北京大学：电磁学--6.4 阅读：电磁场的能量和动量的推导

三 电磁场是物质的一种形态 能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在形式，运动和物质是不可分割的。 电磁场具有能量和动量，它是物质的一种形态。 随着科学技术的发展，发现“场”和“实物”之间的界限日益消失。对黑体辐射和光电效 应等一系列现象的研究发现，光也具有不连续的微观结构，或者说，光在某些方面也具有 微粒性；与此同时，从电子衍射现象发现，一向被认为是实物微粒的电子同时也具有波动 性。特别是，1932 年发现，一对正负电子结合后可以转化为 γ 射线，即静质量为零的 γ 光 子。 这些事实表明，电磁场和实物一样，也是客观存在的物质，只是电磁场和实物各具有一些 不同的属性，而这些属性还会在一定的条件下相互转化。
−
E
⋅
∂D ∂t
,
即
−
f
⋅
v
=
∇
⋅
(E
×
H
)
+
H
⋅
∂B ∂t
+
E
⋅
∂D ∂t
.
④ 将上式与能量守恒定律所要求的式
(14.22) (14.67)
(14.20)
∇⋅S
+
∂w ∂t
=
−
f
⋅v
比较，即
∇⋅S
+
∂w ∂t
=
∇⋅ (E ×
H)
+
H
⋅
∂B ∂t
+
E
⋅
∂D ∂t
,
可得
(14.65)
S =E×H,
(14.68)
c
=
1 c2
E×H
.
由于动量是矢量，其方向与电磁波的传播方向相同，因此上式可以写成如下的矢量形式：
g
=
1 c2
E×H
=
1 c2
S,
(14.74)
即电磁波动量密度的大小正比于能流密度，其方向沿电磁波的传播方向。
由于电磁波带有动量，所以在它被物体表面反射或吸收时，必定产生压强，称为辐射压强。
光是一种电磁波，它所产生的辐射压强称为光压。太阳光投射到与其入射方向垂直的地球 表面上的平均强度为
场能量的改变量的普遍表达式为 δw = E ⋅ δD + H ⋅ δB .
(14.70)
在线性介质的情况下，
D =ε E, B =µ H ，
上式可以积分得到电磁场能量密度的表达式为 w
=
1 2
(E
⋅D
+
H
⋅ B) .
(14.71) 应该注意到，式(14.71)仅适用于线性介质，在一般情况下必须应用普遍的公式(14.70)。 ( 5 ) 平面电磁波 对于平面电磁波，电磁波的能流密度矢量 S = E × H 总是沿着电磁波的传播方向 k 的。电 磁波中的 E 和 H 都随时间迅速变化，在实际中重要的是 S 在一个周期内的平均值，即平 均能流密度 S .对于简谐平面电磁波，平均能流密度为
② 将麦克斯韦方程组中的式
j0
=
∇×
H
−
∂D ∂t
代入上式，可得
E
⋅
j0
=
E
⋅
(∇×
H
)
−
E
⋅
∂D ∂t
.
③ 利用矢量分析中的公式
∇⋅(E × H) = H ⋅(∇× E) − E ⋅(∇× H) ,
及式
∇×E
=
−
∂B ∂t
，
可将式(14.67)化为
E
⋅
j0
=
−
∇
⋅
(E
×
H
)
+
H
⋅
(−
∂B ∂t
)
S
=
1 2
E0 H0 ,
(14.72)
式中 E0 和 H0 分别是 E 和 H 的振幅。因 E0 和 H0 之间存在着比例关系
εrε0 E0 = µrµ0 H0 ,
故有 S ∝ E02
或
S
∝பைடு நூலகம்
H
2 0
,
(14.73)
即平面电磁波的平均能流密度正比于电场强度或磁场强度振幅的平方。
二 电磁场的动量
根据狭义相对论，能量和动量是密切联系着的，它们形成一个四维矢量。于是，我们可以
− ∫∫ (Α)
S ⋅dA
=
∫∫∫
(V )
f
⋅v
dV
+
∫∫∫
(V )
∂w ∂t
dV
.
(14.64)
利用奥−高斯公式可得，式(14.64)的相应的微分形式是
∇⋅S
+
∂w ∂t
=
−
f
⋅v
.
(14.65)
( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式
① 由洛伦兹力公式可得
f ⋅v = (ρ E + ρ v× B) ⋅v = E ⋅ (ρ v) = E ⋅ j0 . (14.66)
∂w ∂t
=
E
⋅
∂D ∂t
+
H
⋅
∂B ∂t
.
(14.69)这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量) S 以及能量密度变化率∂w/∂t 的普遍表达
式。
( 4 ) 介质的极化能和磁化能
在介质中，极化能和磁化能都归入电磁场能中一起考虑，因此式(14.68)和式(14.69)中的 S
和 w 分别代表介质中总电磁能的能流密度和能量密度。由式(14.69)可以得到，介质中电磁
率为
∫∫∫ f ⋅v dV ,
(V )
体积 V 内电磁场能量的增加率为
d dt
∫∫∫ wdV
(V )
=
∫∫∫
(V )
∂w ∂t
dV
,
通过界面 A 流入 V 内的电磁能为
− ∫∫ S⋅dσ . ( A)
能量守恒定律要求单位时间内通过界面 A 流入 V 内的能量，等于场对 V 内电荷作功的功
率以及 V 内电磁场能量的增加率之和，即
I0 =1.35 kW/m2 ， 称为太阳常量。与 地 面 大 气 压 强 105 N/m2 相 比 ， 太 阳 光 在 镜 面 上 产 生 的 光 压 9×10−6 N/m2 是一般很难观测到的非常小的压强。 在两个从尺度上看是截然相反的领域中，光压却起了重要的作用： ① 在原子物理学中，最著名的现象是光在电子上散射时与电子交换动量的过程，即康普 顿效应。 ② 在天体物理学中，星体外层受到其核心部分的引力，相当大一部分是靠核心部分的辐 射所产生的光压来平衡的。例如，彗星尾是由大量尘埃组成的，当彗星运行到太阳附近时， 由于这些尘埃微粒所受到的来自太阳的光压比引力大，所以它被太阳光推向远离太阳的方 向而形成很长的彗星尾。彗星尾被太阳光照得很亮，有时能被人用肉眼看到。在我国的民 间，常按其形象把彗星叫做扫帚星。 总之，电磁场不仅具有能量，而且具有动量。
预期，电磁波除具有能量外还带有一定的动量。
由于电磁波是以光速 c 传播的，所以利用狭义相对论所给出的能量−动量关系式
E =cp
(7.35)
以及式
E B
=
E0 B0
=
1 = v,
µε
或
εrε0 E0 = µrµ0 H0,
(14.59)
可以求出与真空中平面电磁波相联系的单位体积的动量为
g
=
w c
=
ε0E2
引进：
电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内的能量；
电磁能流密度矢量 S，表示单位时间内流过与能量传输方向(矢量 S 方向)垂直的单位横截
面积的电磁能量
( 2 ) 电磁场对电荷系统作功
考虑空间某区域，设其体积为 V，表面为 A，自由电荷密度为ρe0，电流密度为 j0. 以 f 表
示电磁场对电荷的作用力密度，v 表示电荷的运动速度，则电磁场对电荷系统所作功的功
电磁场的能量密度和能流密度 电磁场能量 电磁场对电荷系统作功 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 介质的极化能和磁化能
( 1 ) 电磁场能量 电磁场是一种物质。 电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化，它们都具有共同的运动量度能 量。 这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中，电磁场能量和带电物体运动的机械能 之间的相互转化，导出电磁场能量的表达式。 能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传播。