高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3 直
2.3.3 直线与平面垂直的性质教学目标1.知识与技能：（1）理解并掌握直线与平面垂直的定义和性质定理；能对定义与性质定理进行简单应用 ； （2）通过对定义和性质定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力； （3）通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯. 2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。
使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足直线和平面垂直的性质定理，培养学生分析问题、解决问题的能力 3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 重点难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程及初步应用；2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程. 教学过程： 复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b⊥a. 导入新课如图2，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b∥a.直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b ∩α=O,作直线b ′，使O ∈b′,a∥b′. 直线b ′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a⊥AB. 求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB. ∴a∥l.例2 如图8,已知直线a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α. 求证：a ∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b ′∥b ，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b ′作平面β，设α∩β=a ′,∵b′∥b，a ⊥b,∴a ⊥b ′.∵b ⊥α，b ′∥b, ∴b′⊥α.又∵a ′⊂α,∴b′⊥a′.由a ，b ′，a ′都在平面β内，且b ′⊥a ，b ′⊥a ′知a ∥a ′.∴a ∥α. 例3 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PD A=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD.变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l ⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC ， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D, 连接OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO ⊂平面POD,∴PO ⊥AB. 同理,可证PO ⊥BC.∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB ∩BC=B,∴PO ⊥α，即l ⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l ′∥l.用上述方法证明l ′⊥α， ∴l⊥α. 课堂练习：1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ）()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。
人教A版高二数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
优 选 人 教 A版 高二数 学必修 二第二 章点、 直线、 平面之 间的位 置关系 2 .3. 4 平 面 与平面 垂直的 性质
优 选 人 教 A版 高二数 学必修 二第二 章点、 直线、 平面之 间的位 置关系 2 .3. 4 平 面 与平面 垂直的 性质
思考4 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过
点P作平面 的垂线a，直线a与平面 具有什么
位置关系?
α
α
aP
β
a P
β
提示：直线a在平面 内
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思考2 如图，在长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？
解答：不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 解答:与AD垂直
F
A1
D1
α
C1 B1
A
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D
E
β
C
B
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迷宫的所有面都是与地面垂直的Biblioteka 每个拐角所 在直线与地面什么关系？
最新人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系第三节第4课时平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( ×) 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √)提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √)提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a ⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( ×) 提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．2．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【解析】选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.3.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．【解析】设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．答案：直角类型一用面面垂直的性质定理解证明问题(逻辑推理、直观想象) 【典例】如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.【思路导引】面面垂直→线面垂直→线线垂直【证明】如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.1．应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直．(2)三个注意点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.【补偿训练】如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为PA＝PC，E为AC的中点，所以PE⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以PE⊥BC.又因为F为BC的中点，所以EF∥AB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥EF.因为EF∩PE＝E，所以BC⊥平面PEF.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题(逻辑推理，直观想象)角度1 求空间角【典例】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求EC与平面ABE所成角的正切值．【思路导引】(1)由正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直可得BC⊥平面ACDE，可得AM⊥平面EBC；(2)根据面面垂直的性质定理作出线面角，在三角形中求出其正切值．【解析】(1)因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，所以EA⊥平面ABC，因为CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝ 2 ，FE＝ 6 ，tan ∠CEF＝26＝33.角度2 求体积【典例】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥QABP的体积．【思路导引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.(2)过Q作AC的垂线，得三棱锥QABP底面ABP上的高．【解析】(1)由已知可得，∠BAC＝90°，则BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2 .又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝2 2 .作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝13DC＝1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，因此，三棱锥Q ABP的体积为VQABP ＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2 sin 45°＝1. 计算问题的解决方法(1)求角、求距离等计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．1．如图，α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD＝∠CAD＝45°，则∠BAC＝( )A.90° B．60° C．45° D．30°【解析】选B.在AB上任意找一点F，过点F作AD的垂线EF，垂足为E，再过点E作EG⊥AD，EG交AC于点G.如图所示．因为∠BAD＝∠CAD＝45°，EF⊥AE，EG⊥AD，所以EF＝AE＝EG，所以根据三角形的勾股定理可知，AF2＝AE2＋FE2，FG2＝FE2＋EG2，AG2＝AE2＋EG2，所以AF＝AG＝FG，所以△AFG是等边三角形，则∠BAC＝60°.2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O为AB的中点．(1)证明：AB⊥平面A1OC.(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．【解析】 (1)连接A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所以OC⊥AB，因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形AA1B为等边三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1OC.(2)由题可知，△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形，得OA1＝ 3 ，因为平面ABC⊥平面A 1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，由(1)OA1⊥AB，OA1⊂平面A1ABB1，所以OA1⊥面ABC，所以OA1是三棱柱ABCA1B1C1的高，所以VABCA1B1C1＝S△ABC×OA1＝3.类型三折叠问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD 于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2 ，求五棱锥D′ABCFE的体积．【思路导引】(1)HD、HD′与EF的位置关系是不变的；(2)证明OD′是五棱锥D′ABCFE的高是关键．【解析】(1)由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2 2 )2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝13×69 4×2 2 ＝2322.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解析】(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【补偿训练】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AC′⊥BC′.(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值．(3)求二面角C′BDA的正切值．【解析】(1)由题意，知C′O⊥平面ABD，因为C′O⊂平面ABC′，所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB，平面ABC′∩平面ABD＝AB，所以AD⊥平面ABC′. 所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D，AD∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D，BC′⊂平面BC′D，所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H，则AH⊥平面BC′D，连接BH，则BH为AB在平面BC′D上的射影，所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角．又在Rt△AC′D中，C′D＝3 3 ，AD＝3，所以AC′＝3 2 .所以AH＝ 6 .所以sin ∠ABH＝AHAB＝23，即AB与平面BC′D所成角的正弦值为23 .(3)过O作OG⊥BD于G，连接C′G，则C′G⊥BD，则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角．在Rt△AC′B中，C′O＝AC′·BC′AB＝ 6 ，在Rt△BC′D中，C′G＝BC′·C′DBD＝332.所以OG＝C′G2－C′O2＝32 .所以tan∠C′GO＝C′OOG＝2 2 ，即二面角C′BDA的正切值为2 2 .。
新人教A版必修2高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平
目标定位
重点难点
1.理解且能证明直线与平面垂直、面面 垂直的性质定理，并能用文字、符号和 图形语言描述定理． 2．能够灵活地应用线面垂直、平面与 平面垂直的性质定理证明相关问题.
重点：掌握直线与平 面垂直、平面与平面 垂直的性质定理．
3．思一思：设a，b分别在长方体ABCD－A′B′C′D′两个不 同的面内，欲使a∥b，问a，b应满足什么条件？
【解析】a，b满足下面条件中的任何一个都能使a∥b： (1)a，b同垂直于长方体的一个面． (2)a，b分别在长方体两个相对的面内且共面． (3)a，b平行于同一条棱．
直线与平面垂直的性质定理的应用
2．如图，已知V是△ABC所在平面外一点 ，VB⊥平面 ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形.
【证明】过B作BD⊥VA于D, ∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC. ∴BD⊥AC.∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC. ∴AC⊥平面VAB.∴AC⊥BA. 即△ABC是直角三角形．
平面与平面垂直的性质定理的应用
【例2】 如图，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面 VAB⊥底面ABCD，VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
【解题探究】灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化． 【证明】∵平面VAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面VAB∩ 平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥平面VAB.∵VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA. 又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA. 又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC. ∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.
难点：能运用性质定 理解决一些简单的问 题.
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂
2.3。
4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β,β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误;对于B，若m∥β,β⊥α则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交,故B错误;对于C,若m⊥β,n ⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α,故C正确；对于D,若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．答案：C3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ）A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C 都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（)A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析:由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC,BD,因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A,所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE。
答案:B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED 是平行四边形，所以EF＝AD＝6。
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性
证明:如图所示,连接AB1、B1D1、B1C、BD, 因为DD1⊥平面(píngmiàn)ABCD,AC⊂平面(píngmiàn)ABCD, 所以DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面(píngmiàn)BDD1B1, 又BD1⊂平面(píngmiàn)BDD1B1,所以AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C, 又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面(píngmiàn)AB1C. 因为EF⊥AC,EF⊥A1D, 又A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.所以EF⊥平面(píngmiàn)AB1C,所以EF∥BD1.
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2.(面面垂直(chuízhí)性质的应用)平面α∩平面β=l,平面
γ⊥Dα,γ⊥β,则(
)
(A)l∥γ (B)l⊂γ (C)l与γ斜交 (D)l⊥γ
3.(线面、面面垂直(chuízhí)的综合应用)(2015唐山市玉田县林南仓中学
高二期中)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题,其中正确C的
证明: (1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点, 所以PG⊥AD.又平面(píngmiàn)PAD⊥平面(píngmiàn)ABCD,所以PG⊥ 平面(píngmiàn)ABCD,所以PG⊥BG. 又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, 所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD.又AD∩PG=G,所以BG⊥平面 (píngmiàn)PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G, 所以AD⊥平面(píngmiàn)PBG,所以AD⊥PB.
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证明: (1)因为BC∥平面(píngmiàn)PAD,
而BC⊂平面(píngmiàn)ABCD,平面(píngmiàn)ABCD∩平面
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线
2．在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，E 是 AB 的中点，沿 DE 将△ADE 折 起． (1)如果二面角 A-DE-C 是直二面角，求证：AB＝AC； (2)如果 AB＝AC，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE.
证明：(1)过点 A 作 AM⊥DE 于点 M，则 AM⊥平面 BCDE. 又 AD＝AE，∴M 是 DE 中点． 取 BC 中点 N，连接 AN，MN，则 MN⊥BC. ∴BC⊥平面 AMN，∴AN⊥BC. 又∵N 是 BC 中点，∴AB＝AC.
∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面 PAC， 又 AC⊂平面 PAC，∴BC⊥AC.
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利 用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质 定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下 三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须 垂直于它们的交线．
文字语言 直于 交线 的直线与另一个平面垂直
图形语言
符号语言
α⊥β α∩β＝l
a⊂α a⊥l
⇒a⊥β
作用
①面面垂直⇒ 线面 垂直； ②作面的垂线
[双基自测] 1．下列命题中错误的是( ) A．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于 平面 β C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面 γ D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 答案：D
探究一 线面垂直的性质定理
[典例 1] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3、4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质
B．异面 C．平行
D．不确定
解析：因为 l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α 且 AB∩AC＝A， 所以 l⊥α，同理可证 m⊥α，所以 l∥m.
12/13/2021
3．设 α-l-β 是直二面角，直线 a⊂α，直线 b⊂β，a，b 与 l 都不垂直，那么( C )
A．a 与 b 可能垂直，但不可能平行 B．a 与 b 可能垂直，也可能平行 C．a 与 b 不可能垂直，但可能平行 D．a 与 b 不可能垂直，也不可能平行
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(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD.证明如下： ①当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC＝BC，AD＝BD，所以 C， D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)，知 AB⊥DE.因为 AC＝ BC，所以 AB⊥CE.又因为 DE∩CE＝E，所以 AB⊥平面 CDE. 由 CD⊂平面 CDE，得 AB⊥CD. 综上所述，总有 AB⊥CD.
求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
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证明：(1)∵四边形 ADD1A1 为正方形，∴AD1⊥A1D. 又 CD⊥平面 ADD1A1，∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面 A1DC. 又 MN⊥平面 A1DC，∴MN∥AD1. (2)如图，连接 ON，在△A1DC 中，
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
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2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质
12/13/2021
[目标] 1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解 决有关问题；2.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理 解决有关问题；3.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直 的判定和性质解决有关问题．
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4.(面面垂直的性质定理)下列命题中错误的是( D )
(A)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
(B)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平
面β
(C)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
(D)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
(用序
号表示).
答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)
课堂探究·素养提升
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用
【例1】(1)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒ n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β. 其中正确命题的序号是( ) (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
目标导航
理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质,并能运用性质 课标要求 定理解决一些简单问题.
素养达成
通过直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的学习,锻 炼了学生的逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象、逻 辑推理等核心素养的达成.
(1)解析:由线面垂直的性质定理可知①正确;对于②,当α∥β,m⊂α,n ⊂β时,m与n可能平行也可能异面,故②不正确;对于③,当m∥n,m∥α时, n∥α或n⊂α,故③不正确;对于④,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以 n⊥β,故④正确.故选C.
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC.
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知识探究
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线 平行 .
a b
a∥b
图形语言
探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗? (2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗? (3)过一点有几条直线与已知平面垂直? 答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定 一个平面. (2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成 三角形. (3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面 垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾, 故只有一条直线.
又因为 AB= 1 DE,所以 GF=AB, 2
则四边形 GFAB 为平行四边形.于是 AF∥BG. 因为△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,所以 AF⊥CD. 因为 DE⊥平面 ACD,AF⊂ 平面 ACD,所以 DE⊥AF. 又因为 CD∩DE=D,CD,DE⊂ 平面 CDE,所以 AF⊥平面 CDE.因为 BG∥AF, 所以 BG⊥平面 CDE.因为 BG⊂ 平面 BCE,所以平面 BCE⊥平面 CDE.
即时训练1-1:如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形, AD=DE=2AB,F为CD的中点. 求证:平面BCE⊥平面CDE.
证明:取 CE 的中点 G,连接 FG,BG,AF.
因为 F 为 CD 的中点,所以 GF∥DE,且 GF= 1 DE. 2
因为 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, 所以 AB∥DE.则 GF∥AB.
求证:①MN∥AD1;
(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
②M是AB的中点.
(2)证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中,A1O=OD,A1N=NC.
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线 的 直线与另一个平面垂直
符号语言
a
l
a
a⊥l
图形语言
探究2:(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗? (2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂 直于α吗? 答案:(1)正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的 无数条直线均垂直于α内的任意直线. (2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.
(A)B1B⊥l (C)B1B与l异面
(B)B1B∥l (D)B1B与l相交
3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不
同的平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是(
D)
(A)若α∥β,则m∥n (B)若m∥n,则α∥β
(C)若n⊥α,则m⊥β (D)若m⊥β,则α⊥β
自我检测
Hale Waihona Puke 1.(面面垂直的性质定理)已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m, n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是( B ) (A)m∥n (B)n⊥m (C)n∥α (D)n⊥α
2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱 不重合),则( B )
所以 ON 1 CD 1 AB,
2
2
即 ON∥AM. 又因为 MN∥OA, 所以四边形 AMNO 为平行四边形,
所以 ON=AM.因为 ON= 1 AB, 2
所以 AM= 1 AB,即 M 是 AB 的中点. 2
方法技巧 证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一 条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平 面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3) 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
5.(面面垂直的性质定理)已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,
n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是
.
答案:平行
6.(线面、面面垂直的应用)设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及
β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个
作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: