9曲线与曲面
《曲线曲面基本理论》课件
04
在大数据分析领域，曲线曲面理论可以用于数据挖掘 和可视化，帮助人们更好地理解和分析海量数据。
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总结词
曲线曲面在工程设计中具有广泛的应 用，它们可以用来创建各种复杂的机 械零件和产品。
详细描述
在汽车、航空航天、船舶等领域，曲 线曲面被用来设计各种机械零件和产 品。通过使用曲线曲面技术，可以实 现更加精确和高效的设计，提高产品 的性能和质量。
05
曲线曲面在数学中的 地位和作用
对数学发展的影响
曲线曲面理论是数学的一个重要分支，它的发展推动 了数学在几何、拓扑、分析等领域的研究。
曲线曲面理论与其他数学分支相互渗透，如微分方程 、线性代数、实变函数等，促进了数学各领域的交叉
融合。
曲线曲面理论在数学教育中也占有重要地位，是数学 专业学生的必修课程之一，对于培养学生的数学思维
和解决实际问题能力具有重要意义。
物理建模中的应用
总结词
曲线曲面在物理建模中发挥着重要的作用，它们可以用来描 述各种复杂的物理现象和过程。
详细描述
在流体力学、电磁学、量子力学等领域，曲线曲面被用来建 立物理模型，描述粒子的运动轨迹、电磁场的分布、波的传 播等现象。这些模型可以帮助科学家更好地理解物理现象的 本质和规律。
工程设计中的应用
曲线曲面的关系
关联性
曲线和曲面在几何学中是相互关联的概念。曲线可以看作是曲面上的点的轨迹，而曲面则 可以看作是曲线在三维空间中的扩展。
应用性
在实际应用中，曲线和曲面理论广泛应用于工程设计、计算机图形学、物理科学等领域。 例如，汽车和飞机的外形设计、建筑设计、计算机动画制作等都需要用到曲线和曲面理论 。
极坐标方程的应用
空间曲面与空间曲线
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
(球面方程的标准式)
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
将标准方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2 0 由此可见球面方程的特点
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
2 双曲面
z
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
o
x
o y
x
y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
3 抛物面
x2 y2 z （ p与 同q 号） 2 p 2q 设 p0,q0，图形如下：
椭圆抛物面
cz22
1
椭球面与平面 z z1
o y
的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12)
b2 c2
y2 (c2
x
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 x和x1 y的交y1线也是椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
§7.5 空间曲面与空间曲线
一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法
一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义
如果曲面 S 与三元方程
F (x,y,z)0
有下述关系：
（1） 曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F (x,y,z)0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
第3章曲面立体
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
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曲线和曲面的表示-PPT文档资料
参数空间中每一个参 数(点)都对应于直线 段上一个点 参数空间的两个端点 对应于直线段的两个 端点
R(0) P 0 R(1) P 1
9
参数表示的数学原理：曲线
一般三维参数曲线形式：
R t x t,y t,z t
参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t) 图形学中，参数空间通常是有限区间，此时 参数曲线称为参数曲线段 图形学中，参数函数通常为分段多项式或有 理多项式曲线
Bézier、B-样条、NURBS (Non-Uniform Rational BSpline, 非均匀有理B-样条)曲线/曲面。
14
内容
参数曲面表示
参数表示的数学原理 参数曲线
Bézier曲线 B-样条曲线 NURBS曲线
参数曲面
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Bézier曲线
Pierre Bézier (1910.9.1-2019.11.25) 发音：[BEH zee eh]
Bézier曲线，1962年
16
Bezier曲线定义
Bezier曲线
30
Bézier曲线定义
一条n次Bézier曲线：
Rt Ri B i,n t
i0 n
0 t 1
多项式{Bi,n(t)}称为Bernstein基函数：
B t C 1 t t in ,
t [ 0 , 1 ]
33
Bezier曲线的定义
三次Bezier曲线（n=3）
3 k 0
p ( t ) P BEN ( t ) k k , n BEN ( t ) P BEN ( t ) P BEN ( t ) P BEN ( t ) P 0 , 3 0 1 , 3 1 2 , 3 2 3 , 3 3
曲线积分与曲面积分复习
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分
M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的 本质区别
曲面和曲线连续性的定义
曲面和曲线连续性的定义G0连续1.一条曲线的一个端点与另一条曲线的一端点相接触,我们可认为：两曲线在这一点的连接处于G0连续状态。
2.一个曲面的一边界与另一曲面的一边界重合,我们可认为：两曲面在这一边界的连接处于G0连续状态。
3.如果两者间的连续性达不到G0我们称之为误差,这个误差是个绝对误差,是以毫米或英寸为测量单位的一距离值。
G1连续4.曲线与曲线在某一点处于G0连续状态，且两曲线在某一点的法线相同，在这一点的切线的夹角为零度时，我们就称两条曲线处于G1连续。
5.如果曲面与曲面在曲线的某一处于G0连续状态，曲面a在曲线b的任意点的法线方向和曲面b在曲线b的同一点的法线方向相同，我们就称两个曲面处于G1连续。
6.如果两者间的连续性达不到G1我们称之为G1误差,这个误差是个绝对误差,是以deg 或rad为测量单位的一角度值。
G2连续7.曲线与曲线在某一点处于G1连续状态，两条曲线在在这一点的曲率的向量，如果两条曲线向量(方向和绝对值) 相同，我们就说这两条曲线处于G2连续。
8.当曲面与曲面在曲线A处于G1连续状态，曲面A在曲线A的任意点的法方量和曲面B在曲线B的同一点的法方量相同，我们就说这两个曲面处于G2连续。
9.如果两者间的连续性达不到G2我们称之为G2误差，这个误差是个相对误差G3连续10.曲线与曲线在某一点处于G1连续状态，我们从曲率梳来定义G3连续。
同时显示两曲线的曲率梳，通过曲率梳来判断。
如果曲率梳到G1连续便可认为两曲线处于G3连续状态。
11.如果两曲线间的G3连续失败，也就是说两者曲率梳G1连续失败，称之为两曲线间的G3误差。
这个误差是个绝对误差,是以deg 或rad为测量单位的一角度值，两曲面间的G3连续性是通过曲面上的曲线来定义的，方法和判断曲线连续的方法相同。
章曲线和曲面
点+曲线 点+曲线是指在一个点和一条曲线之间生成直纹面。
曲线+曲面
曲线+曲面是指在一条 曲线和一个曲面之间 生成直纹面。
旋转面
单击“应用”，指向“曲面生成”，单击 “旋转面”，或者单击 按钮。按给定的起 始角度、终止角度将曲线绕一旋转轴旋转而 生成的轨迹曲面
扫描面
按照给定的起始位置和扫描距离将曲线 沿指定方向以一定的锥度扫描生成曲面。
曲面过渡
单击曲面过渡，在立即菜单中选择三面过渡，内过 渡，等半径，输入半径值2，裁剪曲面。
工具平面
XOY平面：绕X或Y轴旋转一定角度生成一 个
指定长度和宽度的平面。 YOZ平面：绕Y或Z轴旋转一定角度生成一
个 指定长度和宽度的平面。 ZOX平面：绕Z或X轴旋转一定角度生成一
个
边界面
•单击“应用”，指向“曲面生成”，单击“边界面”， 或者单击 按钮。 • 选择四边面或三边面。 • 拾取空间曲线，完成操作。
1）单击 应用，指向曲面生成，单击网格面，或 者单击 按钮。
（2）拾取空间曲线为U向截面线，单击鼠标右键 结束。
（3）拾取空间曲线为V向截面线，单击鼠标右键 结束，完成操作。
(a)规则四边网格 (b)不规则四边网格 (c)不规则网格
实体表面
线裁剪 曲面上的曲线沿曲面法矢方向投影到曲面 上，形成剪刀线来裁剪曲面。
曲面过渡就是用截面是圆弧的曲面将两张曲面光 滑连接起来，过渡面不一定过原曲面的边界。
(a) 过渡的两张曲面 渡
(b) 不进行裁剪的过
（c）带裁剪的过渡
变半径两面过渡
不进行裁剪的过渡
带裁剪的过渡
变半径两面过渡
曲面缝合
曲面缝合是指将两张曲面光滑连接为一张曲 面。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。