8-4 1 安培环路定理 modified
§8-4-磁场的高斯定理和安培环路定理-(2)
由叠加原理，整个电流回路的磁
场中任意闭合曲面的磁通量必定都
等于零，这就是磁场的高斯定理。
S B dS = 0
Idl
B
1
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述：
恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路
的积分等于此环路所包围的电流代数和的
2π
围绕单根载流导线的任一回路 L：
L2
对L，每个 线元
dl
以过垂直导线平面作参考，分
解为分量dl//和垂直于 该平面的分 量 dl，有
L B dl
L//
B dl//
L
B
dl
dl B 0
B dl
L
L// B dl//
0I
证明步骤同上 4
围绕多根载流导线的任一回路 L：
设
I1,
I
§8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对
称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线
的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
在围绕单根载流导线的
垂直平面内的任一回路：
Ldl dBFra bibliotekB dl Brd
I
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
r d
3
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路：
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理.
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一. 稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳 恒磁场无源。
安培环路定理
几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。
L B (d l d l// )
B
L I d
r
dl
P
B
L
cos
90
dl
B
L
cos
dl//
0 LBr d 2 0 I r d
0 2 r
0I
结果一样！
长直电流的磁场
如果沿同一路径但改变
绕行方向积分：
B dl B cos( ) d l
的所有电流的代数和
安培环路定理
几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。
B
简述安培环路定理
简述安培环路定理安培环路定理是由华乐士安培（GeorgeOhm）于1827年发现的一个物理规律，它被认为是电路理论的基础。
它描述了在一个环路中，电流与电阻之间的依赖关系：流过环路的电流量与环路中所有电阻值的乘积总和（称为电动势）之间的绝对值是一定的。
此外，安培环路定理还指出，任何环路均可通过计算环路的总阻抗及电动势的差来确定电流的方向及大小。
安培环路定理的数学表达式为：V=I×R，其中，V表示电动势，I表示电流和R表示环路中的总阻抗。
在安培环路定理中，电流的方向是从电动势高的一端流向低的一端。
安培环路定理可以让我们更加清楚地了解电路中电流的变化规律。
它有助于我们在分析电路中发生的物理过程、计算电路参数与解决电路问题方面取得进展。
由于安培环路定理可以深入地探究电路的内部机制，因此它也被广泛应用于电路的设计和分析。
安培环路定理在实际应用中可以用来计算电路中的电流或电压。
例如，当给定一个电路的构成以及电阻值后，可以根据安培环路定理计算电流的大小及方向。
此外，安培环路定理还可以用来计算环路中的其他参数，例如比较电阻值之间的差异，根据两个电压之间的差异求出电阻，以及计算某一电阻下的电流值等。
安培环路定理的本质是电路的经验定律，因此在其定义中并没有出现物理概念，但其实安培环路定理是建立在一定的假设之上的。
其一，指出环路中电流的数量只依赖于环路中电阻的总和，即环路中所有电源的电动势，不受它们之间的接线方式所影响；其二，安培环路定理只适用于线性的电路，即电阻的值不会随着电流的变化而有所变化。
安培环路定理是电路理论的重要组成部分，其简洁的数学表达式和有效的计算方法的实用性，使它成为不可或缺的物理定律之一。
它的发现也为进一步探索电路设计问题提供了帮助，因此，它在电路设计中有着深远的影响。
安培环路定理的表达式
安培环路定理的表达式
安培环路定理：
1. 定义：安培环路定理是一种复杂的物理电路原理，它可以用来求出
一个电路中的特定电场和电势差之间的关系。
它表明，任意一个无逆
反元件的环路中，环路中的电势差与环路中的电流的乘积之和等于零。
2. 公式：安培环路定理表示为:ΣV=0，其中V表示环路中有电势差的元件/器件，负号表示电势差方向与电流方向相反，Σ符号表示环路中所
有器件的电势差求和。
3. 对它的解释：安培环路定理告诉我们，只要通过一个无逆反电路，
将环路中每个电子器件的电势差之和求出，就能够找出环路中的电流
是多少。
即在一个无逆反电路中，任意一连接线或分支的电势差与环
路中的电流的乘积之和等于零。
4. 安培环路定理的应用：安培环路定理涉及多个电路分析技术，广泛
应用于工程领域，如汽车电子、发电机、电源系统、电子设备等。
具
体来说，它可以用于计算电压和电流变化之间的关系。
同时，电路分
析问题的研究也是在安培环路定理的指导下进行的。
而安培环路定理
也利于我们更好地了解短路，而短路提供了进一步了解电路的方式。
安培环路定理例题
安培环路定理例题
一、安培环路定理简介
安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它是由德国物理学家安培（Ampère）提出的。
该定理描述了电流与磁场之间的关系，为我们研究电磁现象提供了有力的理论依据。
二、安培环路定理的数学表达式
安培环路定理的数学表达式为：
∮μJ·dλ = με∮φdλ
其中，μ为真空磁导率，J为电流密度，λ为路径，ε为真空介电常数，φ为磁感应强度。
三、安培环路定理的应用
1.计算磁场强度：利用安培环路定理，我们可以通过测量电流和磁场路径上的磁场强度来计算磁感应强度。
2.分析电磁感应现象：在电磁感应现象中，安培环路定理可以帮助我们理解磁场变化产生的电动势，从而分析电路中的电流分布。
3.求解电磁场问题：安培环路定理在求解电磁场问题时具有重要意义，例如在电磁波传播、电磁感应等领域。
四、安培环路定理的拓展
1.非均匀磁场中的安培环路定理：在非均匀磁场中，安培环路定理仍然适用，但需要对磁场进行积分运算。
2.多维空间中的安培环路定理：在多维空间中，安培环路定理可以扩展为
更高维度的公式，以描述不同维度下的电磁现象。
3.其他相关定理：与安培环路定理密切相关的还有法拉第电磁感应定律、楞次定律等，它们共同构成了电磁学的理论基础。
通过掌握安培环路定理，我们可以更好地理解和分析电磁现象，为实际应用提供理论支持。
8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
B 0I 2r
由几何关系得：
B
o I d r
L
B r P dl
dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
L
L
L
2 0 0 2
I r d 0I
r
2
2
d
0
0I
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如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
B • dl B cos( ) d l
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
B
B
B
0 2
Ir R2
在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
o
R
r
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
I I
I R r
B
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
安培环路定理的一般证明
安培环路定理的一般证明
安培环路定理（Kirchhoff's Current Law）是电力学中应用最广泛的定理之一，由德国物理学家基尔霍夫提出。
该定理犹如安培法则，它指出了一个环路中，各分支电流之和等于该环路中电流的入口和出口之和。
安培环路定理又称基尔霍夫电流定律，且永久有效。
本文将简要阐述安培环路定理的一般证明。
首先，定义一个带有电流I的线路，该线路由k个电阻元件组成的环路，其中R1，R2，R3等等。
把该环路分成两个跨度，分别为p和q。
将电流I划分成IP和IQ，IP是从p传输到q的电流，IQ是从q传输到p的电流。
则该环路中电流总和可以写成：
I=IP+IQ
根据Ohm定律，从p传输到q的电阻抵抗为：
R1+R2+……Rp=RP
由于IP=Vp/Rp，则有：
IP=Vp/(R1+R2+………+Rp)
从q传输到p的电阻抵抗为：
Rp+1+……+Rq=RQ
根据Ohm定律，有：
IQ = Vq/Rq
综上所述，该环路的电流总和可写成：
I =Vp/(R1+R2+………+Rp)+Vq/RQ
上式为安培环路定理的一般证明，也即电流的入口总和
等于电流的出口总和。
安培环路定理是电力学中非常重要的一条电路定理，在电路仿真和电子设备设计中有着重要作用。
总之，安培环路定理是电力学中一条非常重要的定理，它指明了环路中电流的入口等于出口的总和，也就是安培环路定理的一般证明。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
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L
4、静电场 vs 恒定磁场
+
高斯定理：
S
E dS q
0 S内
1
i
S
Bd S ＝ 0
无源场
有源场，“源”“汇” 环路定理：
E dl
l
0
L
B dl ＝ 0 I
无旋场，保守力场
有旋场，非保守力场
§8-4 稳恒磁场的高斯 定理、安培环路定理
磁场的高斯定理
1、稳恒磁场的高斯定理
B 的高斯定理 (磁通连续方程)
在任意磁场中，通过任意封闭曲面的磁 通量总等于零。
B d S 0
S
磁场是无源场！
2/16
磁场的高斯定理
通过闭合曲面的磁通量？
B S
B dS ?
磁感应线无头无尾，为闭合线（不发生断裂） 对任意闭合曲面，穿入磁感应线＝穿出磁感应线。
∴通过任何闭合曲面的磁通量为零。
3/16
回顾静电场的高斯定理
回顾
静电场的高斯定理
闭合曲面内的电量
通过闭合曲面的电通量
E
S
1 E dS
0
q
S内
i
q
高斯面S
4/16
安培环路定理
2、安培环路定理
两根长直导线均通有电流I。 图示有三种环路，在每种情况下， b
L
B dl ?
a
c 1）对环路a（2分）：
0 I .
0. 3）对环路c （2分） ： 20 I .
2）对环路b （2分） ：
思考——考试选择题
在圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形 闭合回路L，则有： （A）L B dl 0,且环路上任一点B＝0.
B dl
L
0 I
B 空间所有电流共同产生的磁场；
dl L上的任一线元；
L 在场中任取的闭合线，任意的绕行方向；
环路所包围的所有电流的代数和。
11/16
I
★ 补充电流 I 的正负规定：
L
B dl
0
I
积分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时， 电流 I 为正值； 反之 I 为负值（加负号）。
I
I为正值
I
I为负值
I3
L
B dl 0 I .
I2
L
B dl 0 I .
I1
L
dl
0 I1 B dl 0( I1 I 2 ) L (I I ) 2 0 1
思考——考试填空题（6分）
在环路上任取一Biblioteka P，到电流的距离为r，0 I 磁感应强度的大小： B . 2 r 由几何关系得： B dl B cos dl L L dl cos rd , Br d L B 2 0 I r d L d 0 I 2 r r dl 0 I 2 P 0 d 2
L
B
2
0
0 I r d 2 r
结果一样！
0 I .
③如果沿同一路径,但改变绕行方向积分： L B dl B cos( )d l
L L
－B cos dl
L
I
d
r
－
2
0
0 I d 2
结果为负值！
dl
B P
I
L
（B） B dl 0,且环路上任一点B ≠ 0. L （C）L B dl 0, 且环路上任一点B≠0. （D） B dl 0, 且环路上任一点B＝常量.
L
关于安培环路定理的讨论：
L
B dl 0 I
1、对任意形状稳恒电流，安培环路定理 都成立； 2、环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却 是所有电流在空间产生磁场的叠加； 3、安培环路定理仅适用于闭合的载流导线， I2 I1 I3 对任意一段设想的载流导线是不成立的。 dl
0 I .
② 若闭合环路不在垂直于导线的平面内： B dl B (d l d l/ / )
L L
B cos 90 dl B cos dl / /
L L
I
d l
d l
d l
0 Br d
顺时针
关，只和闭合曲线内所包围的电流有关。
的环流与闭合路径的绕行方向有关！此时I为负！ B 总结① ② ③： B 的环流与闭合曲线的形状无
0 I .
2.2 若闭合环路不包围电流
Q
L
I
O
L2
L1
L
B dl
L1
Bdl Bdl
L2
1 2
P
结果为零！
0 I ( d d ) L L 2
0.
表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强 度矢量的环流为零。
安 培 环 路 定 理
安培环路定理
在恒定电流的磁场中，B沿任一闭合路 径的线积分，等于真空磁导率0乘以穿过 以闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定 电流的代数和。
回顾：静电场的环路定理
E dl 0
l
1
B
2
I
A
E
静电场是保守力场！
考虑：磁场的环路积分？
B dl ?
l
5/16
长直电流的磁场的环路积分
Eg. 长直电流的磁场的环路积分 2.1 若环路包围电流 I
I
安培
L
I
6/16
① 若环路在垂直于导线的平面内，（逆时针）