武汉市部分重点中学2020学年度新高三数学起点考试试卷(理科)

武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．已知 为等差数列 中的第8项，则二项式 展开式中常数项是（ ）
A． 第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
2．设 ， ， ，则 与 的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件的是 （ ）

4．下列函数在x＝0处连续的是 （ ）
A．f（x）＝ B．f（x） ＝lnx
C．f（x）＝ D．f（x）＝
5．已知函数 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
6． 的三内角A，B，C所对边长分别是 ，设向量
，若 ，则角 的大小为 （ ）
A． B． C． D．
7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的
两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）
A． B． C． D．
8．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的
直线至少有 （ ）
A．36条 B．30条 C．21条 D．18条
9．记满足下列条件的函数f（x）的集合为M:当|x1|≤1,|x2|≤1时, |f（x1）－f（x2）|≤4|x1
－x2|．若有函数g（x）＝x2＋2x－1, 则g（x）与M的关系是（ ）
A．g（x） M B．g（x） M C．g（x） M D．不能确定
10．已知函数 的定义域是 值域是[0，1]，则满足条件的整数数对 共有 （ ）
A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上）
11．已知某人投篮的命中率为 ，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。
12．已知随机变量 ，若ξ=2η+3，则Dη=____________.
13．已知 且满足不等式组 ，则 的最大值是 .
14．设 = .
15． 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离
叫做刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满
足下列关系： (m,n是常数)，如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速
x(千米/时)的关系图.
（I）y关于x的函数表达式为：___________
（II）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行驶的最大速度为：__________

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知函数
（I）若函数 的图象关于直线 对称，求a的最小值；
（II）若存在 成立，求实数m的取值范围.
17．（本小题满分12分）
如图在直三棱柱ABC - A1B1C1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a，AA1 = 2a，D
为BC的中点，E为CC1上的点，且CE = CC1
（I）求三棱锥B - AB1D的体积；
（II）求证：BE⊥平面ADB1；
（Ⅲ）求二面角B-AB1-D的大小.

18．（本小题满分12分）
口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每
次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个
白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。求在
前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望；

19．（本小题满分12分）
已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线. ，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛
物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）若△POM的面积为 ，求向量 与 的夹角。
（II）试证明直线PQ恒过一个定点。
20．（本小题满分13分）
设函数
（I）k为何值时，f(x)在R上是减函数；
（II）试确定实数k的值，使 的极小值为0.

21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）求 的值；
（2）数列{an}满足 数列{an}
是等差数列吗？请给予证明；
（3） ，试比较Tn与Sn的大小.

武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试
数学答案（理科）
一、选择题：
CABAC BDCBB
二、填空题：
11． 12．1 13.74 14．5120
15．（I） （II）70千米/时
三、解答题
16．解：（I） …………………………（4分）
由题设，
………………………………………………（6分）
（II）当
…………………………………………………………………（9分）
由
故m的取值范围是 …………………………………………（12分）
17.解：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D为BC中点
B1B=C1C=A1A=2a，
∴ ………………2分
∵ …………4分
解法一：
（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC
从而AD⊥平面B1BCC1
又BE 平面B1BCC1，所在AD⊥BE …………6分
由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得
在Rt△BB1D中，
在Rt△CBE中，
于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G
∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，则DB1⊥BE，又AD∩DB1=D
故BE⊥平面ADB1 ……………………8分
（Ⅲ）过点G作GF⊥AB1于F，连接BF
由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG是二面角B-AB1-D的平面角 …………10分
在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，得
在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，得BG=
所以在Rt△BFG中，
故二面角B-AB-D的大小为arcsin ………………12分
解法二：
解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A－xyz …………2分
可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（ ），
B1（a，0，2a），E（0，a， ） …………4分
可得
………………6分
于是得 ，可知BE⊥AD，BE⊥DB1
又AD∩DB1=D，故BE⊥平面ADB1 …………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB1的法向量 ，平面ABB1的法向量
于是 …………10分
故二面角B-AB1-D的大小为arccos ………………12分
18．解：记"甲摸球一次摸出红球"为事件A，"乙摸球一次摸出红球"为事件B，则
，且A、B相互独立.………………（2分）
据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中
………………（8分）
ξ 0 1 2 3
p 14/27 10/27 2/27 1/27
………………（10分）

19．解：（I）设点 、M、A三点共线，
……（2分）
……………………………………………（4分）
设∠POM=α，则
由此可得tanα=1.…………………（6分）
又 ……………………（7分）
（II）设点 、B、Q三点共线，

即 ……………………………………（9分）
即 ……………………（10分）
由（*）式， 代入上式，得
由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.…………………………………………（12分）
20.解：（Ⅰ）∵
∴
………………2分
当k=4时，
∴当k=4时， 上是减函数………………5分
（Ⅱ）当k≠4时，令 ………………6分
当k<4时，即 有
x

（ ，2）
2 （2，+∞）

－ 0 + 0 －
↘ 极小 ↗ 极大 ↘
令 ∴k=0 ………………9分
②当k>4时，即 >2有
x
2 （2， ）

（ ，+∞）

－ 0 + 0 －
↘ 极小 ↗ 极大 ↘
令 ∴k=8………………12分
∴当k=0或k=8时， 有极小值0 ………………13分
21．（1）解：f(x)对任意
………………2分
令
……………………………………4分
（2）解：数列{an}是等差数列
f(x)对任意x∈R都有
则令 ……………………………………6分
∴{an}是等差数列. ………………10分
（3）解：由（2）有

∴Tn≤Sn…………………………………………………………………………14分
该题也可用数学归纳法做。