寒假课程【精品讲义】人教版九年级数学总复习第七讲二次函数与面积问题(学生版)

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人教版数学九年级上册《二次函数单元复习专题——二次函数中三角形面积问题》课件

1
2
1
2
= DE·(BF+ CC’) = ×2×3=3
探究五
如图：抛物线y=- 2 +2+3与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点。
5.求△BCD的面积.
方法二：
y
E
（0,3）C
解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E.
D
（1,4）
∵B（3,0）、C（0,3）、D（1,4）、E（0,4）
人教版九年级上册
第二十二章
二次函数
二次函数中三角形面积问题
引题
计算下列各三角形的面积
C（0,3）
B（0,3）
O B
A
（-1,0）（1,0）
1
x
S△ABC= 2 ∙ = 2 × 2 × 3 = 3
1
B（1,3）
∟
y
C
1
y
y
A（2,1）
O
x
1
S△ABO= 2 ∙ = 2 × 3 × 2 = 3
与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点。
解：∵A（-1,0）、C（0,3）、D（1,4） ∴AO=1，DF=1
∟
F
（0,3）
C
y
D
设直线AD的解析式为：y=+
（1,4）
把点A , D坐标分别代入解析式得：
− + = 0
,解得 = 2
+ =4
=2
∴直线AD的解析式为：y=2+2
E
（3）用代数式表示三角形的底或高；
（4）求出三角形的面积。
拓展延伸
我们如果把△ ABC放在平面直角坐标系中，

人教版九年级数学上册二次函数应用题之面积问题讲义

面积问题有些实际问题并不直接表现出抛物线，却把二次函数相关的知识隐含在其中，我们可以用二次函数来解决面积问题例1、爷爷退休后在乡下养鸡，他用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙（墙的最大长度为20米）。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？请你帮爷爷设计一下，并说明理由例2、小李同学帮奶奶养鸭，想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？2、卢爷爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．3、用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2。

(1)求出y与x的函数关系式。

（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．5、在城市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2)。

《二次函数与图形面积问题》PPT课件人教版九年级数学

即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为15- 2xm.
y
x
15
x
2
=
1 2
x2
15x.
二次函数与图形面积问题
R·九年级上册
复习导入
用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说
出开口方向，对称轴及最值.
（1）y=x2-4x-5
开口方向对称轴顶点坐标最小值
向上 x=2 （2，-9） -9
（2）y=-x2+x+ 1 4
向上
x=1 4
（1 ，1） 22 1
2
探究新知
知识点利用二次函数解决最大（小）面积问题
2
2
x2
5x
A
B
所以当
x= -
2
5 （-
1
=5 ）
时，S取最大值，S最大值
1 52 2
5 5=
25 2
2
当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
6. 一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，
AB=12. 用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，
E，F分别在BC，AB，AC上，要使剪出的矩形CDEF的
D
GC
则AH=a-x，HE = a - x2 + x2 ,
H
S正方形EFGH [ (a - x)2 x2 ]2 =2 x2 2ax + a2
当x=
a 2

第22章二次函数第7课时二次函数与一元二次方程-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)

人教版九年级数学上册讲义第二十二章二次函数第7课时二次函数与一元二次方程教学目的二次函数与一元二次方程的联系．会求二次函数与坐标轴的交点．教学重点会求二次函数与坐标轴的交点．二次函数与一元二次方程关系及其应用．教学内容知识要点1．二次函数与一元二次方程的关系关系：2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系关系：3．利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值的步骤步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，指出函数图象与x轴的交点两侧相邻的两个整数．(2)列表取值，即在函数图象与x轴的每个交点两侧相邻的两个整数间取值．(3)根据精确度要求写出方程的根的近似值．对应练习1．抛物线y＝2x2-4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是．2．若抛物线y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2＝0的解为 .3．若二次函数y=(k-1)x2+4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．4．已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标．（2）对称轴为．（3）当时，y随着x得增大而增大（4）当时，y＞0．5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，对称轴为直线x=，抛物线与x轴的交点分别为A、B，则A、B两点间的距离是．6．若二次函数y＝x2-2ax-1(a为常数)的图象在-2≤x≤5的部分与x轴有两个公共点，则a的取值范围是．7．已知二次函数y＝x2+2x﹣3.（1）求二次函数的顶点坐标；（2）求函数与x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为 .8．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象与x轴交于A、B两点，且经过C（1，﹣2），求点A、B的坐标和a的值．课后作业1．抛物线y＝-x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+bx+c＝0的解为．2．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0，B（2，﹣3）两点，则关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c 的解为 .3．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1，0)、B(5，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x-1)2=b-bx的解是．4．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．5．抛物线的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．6．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的方程ax2+bx＝m有实根，则m的取值范围是．x ... ...y ... ...7．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为个．8．直线y1＝x+m与抛物线y2＝ax2+bx+c交于P、Q（2，3）两点，其中P在x轴上，Q（2，3）是抛物线y2的顶点.（1）求y1与y2的函数解析式；（2）求函数值y1＜y2时x的取值范围.9．如图，二次函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C.（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围.10．如图，抛物线y1=x2-2与直线y2=x+4交于A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)当y1＜y2时，直接写出自变量x的取值范围．练习参考答案1.答案：x1＝﹣1，x2＝32.答案：x1=﹣1或x2=23.答案：k≤5且k≠14.答案：（﹣3，2）x＝﹣3x＜﹣3﹣5＜x＜﹣15.答案：36.答案：7.解：（1）∵y＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）；（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3；当x＝﹣2时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3；抛物线经过点（0，﹣3），（﹣2，﹣3），（4）﹣4≤y＜0.故答案为﹣4≤y＜0.8.解：将点C的坐标代入函数式可得：a﹣2a﹣3a＝﹣2，．令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，∵a≠0，2﹣2x﹣3＝0，∴x∴x1＝﹣1，x 2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．作业参考答案1.答案：x1＝1，x2＝﹣32.答案：x1＝﹣1，x2＝23.答案：x1＝1，x2＝54.答案：k＞﹣15.答案﹣1＜x＜36.答案：m≥﹣37.答案：18.解：（1）把点Q（2，3）代入y＝x+m，∴3＝2+m，∴m＝1，∴y1＝x+1，∴令y＝0，x+1＝0，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，0），∴顶点为（2，3），2+3，∴设抛物线y＝a（x﹣2）把P（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣2）2+3，解得：，∴，（2）∵直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣（x﹣3）2+3交于P（﹣1，0）、Q（2，3）两点，∴函数值y1＜y2时x的取值范围是﹣1＜x＜2.9.解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1＝0，得x2+2x﹣3＝0，解这个方程，得x1＝﹣3，x2＝1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1.10.解答：解：(1)解方程组得：，，即A的坐标为(-2，2)，B的坐标为(3，7)；(2)当y1＜y2时，自变量x的取值范围是-2＜x＜3．。

初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件

面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础覆盖全面由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。这个定义表明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上

人教版九年级数学上册二次函数图像与性质复习讲义

二次函数性质总结
开口方向
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增
大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
最值问题
当 $a > 0$ 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 $a < 0$ 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。
换为y+h（y-h）。
对称变换规律
函数图像关于x轴对称时，将原函数中的y用-y替换，得到新的函数表达式。
函数图像关于y轴对称时，将原函数中的x用-x替换，得到新的函数表达式。
函数图像关于原点对称时，将原函数中的x和y分别用-x 和-y替换，得到新的函数表达式。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向上伸长（缩短）为原来的a倍时，将原函数中的x用ax 替换。
人教版九年级数学上册二次函数图像与性质复习讲义
汇报人：XXX
汇报时间：2024-01-22
目录
• 二次函数基本概念与性质 • 二次函数图像变换规律 • 二次函数与一元二次方程关系 • 二次函数在实际问题中应用举例
目录
• 典型例题分析与解题思路展示 • 课堂小结与课后作业布置
01
二次函数基本概念与性质
等积变形法
利用等底等高的三角形面积相等或平行四边形的性质，将所求面积转化为其他易于计算的面积。
方程法
根据已知条件建立方程或方程组，通过解方程求出相关线段的长度，进而计算面积。
其他实际问题应用举例
利润问题
利用二次函数模型描述利润与售价之间的关系，通过求最值确定最大利润及对应的售价。

人教版九年级数学《二次函数》总复习课件(公开课)

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
二次函数
y=ax2+bx+ c
与x（轴有a≠两0个）不
同的交点（x1，0）（x2，0）
与x轴有唯一个
交点 ( b ,0) 2a
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
图象
y
O
x y
O
二次函数复习课
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
• 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2
•
③代数式一定是整式
• 练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，
• y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

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第七讲二次函数与面积问题
明确目标﹒定位考点
二次函数是初中代数的重要内容之一，中考通常放在压轴题的位置来考查，主要考查二次函数的图像及性质（解析式、增减性、最值），并且通常以二次函数图像抛物线为背景，综合考查函数图像与几何图形性质。

占比15分左右。

热点聚焦﹒考点突破
考点1 直接求三角形的面积
【例1】若抛物线2
6y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则△ABC 的面积为________。

【变式训练1】已知二次函数21322
y x x =-
-与x 轴交于AB 两点，顶点为C ，则△ABC 的面积为________。

【规律方法】直接套三角形面积公式。

考点2 分割法求图形的面积
【例2】）如图，已知直线AB ：y=kx+2k+4与抛物线212
y x =交于A ，B 两点．
（1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接出点C 坐标；
（2）当k=﹣12
时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；
【变式训练2】已知二次函数2142
y x x =-++的图像与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与y 轴交点
为C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。

【规律方法】分割法求图形面积适于斜三角形及四边形。

三角形分割成两个底和高与坐标轴平行（或垂直）的三角形，四边形分割成几个三角形。

考点3 扩充法求图形面积
【例3】已知：如图抛物线214y x x a =-+过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

（1）求出抛物线1y 的解析式；
（2）是否存在点Q 使得△QAB 的面积最大？若存在，请求出△QAB 的最大面积；若不存在，说明理由.
【变式训练3】如图， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334
y x =-+的图像 1
y
与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218
y x bx c =
++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？
【规律方法】扩充法求图形面积即把原图扩为可求的图形，再用减法求所求图形的面积。

考点4 动态问题与面积
【例4】如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米。

（1）当t=4时，求S 的值
（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值
【变式训练4】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，
3）三点，其顶点为D ，连接AD ，点P 是线段AD 上一个动点（不与A 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，
垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值。

【规律方法】动态问题中求图形的最大面积，利用二次函数的最值性质来解决。

归纳总结﹒思维升华
抛物线背景下，常见的有以下几何图形：
注意：
（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边。

（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解。

（即采用割补法的方法把它分解成易
于求出面积的图形）
（3）在求图形的面积时常常使用到以下公式：
抛物线解析式：2(0)y ax bx c a =++≠
抛物线与x 轴两交点的距离AB=12AB x x =-= 抛物线顶点坐标2
4(,)24b ac b a a
-- 抛物线与y 轴交点（0，c ）
专题训练﹒对接中考
一、解答题。

1.已知关于x 的二次函数y=ax 2
+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的
坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数c
bx
x
y+
+
-
=2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C)3,0(，A点在原点的左侧，B点的坐标为)0,3(。

点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方。

（1）求这个二次函数的表达式。

（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。

作业：
一、解答题。

1.已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；求此抛物线的表达式与点D的坐标；（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；。

寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第七讲 二次函数与面积问题(学生版)

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