广东省揭阳市第一中学14—15学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)

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广东揭阳市惠来一中14-15学年高二上学期期末考试数学理试题 (Word版含答案)

2014—2015学年度第一学期惠来一中质检考试高二级数学科（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．不等式13()()022x x +-≥的解集是（）A. 13{|}22x x -≤≤B. 13{|}22x x x ≤-≥或C. 13{|}22x x -<<D. 13{|}22x x x <->或2．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =⋅，12=a ，则=1a （） A ．21 B ．22 C ．2 D ．23．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a 等于（）AB ．2CD4．下列命题错误的是（）Ａ．命题“若0=xy ，则y x ,中至少有一个为零”的否定是：“若0≠xy ，则y x ,都不为零”Ｂ．对于命题p ：R x ∈∃，使得012<++x x ；则p ⌝：R x ∈∀，均有012≥++x xＣ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实根，则0≤mＤ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件5．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（A ．31cmB ．32cmC ．33cmD ．36cm6．下列结论正确的是（）A ．当0>x 且1≠x 时，x x lg 1lg +≥2；B ．当0>x 时，xx 1+≥2；C ．当x ≥2时，x x 1+的最小值为2；D ．当x <0≤2时，xx 1-无最大值。

7．设0,0.a b >>3a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（）A ．4B ．5C ．10D ．98．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}x M x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20,442==S S ，则该数列的公差=d 10. 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒，且第一排和最后一排的距离为_______11．与椭圆221259x y +=焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 . 12.如果点(,)M x y 在运动过程中，10，点M 的轨迹是，它的方程是．13.已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围；14.已知点),(b a M 在由不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤确定的平面区域内，则点),(b a b a N -+构成的平面区域的面积是 ;三、解答题（本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分12分)在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，且3cos 2,sin 5A B == （I ）求A B +的值；（II）若1a b +=，求,,a b c 的值。

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次阶段考试物理试题word版含答案

2014-2015学年度第一学期揭阳第一中学94届高二级段考2环形电流I引起的．在下列四个图中，正确表示安培假设中环形电流方向的是2.把一根柔软的螺旋形弹簧竖直悬挂起来，使它的下端刚好跟杯里的水银面接触，并使它组成如图所示的电路，当电键S接通后，将看到的现象是A．弹簧向上收缩B．弹簧上下跳动C．弹簧被拉长D．弹簧仍静止不动3.A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度从A点沿电场线运动到B点，其v-t图象如下图所示．则这一电场可能是4.如图为一匀强电场，某带正电的粒子从A点运动到B点．在这一运动过程中克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为1.5J．下列说法中不正确．．．的是A．粒子在B点的重力势能比在A点多2.0JB．粒子在B点的电势能比在A点少1.5JC．粒子在B点的机械能比在A点多0.5JD．粒子在B点的动能比在A点少0.5J5．R1＝10Ω，R2＝30Ω，把它们串联后接到电路中，则下列结论中正确的是A．I1∶I2＝1∶3，U1∶U2＝1∶3 B．I1∶I2＝3∶1，U1∶U2＝1∶1C．I1∶I2＝1∶1，U1∶U2＝1∶3 D．I1∶I2＝1∶1，U1∶U2＝1∶46.如图所示，一个带有负电荷的小球，沿光滑的绝缘斜面由静止开始下滑，当滑到某点时小球开始飞离斜面，这可能是因为A．空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B．空间存在着垂直纸面向外的匀强磁场C．空间存在着水平向右的匀强电场D．空间存在着水平向左的匀强电场二、双项选择题（每小题4分，共24分）7.带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．右图是在有匀强磁场云室中观察到的粒子的轨迹，a 和b 是轨迹上的两点，匀强磁场B 垂直纸面向里．该粒子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减少，下列说法中正确的是A ．粒子先经过a 点，再经过b 点B ．粒子先经过b 点，再经过a 点C ．粒子带负电D ．粒子带正电8.如图，在实线框所示的区域内同时存在着匀强磁场和匀强电场．一个带正电粒子(不计重力)恰好能沿直线MN 从左至右通过这一区域．那么匀强磁场和匀强电场的方向可能为下列哪种情况A ．匀强磁场和匀强电场的方向都水平向右B ．匀强磁场和匀强电场的方向都竖直向上C ．匀强磁场方向垂直于纸面向外，匀强电场方向竖直向上D ．匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电场方向竖直向上9.如图所示为一电磁流量计（即计算单位时间内流过某一横截面的体积）的原理图：一圆形导管直径为d ，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动．导电液体中的自由电荷(负离子)在洛伦兹力作用下横向偏转，a 、b 间出现电势差．当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a 、b 间的电势差就保持稳定，则A ．电势a 高b 低B ．电势b 高a 低C ．流量Q ＝πdU 4BD ．流量Q ＝4BπdU10.如图所示，平行板电容器在充电后不切断电源，此时板间有一带电尘粒恰能在电场中静止，当正对的平行板左右错开一些时 A ．带电尘粒将向上运动 B ．带电尘粒仍静止不动C ．通过电阻R 的电流方向为A 到BD ．通过电阻R 的电流方向为B 到A 11.如图所示，一带电小球以速度v 0水平射入接入电路中的平行板电容器中，并沿直线打在屏上O 点，若仅将平行板电容器上极板平行上移一些后，让带电小球再次从原位置水平射入并能打在屏上，其他条件不变，两次相比较，则再次射入的带电小球 A ．将打在O 点的下方 B ．将打在O 点的上方C ．穿过平行板电容器的时间将增加D ．到达屏上时的动能将增加12.在如图所示的电路中，电动势为E ，内阻为r ，L 为小灯泡(其灯丝电阻可视为不变)，R 1、R 2为定值电阻，R 3为光敏电阻，其阻值大小随所受照射光强度的增大而减小，为理想电压表．若将照射R 3的光的强度减弱，则 A ．电压表的示数变小 B ．通过R2的电流变小 C ．电源内阻消耗的电压变大D ．小灯泡消耗的功率变小三、填空题（每空2分，共18分）13.(1)某实验小组在“测定金属电阻率”的实验过程中，正确操作获得金属丝的直径以及电流表、电压表的读数如图所示，则它们的读数依次是__________mm 、__________A 、__________V.(2)已知实验中所用的滑动变阻器阻值范围为0～10Ω，电流表内阻约几欧，电压表内阻约20k Ω.电源为干电池(不宜在长时间、大功率状况下使用)，电动势E ＝4.5V ，内阻很小．则以下电路图中________(填电路图下方的字母代号)电路为本次实验应当采用的最佳电路，用此最佳电路测量的结果理论上会比真实值偏________（填“小”或“大”）．14.用一只已知内阻的电流表和电阻箱，采用如图所示的电路测电源电动势E 与内阻r ，比常规的伏安法更准确．若电流表内阻阻值为R A ，则测量的方法与步骤是：(1)将电阻箱阻值R 调到最大，闭合S 后观察电流表示数，然后再调节________（填名称）的电阻值，使电流表中的示数指到某两个恰当的值，记下此时电阻箱的阻值R 1、R 2及对应的电流I 1、I 2；(2)根据以上的数据及________________定律，建立方程组，即______________和________________（物理量用本题中字母表示）便可求出电源的电动势E 与内阻r .四、计算题（第15题10分，第16题12分，第17题12分，共34分）15．如图所示，在OA 之间存在一水平向右，电场强度为E 的匀强电场，一质量为m ，电量为+q 的粒子(重力不计)以初速度v 沿y 轴负方向进入匀强电场，在电场力作用下通过x 轴上的B 点，已知OB 的长度为L 。

广东省揭阳三中2014-2015学年高二数学上学期第一次段考试卷(含解析)

广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分；每小题的答案是唯一的，请写入答题卷）1．（5分）等差数列{a n}中，a1=3，a5=7，则数列{a n}第9项等于（）A．9 B．10 C．11 D．122．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间相距（）km．A．20 B．30 C．40 D．203．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°4．（5分）在公比为整数的等比数列{a n}中，若，a1+a3=6，a2+a4=12，则a3等于（）A．B．C．D．5．（5分）等差数列{a n}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．346．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosB=（）A．B．﹣C．﹣D．7．（5分）等差数列{a n}中，a5=10，则a3+a7等于（）A．10 B．15 C．20 D．258．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7等于（）A．4 B．6 C．8 D．109．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．1610．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2二.填空题（每小题5分，共20分，答案请写入答题卷）11．（5分）在△ABC中角A、B、C成等差数列，则sinB=．12．（5分）在数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n+1，则a2=．13．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2﹣x﹣6=0的两根，则a6=．14．（5分）在△ABC中，a=，c=1，B=60°，则△ABC的面积为．三.解答题（共80分，答案请写入答题卷）15．（12分）等比数列{a n}中，若a1=27，a9=，q＜0，求数列{a n}前8项的和S8．16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．（14分）已知函数f（x）=+2sinx．（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+）的值．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．（1）求证：OD∥平面PAC；（2）求证：PO⊥平面ABC；（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．19．（14分）已知：△ABC的周长为，且（1）求：边c的长；（2）若△ABC的面积为，求：角C大小．20．（14分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分；每小题的答案是唯一的，请写入答题卷）1．（5分）等差数列{a n}中，a1=3，a5=7，则数列{a n}第9项等于（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求出等差数列的公差，写出通项公式，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=3，a5=7，得．∴a n=a1+（n﹣1）d=3+n﹣1=n+2．∴a9=9+2=11．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题，属会考题型．2．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间相距（）km．A．20 B．30 C．40 D．20考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：由题意，∠ACB=120°，AC=20km，BC=20km，利用余弦定理，可得结论．解答：解：由题意，∠ACB=120°，AC=20km，BC=20km，∴由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB=1200，∴AB=20km故选：D．点评：本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．解答：解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又 0＜B＜π，∴B=或，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．4．（5分）在公比为整数的等比数列{a n}中，若，a1+a3=6，a2+a4=12，则a3等于（）A．B．C．D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知列关于首项和公比的方程组，求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：∵数列{a n}是公比为整数的等比数列，又a1+a3=6，a2+a4=12，∴，解得：．∴．故选：C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）等差数列{a n}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．34考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由S5=30 求得 a3=6，再由S8==4（a3+a6），运算求得结果．解答：解：∵a6=2，S5=30==5a3，∴a3=6．故S8==4（a3+a6）=32，故选B．点评：本题考查了等差数列的性质，恰当地运用性质，可有效地简化计算．利用了若{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，a m+a n=a p+a q ，属于中档题．6．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosB=（）A．B．﹣C．﹣D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，再利用余弦定理求出cosB的值即可．解答：解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴a：b：c=3：2：4，则由余弦定理得：cosB==．故选：A．点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．7．（5分）等差数列{a n}中，a5=10，则a3+a7等于（）A．10 B．15 C．20 D．25考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用a3、a5、a7成等差数列，即a5是a3与a7的等差中项即可求得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a5=10，∴a3+a7=2a5=20，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，属于基础题．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7等于（）A．4 B．6 C．8 D．10考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用a1，a3，a4成等比数列求出首项和公差的关系，再把公差代入即可求出a7．解答：解：因为a1，a3，a4成等比数列，所以有a32=a1•a4⇒（a1+2d）2=a1•（a1+3d）⇒a1•d=﹣4d2，又因为d=2，所以a1=﹣8．所以a7=a1+6d=4．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．9．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．解答：解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选：C．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．二.填空题（每小题5分，共20分，答案请写入答题卷）11．（5分）在△ABC中角A、B、C成等差数列，则sinB=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质，结合三角形内角和等于180°求解角B的值，则sinB可求．解答：解：由A、B、C成等差数列，得A+C=2B，又A+B+C=180°，∴3B=180°，B=60°．∴．故答案为：．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查了三角形内角和定理及特殊角的三角函数值，是基础题．12．（5分）在数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n+1，则a2=2．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推式2a n+1=a n+1，取n=1即可得出．解答：解：∵在数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n+1，∴2a2=a1+1=4，解得a2=2．故答案为：2．点评：本题考查了递推式的意义，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2﹣x﹣6=0的两根，则a6=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由韦达定理可得a3+a9=，由等差数列的性质可得a4+a8=2a6，即可解得答案．解答：解：由韦达定理可得a3+a9=，由等差数列的性质可得a3+a9=2a6，故a6=．故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题．14．（5分）在△ABC中，a=，c=1，B=60°，则△ABC的面积为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知a，c和两边的夹角B，可直接利用三角形面积公式求得其面积．解答：解：S△ABC=acsinB=×1××=．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属于对基础公式的考查．三.解答题（共80分，答案请写入答题卷）15．（12分）等比数列{a n}中，若a1=27，a9=，q＜0，求数列{a n}前8项的和S8．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的通项公式可得q，再由求和公式可得．解答：解：∵等比数列{a n}中a1=27，a9=，∴=27×q8，又由q＜0，解得q=﹣，∴S8==．点评：本题考查等比数列的前n项和，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△AB C为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式．17．（14分）已知函数f（x）=+2sinx．（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由sinx≠0，即可求得f（x）的定义域，利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin （+x），从而可求其最小正周期；（2）由f（α）=2，α∈[0，π]，可求得α=，于是可求得f（α+）的值．解答：解：（1）∵sinx≠0解得x≠kπ（k∈Z），∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ（k∈Z）}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵f（x）=+2sinx=2cosx+2sinx=2sin（+x）﹣﹣﹣（4分）∴f（x）的最小正周期T==2π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=2，∴cosα+sinα=1，∴（cosα+sinα）2=1，即2sinαcosα=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵α∈[0，π]，且sinα≠0，∴α=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴f（α+）=2sin（+α+）=2sin=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的定义域与周期，考查运算求解能力，属于中档题．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．（1）求证：OD∥平面PAC；（2）求证：PO⊥平面ABC；（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由三角形中位线定理，得出OD∥PA，结合线面平行的判定定理，可得OD∥平面PAC；（2）等腰△P AB和等腰△CAB中，证出PO=OC=1，而PC=，由勾股定理的逆定理，得PO⊥OC，结合PO⊥AB，可得PO⊥平面ABC；（3）由（2）易知PO是三棱锥P﹣ABC的高，算出等腰△ABC的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥P﹣ABC的体积．解答：解：（1）∵O，D分别为AB，PB的中点，∴OD∥PA又PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC∴OD∥平面PAC．…（4分）（2）如图，连接OC∵，O为AB中点，AB=2，∴OC⊥AB，且OC==1．同理，PO⊥AB，PO=1．…（6分）又∵，∴PC2=2=OC2+PO2，得∠POC=90°．∴PO⊥OC．∵OC、AB⊆平面ABC，AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC．…（8分）（3）∵PO⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，结合OP=1，得棱锥P﹣ABC的体积为．…（12分）点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．19．（14分）已知：△ABC的周长为，且（1）求：边c的长；（2）若△ABC的面积为，求：角C大小．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理化简已知的等式，得到a，b及c的关系式，根据周长的值，求出c的值即可；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使其等于已知的面积，得到ab的值，又根据第一问求出的c的值，得到a+b的值，配方后求出a2+b2的值，然后利用余弦定理表示出cosC，把得到的a2+b2，ab及c的值代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数．解答：解：（1）∵△ABC的周长为，∴，∵，∴由正弦定理得，（2分）∴c=1；（3分）（2）∵△ABC的面积，∴，（4分）∵，∴，∴由余弦定理得（7分）∵C∈（0，π），∴（8分）点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（14分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求解答：解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得点评：本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用。

广东省揭阳市第一中学高二数学上学期第二次段考试题理

揭阳一中2015-2016学年度第一学期第二次阶段考试高二级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．） 1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 2.下列函数中为偶函数的是（）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D 3. 已知如右程序框图，则输出的i 是( ) A ．9B ．11C ．13D ．154. 若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是 A ．a b a b -=- B ．22a b <C ．2b aa b+> D ．2b ab <5. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B. 172C. 314D. 334 6.下列结论，不正确．．．的是（） A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题q p ∨为真命题． B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题． C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题．D ．命题“0,,22≥+∈∀y x R y x ”的否定是“0,,202000<+∈∃y x R y x ”.7.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 49.设定点F 1 (0,－3)、F 2 (0,3)，动点P 满足)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段10.方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ) A. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.)41,0( C. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. )0,41(- 11.已知θ是三角形的一个内角，且1sin cos 2θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示( ) A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在y 轴上的椭圆 C.焦点在x 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的双曲线12.如图，F 1、F 2是椭圆C 1：2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1与C 2 在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是A ．32 D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13.在△ABC 中∠A=60°，b=1，S △ABC =3，则Aacos =________. 14.为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 .15．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线方程为 .16．若方程11422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①若C 为椭圆，则1<t<4; ②若C 为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C 不可能是圆； ④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则231<<t . 其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填在横线上）.分三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（10分）已知命题p ：0,x R ∃∈使得200210ax x -->成立；命题q ：方程()032=+-+a x a x 有两个不相等正实根；（1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.18.（10分）已知n a ＞0，n S 为数列{n a }的前n 项和，且满足22n n a a +=n 43S +（1）求{n a }的通项公式；（2）设11+⋅=n n n a a b 求b n 的前n 项和n T .19.（12分）已知)cos 3,(sin ),sin ,cos 3(x x x x ==，函数x f ⋅+⋅=)(．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知3)2(=αf ，且(0,)απ∈，求α的值．20.（12分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（1）证明：PE FG ⊥；（2）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.21.（12分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；PCDEFG（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.22.（14两点，（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.揭阳一中2015-2016学年度第二次阶段考试高二级理科数学试题（参考答案）1-12 ABCAC CACDD BD13. 132 14. 64 15.01232=-+y x 16. ②17.解:（1）p ⌝: x ∀R ∈,2210ax x --≤不恒成立.. ……………1分由0a <⎧⎨∆≤⎩得1a ≤-. ……………4分（2）设方程()032=+-+a x a x 两个不相等正实根为1x 、2x命题q 为真⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆0002121x x x x ⇔01a << ……………6分由命题“p 或q”为真，且“p 且q”为假，得命题p 、q 一真一假 ①当p 真q 假时，则101a a a >-⎧⎨≤≥⎩或得10a -<≤ 1a ≥或……②当p 假q 真时，则101a a ≤-⎧⎨<<⎩ 无解； ………………………………9分∴实数a 的取值范围是10a -<≤ 1a ≥或.……………………………………………10分18.（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3…………1分当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2， ……………3分所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++……………7分{n b }的前n 项和T n =12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++=11646n -+………10分 19.解：22()3cos sin cos f x x x x x =++……2分2cos22x x =++……4分＝π2sin(2)26x ++．……6分 ∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==．…………8分（Ⅱ）由32f α⎛⎫=⎪⎝⎭，得π2sin()236α++=．∴π1sin()62α+=． ……10分 ()0,πα∈，∴7π,666ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭………… 11分 ∴566ππα+=∴2π3α=．…………… 12分20.（1）证明：∵ PD PC =且点E 为CD 的中点，∴ PE DC ⊥，………………1分又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ，∴ PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD………4分 ∴ PE FG ⊥；………5分（2）如下图所示，连接AC ， ∵ 2AF FB =，2CG GB =即2AF CGFB GB==， ∴ //AC FG ，………7分∴ PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角，……8分在PAC ∆中，5PA ==，AC ==分由余弦定理可得22222254cos 2PA AC PC PAC PA AC +-+-∠===⋅，……11分∴ 直线PA 与直线FG ．……12分PABCDEFG21.（1）设(),M x y ，∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--，(x 0x 3≠≠且)………2分，得2239x y (x 0)24⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭,又由221:650C x y x +-+=，2239x y (x 0)24⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭得533X X ＝或＝ ………4分∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；………5分（2）由（1）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，………6分当直线L 与圆C32=得34k =±，又0543DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，………10分结合上图可知当3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．………12分22.解：（1）由已知得a=2，b=1，所以，………2分所以椭圆G 的焦点坐标为，………4分离心率为……5分（2）由题意知，|m|≥1，当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为，此时；当m=-1时，同理可得；……6分当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），由，得，设A、B两点的坐标分别为，则，……8分又由l与圆相切，得，即，……9分所以，……12分由于当m=±3时，，且时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.……14分。

广东省揭阳市第一中学1415学年度高二下学期第一次阶段

广东省揭阳市第一中学2014—2015学年度下学期第一次阶段考试高二数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．下列推理所得结论正确的是( )A ．由类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B ．由类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C ．由)()(c b a c b a ++=++类比得到D ．由类比得到5．已知数列满足12430,3n n a a a ++==-，则的前10项和等于( ) A ． B ． C ． D ．6、已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对(是( )A ．(5，10)B ．(6，6)C ．(10，5)D ．(7，2)7．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( ) A ． B ．C ．4D ．28．设函数．若存在的极值点满足，则m 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．12．某数列是等比数列,记其公比为,前项和为,若成等差数列, ．13．若函数2()2l n f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是． 14．下列几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则．②函数y 是偶函数，但不是奇函数． ③函数()f x 的值域是，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-．④一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1．其中正确的有_________________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共80分)．15．(12分)已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．(1)求的最小正周期：(2)求在区间上的最大值和最小值．16．(12分)已知函数xb a x f ⋅=)(的图象过点)41,4(A 和)1,5(B ．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)记)(log 2n f a n =，n ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0≤⋅n n S a 的n 值．17．(14分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．(1)证明：ED ⊥平面ACC 1A 1(2)设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．AB C D EA 1B 1C 118．(14分)已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．(1)求的值；(2)若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；(3)在(2)的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．19．(14分)已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)证明：抛物线在点处的切线与平行；(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．(14分)已知函数．(1)数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列的通项公式；(2)已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列的通项公式； (3)设的前n 项和为S n ，若不等式对所有的正整数n 恒成立，求的取值范围．揭阳一中高二(94届)第二学期数学第一次阶段考试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.)62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x 所以，函数的最小正周期为（2）32626,46πππππ≤+≤-∴≤≤-x x 1)62sin(21≤+≤-∴πx ，，在区间上的最小值为，最大值为2.16．解：(1)由题意得：45141a b a b ⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩ 解得：54a -=，；(2)5()4n f n -=，2l o g()210n a fn n ==- ∵{}n a 为等差数列 ∴1()(9)2n nnS a a n n =+=-由0≤⋅n n S a 得 0)9)(5(≤--n n n ∴95≤≤n ∵+∈Z n ∴9,8,7,6,5=n面ADC 1．作EF ⊥AD ，垂足为F ，连接A 1F ，则A 1F ⊥AD ，∠A 1FE 为二面角A 1－AD －C 1的平面角．不妨设AA 1＝2，则AC ＝2，AB ＝2ED ＝OB ＝1，EF ＝AE ×ED AD ＝23，tan ∠A 1FE ＝3，∴∠A 1FE ＝60°．所以二面角A 1－AD －C 1为60°． ………………………14分解法二：(1)如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点．设A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，B 1(0，b ，2c )．则C (－a ，0，0)，C 1(－a ，0，2c )， E (0，0，c )，D (0，b ，c )． ED →＝(0，b ，0)，BB 1→＝(0，0，2c )．ED →·BB 1→＝0，∴ED ⊥BB 1．又AC 1→＝(－2a ，0，2c )，ED →·AC 1→＝0，∴ED ⊥AC 1，∴EC ⊥面C 1A D ． cos ＜EC →，BC →＞＝EC →·BC →|EC →|·|BC →|＝12，即得EC →和BC →的夹角为60°．所以二面角A 1－AD －C 1为60°．18．解：函数的导函数为b a c bx ax x f 2323)(2'--++= ………………(2分)(1)由图可知函数的图象过点(0，3)，且得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………………(4分)(2)依题意且⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a 解得所以396)(23++-=x x x x f …………………(8分)(3)9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与轴有三个交点；2'，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832．当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，．19．解法一：(1)如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，1224N M x x kx x +===，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，1224N M x x kx x +===，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．(2)假设存在实数，使，则，又是的中点，．由(Ⅰ)知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-22214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得．即存在，使．20．解：(1)，………………………………………………………1分11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 …………4分(2)由已知得，……1分1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠所以的公比为2的等比数列， ∴．………………………………………………………………8分 (3)1111(2)111k k k k k k k b b c b b b b +++++-===-，1212231111111()()()n n n n S c c c b b b b b b +∴=+++=-+-++-上是增函数又不等式对所有的正整数n恒成立，故的取值范围是……………………………………14分。

2014-2015年广东省揭阳市高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2014-2015学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1} 2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣726．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log37．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．308．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于．12．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为．13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为cm2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．2014-2015学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，B={x|x（x﹣1）=0}={0，1}，则A∪B={﹣1，0，1}．故选：D．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：i为虚数单位，复数z=（1+i）2=1+2i﹣1=2i．则z的共轭复数为：﹣2i．故选：A．3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：四边形确定一个平面，是一个假命题，例如：把一个平面四边形沿着对角线折起一个角度可得一个空间四边形，因此不正确；命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，是一个假命题，例如一个三棱锥的三条棱不在同一个平面内．因此￢p∨q是真命题．故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a1=，a2=5﹣=，a3=∴a32﹣a22==18．故选：B．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣72【解答】解：由已知可得=﹣6×4×=﹣12，所以（+2）•（﹣3）==36﹣96+12=﹣48；故选：C．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log3【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点A时直线y=的截距最大，此时z最大，当经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，3），此时z=3×1+5×3=18，则log3的最大值为log3=log39=2，故选：B．7．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．30【解答】解：由图2知，输出的s=A2+A3+A4+A5，由图1知，A1+A6=（0.0024+0.0012）×50×100=18，故s=100﹣18=82，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数【解答】解：由f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数得f（﹣x+1）=﹣f（x+1），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），从而有f（x）=﹣f（2﹣x），f（x）=﹣f（﹣x﹣2），故有f（2﹣x）=f（﹣x﹣2）⇒f（x+2）=f（x﹣2）⇒f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，因f（x﹣1）为奇函数，8也是函数f（x）的周期，所以f（x+7）也是奇函数．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为π．【解答】解：由题意，该几何体为一圆柱的一半，底面直径为2，高为2．体积V==π．故答案为：π．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为x+y=0．【解答】解：由f（x）=1﹣e x，得f（0）=1﹣e0=0．又f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1．∴f（x）=1﹣e x在点P（0，0）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0．故答案为：x+y=0．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣2012．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为（4，4）或（﹣4，4）．【解答】解：抛物线解析式变形得：x2=8y，即p=4，∴焦点坐标为（0，2），设所求点坐标为（a，a2），根据题意得：=6，解得：a=4或﹣4，则所求点坐标为（4，4）或（﹣4，4），故答案为：（4，4）或（﹣4，4）13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．【解答】解：如图，由题意，满足几何概型，矩形的面积为2π×4=8π，满足b≥sina+1的是图中阴影部分，其面积为=（3a+cosa）|=6π，所以由几何概型的概率公式得满足b≥sina+1的概率为；故答案为：二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．【解答】解：根据ρ=2cosθ，得x2+y2=2x，根据ρ2﹣4ρcosθ+3=0，得x2+y2﹣4x+3=0，∴x=，y=，∴交点（，﹣）或（，），化为极坐标为：．故答案为：．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为64cm2．【解答】解：设EF与AD交于O，则∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设正方形EFGH的边长是xcm．则解得：x=8故正方形零件的面积为64cm2．故答案为：64．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）∵＞0，∴，∴，由，得ac=5．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2=26，联立，结合a＞c，解得a=5，c=1．（2）由正弦定理知，∴=，∵a＞c，∴，∴，∴cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC==．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意得，（2分）解得x6=90，（3分）这6位同学成绩的标准差：．（6分）（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2．（7分）且，（8分），（9分），（10分）∴ξ的分布列为：（11分）ξ的数学期望：．（12分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【解答】证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又E为PD的中点，∴EO∥PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，且∴∠ECF=α﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解法一：过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，∵PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵AQ⊂面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，∴AQ⊥面CDQ，故AQ⊥CQ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴∠DQC是二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AP=1，，∴又∵E为PD的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在Rt△AQD中，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∵0＜∠CQD＜π，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，﹣（7分）则A（0，0，0），，，，P（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故，，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由条件可知，为平面ADE的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设平面AEC的一个法向量为，则由，得，取x=2，得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设二面角D﹣AE﹣C的大小为θ，则=，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．【解答】（1）解：∵f（x）=，f（1）=1，f（）=，∴，解得a=2，b=1，∴，∵数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n），∴x2=f（）==，x3=f（）==．（2）解：由（1）猜想x n=．用数学归纳法证明：①n=1时，x1==，成立．②假设n=k时成立，即，=f（x k）==，也成立，则x k+1由①②知x n=．（3）证明：∵=≤，∴++…+＜==（1﹣）＜．∴++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为=1，（1分）∵点P（4，2）在双曲线C上，∴，①又b2=8﹣a2，②②代入①去分母整理得：a4﹣68a2+32×8=0，又a＜c，解得a2=4，b2=4，（3分）∴所求双曲线C的方程为．（4分）（2）设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（，t），其中x0＞2，或x0＜﹣2．（5分）当y0≠t时，直线AB的方程为y﹣t=（x﹣），即（y 0﹣t）x﹣（）y+tx0﹣=0，（6分），若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值，设圆心O到直线AB的距离为d，则d=．（7分）∵y0≠0，∴t=﹣，（8分）又=4，∴====2，（11分）此时直线AB与圆x2+y2=4相切，（12分）当y0=t时，，代入双曲线C的方程并整理得t4﹣2t2﹣8=0，即（t2﹣4）（t2+2）=0，解得t=±2，此时直线AB：y=±2．也与圆x2+y2=4也相切．（13分）综上得存在定圆x2+y2=4与直线AB相切．（14分）21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．【解答】解：（1）依题意可得|x2﹣3|≤1⇔﹣1≤x2﹣3≤1或，∴x的取值范围为；（2）解法一：∵===，即，∴比更接近ab；解法二：∵对任意两个正数a、b，有，，∴，即，∴比更接近ab；（3）证明：令，则p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，且p（e）=0，由，得当x≥1时，q'（x）≥0，∴q（x）在[1，+∞）上单调递增，且当x≥1时，有q（x）≥q（1）=0，①当1≤x≤e时，∵p（x）≥0，a≥2，∴．∴比x+a更接近lnx．②当x＞e时，方法一：∵p（x）＜0，q（x）＞0．，∴．令f（x）=2lnx﹣x﹣2，则．当x＞e时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，+∞）单调递减，当x＞e时，f（x）＜f（e）=﹣e＜0综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．方法二：当x＞e时，∵p（x）＜0，q（x）＞0．∴，令，则．令f'（x）=0，解得，∵x＞e∴不合舍去，∵（e﹣1）2＜1+e，∴∴x1＞e∵当e＜x＜x1时，f'（x）＞0．当x＞x1时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减，又e＜x1＜3∴当x＞e时，．综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．。

广东省揭阳一中高二数学上学期第一次月考试卷理(含解析)

广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在四个备选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若集合M={x||x|＜3}，N={x|y=lg（x﹣1）}，则M∩N=（）A．（1，3）B．，f（α+）=，求tanα的值．17．（14分）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率50.5～60.5 4 0.0860.5～70.5 0.1670.5～80.5 1080.5～90.5 16 0.3290.5～100.5合计50（1）请填充频率分布表的空格，并补全频率分布直方图；（2）若成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，请你估计获得二等奖的人数；（3）用分层抽样的方法从80分以上（不包括80分）的学生中抽取了7人进行试卷分析，再从这7人中选取2人进行经验汇报，求选出的2人至少有1人在的概率．18．（14分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C 截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．19．（14分）△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量=（a+b，c），=（a﹣c，a﹣b），若∥，（1）求角B的大小；（2）求sinA•sinC的最大值．20．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有+++…+＜．广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在四个备选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若集合M={x||x|＜3}，N={x|y=lg（x﹣1）}，则M∩N=（）A．（1，3）B．专题：集合．分析：利用绝对值不等式求出集合M，利用对数函数的定义域求出集合N，由此能求出M∩N．解答：解：∵集合M={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，N={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴M∩N={x|1＜x＜3}=（1，3）．故选：A．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题，解题时要注意绝对值不等式和对数函数的定义域的合理运用．2．（5分）已知角α的终边过点P（﹣4，3），则2sinα+cosα的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据角α的终边过点P（﹣4，3），得到点到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，cosα的值，求出2sinα+cosα的值．解答：解：角α的终边过点P（﹣4，3），∴r=OP=5，利用三角函数的定义，求得sinα=，cosα=﹣，所以2sinα+cosα==故选D点评：本题考查任意角的三角函数的定义，本题解题的关键是求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义，本题是一个基础题．3．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5考点：二分法求方程的近似解．专题：应用题．分析：由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．解答：解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选 C．点评：本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．4．（5分）在△ABC中，a=2，b=2，B=，则A等于（）A．B．C．或D．或考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得sinA的值，即可求得A的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，b=2，B=，∴由正弦定理可得=，解得 sinA=，∴A=，或 A=，故选：C．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项解答：解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C点评：本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，6．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a2，a8是方程2x2﹣7x+6=0的两个根，则a1•a3•a5•a7•a9的值是（）A．B．C．D．35考点：根与系数的关系；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由一元二次方程根与系数的关系可得 a2 +a8 =，a2 •a8 =3．再由等比数列的定义和性质可得 a2 •a8 =3=，故=±．从而求得a1•a3•a5•a7•a9 =的值．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，若a2，a8是方程2x2﹣7x+6=0的两个根，∴a2 +a8 =，a2 •a8 =3．再由等比数列的定义和性质可得 a2 •a8 =3=，故=±．故 a1•a3•a5•a7•a9 ==，故选C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．7．（5分）直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．解答：解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=∴△EOF的面积为故选D．点评：本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．8．（5分）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，x2，…，x n（单位：吨），根据如图所示的程序框图，若n=2，且x1，x2分别为1，2，则输出的s结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：n=2，且x1，x2分别为1，2，执行程序框图，写出每次循环s1，s2，s的值，当i＜=n 时，计算S的值并输出即可．解答：解：执行程序框图，有n=2，x1=1，x2=2，s1=0，s2=0，i=1i≤n条件成立，执行循环体，s1=s1+x1=1s2=s2+x12=1S=0i=2i≤n条件成立，执行循环体，s1=s1+x2=3s2=s2+x22=5S=i=3i≤n条件不成立，输出S的值为，故选：A．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．解答：解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：4点评：本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．10．（5分）一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样方法抽出样本，则应抽取管理人员的人数为4人．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先计算分层抽样的抽取比例，再计算应应抽取的管理人员的人数．解答：解：抽取一个容量为20的样本，抽取的比例为=，∴根据分层抽样的抽取比例，应抽取管理人员×32=4人．故答案是4．点评：本题考查了分层抽样方法．11．（5分）设=（1，2），=（﹣1，m），若与的夹角为钝角，则m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，由题意可得cosθ＞0，且cosθ≠1，再利用两个向量的夹角公式求得m的取值范围．解答：解：设与的夹角为θ，由题意可得cosθ＞0，且cosθ≠1，故有cosθ==＜0，且≠﹣1，求得m＜，且m≠﹣2，故m的范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．12．（5分）已知等比数列{a n}共有2n项，其和为﹣240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=2．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意列出关于奇数项的和与偶数项的和的方程组，再由q=求出答案．解答：由题意，得解得S奇=﹣80，S偶=﹣160，∴q===2．故答案为：2．点评：本题以等比数列为载体，考查等比数列的性质，考查等比数列的求和，属于中档题．13．（5分）在△ABC中，若||=2，||=3，•=﹣3，则S△ABC=．考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角，然后通过三角形的面积公式求解即可．解答：解：在△ABC中，若||=2，||=3，•=﹣3，所以||•||cosA=﹣3，可得cosA=，∴sinA=．则S△ABC=||•||sinA==．故答案为：．点评：本题考查三角形的面积的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，令b n=2n•a n，则数列{b n}的前n项和S n=（n﹣1）•2n+2+4．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．知b n=a n•2n=2n•2n，再由错位相减法能够求出数列{b n}的前n 项和S n．解答：解：∵数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．∴b n=a n•2n=n•2n+1，∴S n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，①2S n=1×23+2×24+3×25+…+（n﹣1）×2n+1+n×2n+2，②①﹣②得﹣S n=22+23+24+…+2n+1﹣n×2n+2=﹣n×2n+2=（1﹣n）•2n+2﹣4，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4．故答案为（n﹣1）•2n+2+4．点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要文字说明，证明过程或演算过程.）15．（12分）（1）在等差数列{a n}中，a4=10，a10=﹣2，若前n项和S n=60，求n的值；（2）在等比数列{a n}中，a1=81，a4=24，求它的前5项和S5．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差，利用前n项和公式建立关于n 的方程，解方程求出结果．（2）利用等比数列的通项公式求出公比，利用等比数列前n项和公式求的结果．解答：解：（1）设等差数列{a n}的首项a1，公差为d，由a4=10，a10=﹣2，得：解得：a1=16，d=﹣2所以整理得：n2﹣17n+60=0解得：n=5或12（2）设等比数列{a n}的公比为q，则所以故答案为：（1）n=5或12（2）S5=211点评：本题考查的知识点：等差数列及前n项和公式，等比数列及前n项和公式16．（12分）已知函数f（x）=sin（π+x）sin（﹣x）﹣cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α∈，f（α+）=，求tanα的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，由周期公式可得；（2）由（1）结合f（α+）=化简可得cosα=，由角的范围和同角三角函数的基本关系可得．解答：解：（1）化简可得f（x）=sin（π+x）sin（﹣x）﹣cos2x=（﹣sinx）（﹣cosx）﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）f（α+）=sin=，化简可得sin（）=，即cosα=∵α∈，∴sinα=∴tanα==﹣点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的周期性和同角三角函数的基本关系，属基础题．17．（14分）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率50.5～60.5 4 0.0860.5～70.5 0.1670.5～80.5 1080.5～90.5 16 0.3290.5～100.5合计50（1）请填充频率分布表的空格，并补全频率分布直方图；（2）若成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，请你估计获得二等奖的人数；（3）用分层抽样的方法从80分以上（不包括80分）的学生中抽取了7人进行试卷分析，再从这7人中选取2人进行经验汇报，求选出的2人至少有1人在的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）在频率分直方图中，各组的频数=频率×样本容量，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）成绩在75.5～85.5分的学生占成绩在70.5～90.5分的学生的，进而估算出频率，结合共有900名学生参加了这次竞赛可得答案．；（3）80.5～90.5与90.5～100.5的人数比为：4：3，所以从80分以上（不包括80分）的学生中抽取了7人中，分数在80.5～90.5的有4人，分数在90.5～100.5的有3人，计算出抽取方法总数和选出的2人至少有1人在抽取方法数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（1）由已知样本容量为50，故第二组的频数为0.16×50=8，第三组的频率为=0.20，第四组的频数为：50﹣（4+8+10+16）=12，频率为：=0.24，故频率分布表为：分组频数频率50.5～60.5 4 0.0860.5～70.5 8 0.1670.5～80.5 10 0.2080.5～90.5 16 0.3290.5～100.5 12 0.24合计50 1.00频率分布直方图如下图所示：（2）成绩在75.5～85.5分的学生占成绩在70.5～90.5分的学生的，∵成绩在70.5～90.5分的累加频率为：0.52，所以成绩在75.5～85.5分，即获得二等奖频率约为0.26，由于共有900名学生参加了这次竞赛，所以获得二等奖的学生约为900×0.26=234人，（3）80.5～90.5与90.5～100.5的人数比为：4：3，所以从80分以上（不包括80分）的学生中抽取了7人中，分数在80.5～90.5的有4人，分数在90.5～100.5的有3人，从这7人中选取2人进行经验汇报共有=21种抽取方法，其中选出的2人至少有1人在的抽法有：=15种，故选出的2人至少有1人在的概率P==点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．18．（14分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C 截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．解答：解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．19．（14分）△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量=（a+b，c），=（a﹣c，a﹣b），若∥，（1）求角B的大小；（2）求sinA•sinC的最大值．考点：余弦定理；平行向量与共线向量．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标，以及两向量平行的条件列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）由sinC=sin（A+B），把B代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入sinAsinC 中，整理后利用正弦函数的值域即可确定出最大值．解答：解：（1）∵=（a+b，c），=（a﹣c，a﹣b），∥，∴（a+b）（a﹣c）﹣c（a﹣b）=0，整理得：a2﹣b2+c2﹣ac=0，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=；（2）∵sinC=sin（A+B）=sin（A+）=sinA+cosA，∴sinAsinC=sinA（sinA+cosA）=（sin2A+sinAcosA）=（+sin2A）=sin （2A﹣）+，∵0＜2A＜，∴﹣＜2A﹣＜，则当A=时，sinAsinC有最大值为．点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及正弦函数的值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．（ 14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有+++…+＜．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得首项；（2）由原数列递推式求解S n，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）得答案；（3）利用裂项相消法求和后放缩证明数列不等式．解答：解：（1）由S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．令n=1，得：，即，∵S1＞0，解得a1=S1=2；（2）由S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，得，∵a n＞0，∴S n＞0，从而S n+3＞0，．当n≥2时，，又a1=2，∴a n=2n；（3）由（2）知，a n=2n．故有+++…+====．点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．。

广东省揭阳一中高二数学上学期第二次阶段考试题理新

揭阳一中93届13-14学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)1．已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |=5，则|AF 1|+|BF 1|等于( )A ．2 B ．10 C ．9 D ．162．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 3．如果实数x ,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是( )A ．21B ．33C ．23D ．34．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－45．已知a r 、b r均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a r ＋3b r|=( ) A ．7 B 10 C ．13 D ．46．一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为( )A ．－24 B ．84 C ．72 D ．367．已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11( )A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．不等式0121>+-x x的解集是． 10．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是．11． “若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是． 12．某算法流程图如右图，输入x =1，得结果是________． 13．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直．其中正确命题的个数为14．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．(12分)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．16．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若s1n B ·s1n C ＝s1n 2A ，试判断△ABC 的形状．17. (14分)等比数列}{n a ，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+(1,2,3...n =)，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)(1)设b n ＝a n －1(n ＝1,2,3…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝2na n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n ＜13.19．(14分)已知长方形ABCD , AB =22,BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由．20．(14分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=. (1)求)1(-f 的值；(2)求函数)(x f 的值域A ； (3)设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域OxyA BCD图8A ，求实数a的取值范围. 为集合B，若B揭阳一中93届13-14学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)答案一、选择题：1~8：ABDC CDBC 二、填空题：9．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 10．y 2＝－20x ； 11．若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P ；12．92-； 13．3； 14．22．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15．(12分)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解析：(1)圆心C (1,2)，半径r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.(2)由题意，有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0，或a ＝43.16．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若s1n B ·s1n C ＝s1n 2A ，试判断△ABC 的形状．解析：(1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3．(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ．∴(b －c )2＝0，即b ＝c ．∴△ABC 是等边三角形．17. (14分)在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+(1,2,3...n =)，求数列}{n b 的前n 项和n S . 解析：(1)设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == …………………3分因为30a >，所以，2=q …………………………………..4分所以数列}{n a 通项为12-=n n a ……………………………………...6分(2)12log 21n n n n b a a n +=+=+-……………………………………....8分可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122n nn n nS n --=+++++++++-=+- .......12分 1(1)222n n n +-=-+…………………………………....14分18．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)(1)设b n ＝a n －1(n ＝1,2,3…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝2na n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n ＜13.解析：(1)由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，即a n ＋1－1a n －1＝2 b n ＝a n －1，b n －1＝a n －1－1 故b n ＋1b n＝2， ∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)知{b n }是b 1＝3－1＝2，q ＝2的等比数列；故b n ＝b 1qn －1＝2·2n －1＝2n＝a n －1∴a n ＝2n＋1. (3)∴c n ＝2na n a n ＋1＝2n2n＋12n ＋1＋1＝2n ＋1＋1－2n＋12n ＋12n ＋1＋1＝12n ＋1－12n ＋1＋1∴S n ＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝13－12n ＋1＋1＜13.19．已知长方形ABCD , AB =22,BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由．解析：(1)由题意可得点A ,B ,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-．设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by ax ．()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b ． ∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (2)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y ．Oy A BC D 图8设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+ 若以M N 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k所以,()0421*******222=++-++k k k k ，即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y ．所以存在过P (0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点． 20．(14分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=. (1)求)1(-f 的值； (2)求函数)(x f 的值域A ； (3)设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.解析：(1)Θ函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴ ...........1分又 0≥x 时，xx f )21()(=21)1(=∴f ...........2分 21)1(=-f ...........3分(2)由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..........5分当0≥x 时，1)21(0≤<x...........7分故函数)(x f 的值域A =]1,0( ...........8分 (3)a x a x x g +-+-=)1()(2Θ∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分方法一：由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x ，即 0)1)((≤+-x a x ...........2分 ΘB A ⊆],,1[a B -=∴且1≥a ...........13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分方法二：设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h ...........2分即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a ...........13分∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分。

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广东省揭阳市第一中学14—15学年上学期高二期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁R (A ∩B )等于( )．A ．(－∞，3)∪ (5，＋∞)B ．(－∞，3)∪[5，＋∞)C ．(－∞，3]∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)2．若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是 A ．a b a b -=- B ．22a b < C ．2b a a b +> D ．2b ab< 3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h = ( )AB.C.D.4. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B. 172C. 314D. 3345. 已知如右程序框图，则输出的i 是( )A ．9B ．11C ．13D ．156．已知θ是三角形的一个内角，且1sin cos 2θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线7．方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ )A. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.⎝⎛⎭⎫0，14 C. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎝⎛⎭⎫－14，08．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例[2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-, 这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ 的值为( )A ．21B ．76C ．264D ．642二、填空题( 每小题5分，共30分)9．在△ABC 中∠A=60°，b=1，S △ABC =3，则Aa cos =________. 10. 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 .11. 已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为_______.13. 设点O 为坐标原点，()1,2A ,且点()y x P ,坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ，则c o s O P A O P ∠ 的最大值为。

14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,F 为焦点,,,A B C 为抛物线上的三点,且满足0FA FB FC ++= ,FA + FB + 6FC = ,则抛物线的方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（本小题12分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若1a =，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．分16（本题满分12分）已知)c o s 3,(s i n ),sin ,cos 3(x x b x x a ==，函数b a a a x f ⋅+⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）已知3)2(=αf ，且(0,)απ∈，求α的值．17．（本题满分14分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AB 上移动.(1)证明:11D E A D ⊥;(2)当E 为AB 的中点时,求点E 到面1ACD 的距离;(3)AE 等于何值时,二面角1D EC D --的大小为4π.18．（本小题14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤)的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程；（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（本小题满分14分）已知如图，椭圆方程为222116x y b +=(40)b >>.P 为椭圆上的动点, F 1、F 2为椭圆的两焦点，当点P 不在x 轴上时，过F 1作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线F 1M,垂足为M ，当点P 在x 轴上时，定义M 与P 重合．（1）求M 点的轨迹T 的方程；（2）已知(0,0)O 、(2,1)E ，试探究是否存在这样的点Q ，Q 是轨迹T 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ 的面积2OEQ S ∆=？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．AB C D A 1 B 1 C 1 D 1 E参考答案一、选择题：BABC CBDC二、填空题 9. 132 10. 64 11. 3(,]2-∞ 12. 4 13. 5512 14. 28y x = 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（本小题12分）解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0. ……1分又a >0，所以a <x <3a ， ……2分当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3. ……3分由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3. 所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. ……5分若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． ……7分(2)非p 是非q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件， ……8分设A ＝{x | a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则B ≠⊂ A . ……10分所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．……12分16（本题满分12分）解：22()3cos sin cos f x x x x x =++……2分2cos22x x =++……4分＝π2sin(2)26x ++．……6分 ∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==．…………8分（Ⅱ）由32f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，得π2sin()236α++=．∴π1sin()62α+=． ……10分()0,πα∈，∴7π,666ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ …………11分 ∴566ππα+= ∴2π3α=．…………… 12分 17（本题满分14分）解:以D 为坐标原点,直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系, ……1分（并在答题卷中作出图像）设AE x =,则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C ……2分(1)1111,(1,0,1),(1,,1)0,.DA D E x DA D E =-=⊥ 因为所以 ……4分(2)因为E 为AB 的中点,则(1,1,0)E ,从而1(1,1,1),(1,2,0)D E AC =-=- ,1(1,0,1)AD =- , ……5分设平面1ACD 的法向量为(,,)n a b c = ,则10,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ……6分也即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩,得2a b a c =⎧⎨=⎩,从而(2,1,2)n = , ……8分所以点E 到平面1ACD 的距离为 1||2121.33||D E n h n ⋅+-=== ……9分 (3)设平面1D EC 的法向量(,,)n a b c = ,∴11(1,2,0),(0,2,1),(0,0,1),CE x D C DD =-=-= ……10分由10,20(2)0.0,n D C b c a b x n CE ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ……11分令1,2,2b c a x =∴==-, ∴(2,1,2).n x =- ……12分依题意11||cos 4||||n DD n DD π⋅===⋅ ……13分 A B C DA 1B 1C 1D 1E∴12x =(不合,舍去),22x =.∴2AE =时,二面角1D EC D --的大小为4π……14分（立体几何证法按每到小题分数给分，具体步骤合理给分）18（本小题14分）解：（1）022912:),914,32(=-+y x l M ……5分（2）设)2,(2+-t t M ，……6分过切点M 的切线)(2)2(:2t x t t y l --=+--即222++-=t tx y ，……7分令2=y 得2t x =，故切线l 与线段AB 交于点)2,2(t ；……9分令0=y ，得t t x 12+=，故切线l 与x 轴交于点)0,12(tt +。

……10分又t t x 12+=在]34,32[递减，所以]611,1217[12∈+=t t x 故点)0,12(t t +在线段OC 上∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，……12分面积t t t t t S 142)22122(21--=⋅-+--=2)1(4≤+-=t t ，24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……13分当且仅当1=t 时，2max =S 。