关于椭圆弦心距问题的讨论

b
,i a 0 一乙 白， r) f 以 育
乙a
(3)
一 2<
a2(牛典丝蕊1且， ‘2 b， 即
1 ` C`
2ab
b2 十 a 2k2
,x 1x 2
a2( M2 一 夕) b2 十 a 2k2
1 AB 3=
而 2 十b2 a2( 1 2一 2夕) 。
< l ( min{2b, 2a } 时， 当 roseB 二
眨歹 1夕
例 析利 别 式“ 川”的妙 用
2 15 6 0 0
江苏省梁丰高级中学数学组
x 十 t an
乙
刘彩萍
月 二 2 =
判别式是二次函数、 二次方程和二次不等 式中经常涉及到的一个基本量， 其基本结构 4 二 b2- 4ac ， 在解函数、 方程、 不等式等问题时， 有 时可从形似到神似， 联想构造二次函数， 妙用判 别式， 现举例说明. 例 1. 已知 a > O,a - b+ c< O， 则一定有( ) n . 不能确定 分析 : 从选择项着手 考虑， 联想 b2- 4ac 为判别 式形 式， 构造二次 函数 f ( x ) = ax + bx + 。 ， 由 题意， .f ( 一 1) = a - b+ 。 < 0， 且a ] 0 ， 即该二次函数开口向上， 且有 f (-.1) < 0， 所以一定与 x 轴有两个不同的交点 ， 从而
12C 4 r 。 。
v
b
C OS21 .1+
a2( 4护 一 12)
4b2
12, 4 rc有沪 ;= C os'}口 + 4 a 2夕 =
一 一 吐 J 、尹、0 灿 r ，
乙a
丫 4 a ‘一 乙 ‘;
当 弦AB垂 直 于x 轴 时,d ,; 二共
‘a
4b2 一 1 2. 所以
了 1 以 . 口.
(ta n譬 ta n2)z、 4 ta n普 ta n警 (ta n普 ta n誓 一 1 )
例 3. 已知 al ,a2}bi , b: 非零实数， 求证 : (a i bi + a2b2) 2 ( (af + aD (bT +
b}) ( 证明柯西不等式 ) 分析 : 该 不 等式 即 ( a , bi + a2b2) 2 (a 子 + a 22) ( M + b荃 )(
矛 8 落
上海中学数学 2008 年第 3 期
关 于树 圆孩心 距一 问题 一 的讨击
203600 上海市松江二 中 张忠旺
我们知道在圆内长度为定值的弦到圆心的 距离是常数， 那么在椭圆内长度为定值的弦到 其中心的距离如何变化呢? 下面对这一问题进
行讨论 .
(2) 若。 < a2(l2- 2 b 2) ‘粤， 即 rb ， ‘
理得 (b2 -I - a2k2) x2-} - 2a2kmx -}-a2( m2 一 b2) = 0 设 A ( xl , yl ) , B( x2,y2) ， ’XI + x2 二 :
2a 2km
dm a x=手 ;当 C Q S 2 “ 一 ‘ ， 即 弦 A B 与 x轴 平 行 时 二 -芍 一 ~， 犷。 ， ， ‘ 。b A a 2-1 2 G “ 、 手 1 若
、 瓜乎 一 12; 当 C O S 2B= I ， 即弦AB 与x 轴平行 4a2 一1 2 蕊d
d m 、 一 2 b a 勺 4 a2-1 2 . 所 以 2 b a 镇a
山 ，
所 以 。 Gd< 矗1 /4 a2一 1 2 ,
综合上述讨论 ， 可将结论整理为下表.
b Z
4b2 一12
思维 之锥
有 b2 一 4ac > 0. 选 A
4 ta n
万少 一“ tan 万tan
c 、 ， 」 _
一 2 一 Zt a n 万tan A B _ 。。 。 、 ， 证 明 : 丫 t an 种 ; 二U - r ut : ( t a n 万 tan 万 tan B
n
证 明 : ( tan 中 ， 例 2. 在 争 △ ABC A C
一4 a c = 0
C 1 7 一 1 由 三 角 丁tan
ta n
函数知识知 : ’ : cot
A 十C
十 tan
一4 "
> 0
B. 夕 一4ac < 0
2
1一 tan
万tan
c 一 2 c 一 2
。 :’ f (1) 二0， 即f (x) = 0有一根为1. (如图 )6 > 0， 故
即 ta nZ A t二 譬 +ta n普 ta n誓 +ta n 普 ta n 誓 一 ‘ -
通
， 犷， L } u o
a 2 (1 1 2 2 -2 C 2b 2 )} 2 +罕(。 镇 “ <a ).
、 1 I w, 习 山 诵 ， 二 习 一
， ， 、 -k }a2( l2 一 2b2) / * 。 。 。_ ， ， 二，
~ _ 一,
t .. C `
2 b侧 4 -Y -1 2 d( 会砰 2 b a 4 奋 a 2 花 -I, 了 . (6 )当 a2 (1 1 2-2 2 C Z b 2 ) > 1且 ， >2 b ， 即
O,AB 为椭圆内定长为 l 的弦， 椭圆的中心为 0 ，
A OAB 的面积 为 5 .
:设 椭 圆 方 程 为 Q x 2+ 2
2b < f a
2b 论 1 :设 椭 圆程 为 s2 z a+
。 、 J、 手 。 、 “ 、 贵 V 4 a ， 一 “ 尹
- 1( a 夕一
上述结论为我们编拟 学试题提供了很好
2 a6
、
bl
丫 4a'一 1 2;
2 a6
a 2 + 62
m 一 4a
V w又 ‘ } 了 幸b 2
二， _ ，，
2 b u4 a 2-l2G“ 、 手
2b a、 4 b 2-1 、 “ 、 票 命 } ib v4 b 2-1 、“ 、_ 2 b a
了 4a2 一 1 2
( 2) 当一二 兰兰= 二 < l <
d mex
一 1 2,2 一 一“ J’
a T; b当 一 2 “ 一 。 ， 即 弦
， ，， a b
t ab 了1 + k2 了0 2 + a2k2 一 m2) 二 1 夕 + a2k2 12( 夕 + a2k2?2 二 m2 二 ( b2 + a 2k2) 一 4a 2b2( 1 + k2)
,/ 4b2 一 1 2 。 AB 与 x 轴垂直时， dm in = 典 乙n
maxi2b,涯ab )< I, < 2a 时， 当弦AB 与、 轴平行
时， dm :二 = 时， dm in =
一 芝 尧 V , Gp v < 、t }
犷a o
COS20
a. ‘ 一 一 一 夕 到 b 一 曰 几 序 以 」
= 0， 即弦 AB 与 x 轴垂直时， dm ax
a 2 . 0
4护 一 1 2 ; 当弦AB 过椭圆的中心
u 2 G + l }<‘ (n in ;H 5 4 ? a )
办 1< 1( 2b
2b < 1 ( 2"
了 4b2 一 12;
推论 2
2 b时 ， , ;一轰 S
- 1,a > b > 夕一
( 3) 当 26 < l < 2a 时， S 无最小值 少
,4 2u < 2b
。 ( 、 C 奈 ,/4 a2一 ， 2
数 令 f(x )一 ta n警ta n警 一+ta n譬 ta n2 C
条件 d 的范 [M
A OAB 的面积 为 S . ( 1) 当 0 < 1 落 -二 二 二 二 二 二 二 二 ‘ 口 」， O n,
0 < 1 毛 在b
2 b a 4 a -1 、 “ 、2 b
了 4b“ 一 护
2a b
2一 2b2) 、 < l 蕊,f2 -. 时. 当C ost 0= a2(1 - 一 1 2C Z -一 -“ ， ,am ax=
12C 0
C O S 4。 + 塑 岑 些C ostB+
乙打‘
a 2( 4b2 一1 2)
4b2
任口‘
当 0 =
900 时 ， 易 得 d 2 二
手 ;当 弦 A B过 椭 圆 的 中 心 时 ， dr ain一 。 所 以 “ <d< 手 .
l 5 少右门 一 一- 花一 二， - 一
10 C`
， ， 、.t..a2(1 2一 2b2)
a2(4b 2 }1 2)(t< 2b )， 仍 满 足 上 式 .
所 以， 对于 0 < B< C 2(12 一 2b2)
2b2
> I 且 1( 2b， 即 f a< l毛
片 -
2b 时， 当弦 AB 与刃 轴平行时 ， a 湘x
所以 共 40` 一 乙 ‘ 气a
乙0
丁
原点 O 到直线 AB 的距离为 d
沪
=
}m !
了I + k2
， 即 2b (4) 若 冬< 也兰 共 共 军 竺 2( 1且 ， > :。
乙 1' C'
将 k = tan) 代人上式化简得:
d2 = 一 4a 2夕
m2 I 十 k2