5.质点动力学

o
对M:
N' M
x
Mg R
对m :
N a (m) m
mg
20/23
y
x： N'sin MaM
a (M)
y：R Mg N'cos 0
x：N sin mam cos maM
y：N cos mg mam sin
解得： aM
m sin cos M m sin 2
g
aM
( M m ) sin am M m sin 2 g
Xi’an Jiaotong University
16/03/2015
回顾：
一. 伽利略变换定理—不同参考系中速度和加速度的变换
二个参照系： 绝对参照系 S ，相对参照系 S'
三种运动: 绝对、相对和牵连运动（平动）
r绝对 r相对 r牵连
v绝对 v相对 v牵连
注意：直角坐标系下
a绝对 a相对 a牵连
4/23
设当绳子被提起 y 的高度时，速度为 v
FM
d(M yg L
yv)
M v2 M
ya
L
dt
LL
F
y
y
由题知，a = C
v2 2ay
M
F M l(g 3a) y = l F M y(g 3a)
O
L
L
2) 从静止开始，若以恒定速度 v 竖直向上提绳，当提起 l 高度时，
作用在绳端的力 F 大小？
二. 牛顿运动三定律
第一定律 第二定律
— —
力的概念（运动状态改变的原因）
力产生的效果
Fi
d(mv) dt
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第三定律 — 力的性质：成对性、同时性、一致性
三. 牛顿第三定律：
当体物A体上，A 以和力FF作总用是F于大 物小体相等B 时，，方物向体相反B，也作同用时在以同力一F条作直用线于上物。
解： F M
d(M yg L
yv) M
v2 M
ya
a=0
L
dt
LL
F M (gl v2 ) L
5/23
F M yg M v2 LL
关键： 找出某时刻 的运动微分
方程
例2：装沙子后总质量为 M 的卡车由静止开始运动，运动过程中每秒
漏沙量为 ，且作用在卡车上的合外力始终为 f 。
求：车运r, s ,v,a
y
例2：一高速粒子沿竖直方向以 v0 竖
直向上运动，从 t 0开始，粒子受力
F F0ti 作用，F0为常量，粒子质量
v0
为m ，忽略重力的影响。求粒子轨迹
m F(t)
x
方程？
o
12/23
解：高速运动粒子在水平方向的运动微分方程
Fx F0t max
与物体速率成正比： f bv
2) 物体穿过流体的速率超过某一限度时（低
于声速），流体的层流开始混乱，在物体之后 出现旋涡（紊流或湍流），这时流体阻力与物
体速率的平方成正比： f cv2
3) 物体与流体的相对速度提高到接近空气中的
声速时，这时流体阻力将迅速增大： f v3
10/23
潜水艇船体上方的层流和湍流
竖直方向的运动方程
Fy may 0 vy v0
ax
dvx dt
dvx
F0t m
dt
vx
F0t 2 2m
vx dvx
0
t 0
F0t m
dt
vx
dx dt
dx
F0t 2 2m
dt
x dx
t
F0t 2
dt
0
0 2m
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x F0 y 3 6mv0 3
x F0 t 3 6m
y v0t
乙
m
v F
av
甲
观察者甲： 有力 F 和加速度，即
F
ma
——牛顿定律适用
观察者乙：
有力
F ，无加速度，即 F
0, ma
0
——牛顿定律不适用
结论：在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯性系。相对 惯性系作加速运动的参照系是非惯性系，而相对惯性系作匀速直线 运动的参照系也是惯性系。
17/23
二. 牛顿运动定律的适用范围
求：小球运动速率与位置的关系？拉力与速率的关系？
解：ｔ时m刻g小球T在Ｂm点a n
T
法向：T mg cos m v2
O
v
R
θ
切向： mg sin m dv
mg
R
B
dt
m
v0
dv dv d v dv
vdv Rg sind
dt d dt R d
v v02 2Rg(cos 1)
T mg cos m v2
现相对滑动，这时仍存在一对阻止相对滑动的力。
fk k N
判断物体2竖直方向受力关系？ a
b
c
d
123 F
2
2
2
2
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四. 流体阻力简介：
• 当物体穿过液体或气体运动时，受到流体阻力，该阻力与运动物
体速度方向相反，大小随速度变化而变化。
1) 物体速度不太大时，阻力主要由流体的粘滞
性产生。在运动物体带动下，流体内只形成有 一定层次的平稳流动（层流），这时流体阻力
dv dv dy dv v dt dy dt dy
1 d(v 2) (g α v 2)
2 dy
y
d(v 2)
(g v 2)
2dy
1
d(g v 2) (g v 2)
H
1
0 d(ln(g v 2)) 2
H
dy
v0
0
v0
16/23
H
1
ln
(
g
v
2 0
)
2
g
mg fr
2-4 牛顿运动定律的适用范围： 惯性系与非惯性系
F F'
第三定律揭示了力的三个性质 1.成对性 — 物体之间的作用是相互的。 2.同时性 — 相互作用之间是相互依存，
同生同灭。 3.一致性 — 力的性质是一致，摩擦力、弹力
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小结：第一定律 — 力的概念（运动状态改变的原因） 第二定律 — 力产生的效果 第三定律 — 力的性质：成对性、同时性、一致性
地面观察：质点受绳子的拉力提供 向心力，作匀速圆周运动。
圆盘上观察：质点受绳子的拉力， 为什么静止？
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例1：试分析 M 的加速度和 m 的相对加速度？
y
解：由题意建立直角坐标系，
思路：根据牛顿定律，先分别分 析两个物体的运动情况，后确定 受力情况，再列出关系式
a (m) m M
a (M)
x
香烟产生的层流和湍流 一架飞机机翼顶端产生
的涡旋中的湍流
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2-3 质点动力学中的两类问题
一. 微分问题： r,s,v,a
F
例1：已知，一物体的质量 m, 运动学方程为
r
costi
sin
tj
求：合外力
F ?
解：r
a
dv
d
2
r
dt
2
dt 2
costi
F
2
ma 2mr
sin
tj
三. 应用牛顿定律解题的思路及步骤 1. 选取研究对象 2. 分析受力情况和运动情况，画出受力图 3. 选取坐标系 4. 列方程（对应的动力学微分方程）求解
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例3： 细绳栓一质量为m 的小球，在铅直平面内绕定点 O 作半径
为 R 的圆周运动。 t = 0 时，小球在最低点以初速度 v0 运动。
。ar
F F0
如果在 S' 系中给质点 m 引入虚拟力或惯性力：F0
mar mae
牛顿第二定律在非惯性系中形式上成立
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注意：惯性力是虚拟力，没有施力者，没有反作用力，不满足牛顿 第三定律。惯性力的引入，牛顿第二定律在非惯性系中形式上成立。
例子：匀速转动的非惯性系中的惯性离心力
m
m
T
T
v绝对( x) v相对( x) v牵连(x) v绝对( y) v相对( y) v牵连( y) v绝对( z) v相对( z) v牵连( z)
a绝对( x) a相对( x) a牵连(x) a绝对( y) a相对( y) a牵连( y) a绝对( z) a相对( z) a牵连( z)
关键：矢量分解 简化运算；物理 量相对参照系要
统一
解: 取车和沙子为研究对象，地面参考系如图，t = 0 时 v = 0
f d (mv) dmv m dv
dt
dt
dt
f
dm dt f m dv v
x
dt
m M t f v (M t) dv
dt
dv d t
f v M t
v
t
0 d(ln( f v)) 0d(ln(M t))
s2
• 重力（Gravity）
P Fe (1 0.0035cos2 ) 为物体所处的地理纬度角
例：质点与均质细棒之间的万有引力大小?
解： 取一质量元
m
M
O
dM = dx
x
l
L dx
7/23
F
G
mM l2
F
G
mM (l L )2
2
dF
G
mdM x2
G
mMdx Lx2
F
lL
dF
l
F kx —— 胡克定律
P N’
P N’
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三. 摩擦力 1) 静摩擦力——当相互接触的两物体沿接触面有相对运动趋 势时，接触面之间会产生一对阻止上述运动趋势的力。