2.医学统计学 变异度和正态分布

甲组 26 28 30 32 34 乙组 24 27 30 33 36 丙组 26 29 30 31 34
丙
乙
甲均数30kg 乙均数30kg 丙均数30kg
甲
24 26 28 30 32 34 36
图2.2 三组儿童体重的离散程度
2.3 描述离散程度的指标
极差(Range)
四分位数间距(interquartile range)
正确应用(1)
算术均数：适用于单峰对称分布资料； 几何均数：适合于作对数变换后单峰对称分布资料； 中位数和百分位数：适用于任何分布的资料； 中位数和百分位数在样本含量较少时不稳定，越靠两 端越不稳定； 中位数在抗极端值的影响方面，比均数具有较好的稳 定性，但不如均数精确。
因此，当资料适合计算均数或几何均数时，不宜用中 位数表示其平均水平。
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
3 1 2
1
3
正态分布的特征
□正态分布有两个参数(parameter)，即位 置参数(均数)和变异度参数(标准差)。
□高峰在均数处； □均数两侧完全对称； □正态分布有两个拐点； □正态曲线下的面积分布有一定的规律。
正态曲线下的面积规律
总结
□每个观察指标均有其特定的变异规律； □描述变异：
图形描述 统计量描述 平均数：均数、几何均数、中位数 变异度：标准差、四分位数间距、变异系数、极差
□不同分布的指标，用不同的统计量描述； □用平均数与变异度共同描述。
第三章
正态分布及其应用
─Normal distribution and its applications
查标准正态分布表: (-1.78)=0.0375 结果：身高在132cm以下男童的比例为3.75%.
质量控制
质量控制的意义
监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的变 化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警 觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。
质量控制图(quality control chart)
□小于-3的面积为 0.13%;
□小于-2的面积为 2.28%; □小于- 的面积为15.87%。
3.2 标准正态分布
□标准正态分布(standard normal distribution)是 均数为0，标准差为1的正态分布。 □记为N(0,1)。 □标准正态分布是一条曲线。 □概率密度函数：
-3.0
-2.5 -2.0
0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
-1.9
-1.6 -1.0
0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239

正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96

+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64

+1.64
正态曲线下的面积规律
99%
0.53;2.58
正态曲线下的面积规律
□正态曲线下面积总和为1； □正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； □对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； □ -1.64～ +1.64内面积为90%； □ -1.96～ +1.96内面积为95%； □ -2.58～ +2.58内面积为99%。
不同质的资料应考虑分别计算平均数。
正确应用(2)
标准差的基本内容是离均差，它显示一组变量值 与其均数的间距，故标准差直接地、总结地、平均地 描述了变量值的离散程度。 在同质的前提下，标准差大表示变量值的离散程
度大，即变量值的分布分散、不整齐、波动较大；反
之，标准差小表示变量值的离散程度小，即变量值的
□X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 □对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(-x1,-x2)=S(x2,x1)
-x1 -x2

x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013 S(-, )=1 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987
S(-1,
)=0.3413
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013
S(-, -2)=0.0228
S(-, -1)=0.1587
S(-3, -2)=0.0215
S(-2, -1)=0.1359
(u)
1 2 e
u
2
2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
u X

则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviation)
标准正态分布曲线下面积(u)
u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
离散趋势的描述—方差
□方差(variance)

2

X
n


2
s
2

X
X

2
n 1
离散趋势的描述—标准差
□标准差(standard deviation, sd)
s
X
X

2
n1
n-1: 自由度(degree of freedom)
□甲组 26 28 30 32 34
0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401
-0.5
0
0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810
0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
u 0
总结
□正态分布是描述个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一； □正态分布是一簇分布，由两个参数决定： 均数和标准差； □正态分布曲线下的面积是有规律的，且与 标准正态分布曲线下的面积对应(以标准正 态离差为单位)。
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
分布集中、整齐、波动较小。
变异系数派生于标准差，其应用价值在于排除了 平均水平的影响，并消除了单位。
平均数与变异度
□均数±标准差(min,max)
□中位数±四分位数间距 (min,max)
□变异度小，则均数代表性好！
□变异度大，数据分散，则均数代表性差！
□平均数所表示的集中性与变异度所表示的离散 性，从两个不同的角度阐明计量资料的特征！
□频数分布
□描述集中位置的指标
因为变异，世界才变得如此丰富多彩！
人类基因组计划（1990-）
Human Genome Project
黑猩猩与人染色体差异
1.23%(Science, 2002)
There are 1.23% different chromosomes between human and jocko. (Science,2002)
同种动物之间的染色体差异
双胞胎之间的染色体差异
个体变异是统计学应用的前提
个体变异 抽样误差
统计推断
平均数应用的注意事项
同质的资料计算平均数才有意义。
均数适用于：单峰对称分布的资料 几何均数适用于：对数变换后单峰对称的资料 中位数适用于：任何分布资料，有不确定值的资料
例5 只用平均数描述资料的弊病
变异度
方差(Variance)
标准差(Standard Deviation)
变异系数( coefficient of variation )
离散趋势的描述—极差、四分位数间距
□全距(range)，极差
R = max－min
□四分位数间距(inter-quartile range)
QU － QL ＝ P75 － P 25
□乙组 24 27 30 33 36
□丙组 26 29 30 31 34
极差 方差 □甲组 8 10.00 □乙组 12 22.50 □丙组 8 8.50
标准差 3.16 4.74 2.92
离散趋势的描述—变异系数
□变异系数(coefficient of variation, CV)
排除了平均水平的影响，并取消了单位。因此 变异系数常用于：
3.3 正态分布的应用
□估计频数分布 □质量控制 □参考值范围的建立
估计频数分布
Example6:某市120名12岁男童身高均数142.67cm，标 准差为s=6.00cm。设该资料服从正态分布，试求该 地12岁男童身高在132cm以下者占该地12岁男童总数 的比例。