函数yAsin(x )的性质(1课时)
函数YASIN(X )的图象教学案例
函数y＝Asin(ωx+φ)的图象教学案例一、教材分析1、教材的地位和作用本节课内容是在前面学习了正弦、余弦函数的图象和性质的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类型：函数y＝Asin(ωx+φ)的图象。
揭示参数φ、ω、 A对函数图象变化的作用和物理意义，在解决这个问题的过程中贯穿了由简单到复杂、由特殊到一般的化归数学思想，让学生深刻认识图像变换与函数的解析式变换的内在联系。
同时为相关学科的学习打下扎实的基础。
因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。
2、数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示类比、归纳、数形结合等数学思想方法。
3、学情分析:学生已经学习了正弦曲线y=sinx的图象和五点作图法，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力；学生初步形成对数学问题进行合作探究的意识与能力，但逻辑推理能力比较薄弱。
由于本校是面上中学，因此将本节内容分为两个课时，本节是第1课时。
4、教学的重点和难点（1）重点:利用五点作图法正确找出φ、ω、A单独作用下的函数图象变换规律.（2）难点: φ、ω、A三个参数对函数图象的影响规律的概括。
二、教学目标1、知识与技能（1）熟练掌握五点法作图的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握φ、ω、A的含义；（3）理解并会运用平移变换、周期变换、振幅变换的规律。
2、过程与方法要求学生能利用五点作图法，正确做出图像；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提炼，加以应用；培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
三、教学方法1、教法分析：本节课以“探究——归纳——应用”为主线，通过设置问题情境，引导学生自主探究，在教师的指导下总结规律，并能应用规律分析问题、解决问题。
正弦函数、余弦函数的性质(一) 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
(1)y=sin
-
1 2
x+ 3
,x∈R;
T= 2π =4π 1 2
(2)y=|cos 2x|,x∈R.
y
T=
π 2o2来自x22．已知 f(x)＝2cosπx，则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________. 3
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
+
π 18
(k∈Z )时，ymax=2
x= kπ-
π 12
(k∈Z )时，ymin=-2
令3x+
π 3
=
2kπ
-
π 2
5π x=kπ + 12
(k∈Z )时，ymax=4
x=
2kπ 3
-
5π 18
(k∈Z )时，ymin=-2
二.周期函数的概念
由正、余弦函数的图象可知, 正、余弦曲线每相隔2π个单位重复出 现， 这一规律的理论依据是什么？
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
【答案】A
【解析】因为 f x x cos x sin x ，则 f x x cos x sin x f x ，即题中
所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 CD 错误；且x 时，
y cos sin 0 ，据此可知选项 B 错误，故选 A。
于是
2sin
1 2
x
π 6
2π
2
sin
1 2
x
π 6
，
原函数的周期为4π
所以
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
高中数学三角函数函数yasin(ωxφ)的图象与性质函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质
跟踪演练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图象，只要将 y＝sin 2x 的
图象( )
A．向左平移π8个单位
B．向右平移π8个单位
C．向左平移π4个单位
D．向右平移π4个单位
第十二页，共三十页。
解析 y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2 ＝cos2x－π4＝cos2x－π8－π4 若设 f(x)＝sin 2x＝cos 2x－π8－π4， 则 fx＋π8＝cos2x－π4，∴向左平移π8个单位．
第二十七页，共三十页。
(2)y＝sin x―周―期―变―换→y＝sin ωx―相―位―变―换→
y＝sin[ω(x＋ωφ )]＝sin(ωx＋φ)―振―幅―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)． 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换 后相位变换，平移|ωφ|个单位．
指出其变换步骤．
第二页，共三十页。
1 预习(yùxí)导学
实
2 课堂(kètáng)讲义
3 当堂(dānɡ tánɡ)检测
功
第三页，共三十页。
挑战自我，点点落
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成
[知识(zhī shi)链接]
1．“五点法”作图 画正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) ．
第二十六页，共三十页。
课堂(kètáng)小结
1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)
的图象，其变化(biànhuà)途径有两条：
(1)y＝sin x―相―位―变―换→y＝sin(x＋φ)―周―期―变―换→ y＝sin(ωx＋φ)―振―幅―变―换→y＝Asin(ωx＋φ)．
yAsin(ωxφ)的图象(第一课时)说课稿
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第一课时)》说课稿大家好!我今天说课的题目是《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》，内容选自于新课标实验教材(人教版A 版)必修4第一章三角函数的第5节. 我将从教学理念；教材分析；教学目标；教法、学法；教学过程；教学评价六个方面来陈述我对本节课的设计方案．一、教学理念新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．共3课时，本节课是第一课时．本节课倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过用“五点法”画函数y＝sin(ωx+φ)的简图，以及由函数y＝sin x 的图象得到函数y ＝Asin(ωx+φ) 图象的变换过程．依据《课标》，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．三、教学目标［知识与技能］通过“五点作图法”正确找出函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ) 的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数y＝Asin(ωx+φ)的简图。
［过程与方法］通过引导学生对函数y＝sin x到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；［情感态度与价值观］课堂中通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．教学重点:用参数思想分层次,逐步讨论字母φ,ω, A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y＝Asin(ωx+φ)图象的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.四．教法、学法教法教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，采用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．学法在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．五、教学过程（六问二练）一．设置情境问题1：函数的y＝Asin(ωx+φ)图象可由五点法作图进行，它们的五个关键点是什么？设计意图:正中“五点作图法”的要害，既复习了旧知，又为学生准确使用本节课将要用到的工具提供必要的保障．问题2：对于函数y＝Asin(ωx+φ),当A=1, ω=1, φ=0时,就变成了基本的正弦函数y＝sinx.由此猜想y＝Asin(ωx+φ)的图像能不能由y＝sinx的图像变换得到?如何处理?设计意图:新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．二．探索研究问题3：如何由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝sin(x+φ)的图像; 函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asinx的图像; 函数y ＝sin x的图象变换得到函数y＝sinωx的图像?设计意图:激发兴趣、提供平台学生在碰到这个问题时，很感兴趣，问题4：如何由函数y=sin（x+φ）的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象？培养学生的合作意识和合作能力首先要求学生独立思考，然后引导学生小组交流讨论，先由学生总结，再由其他同学和教师补充、质疑、评价或解答，培养学生的合作意识和合作能力．问题5：如何由函数y＝sin(ωx+φ)的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx+φ)的图象？设计意图:培养学生变换的思维能力；深化知识提高学生的应变能力三．课堂小结：本节课主要学习了通过“五点作图法”正确找出函数y＝sinx到y＝sin(x+φ)和y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律．通过本节课的学习，同学们要学会善于探索、合作、独立、自信、创新．四．作业布置巩固本节课的知识点，力求作业题具备针对性六．教学反思与评价：函数y＝Asin(ωx+φ)的图象和性质是三角函数的难点内容之一，是研究与三角函数有关的数学问题的基础和工具，知识蕴含着分类讨论、数形结合的重要数学思想。
yAsinx图象性质课堂使用
x- 4 )
基础教学
16
课堂小节:
1.y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,A叫振幅,φ叫初 相.A,ω的变化引起___伸__缩_变换,φ的变化引 起___平__移_变换.
(横向变换可简记为:左加右减 ,小伸大缩) （纵向变换可简记为：大伸小缩）
基础教学
17
2.变换法作y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤:
引入：
函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什么特征？ A,ω,φ对图象又有什么影响? 如何作出它的图象？ 它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？
基础教学
1
探索研究
（1）函数 y A sin x与 y sin x 的图象的联系
例1．画出函数
y
2 sin x及
y
1 sin x（x R ）的简图． 2
基础教学
7
用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤:
第1步:y=sinx的图象向左平移π/3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象
第2步: y=sin(x+π/3)的图象
横坐标缩短到原来的1/2倍
(纵坐标不变) y=sin(2x+
π/3)的图象
第3步y: =sin(2x+ π/3)的y图象纵坐(横标坐伸标长不到变原)来的3倍y=3sin(2x+ π/3)的图象
3
个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度
基础教学
14
6、将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标
变为原来的３倍，纵坐标不变，再将所得
函数图象向左平移 个单位长度，得到的
高中数学精品课件：高一《函数y=Asin(wx@)的图像与性质》
1
o
2
y sin 1 x 2 4
3
2 2
-1
三、函数y=sinx(>0)图象
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 倍(纵坐标不变) 而得到的。
到原来的
1
例4: 如何由 y sin x 变换得
y 3sin(2x )的图象？ 3
24
（1）用五点法作出函数的图像；
（2）说明它由 y sin x图像经过怎么样的变
化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初 相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。
横坐标不变
函数 y 2sin x 、y 1 sin x 与y sin x
的图象间的变化关系。 2
y
3
2
y=2sinx
y=sinx
1
1
y= sinx
o
2
-１
2
2 x
3
2
-2
一、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1 时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐 标不变）而得到的。
5
3
6
3
y=sin2x
y=sin(2x+ )
3
5
3
2
x
函数 y Asin(x ) 中
A称为振幅
T 2 称为周期 | |
f 1 称为频率 x 称为相位
T
称为初相
例5.函数 y 2sin(3x ) 的振幅是
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是常见的三角函数之一，它们有着许多重要的性质。
其中之一就是它们的单调性，即在一定的定义域内，函数值是单调增加或单调减少的。
我们来讨论正弦函数的单调性。
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是自变量。
正弦函数的定义域是实数集，而值域是[-1,1]。
在定义域内，正弦函数是周期性函数，其周期是2π。
1. 正弦函数在每个周期内是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
正弦函数在[0,π/2]内是单调增加的，即当x1 < x2时，有sin(x1) < sin(x2)。
2. 在每个周期内，正弦函数的增长速度是不同的。
在[0,π/2]内，正弦函数的增长速度最快，当x接近π/2时，增长速度逐渐减小。
3. 在每个周期内，余弦函数在[π/2,π]、[π,3π/2]、[3π/2,2π]等区间内的单调性与[0,π/2]内相同。
即在这些区间内，当x1 < x2时，有cos(x1) > cos(x2)。
正弦函数在每个周期内从0到π/2是单调增加的，而余弦函数在每个周期内从0到π/2是单调减少的。
在其他区间内，它们的单调性与[0,π/2]内相同。
这些性质可以通过函数图像和函数的导数等方法进行证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§7 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质（1课时）
江门市杜阮华侨中学 杨清孟
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）进一步理解表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)，掌握A 、φ、ωx ＋φ的含义；（2）熟练掌
握由x y sin =的图象得到函数)()sin(R x k x A y ∈+ϕ+ω=的图象的方法；（3）会由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像讨论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。
2、 过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教学重、难点
重点:函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质。
难点: 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个问题。
教学用具:投影机、三角板 四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由x y sin =的图象得到函数)sin(ϕ+ω=x A y 的图象？ （2）如何用五点法作)sin(ϕ+ω=x A y 的图象？ （3）ϕω、、A 对函数)sin(ϕ+ω=x A y 图象的影响作用 函数[)0,0(,),0),sin(>ω>+∞∈ϕ+ω=A x x A y 其中的物理意义： 函数表示一个振动量时：
A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅” T ：ωπ=2T 往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f ：π
ω==
21T
f 单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
ϕ+ωx ：称为相位
ϕ：x = 0时的相位，称为“初相”
例一．函数)2
||,0,0(),sin(π<
ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象最
高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
解：易知：A = 2 半周期π=32
T ∴T = 6π 即
π=ω
π62 从而：3
1=
ω
设：)3
1sin(2ϕ+=x y 令x = 0 有1sin 2=ϕ
又：2
||π<
ϕ ∴6
π=
ϕ ∴所求函数解析式为)6
31sin(
2π+
=x y
例二．函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移
2
π个单位所得的曲线是
x y sin 2
1=
的图像，试求)(x f y =的解析式。
解：将x y sin 2
1=的图像向右平移2
π个单位得：)2
sin(21π-
=
x y 即x y cos 2
1-=的图像再将横坐标压缩到原来的
2
1得：x y 2cos 21-
=
∴x x f y 2cos 21)(-
==
例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x 的集合。
（1）y ＝sinx －2 (2)y ＝3
4sin
2
1x (3)y ＝
2
1cos(3x ＋
4
π
)
解：（1）当x ＝2k π＋
2
π
(k ∈Z)时，sinx 取最大值1，此时函数y ＝sinx －2取最大值－1；
当x ＝2k π＋
2
3π(k ∈Z)时，sinx 取最小值－1，此时函数y ＝sinx －2取最小值－3；
（2）、（3）略，见教材P59 例四．（1）求函数y ＝2sin(2
1x －
3π
)的递增区间； （2）求函数y ＝3
1cos(4x ＋
6
5π)的递减区间。
解：略，见教材P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材P60练习3 五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 六、布置作业: 习题1-7第4，5，6题． 七、课后反思。