5-7 电磁场的动量

场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force
作用下带电体的机械动量变化为
dP dt fdV ( E J B )dV
V V
下面利用真空中的场方程把等式中的电荷 和电 流 J 消去，把 Lorentz force density 改写为：
f E J B
2 2
即介质表面受到电磁波作用产生的压强。若电磁波 在各方向都以同样强度辐射（例如空腔内的黑体辐 射），它的总平均辐射能量密度为 w ，那么投影到 方向在θ到θ+dθ之间的能量密度为：
dw w 4 2 sin d w 2 sin d
于是介质表面受到各个方向射来的电磁波作用产生 的总压力为：
1) 若面法线方向单位矢量n平行于电场E，则单位面积上的 电磁力为 1 2 P n T n[ 0 ( EE E I )] 电磁 2
1 2 2 n 0 EE 0 n E I 0 E n 0 E n 2 2 1 2 0E n 2 1
2
这说明单位面积上的电磁力P电磁沿电场方向，正号说明是 张力，它代表单位面积外侧（与n同侧）的电场对内侧电 场的作用。故沿电场线方向电场之间有张力。
2) 若面法线方向的单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上的 电磁力为
1 2 P n T n [ 0 ( EE E I )] 电磁 2 1 2 n 0 EE 0 n E I 2 1 2 0E n 2 其中用到 n E 0 , n I n
结果表明单位面积上的电磁力P电磁沿单位面积的法线方向， 与电场方向垂直，负号说明是压力，故垂直于电场线方向 电场之间有排斥力。
3) 若面法线方向的单位矢量n与电场夹角为θ，则单位面积上
的电磁力为
P 电磁 1 2 n T n [ 0 ( EE E I )] 2 1 2 n 0 EE 0 n E I 2
θ
导体单位表面对空间电磁波所施加的作用力， 等于单位表面上电磁动量在单位时间内所发生的变 化。由于作用力与反作用力大小相等，它的量值就 等于电磁波对物体单位表面所施加的压力。由于电 磁波的传播速度为c，在单位时间内射到单位横截 面的电磁动量为： S g (c 1) w c
设电磁波的入射角为θ，则单位时间内射到单位表面 积上的电磁动量为
§5.7 电磁场的动量
电磁场和带电体之间有相互作用力。场对
带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量 发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应 的改变。因此，电磁场也和其他物体一样具有 动量。辐射压力是电磁场具有动量的实验证据。 本节从电磁场与带电物质的相互作用规律 出发导出电磁场动量密度表达式。
一、电磁场的动量密度和动量流密度
流。故称 T 为电磁场动量流密度。
d T ds dt S
下面再看动量流密度 T 的物理意义：因为
d dt P机械
gdV
V
此式左边第一项代表带电体与电磁场的作用力，右边的项 代表体积V内的电磁场动量的时间变化率。
如果把该式看成是场的运动方程，它表示场的动量 变化率等于外力作用于体积V内的场的合力，那么
这就是通过面元Δ S流出的动量。因此，通过闭合曲 面流出的总动量为
S 张量 T 的分量Tij 的意义是通过垂直于i 轴的单位面
T ds
积 流过的动量j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量的进一步了解，下面讨论电场 中的几个特殊面上的力。
三、辐射压力
电磁场作为物质在流动（辐射）时，一旦遇 到其他物体，就会发生相互作用力，由电磁场引 起的对其他物体的压力称为辐射压力。如果是可 见光引起的辐射压力，通常称之为光的压力。
由电磁场动量密度式和动量守恒定律可以算出 辐射压力。
假有一平面电磁波的以θ角入射于理想导体表 面上而被全部反射，试求此导体表面所受到的辐 射压力。
1 4
0 E
2
4
0 E
2
4
所以
P 电磁
1 2
0E
2
其方向可这样来确定：
P E 电磁 1 2
0E n E
2
结论： P 电磁 与E的夹角等于n与E的夹角。当n与E 平行时，P电磁 也与E平行，这时P与n平行；当n 垂直于E时， P电磁也垂直于E，这时P与n平行或 反平行； 同理，磁场存在时的问题讨论，与上述完全 一样。
z C
△S
B
y
A
通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为： T31、 T32 、 T33 ； 当 V 0 时，通过这三个面流入体内的动量等于 从面元ABC流出的动量。
因此，通过ABC面流出的动量各分量为：
p1 S1T11 S 2T21 S3T31
p2 S1T12 S 2T22 S3T32 p3 S1T13 S 2T23 S3T33 写成矢量式： P S T
或者化为 其中
1 S f T 2 c t
1 1 1 2 2 T 0 EE BB ( 0 E B )I 0 2 0
至此，可以把机械动量的变化率写成
dP d 1 TdV c 2 SdV dt dt V V d 1 T ds c 2 SdV S dt V
考虑空间某一区域，内部有一定电荷分布， 区域内的场和电荷之间由于相互作用而发生动量 转移。另一方面，区域内的场和区域外的场也通 过界面发生动量转移，由于动量守恒，单位时间
从区域外通过界面S 传入区域V内的动量应等于V 内电荷的动量变化率加上V 内电磁场的动量变化 率。故由Maxwell’s equations 和 Lorentz force 公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
ω是角频率。 从而可以看出：每个光子所带的动量
g光子 1 c w光子 n 1 c n kn k
b) 若积分区域V 为有限空间，则面积分项不为零，即
dP机 d T ds dt dt S
gdV
V
因为等式左边项表示机械动量，右边第二项代表了电磁
动量，因此右边第一项也必然具有动量的意义，而它是面积 分，所以把它解释为穿过区域V 的边界面S 流入体内的动量
P (1 R) w

2
2
cos sin d
2
1 R 6
w
0
在理想导体表面，电磁波发生全反射，这时反射系 数R=1，此时即有：
P 1 3 w
地球表面由于太阳光辐射而受到的总辐射压力约为 7×108N，而受到太阳的万有引力为3 ×1022N，
因此一般可以忽略辐射压力。
z C
△S
O
B
y
A
x
设ABC为一面元ΔS，这面元的三个分量为三角形OBC、 OCA和OAB的面积，OABC是一个体积元△V，
通过界面OBC单位面积流入 体内的动量三个分量为： T11、 T12 、 T13 ； 通过界面OCA单位面积流入 体内的动量三个分量为： T21、 T22 、 T23 ； x O
0
( B ) B E t ) B
0
( B 0 0
0 ( E
B t
) E
其中 ( E ) E ( E ) E
1 ( E ) E ( E E ) ( E ) E 2
( EE ) ( EE 1 2 1 E I)
2
( E E ) ( EE )
1 2
(E I )
2
2 式中 I 是单位张量，在直角坐标系中
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ I ex ex e y e y ez ez
同理得到：
讨论：
a) 若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而
dP dt
dt c

d
1
2
SdV
根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于电磁场 的动量的减少，因此称 1 P 2 SdV 0 ( E B )dV 电磁 c 为电磁动量。
而把 g 1 S ( E B ) 0 2
0 ( E ) E 1
0
( B 0 0
E t
) B
考虑对称性，利用
B 0 , E
1
0
( B ) B 0 ( E
) E 0
把此式与f 的表达式相加，则有
f 0 ( E ) E 1 1
等式左边第二项就表示作用在V内的场的作用力，
由于是面积分，所以它只能表示体积V的界面外的 场对体积内V的场的作用力，这样，正如弹性力学 单位面积上的作用应力，亦称之为Maxwell应力张
中的张力一样， n T 代表面外的场对面内的场在
量或张力张量。
Maxwell应力张量的分量物理含义：
f 1 gc cos w cos
同样，在单位时间内被物体单位表面反射的电磁动 量为
f 2 Rgc cos Rw cos
这里的R为反射系数。因此，单位时间内动量在法向 的变化为： P f1 cos f 2 cos
(1 R) gc cos (1 R) w cos
( B ) B ( B ) B ( BB 1 2 B I)
2
又因为
1 S c
2
t
0 0 0
S t
0 0
t
(E H ) E t B E B t
t
( E B) 0 (
)
所以