高一新课第六讲：对应、映射和函数

1.2 函数的概念和性质 1.2.1 对应、映射和函数一、对应与映射的概念（一）映射的概念（1）先看几个对应的例子：两个集合A 、B 之间的一些确定的对应关系：（2）一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一．．．．确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从．集合．．A 到集合．．．B 的．一个映射．．．．（．mapp ．．．．ing．．．）．。

记作“:f A B →”。

其中A 为映射的定义域．．．．．．．。

若,a A b B ∈∈，元素a 与元素b 对应，即:()f a b f a →=，则称元素b 叫做元素a 的象．，元素a 叫做元素b 的原象．．。

A 中所有元素的象构成的集合C 叫做象．集合．．，则C B ⊆。

（注意B 不能为C 的真子集，否则不能形成映射） 说明：①映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性．．．．．．．．．．．”； ②映射的三要素：原象、象、对应关系； ③A 中元素不可剩，B 中元素可剩； ④多对一行，一对多不行；⑤映射具有方向性：:f A B →与:f B A →一般是不同的映射。

其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字、符号等叙述。

⑥*一一映射：设:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若对集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称这种映射叫一一映射。

例1.下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）{}{},(,),A P P B x y x R y R ==∈∈是平面直角坐标系中的点，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（2）,A x x B x x ==是重庆一中的班级是重庆一中的学生，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生。

（3）{}{},A x x B y y ==是三角形是圆，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）{}{},A x x B y y ==是圆是三角形，对应关系f ：y 是x 的内接三角形；（5）5,,:A Z B Q f x y x==→=；（6）{}{}12,13A x x B y y =≤≤=≤≤，对应关系2:f x y x →=。

（二）求象与原象例2.（1）设映射:(,)(,)22x y x yf x y +-→，那么(5,2)-在f 下的象为__________________； (5,2)-在f 下的原象是_________________________。

（2）已知,a b 为两个不相等的实数，集合{}{}224,1,41,2M a a N b b =--=-+-，映射:f x x →，则a b +等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（3）已知集合A 到集合10,1,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的映射为1:1f x x →-, 那么集合A 中的元素最多有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个（4）设映射2:2f x x x →-+是实数集M 到实数集N 的映射，若对于实数p N ∈，在M 中不存在原象，则p 的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.[1,)+∞C.(,1)-∞D.(,1]-∞（三）映射个数的计算例3．设{}{},,,,1,0,1M a b c d N ==-，取适当的对应法则f 。

求： （1）从M 到N 建立不同映射的个数；（2）从N 到M 建立不同映射的个数；（3）从{},,,M a b c d =到{}1,2,3,4P =的一一映射的个数。

练习：若集合{}{},,,3,0,3M x y z N ==-，f 是从M 到N 的映射，则满足()()f x f y ++()0f z =的映射有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个课后作业1：1.设集合{}{}12,14A x x B y y =≤≤=≤≤，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是（ ）2:A f x y x →=． :32B f x y x →=-． :4C f x y x →=-+． 2:4D f x y x →=-． 2.设从集合A 到集合B 的对应法则为f ，则“通过f ，集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有元素与它对应”是“f 是集合A 到集合B 的映射”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 3.设集合{}{}02,02A x x B y y =≤≤=≤≤，并给出下列图形：则在这些图形中，能表示A 到B 的映射或一一映射的是哪一些，说明理由。

4.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射:f A B →把A 中的元素n 映射到B 的元素2nn +，则在映射f 下，象11的原象是（ ）A ．1B ．3C ．9D ．115.设集合{}(,),A B x y x R y R ==∈∈，映射:f A B →使A 中的元素(,)x y 映射成B 中的元素(,)x y xy +，则在映射f 下，象11(,)66--的原象为________________。

6.设{}(,),110,110,A x y x Z y Z x y B Z =∈∈≤≤≤≤=且，设映射:f A B →使集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素5y xy -， （1）求(3,4)在映射f 下的象； （2）求12在映射f 下的原象。

7.已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且**,,,,:a N k N x A y B f x y ∈∈∈∈→31x =+是集合A 到集合B 的映射，求,a k 的值。

8.集合A 到集合{}2,1,0B =--的映射f 将A 中的元素x 映射到B 的元素23x x -，求Ca r d A 最大时的集合A 。

9.设集合{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则从A 到B 可以构成不同的一一映射f 的个数是（ ） A ．1个 B ．3个 C ．6个 D ．9个 10.设集合{}{},,,1,0,1A a b c B ==-，从A 到B 的映射f 满足关系式()()()f a f b f c =+，求这种映射f 的个数，并作图表示所有的这种映射。

11．设集合{}{}1,0,1,2,1,0,1,2M N =-=--，如果从M 到N 的映射f 满足：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）8A．个 12B ．个 16C ．个 18D ．个 12．设{,,},{1,0,1}M a b c N ==-，则从集合M 到集合N 的映射f 个数为___________；从集合M 到集合N 的一一映射f 个数为___________；满足()()()f a f b f c >≥的映射：:f M N →的个数为_________________。

13．集合{,,,},{0,1,2}A a b c d B ==，现建立从A 到B 的映射，使B 中每一个元素都有原象，则这样的映射有 个。

课后作业1答案：1. D2. B3. 表示A 到B 的映射的有①④⑤⑥；一一映射的有④。

4. B5.11(,)23-或11(,)32- 6.（1）8； （2）(1,3),(2,4),(3,6)。

7. 2,5a k ==8. CardA 最大值为11，此时集合33331,1,2,2,,3,32222A ⎧⎫++⎪⎪=-----⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

9. C10.满足条件的映射f 共有7个，作图表示如下：11. D 12. 27；6；4 13．36二、函数的概念（1）函数的传统定义（运动观）：设在某个变化过程中有两个变量x y 、，对于每一个在一定范围内变化着的自变量x 的值，按照一定的对应法则，都有一个唯一确定的y 值与之它对应，那么，就说y 是x 的函数。

其中x 叫自变量， x 的上述变化范围就叫函数的定义域；y 叫函数值（因变量），函数值的变化范围叫做该函数的值域。

如初中学过的正比例、反比例函数，一次、二次函数等。

问题1：1()y x R =∈是函数吗？问题2：()y x x R =∈与2x y x=是同一函数吗？（2）函数的近代定义：引例：炮弹距地面的高度h 随时间t 变化规律：21305h t t =-(*)，t 变化的数集{}026A t t =≤≤,h 变化的数集{}0845B h h =≤≤。

对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。

函数、定义域、对应法则、值域的概念 设A 、B 都是非空的数集．．．．．，如果按照某种确定的对应法则f ，使对于集合．．．．A 中的任意一个．．．．．．数．x ，在集合．．．．B 中都有唯一确定的数．．．．．．．．．()f x 和它对应．．．．，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。

记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()|C f x x A =∈叫函数的值域（range ）。

显然,值域C 是集合B 的子集。

注意：①从映射的观点定义函数（近代定义）：1︒. 函数实际上就是建立在非空数集A 到非空数集B 的一个映射:f A B →，这里 A , B为非空数集而已。

函数是映射的特例，映射是函数的扩充。

2︒. A ：定义域，即原象集合；C ：值域，即象集合，其中C B ⊆；f ：对应法则。

,x A y B ∈∈。

②“()y f x =”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“()y g x =”；③函数符号“()y f x =”中的()f x 表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ； ④函数的三要素：定义域A ,对应法则f 和值域C 。

⑤两函数相同，必须三要素完全相同。

口答：（1）一次函数(0)y ax b a =+≠的定义域和值域是什么？（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域和值域是什么？（3）反比例函数xky =的定义域、值域是什么？（3）函数概念巩固例1．下列各图中，可表示函数()y f x =（定义域为[1,1]-，值域为[0,1]）的图象只可能是 （ ）变式练习：（1）253x y +=中y 是x 的函数吗？253x y +=中y 是x 的函数吗？（2）()f x =,0()1,0x x g x x ≥⎧=⎨≤⎩表示函数吗？变式发散：函数()y f x =的图象与直线5x =的公共点共有_____________个。