电动力学5-7(电磁场的动量)
电磁场的动量和能量
电磁场的动量和能量凤阳二中张叶摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的动量和能量这两个较为抽象的概念具体化。
运用这一简单的模型分析并论证了电磁场确具有动量和能量，且可与机械动量和动能相互转换，在转换过程中遵循守恒定律。
关键词：电磁场；动量；能量；平行板电容器引言电磁场作为物质存在的一种特殊形式，与实物一样，也具有能量、动量和角动量等基本属性，同样遵循能量守恒，动量守恒和角动量守恒等定律，它们既不能被创造，也不能被消灭，只能由一种形式转变成另一种形式。
与实物不同的是，场作为弥漫在空间的一种特殊物质，不能被直接看到。
在教学过程中，由于场的概念较为抽象，而且电磁场的能量、动量和角动量又较难直接观测，给人一种看不见，摸不着的感觉，所以教师觉得不好教，学生觉得难以理解。
本文研究了一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一较为简单的物理模型。
通过定性分析和定量计算，论证了电磁场的确具有动量和能量，它们不仅可以与机械动量和动能相互转换，而且在转换过程中满足动量守恒和能量守恒定律。
这一模型让初学者对电磁场的动量和能量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性。
1. 匀强磁场中的平行板电容器一个电容量为C ，两导体板相距为L 的平行板电容器，处在匀强磁场中。
磁场的方向与导体板平行，大小为B 。
将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为 ±Q 0。
然后将一质量为m ，电阻为R ，长度为L的导体棒垂直放在电容器的两板之间。
开始的瞬间，导体棒中有电流000U Q I R CR==， 受到安培力000BLQ F BLI CR == 的作用开始加速运动，初始加速度为00BLQ a mCR=。
但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反。
所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小。
电动力学教学大纲(科学教育专业)
《电动力学》教学大纲课程名称：电动力学课程编号：073132003总学时：54学时适应对象：科学教育（本科）专业一、教学目的与任务教学目的：电动力学是物理学本科专业开设的一门理论课程，是物理学理论的一个重要组成部分。
通过对本课程的学习，（1）使学生掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；（2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的能力，为解决实际问题打下基础；（3）通过对电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。
教学任务：本课程主要阐述宏观电磁场理论。
第一章主要分析各个实验规律，从其中总结出电磁场的普遍规律，建立麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式。
第二、三章讨论恒定电磁场问题，着重讲解恒定场的基本性质和求解电场和磁场问题的基本方法。
第四章讨论电磁波的传播，包括无界空间中电磁波的性质、界面上的反射、折射和有界空间中电磁波问题。
第五章讨论电磁波的辐射，介绍一般情况下势的概念和辐射电磁场的计算方法。
第六章狭义相对论，首先引入相对论时空观，由协变性要求把电动力学基本方程表示为四维形式，并得出电磁场量在不同参考系间的变换。
二、教学基本要求通过本课程的教学，使学生了解电磁场的基本性质、运动规律以及与物质的相互作用。
掌握求解恒定电磁场的基本方法；掌握电磁波在无界和有界空间的传播规律；掌握一般情况下势的概念和求解电偶极辐射，理解相对论的时空理论；掌握电磁场量的四维形式和电动力学规律的四维形式，加深对电动力学规律的认识。
三、教学内容及要求绪论矢量场分析初步第一章电磁现象的普遍规律第一节引言及数学准备第二节电荷和电场第三节电流和磁场第四节麦克斯韦方程第五节介质的电磁性质第六节电磁场的边值关系第七节电磁场能量和能流教学重点：电磁场的普遍规律，麦克斯韦方程组，电磁场的边值关系。
教学难点：位移电流概念，能量守恒定律的普遍式。
本章教学要求：通过本章学习，要使学生了解各实验定律及其意义，掌握电磁场散度、旋度的计算方法及意义，理解麦克斯韦方程的重要意义和地位，以及积分和微分形式的麦克斯韦方程适用的范围。
电动力学(全套课件)ppt课件
电磁波的传播遵循惠更斯原理，即波 面上的每一点都可以看作是新的波源。
电磁波在真空中的传播速度等于光速， 而在介质中的传播速度会发生变化。
电磁波的能量与动量
01
电磁波携带能量和动量，其能量密度和动量密度与 电场和磁场的振幅平方成正比。
02
电磁波的能量传播方向与波的传播方向相同，而动 量传播方向则与波的传播方向相反。
03
电磁波的能量和动量可以通过坡印廷矢量进行描述 和计算。
06
电动力学的应用与发展前 景
电动力学在物理学中的应用
描述电磁现象
电动力学是描述电荷和电流如何 产生电磁场，以及电磁场如何对 电荷和电流产生作用的理论基础。
解释光学现象
光是一种电磁波，电动力学为光 的传播、反射、折射、衍射等现 象提供了理论解释。
麦克斯韦方程组与电磁波
01
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括高斯定律、 高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
02
电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而产生的，其传播速度
等于光速。
麦克斯韦方程组揭示了电磁波的存在和传播规律，为电磁学的
03
发展奠定了基础。
电磁波的性质与传播
电磁波具有横波性质，其电场和磁场 振动方向相互垂直，且都垂直于传播 方向。
电场能量
W=∫wdV，表示整个电场 中的总能量。
功率
P=UI，表示单位时间内电 场中消耗的能量或提供的 能量。
04
恒磁场
磁感应强度与磁场强度
磁感应强度的定义与物理意义 磁感应强度与磁场强度的关系
磁场强度的定义与计算 磁场的叠加原理
安培环路定理与磁通量
01
安培环路定理 的表述与证明
电磁场的能量和动量课件
考虑对称性，利用 构成一个恒等式：
把此式与f 的表达式相加，则有
其中
式中 是单位张量，在直角坐标系中
同理得到：
又因为
所以 或者化为 其中
至此，可以把机械动量的变化率写成
讨论：
a)若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而
根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于 电磁场 的动量的减少，因此称 为电磁动量。
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三、电磁能量的传输
在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输 电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能 量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电 磁能传输的实质。
1. 电磁能的传输不是靠电流！
① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。 导线内电荷定向移动的速度为
率。故由Maxwell’s equations 和 Lorentz force 公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force 作用下带电体的机械动量变化为
下面利用真空中的场方程把等式中的电荷 和电
流J 消去，把 Lorentz force density 改写为：
§6 电磁场的能量和动量
内容提要： 能量守恒与转化 电磁场能量守恒公式(重点) 能量密度、能流密度矢量(重点) 电磁场能量的传输 电磁场的动量和动量守恒定律
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一、能量守恒与转化
能量：
物质运动强度的量度，表示物体做功的物理量。 主要形式：机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
③ 如果电磁能是靠电流传输，功率P与U成正比无法得到
解释。
ED0507电磁场的动量.ppt
P S T
① 流密度张量Tij的意义是通过垂直于i轴的单位面积流过的动量 ② 流过面元的总通量，是流密度张量与面元矢量的数性积
毛明编著
Ⅲ 辐射压力
f
T
t
g
dv
f
sds T
t dvg
Press nˆ T 负号表示压力,nˆ为外法向
T
ξ0{EE
1 2
(IE 2
)}
1 μ0
{BB-
1 2
(I B 2
)}
T
DE
HB
1
I (D
E
H
B)
2
g ξ0E B
T
DE
HB
1
I(D
E
H
B)
2
g ξ0E B
毛明编著
1 动量密度的意义
g
ξ0E B
ξ0 μ0E H
s c2
Scwkˆ
w kˆ 光子wω c
ω
kˆ
k
c
g
ξ0
Re (E*
平面波B
1
kˆE
B) c
2
ξ0 |E|2kˆ 2c
① 量子化后，电磁场以光子的形态存在，光子的动量以波矢量为方向， 波粒二象统一
T23 T33
流入S2 ( oCA )单位面元的分量 流入S3( oAB )单位面元的分量
电动力学高教第三版5精品课件(2024)
康普顿散射与经典电磁理论的差异
经典电磁理论认为光是一种波动现象，而康普顿散射实验表明光具有粒子性。这种差异促进了量子力学 的发展，并推动了现代物理学的进步。
26
电动力学的发展历史及重 要人物
电动力学与经典物理学的 关系
电动力学在现代科技中的 应用
4
电磁场基本概念
2024/1/26
01
电磁场的基本性质
02 电磁场的描述方式：电场强度、磁感应强 度
03
电磁场的源：电荷与电流
04
电磁场的能量与动量
5
矢量分析与场论初步
标量与矢量场
矢量及其运算
01
梯度、散度与旋度的定义及
电场强度的叠加原
理
多个点电荷在空间中某点产生的 电场强度是各个点电荷单独存在 时在该点产生的电场强度的矢量 和。
2024/1/26
8
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能高低，是标量，具 有相对性。通常选择无穷远处为电势零点。
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电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点移动 到另一点时电场力所做的功。
黑体辐射的应用
黑体辐射在热力学、光谱学等领域有广泛应用，如测量温度、分析物 质成分等。
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25
康普顿散射实验及意义
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康普顿散射实验
康普顿散射实验是指X射线或伽马射线与物质中的电子发生碰撞，导致射线方向改变并伴随能量损失的过程。该实验 证实了光子的粒子性。
康普顿散射的意义
5-7 电磁场的动量ppt课件
0 0
E t
)
B
3
考虑对称性，利用
B 0 , E B t
构成一个恒等式：
1
0
(
B)B
0
(
E
B t
)
E
0
把此式与f 的表达式相加，则有
f
0 ( E)E
1
0
( B)B
1
0
(
B
0 0
E t
)
B
0
(
E
B t
)
E
4
其中 ( E)E ( E) E
(
E)E
1 2
(E
E)
(E
)E
(EE)
流过的动量j 分量。
14
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量的进一步了解，下面讨论电场 中的几个特殊面上的力。
1) 若面法线方向单位矢量n平行于电场E，则单位面积上的
电磁力为
P电磁 n T n[0 (EE
n
0
EE
1 2
0n
E
2
I
1
E
2
I )]
12
z
通过界面OBC单位面积流入
C
体内的动量三个分量为：
T11、 T12 、 T13 ；
△S
通过界面OCA单位面积流入
O
体内的动量三个分量为： A
y B
T21、 T22 、 T23 ；
x
通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为：
T31、 T32 、 T33 ； 当 V 0 时，通过这三个面流入体内的动量等于 从面元ABC流出的动量。
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
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法向分量
i cos
面积：1/cos
每秒入射于导体 单位面积的动量 法向分量
i cos
2
30
在反射过程中，电磁波动量的变化 率为上式的两倍，由动量守恒定律， 导体表面所受的辐射压强为
P 2i cos
2
在导体外部，总电场为入射 波电场Ei加上反射电场E
i r
23
解
平面电磁波E、B、k是三个互相 正交的矢量,我们用这三个方向来 分解J 的各分量。由E∙B=0， 得 1 1 2 2 2 J 0 ( 0 ) 2 0
平面电磁波有 0E2=B2/0，
J 0
24
同理可证
J 0,
J J 0
如：电子受力
f e ev
7
用麦克斯韦方 程组把作用力 密度完全用场 量表出。由真 空中的方程
0
J 0 0 t 1
把作用力密度化为
f 0 ( ) ( ) 0 0 t 1
8
利用另外两个麦氏方程
通过界面OAB单位面积流入 体内的动量三个分量写为
T31 ， T32
，T33
20
当体积V →0时，通过这 三个面流入体内的动量等 于从面元ABC流出的动量。 因此，通过ABC面流出的 动量各分量为
p1 S111 S221 S331
p2 S112 S222 S332
35
1 1 2 2 2 2 2 en J en ( ) i cos en 2i cos en 2 0 0
则导体表面受到压强
P 2i cos
2
在一般光波和无线电波情 形中，辐射压强是不大的。 例如太阳辐射在地球表面 上的能流密度为 1.35×103Wm-2，算出 辐射压强仅为~10-6Pa。
张量 J 称为电磁场的动量流密度 张量，或称为电磁场应力张量
14
若区域V为全空间，则面积分趋于零，有
d fdV gdV 0 dt
电磁场和电荷的总动量变化率 等于零，即动量守恒定律
15
电磁场的动量密度和能流密度S 之间有一般关系式
1 g 0 0 0 2 S c
27
例2 平面电磁波入射于理 想导体表面上而被全部反射， 设入射角为，求导体表面 所受的辐射压强。
28
解
把入射波动量分解为垂直于表面的分量 和与表面相切的分量。电磁波被反射后， 切向分量不变，而法向分量变号。电磁 波速度为c，每秒通过单位横截面的平 面波的动量为
gc i
入射波 平均能 量密度
2 Re( r )
2 2 i 2 r * i
31
i r 2Re(i r )
2 2 2
干涉项，表现为导体表面外强 弱相间的能量分布，对空间各 点取平均后贡献为零。
则在导体表面附近总平均能量密度 等于 入射波能量密度加上反射波能量密度
i r
J 表示式中的第二个ek表示电磁波动量沿波矢 方向，第一个ek表示只有对垂直于波矢的面才 有动量通过，在侧面上好是没有动量转移的。 电磁波带动量密度g，传播速度c，因此每秒垂 直流过单位截面的动量数值为cg。
26
2. 辐射压力
电磁波具有动量，它入射于 物体上时会对物体施加一定的压 力，这种压力称为辐射压力。由 电磁波动量密度和动量守恒定律 可以算出辐射压强。
37
在这相互作用过程中，入射电磁场的 动量转移到物体上，同时电磁场的动 量也发生相应的改变。
3
1.电磁场的动量密度和 动量流密度
4
考虑空间某一区 域，其内有一定 电荷分布。区域 内的场和电荷之 间由于相互作用 而发生动量转移。
区域内的场 和区域外的 场也通过界 面发生动量 转移
由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面 S传人区域V内的动量应等于V内电荷的动量 变化率加上V内电磁场的动量变化率。
§5.7 电磁场的动 量
1
能量守恒定律和动量守恒定律 ——物质运动形式转换的两条基本 的守恒定律
电磁场也和其他物体一样具有动 量，辐射压力，是电磁场带有动 量的实验证据。
2
电磁场和带电物质之间有相互作用。场 对带电粒子施以作用力，粒子受力后， 它的动量发生变化，同时电磁场本身的 状态也发生相应的改变。
5
由于麦克斯韦方程组是电磁场的基 本动力学方程，由麦克斯韦方程组 和洛伦兹力公式应该可以导出电磁 场和电荷体系的动量守恒定律。
6
电荷受电磁场的作用力由洛伦兹力 公式表示以 f 表示作用力密度
电荷系统的动 量密度变化率 含有电磁场动量密度变化率、 场内动量转移的一些量
f J
电荷系统受力作用后，它的动量发生变化 。由动量 守恒定律，电磁场的动量也应该相应地改变。
18
动量流密度张量 J的意义。设 ABC为一面元 S，这面元的三 个分量分别等于 OBC, OCA和 OAB的面积。 OABC是一个体 积元V 。
19
通过界面OBC单位面积流入 体内的动量三个分量写为 T11
，T12 ，
T13
通过界面OCA单位面积流入 体内的动量三个分量写为 T21
，T22 ， T23
32
P 2i cos
2
P cos
2
若电磁波从各 个方向入射， 对取平均后得
P
3
33
P
3
上式对于在表面完全吸收电磁波的
情况也是成立的，它是黑体辐射对
界面所施压强的公式。
34
由动量流密度张量J可以较简单地得出 上面的结果。设Ei垂直入射面，在完全 反射情形中有Er=-Ei，则界面上总电 场强度E=0，总磁场为B=2Bicos， B与界面相切。设n为指向导体内的法 线，有en∙E=en ∙ B=0，则
g f J t
电荷系统的动 量密度变化率
动量守恒 定律的微 分形式
+
电磁场动量 密度变化率
=
场内动 量转移
13
对区域V积分得
对区域边界 的面积分
V
d fdV gdV JdV dS J V S dt V
左边是内电荷系 统和电磁场的总 动量变化率 由V外通过界面S 流进V内的动量流
电磁场内 部的动量 转移
电磁场的 动量密度 改变率
电磁场的动量密度为
g 0
10
证明电磁场内部的动量转移
1 2 ( ) ( ) 2
可得 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 () ( j ) 2 1 2 ( j ) 2
11
其中
j 是单位张量，对任一矢量都有
j j
同理
1 2 ( ) ( ) ( j ) 2
12
力密度公式方括号部分可以化为一 个张量 J 的散度
1 1 2 2 J 0 j( 0 ) 0 2 0 1
p3 S113 S223 S333
21
写成矢量 形式为
p S J
dS J
这就是通过面元s流 出的动量。则通过闭 合曲面流出的总动量 为
张量J 的分量Tij的意义是通 过垂直于i轴的单位面积流过 的动量j分量。
22
例１求平面电磁波的 动量流密度张量。
对于平面电磁波，有
1 ek c
ek 为传播方
向单位矢量
16
代入得一定频率的电磁波的平均动量密度
g
0
2
Re( )
0
2c
ek
2
因为对电磁波有 S cwek , w为能流密度，则
w g ek c
17
这个关系在量子化后的电磁场也是 成立的。量子化后的电磁场由光子 组成，每个光子的能量为h/2， h为普朗克常数，为角频率。每个 光子带有动量hn/c= hk。
则J只有沿 ek ek 的分量。 用 ek E ek B 0 ，可求得
1 1 2 2 ek J J ek ek ( 0 ) ek 2 0
则
J ek ek cgek ek
25
J ek ek cgek ek
其中ek为波矢k方向的单位矢量， g为动量密度。若选 方向为 ek z 轴，则J 只有 T33 分量，T33 =cg。
0
t
Hale Waihona Puke 把力密度写成对E和B对称的形式
1 0 ( ) ( ) 0 f 1 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) t
9
1 0 ( ) ( ) 0 f 1 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) t
但是近年制成的激光器能 产生聚焦的强光，可以在 小面积上产生巨大的辐射 压力。
36
在天文领域，光压起着重要作用。光 压在星体内部可以和万有引力相抗衡， 从而对星体结果和发展起着重要作用。
在微观领域，电磁场的动量也表现得很 明显。带有动量hk的光子与电子碰撞 时服从能量和动量守恒定律，和其他粒 子相互碰撞情形一样。