言是学生理解和表达几何概念、叙述作图步骤和进行必要的论证推理所必不可少的工具。
因此教师要结合图形引导学生理解语言准确的重要意义，要通过学生的叙述，逐步使学生的几何语言由不规范到准确。
如“两直线平行，同旁内角互补。
”前者是平行线的性质，后者则是平行线的判定。
它们的几何语言要求是非常严密的，如果顺序颠倒则意义不同。
由此看来正确理解几何语言是提高平面几何学习能力的基础。
因此，在几何学习的初始阶段，就要有意识地使学生受到锻炼，从教师示范，学生模仿，教师帮助修正，到学生独立完整准确为止。
平面几何入门教学的思考与策略
平面几何入门教学的思考与策略平面几何是数学中的一个重要分支，其基本概念和方法对于培养学生的逻辑思维、几何直观能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
在进行平面几何的入门教学时，我们应该考虑以下几个方面的思考与策略。
我们需要从学生已有的知识和经验出发，引导他们理解几何概念和推理方法的基本思想。
在引入点、线和面的概念时，可以先从学生所熟悉的实际物体如桌子、书本等的几何属性入手，引导学生认识到点是没有体积和形状的，线是由一系列相邻的点组成，面是由一系列相邻的线和点组成。
我们应该注重培养学生的几何直观能力。
几何直观能力是指学生对几何对象的形状、位置和关系进行感性把握和直观推理的能力。
在教学过程中，可以通过观察和探究几何模型、利用实际问题进行几何推理的训练，以培养学生的几何直观能力。
在讲解角的概念时，可以用直观的图形来说明什么是角，并引导学生观察和比较不同大小的角的特征，培养学生对角的直观感受和推理能力。
我们应该注重培养学生的逻辑思维和证明能力。
平面几何的推理过程是基于逻辑思维的，学生通过分析几何关系、应用几何公理和性质，从而得出结论。
我们要通过讲解几何原理和推理方法的基本思想，引导学生进行严密、科学的证明过程。
在教学中，可以通过举一反三、问题引导等方式，培养学生的逻辑思维和推理能力。
在讲解平行线的性质时，可以引导学生从不同的角度思考、比较真实场景中的平行线，并通过观察和推理找到平行线的共同特征，进而利用证明方法进行证明。
我们应该注重培养学生的解决实际问题的能力。
平面几何不仅仅是一个理论体系，更是一个实际问题解决的工具。
在教学过程中，要注重将几何知识与实际问题相结合，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
在讲解相似三角形时，可以引导学生通过观察和测量找到相似三角形之间的特征，进而运用相似性质解决实际问题，如测量高楼的高度等。
平面几何的入门教学应注重引导学生理解几何概念和推理方法的基本思想，培养学生的几何直观能力、逻辑思维和证明能力，以及解决实际问题的能力。
略谈平面几何的入门教学
略谈平面几何的入门教学平面几何是研究平面图形性质的一门学科，它是初中数学的一个重要内容。
实践证明：平面几何教学对于培养学生严格的数学推理方法，对于培养学生逻辑思维能力和分析、解决问题的能力，具有不可低估的作用。
在初中第一学期就开始学习平面几何，由于之前学生所接触的内容是数及其运算，而平面几何一开始就出现了大量的概念及基本事实，学生不易理解，一时也难以接受。
所以搞好平面几何的入门教学是提高初中数学教学质量的关键。
为此，我经过多年的教学摸索得到以下点滴体会：一、搞好小学与中学的衔接学生在学习平面几何以前所学的知识都是有关数的内容，而且是以算为主，很少学习推理论证，所以在讲平面几何之前要抓好小学的简单几何基础知识的复习，因为小学里已经介绍了线段、三角形、正方形、圆、角的度量、垂线、平行线的概念，如能把这些知识作一个系统的复习或穿插到新课里进行复习，这对几何的入门是有帮助的。
小学的简单几何基础知识与初中平面几何的开始部分，从内容上看，有些知识的叙述是相同的，有些有比较大的差别。
根据这种情况采用知识对照，区别异同。
例如：在讲线段时初中的叙述方式与小学基本上一致，不同之处在初中增加了线段的表示法，通过这样的对比，加深了学生对概念的理解，促进了知识的深化。
二、搞好直观教学学生从数的学习转入到对形的研究，开始学习几何时，概念、定义、基本事实一拥而至。
掌握好这些基本概念、定义、基本事实是学好几何的基本条件。
我在多年的教学实践中发现，要充分利用几何的直观性，反复给学生感观，使其形成印象。
例如：在学习平行线和相交线时，用多媒体显示实际生活中所出现的平行线和相交线的实例。
又如，在讲角的概念时，就可以利用教学用的圆规，张开圆规的两脚，向学生展示角的形象。
圓规两脚张开的程度，又展示了角的大小概念，而且两脚张开的过程，有说明了角形成的过程。
对于有些几何的基本事实，自己制作一些几何模型，让学生动手，老师指导，就可以加深学生对它的掌握和理解。
平面几何起始课教学
浅谈平面几何起始课教学为了激发学生对平面几何兴趣，改变平面几何难入门情况，在总结过去经验教训的基础上，我们逐步摸索出抓好起始课的教学、注意有步骤地扫除障碍的办法，获得了一点收效。
下面谈点教学体会。
一、起始环节，重视导入教师如果每节课都以今天我们学习什么作为引入学生，既感知不到教学目标的重要性，又体会不到教学内容的趣味性，一开始就处于被动状态，课堂气氛沉闷，学生感到乏味，学习效果不佳。
反过来，如果认真设计每节课的课前导入，一开始就抓住学生的心理，使之产生浓厚的学习兴趣，（1）可创设情景引入，通过多媒体展现神六太空运行轨迹，工业产品的设计图，房屋建筑设计图，演示木工弯尺、建筑工人铅锤吊线的应用，借几何模型让学生观察，（2）课前让同学事先收集在生活、学习中由点、线、多边形和圆等图形组合的图案（国旗、公司或单位的标志等）再与同学交流它们是由哪些图形组成，从而认识到简单图形的应用的广泛性，（3）带同学们去参观一些建筑，让学生体会、感知到建筑物的形状千姿百态，这些千姿百态的建筑物美化了我们的生活空间，它是由许多几何图形组成的。
使学生体会到生活中处处都有几何的应用，几何给人类带来诸多的好处，从而激发学生的欲望，他们急于想获取这些知识，因而参与教学的积极性空前高涨，其主体作用自觉地发挥出来，使几何的起始课堂教学有个良好的开端。
二、及时小结、步步提升七年级下册第八单元学三角形。
三角形是平面几何的核心，后继章节几乎处处和三角形有关，而三角形全章的教学又是本章的重点。
因此，这一章的教学必须切实抓好。
我们从教学实际出发，教学上做到及时总结，步步为营，力求使学生学得巩固扎实。
（一）抓好概念，渗透说理第一单元介绍了三角形的有关概念、三角形的内角和及外角的性质、三角形三边的关系、以及多边形的内角和与外角和等。
这些知识都是教学“三角形全等”的预备知识。
学习这些概念的同时已渗透数学说理，教师应充分地给予引导和示范。
如三角形外角和公式的推理过成，要使学生学会说理，要引导学生利用线段的基本性质说明三角形的三边关系，对三角形的稳定性，要让学生通过实践去感受等。
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[平面几何教法研究 ]2关于平面几何课入门阶段的教学
平面几何课的入门阶段，并无公认的确切范围．在这里，仅就一般的大致体会，把现行课本中的标题为“基本概念”的第一章和标题为“相交线、平行线”的第二章的内容作为入门阶段的内容．
一、教材内容概述
这部分内容，主要有以下各项：
1．基本概念．明显反映出点、直线、量及有关的公理，“两点确定一条直线”、“等量公理”、“不等量公理”、“移形公理”．
2．射线、线段的概念，“两点间线段最短”公理，两点间距离的概念，线段的度量与计算．
3．角的概念，角的度量与计算，角的大小的比较，角的分类，垂直线的概念，点与直线间距离的概念，余角、补角、邻角、对顶角的概念及有关的性质．
4．平行线的概念，平行公理，平行线的判定和性质．
5．基本作图．
6．定义、公理、定理的概念，定理的证明．
二、教学目的
这部分内容涉及的方面是比较宽的，既含有基本概念和公理，也含有不少的定义、定理，还含有几何计算和几何作图的内容．从学生的基础来说，有不少的内容是初学，但也有些是他们在小学数学课中曾经学过的．众所周知，要使学生即使是初步地了解定义、公理、定理的含义以及初步了解与学习定理的推证方法，也得结合一些实例进行教学，才能取得预期的效果．因而在这部分的教学中，先不讲授定义、公理、定理的含义和定理证明的方法，而是先有实无名地使学生学习各项内容，以便既掌握了各项的内容，又容易理解定义、公理、定理的含义和定理的证法．对于各项基本作图题，也只要求学生掌握作法，而不作证明的要求．
因此，对这部分教学内容的各个方面的教学目的是有所不同的．概括起来，大致如下：
1．使学生了解几何学的研究对象；了解各个基本概念的含义；理解与牢记各个公理．
2．使学生掌握有关线段、角和平行线各项基础知识．
3．使学生了解定义、公理、定理的含义，并初步学习定理的推证方法及推证内容的书面表达方法．4．使学生熟练利用常用的绘图工具——直尺、圆规、三角板、量角器解决“基本作图题”的技能．
三、教法方面的注意事项
1．上好导言课
长期以来，初中平面几何课的入门阶段的教学，常常不易取得良好的效果．究其原因，与学生不明确学习目的，不清楚数学的研究对象有很大关系．学生在学习几何课以前，他们认为学习数学，学的就是“计算”，别无所知．而几何课的入门阶段，涉及的计算问题不多且又非常简易，大部分是一些图形的概念和性质(公理和定理)．这就引起学生的“只背条文，索然无味”的感受．对于各项性质，又因事理明显、论述简单，学生也对何以需要推理论证感到困惑．凡此种种都抑制了学生的学习积极性，自然也就难以取得预期的学习效果了．
为此，作为新课开始的导言课，对于初中平面几何课来说，就有了突出的作用了．通过导言课，使学生明确数学的研究对象；几何学的研究对象；对学习几何课的各项要求等．
导言课可如下地进行：
(1)引导学生回忆在小学数学课中学过的几何内容及学习过，而后予以分析、整理，以显示由名称及含义(实即定义)到性质、再到公式(小学数学课中，几何知识最终落实到求积公式)的逻辑体系．
(2)介绍几何学的产生和发展概况，借以明确数学的研究对象，几何学的研究对象以及学习几何学的重要意义．
(3)指明学习几何课的一般要求及这些要求的必要性．
2．根据学生实际基础进行概念和性质的教学
关于几何课中知识的教学，在§1中已作了一般要求的论述．这里不再重复．但在入门阶段，由于有些内容已是学生在小学数学课中学过的，但掌握得不够，有必要重学，又不能按新知识进行教学——不能引起学生注意，因而应以复习形式出现，才能使学生注意力集中，取得良好的学习效果．如在平行线概念的教学中，可先使学生回忆并叙述“什么叫做平行线”；当学生答出“不相交的两条直线叫做平行线”后，以异面二直线的教具演示，使他们自己发现原答案不正确．而后再对照实例，得出正确的答案：同平面内不相交的两条直线，叫做平行线．
由于公理事理明显、论述简单，不能引起学生的重视，在教学中应以显出公理特点的办法引起学生重视，从而深刻的理解并记牢．如在公理“两点确定一条直线”的教学中，采取实践比较的过程来进行．即，先使学生过一个定点画直线，可知有无数条——解不定；再使学生过两个定点画直线，可知有且只有一条；再以问题形式使学生考虑并实验同时过三个定点能否有直线、有多少条，至发现未必有解后，比较并突出：只有同时过两个定点的直线才有唯一的解，其它情况或是解不定、或是未必有解．从而使学生认清这公理确是特殊的性质．
在定理(未出定理名称前，一般叫做性质)的教学中，也应根据学生的心理特征，先通过实验使他们理解并相信结论的正确，而后再教以推证方法(未讲定理证明前，暂把推证叫说理)，最后再写出推证的内容．这样既便于使学生理解，也为继续讲定理及定理的推证方法时，奠定良好的基础．如在定理“对顶角相等”的教学中，可先引导学生观察两条交于O点的直线AB、CD(图5－1)交出的4个角的关系，看出可分两类：一类是邻补角关系的；一类是非邻补角的关系．然后继之给对顶角定名释义．然后使学生度量两对对顶角的大小而得出结论∠AOC＝∠BOD，∠COB＝∠DOA．再教以说理的方法，而后写出说理的主要内容：∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD+∠AOD．
∴∠AOC＝∠BOD．
3．较详细地讲解定理的推证方法
在“定理的推证”的教学中，以及此后一段的教学中，学生常常不易按逻辑顺序把定理的推证内容表达得正确清楚．其原因之一，在于学生没经历过推证的复合三段论法，而只学简化的三段论法的缘故．复合三段法指的是推证的过程不止用一次三段论法时，就把这种推证方法叫做复合三段论法．在数学中，对于定理的推证内容，并不详尽完整地表达成复合三段论法的形式，而反映的是简化了的三段论法．这样，初学的学生如果一开始就学简化的三段论法，由于不知是怎样简化的，自然就会产生不合逻辑顺序的“推证”了．因而在教学中，应把复合三段论法的内容显示给学生，如何简化取舍也显示给学生，才能使学生认清推证的逻辑顺序．如仍以定理“对顶角相等”的推证为例：
已知如图5－1，直线AB和CD交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角．
求证∠AOC=∠BOD．
证明
(复合三段论法)
∵两补角的和等于180°，
现在∠AOC和∠AOD是互补的角，∠BOD和∠AOD是互补的角，
∴∠AOC＋∠AOD=180°，∠BOD＋∠AOD=180°．
∵等于同一个量的两个量相等，
现在∠AOC＋∠AOD、∠BOD＋∠AOD都等于180°，
∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD＋∠AOD．
∵等量减同一个量所得的差相等，
现在∠AOC+∠AOD、∠BOD＋∠AOD是等量，∠AOD是同一个量，
∴∠AOC＋∠AOD-∠AOD＝∠BOD＋∠AOD-∠AOD．
即∠AOC=∠BOD．
(简化的三段论法)
∵∠AOC和∠AOD互补，∠BOD和∠AOD互补(已知)，
∴∠AOC＋∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD＝180°(补角定义)．
∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD＋∠AOD(等量公理)．
∴∠AOC＝∠BOD(等量公理)．
经过一段时间这样的对比，学生便能在理解的基础上，无误地把定理的推证表达清楚了．。