2018-2019学年人教版初二数学第一学期《第13章轴对称》单元测试题(含答案)
人教版八年级数学上册 第13章 轴对称 单元测试题精选(附答案)
八年级数学 第十三章《轴对称》 单元检测试题完卷时间：90分钟 满分：100分 姓名 成绩 一、选择题。
（每小题3分，共30分）细心择一择，你一定很准！ 1、下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2、一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像是（ ）3、在平面直角坐标系中,已知点A （m, 3）与点B （4, n ）关于y 轴对称,那么（m ＋n ）2017的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －72015 D. 720154、 如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）5、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为（ ） A. 42° B.69° C.69°或84° D.42°或69°6、如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A. 90°B. 75°C. 70°D. 60°7、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形 的底角是（ ）A. 75°或15°B. 75°C. 15°D. 75°和30°8、如图，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（ ）A. 16cmB. 18cmC. 26cmD. 28cm9、如图所示的是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）A. 1号袋B. 2号袋C. 3号袋D. 4号袋10、如图，在第1个△A 1BC 中，∠B=30°，A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是（ ）A ．(21) n •75° B ．(21) n -1•65° C ．(21) n -1•75° D ．(21) n •85°二、填空题。
2018-2019学年八年级数学人教版上册 第13章 轴对称 单元测试题
第十三章轴对称单元测试一、选择题(每小题3分，共30分)1. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 50°或80°2. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE的长为（）A. 7B. 8C. 9D. 103. 如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°4. 已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）A. 3条B. 5条C. 7条D. 8条5. 如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠A n－1A n B n－1的度数为（）A. B. C. D.6. 下列图标中是轴对称图形的是（）7. 面直角坐标系中，点(－2，4)关于x轴的对称点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 18D. 209.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,顶点B在直线DE上,且DE∥AC,则∠CBE等于( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°10. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（）A. DE＝DCB. AD＝DBC. AD＝BCD. BC＝AE二、填空题(每小题3分，共24分)11. 一个正五边形的对称轴共有______条．12. 如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为______.13. 已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为______.14. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D 处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是______米．15. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为______.16. 如图，小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是______.17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC 于点E，连接BE，则∠ABE的大小为______.18. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝______.三、解答题(共66分)19. (7分)如图，已知AB＝AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？20. (8分)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．21. (9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积；(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(3)写出点A1，B1，C1的坐标．22. (10分)从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)．23. (10分)如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．24. (10分)已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．25. (12分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA 并延长，交y轴于点E.(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？°。
2018年秋人教版八年级数学上册第十三章轴对称检测卷-精选学习文档
第十三章检测卷时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是()2．平面直角坐标系中，点(－2，4)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2的度数为()A．60°B．90°C．120°D．180°4．如图，如果直线MC是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝∠B＝110°，那么∠BCD 的度数为()A．110°B．100°C．70°D．50°5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为()A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为()A．13 B．14 C．15 D．167．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为()A．5 B．10 C．15 D．209．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝45°，则∠ABC的度数为()A．75°B．80°C．70°D．85°10．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为()A．90°B．75°C．70°D．60°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．若AB＝6，则CD的长为________．12．已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为________．13．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA 的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为________．14．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连接AE，DE，CE.下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1.其中正确的结论有________(填序号)．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．下列图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对称轴．16．如图，AB ＝AC ，AE 平分△ABC 的外角∠DAC ，那么AE ∥BC 吗？为什么？四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，AB ＝AC ，AC 的垂直平分线DE 交AB 于D ，交AC 于E ，BC ＝6，△BDC 的周长为15，求AC 的长．18．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC ，∠ADC ＝60°，求∠C 的度数．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若BD ＋CE ＝5，求线段DE 的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (－1，5)，B (－1，0)，C (－4，3)．(1)求出△ABC 的面积；(2)在图中作出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；(3)写出点A 1，B 1，C 1的坐标．六、(本题满分12分)21．如图，在四边形ADBC 中，AC ＝AD ，∠ACB ＝90°，∠CAD ＝60°，连接AB ，CD 交于点O ，∠BAC ＝30°.(1)求证：AB 垂直平分CD ；(2)若AB ＝6，求BD 的长．七、(本题满分12分)22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数．八、(本题满分14分)23．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与A 、C 不重合)，Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合)，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，连接PQ 交AB 于点D .(1)当∠BQD ＝30°时，求AP 的长；(2)求证：在运动过程中，点D 是线段PQ 的中点；(3)在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化，请说明理由．参考答案与解析1．A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A 9.A10．D 解析：∵∠A ＝15°，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝2∠A ＝30°.∵CE ＝CD ，∴∠DEA ＝∠ECD ＝∠A ＋∠CDB ＝45°，∴∠EDF ＝∠A ＋∠AED ＝60°.∵ED ＝EF ，∴△EDF 为等边三角形，∴∠DEF ＝60°.11．3 12.－10 13.4.5cm14．①③④ 解析：连接DC .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠ACB ＝60°.在△ACD 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，DA ＝DB ，DC ＝DC ，∴△ACD ≌△BCD (SSS)，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝30°，∠DAC ＝∠DBC ，∴结论①正确；∵BE ＝AB ，∴BE ＝BC .在△BED 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△BED ≌△BCD (SAS)，∴∠DEB ＝∠DCB ＝30°，∴结论③正确；∵EC ∥AD ，∴∠DAC ＝∠ECA .∵∠DBE ＝∠DBC ，∠DAC ＝∠DBC ，∴设∠ECA ＝∠DBC ＝∠DBE ＝∠1.∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ＝60°＋∠1.在△BCE 中，∠CBE ＋∠BCE ＋∠BEC ＝180°，∴2∠1＋2(60°＋∠1)＝180°，∴∠1＝15°，∴∠CBE ＝30°.又∵∠ACB ＝60°，∴AC 和BE 的夹角为90°，∴BE ⊥AC ，∴当EC ∥AD 时，结论②才正确；BE 边上的高为12BC ＝1.又∵BE ＝AB ＝2，∴S △EBC ＝12×2×1＝1，∴结论④正确．综上所述，正确的结论为①③④. 15．解：①②③④都是轴对称图形．(4分)作图略．(8分)16．解：AE ∥BC .(1分)理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(3分)由三角形外角的性质得∠DAC ＝∠B ＋∠C ＝2∠B .(5分)∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAC ＝2∠DAE ，∴∠B ＝∠DAE ，∴AE ∥BC .(8分)17．解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴△BDC 的周长为BC ＋BD ＋CD ＝BC ＋BD ＋AD ＝BC ＋AB ＝15.(5分)又∵BC ＝6，∴AB ＝9.(7分)∵AB ＝AC ，∴AC ＝9.(8分)18．解：设∠BAD ＝x .∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝x ，∠BAC ＝2∠BAD ＝2x .(2分)∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ＝2x .(3分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝60°，∴2x ＋x ＝60°，∴x ＝20°，∴∠B ＝∠BAC ＝40°，(6分)∴∠C ＝180°－∠B －∠BAC ＝100°.(8分)19．解：∵在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠DBO ＝∠OBC ，∠ECO ＝∠OCB .(4分)∵DE ∥BC ，∴∠DOB ＝∠OBC ＝∠DBO ，∠EOC ＝∠OCB ＝∠ECO ，∴DB ＝DO ，OE ＝EC .(8分)∵DE ＝DO ＋OE ，∴DE ＝BD ＋CE ＝5.(10分)20．解：(1)S △ABC ＝12×5×3＝152.(4分) (2)△A 1B 1C 1如图所示．(7分)(3)A 1(1，5)，B 1(1，0)，C 1(4，3)．(10分)21．(1)证明：∵AD ＝AC ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形．(2分)∵∠BAC ＝30°，∴∠DAB ＝30°，∴∠BAC ＝∠DAB ，(4分)∴AO ⊥CD ，CO ＝DO ，∴AB 垂直平分CD .(6分)(2)解：由(1)可知AB 垂直平分CD ，∴BD ＝CB .又∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝12×6＝3，∴BD ＝3.(12分) 22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)在△DBE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△DBE ≌△ECF ，(4分)∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．(6分)(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(10分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF ＝70°.(12分)23．(1)解：设AP ＝x ，则BQ ＝x .∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴AC ＝BC ＝6，∠C ＝60°，∴QC ＝x ＋6，PC ＝6－x .又∵∠BQD ＝30°，∴∠QPC ＝90°，∴QC ＝2PC ，即x＋6＝2(6－x )，解得x ＝2，即AP ＝2.(4分)(2)证明：过点P 作PF ∥BC ，交AB 于点F .(5分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝60°.∵PF ∥BC ，∴∠DBQ ＝∠DFP ，∠PF A ＝∠ABC ＝60°，∠FPA ＝∠C ＝60°，∴∠PF A ＝∠FP A ＝∠A ＝60°，∴PF ＝AP ＝AF ，∴PF ＝BQ .又∵∠BDQ ＝∠FDP ，∠DBQ ＝∠DFP ，∴△DQB ≌△DPF ，∴DQ ＝DP ，即点D 为线段PQ 的中点．(9分)(3)解：在运动过程中线段ED 的长不发生变化，是定值，ED 的长为3.(10分)理由如下：由(2)可知PF ＝AP ＝AF ，∴△AFP 为等边三角形．又∵PE ⊥AF ，∴EF ＝12AF .由(2)可知△DQB ≌△DPF ，∴DF ＝DB ，即DF ＝12BF ，∴ED ＝EF ＋DF ＝12(AF ＋BF )＝12AB ＝3.(14分)。
《第13章轴对称》测试卷(含答案)
《第13章轴对称》测试卷一、细心选一选1．下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF 垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．有一个等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．54．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个5．如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°6．下列语句中正确的有（）句①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC 的三条中线的交点B．△ABC 三边的中垂线的交点C．△ABC 三条角平分线的交点D．△ABC 三条高所在直线的交点8．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC 上，则线段AP的长是（）A．4 B．5 C．6 D．8二、耐心填一填9．请写出4个是轴对称图形的汉字：．10．若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为度．11．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是．12．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，则梯形ABCD的周长为．13．已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E．（1）∠A=50°，则∠EBC=°；（2）若BC=21cm，则△BCE的周长是．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D 到线段AB的距离是cm．15．如图，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，从而∠ACB=90°．设小方格的边长为1，取AB的中点M，连接CM．则CM=，理由是：．16．如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长cm．17．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数．18．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．三、动手作一作：19．现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．20．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．四．精心解一解（本题有4小题，共30分）21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．22．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB 的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．24．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：（1）图中等腰三角形是．猜想：EF与BE、CF之间的关系是．理由：（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．五、附加题：25．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？《第13章轴对称图形》测试题参考答案一、细心选一选1．A；2．C；3．B；4．D；5．D；6．B；7．C；8．C；二、耐心填一填9．如中、日、土、甲等；10．65°或50°；11．10：51；12．40cm；13．15；53cm；14．3；15．5；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；16．5；17．45°或135°；18．8；三、动手作一作：19．现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．解：如图．20．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．解：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．四．精心解一解21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB．22．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．解：∵AB=AD=CD∴∠ABD=∠ADB∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠DBC∴BD为∠B的平分线∵AD∥BC，AB=AD=CD∴梯形ABCD为等腰梯形∴∠B=∠C∵BD⊥CD∴∠C+∠C=90°∴∠C=60°23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB 的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，理由为：连接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE为DF上的中线，∴GE垂直平分DF．24．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：（1）图中等腰三角形是△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC．猜想：EF 与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF．理由：（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是△EOB、△FOC．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF．（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE﹣FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC．五、附加题：25．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．。
人教版八年级数学上册 第13章 《轴对称》 练习题含答案
人教版数学八年级上册第13章轴对称第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．(2018·湘西州)下列四个图形中，是轴对称图形的是( )2．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是( )A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AE D．AE＝CE3．如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点．若BC＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积是( )A．3 B．4C．6 D．84．如图，已知点A(2，3)和点B(4，1)，在坐标轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为( )A．(1，0)B．(0，－1)C．(1，0)或(0，－1)D．(2，0)或(0，1)5．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是( ) A．A点B．B点C．C点D．D点6. 如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是( )A．55°B．45°C．35°D．65°7．等边三角形的三条对称轴中任意两条夹角(锐角)的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是( )A．70°B．110°C．140°D．150°9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝24°.线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于( )A．78°B．60°C．54°D．50°10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③AD平分∠EDF；④AD垂直平分EF.其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，3*8=24）11．点M关于x轴对称的点的坐标是(－1，3)，则点M的坐标是_________．12．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为_______．13．在4×4的网格中有五个同样大小的正方形阴影如图所示摆放，移动其中一个阴影正方形到空白方格中，与其余四个阴影正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有_____种．14．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为____．15. 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．16．如图，在△ADC中，B是AC上一点，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________．17. 如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．18．在平面直角坐标系中，将A(－1，2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点的坐标是_______________.三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB＝AC＝CD，AD＝BD，求∠BAC的度数．20．(8分) 如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD＝MC，这个茶水供应点应建在何处？21．(8分) 如图，在△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E.(1)求证：△BCD是等腰三角形；(2)若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．22．(10分) 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.若∠CAB ＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．23．(10分) 如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.24．(10分) 如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P 的运动时间为t s，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？25．(12分) 如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.(1)若MN＝20 cm，求△PEF的周长；(2)若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．参考答案：1-5DDACB 6-10ACDCD 11. (－1，－3) 12. 100° 13. 13 14. 6 15. 3 16. 80° 17. 4 18．(2，－2)19. 解：∵AD ＝BD ，∴设∠BAD ＝∠DBA ＝x°，∵AB ＝AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA ＝∠BAD ＋∠DBA ＝2x°，∠DBA ＝∠C ＝x°. ∴∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAD ＝3x°. ∵∠ABC ＋∠BAC ＋∠C ＝180°， ∴5x ＝180.∴x ＝36，∴∠BAC ＝108°20. 解：作法：①连接CD ，作CD 的垂直平分线EF ；②作∠AOB 的平分线OP ，OP 与EF 相交于点M ，则点M 就是所求作的点21. 解：(1)证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC. 在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴BC ＝DC.∴△BCD 是等腰三角形 (2)∵BC ＝DC ，∠BCD ＝130°， ∴∠CBD ＝∠CDB ＝12(180°－∠BCD)＝12×(180°－130°) ＝25°.∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝50°＋25°＝75°22. 解：(1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ， ∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)， ∴AD ＝BE(2)由(1)可知∵△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAD=∠EBC ，∠CAD+∠EAB =∠EBC+∠EAB=50º ∴∠AEB=180º-(∠EAB+∠EBA) = 180º-(∠EAB+∠EBC+∠CBA) = 180º-(∠EAB+∠CAD+∠CBA) =180º-100º=80°23. 解：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝12∠ABC.又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD(SAS)， ∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ， ∴∠DEC ＝180°－108°＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∠CDE ＝180°－∠DEC －∠ACB ＝180°－72°－36°＝72°， ∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ， ∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD24. 解：根据题意：AP ＝t cm ，BQ ＝t cm. 在△ABC 中，AB ＝BC ＝3 cm ，∠B ＝60°， ∴BP ＝(3－t)cm.在△PBQ 中，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP ＝90°或∠BPQ ＝90°. 当∠BQP ＝90°时，BQ ＝12BP ，即t ＝12(3－t)，解得t ＝1；当∠BPQ ＝90°时，BP ＝12BQ ，即3－t ＝12t ，解得t ＝2.答：当t ＝1 s 或t ＝2 s 时，△PBQ 是直角三角形25. 解：(1)∵点M 与点P 关于OA 对称，∴OA 垂直平分MP.∴EM ＝EP.又∵点N与点P关于OB对称，∴OB垂直平分PN.∴FP＝FN.∴△PEF的周长为PE＋PF＋EF＝ME＋FN＋EF＝MN＝20 cm(2)连接OM，ON，OP.∵OA垂直平分MP，∴OM＝OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON＝OP.又∵ME＝PE，OE＝OE，PF＝NF，OF＝OF，∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS)．∴∠MOE＝∠POE，∠OME＝∠OPE，∠POF＝∠NOF，∠OPF＝∠ONF.∴∠MON＝2∠AOB＝70°.∴∠EPF＝∠OPE＋∠OPF＝∠OME＋∠ONF＝180°－∠MON＝110°。
人教版八年级数学上：第13章《轴对称》单元测试(含答案)(含答案)
第13章轴对称一、选择题（共9小题）1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，2） C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）2．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（）A．（﹣4，6）B．（4，6） C．（﹣2，1）D．（6，2）3．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）4．点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）5．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）6．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）8．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）9．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3二、填空题（共16小题）10．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为______．11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（______，______）．12．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是______．13．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=______．14．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014=______．15．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为______．16．点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是______．17．点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是______．18．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为______．19．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为______．20．点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是______．21．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为______．22．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为______．23．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=______．24．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为______．25．已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是______．三、解答题26．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（2）将线段AC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A 2C 2，并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2，使A 2B 2=C 2B 2．28．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标A （﹣4，1），B （﹣2，1），C （﹣2，3）（1）作△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 向下平移4个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2；（3）求四边形AA 2B 2C 的面积．29．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，1），B （﹣1，0），C （﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形．30．如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l ．第13章轴对称参考答案一、选择题（共9小题）1．D；2．B；3．A；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．B；二、填空题（共16小题）10．（-2，0）；11．-2；3；12．（3，2）；13．-6；14．1；15．25；16．（3，0）；17．（2，1）；18．（-2，-3）；19．（-2，-3）；20．（-3，2）；21．（-1，-2）；22．（-3，-2）；23．0；24．（2，-3）；25．（1，2）；三、解答题（共5小题）26．27．28．29．30．。
RJ人教版八年级上册第十三章《轴对称》单元测试卷内有答案与解析
第十三章《轴对称》单元测试卷（时间：120 分钟满分：120 分）第Ⅰ卷选择题（共42 分）一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2 分；7～16 小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案填入后面的括号里）1.下列图形中，不是轴对称图形的是【】2.点（3，-2）关与x 轴的对称点的坐标为【】A.（-3，-2）B.（3，2）C.（-3，-2）D.（3，-2）3.等腰三角形的一个外角为60°，则底角为【】A.120°B.30°C.30°或120°D.30°或60°4.如图，直角三角形ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线交AC于D，则AD与BC 的大小关系是【】A.AD＜BCB.AD＝BCC.AD＞BCD.不能确定第4题图第6题图5.等腰三角形的周长为13，其中一边的长为5，则其他两边的长可能是【】A.5 和3B.4 和4C.5和3 或4 和4D.不能确定6.如图，梯形ABCD 与梯形EFGH 成轴对称，则它们组成的图形的对称轴有【】A.1 条B.2 条C.3 条D.4条7.如图，公路BC 所在的直线恰为书店与学校连线AD 的垂直平分线，小花家与小梅家住在公路边，则下列说法中正确的是【】①小梅从家到书店与小花从家到书店的距离一样远；②小梅从家到书店与从家到学校一样远；③小花从家到书店与从家到学校一样远；④小梅从家到学校与小花从家到学校一样远.A.①②B.②③C.③④D.①④第7题图第8题图第9题图8.如图，在△ABC 中，CD⊥AB，∠A=30°，AB=6，△ACB 的面积为6，则AC的长为【】A.2B.4C.12D.169.如图，四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是【】A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC10.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC点于D，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，若BC=4，则△AEG的周长为【】A.12 B.10 C.8 D.4第10题图第11 题图11.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO 的大小为【】A.70°B.110°C.140°D.150°12.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D 作DE∥AB交AC于点E，则△CDE 的周长为【】A.20 B.12 C.14 D.13第12 题图第13题图13.如图，小华把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，重叠部分为△EBD，那么以下四种说法：①△EBD 是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④△EBA 和△EDC 一定是全等三角形.其中正确的有【】A.1 个B.2 个C.3个D.4 个14.将一张等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是【】15.如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每一个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有【】A.4 个 B.6 个 C.7个 D.9 个第15题图第16 题图16.如图，在直角坐标系中，点A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A、B、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是【】A.（0，0）B.（0，1）C.（0，2）D.（0，3）第Ⅱ卷非选择题（共78分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案填入题内的横线上）17.在十二地支“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”这12 个字中，可以看作接近于轴对称图形的有个.18.等腰三角形的对称轴有条.19.将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，EF、EG 是折痕，且使AE与BE 折叠后所对应的边EA´和EB´重合在同一条直线上.如果∠CFE＝110°，那么∠AEG＝°.第19题图第20题图20.在三角形纸片ABC 中，AB=10 cm，BC=7 cm，AC=6 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD（如图），则△AED 的周长为__________.三、解答题（本大题共6个小题，共66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.（本小题满分9 分）如图，∠A =90°，BD 是△ABC 的角平分线，DE 是BC 的垂直平分线，请分别求∠CDE 和∠ABC 的度数.22.（本小题满分10 分）找出下图中的轴对称图形，并画出它们的对称轴.23.（本小题满分10 分）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面AB边放一行球，参赛者从起点C 起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D 点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利.如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？24.（本小题满分11 分）将一个等腰三角形沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图所示形状.若∠B=15°，求∠A 的度数.25.（本小题满分12 分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC，垂足为D.（1）请写出图中所有等腰三角形；（2）请判断AD与BE 是否垂直？为什么？（3）请比较AB垣AE与BC 的大小，并说明理由.26.（本小题满分14 分）如图，△ABC 是边长为6 的等边三角形，P是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 沿CB 延长线方向运动（Q 不与B重合），过P 作PE⊥AB于E，连接PQ 交AB于D.（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE 的长；如果发生改变，请说明理由答案第十三章《轴对称》达标检测一、1.A 点拨：判断是否为轴对称图形关键是找对称轴，选项A 无对称轴，故不是轴对称图形.2.B 点拨：点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，-y），关于y 轴对称的点的坐标为（-x，y）.3.B 点拨：60°的外角只能是顶角的外角，故底角=12×60°=30°.4.C 点拨：连接BD，则BD=AD，又在直角三角形BDC 中，BD>BC，故AD>BC.5.C 点拨：本题应分情况讨论：当长为5 的边为腰时，另两条边的长为5 和3；当长为5的边为底边时，另两条边的长为4 和4.6.A7.B 点拨：∵BC 垂直平分AD，∴AB=BD，AC=CD，但AB 不一定等于AC，BD不一定等于CD.8.B 点拨：∵∠A =30°，∠CDA =90°，∴AC=2CD. 又∵S△ACB=12CD·AB=6，AB=6，∴CD=2.∴AC=2CD=2×2=4.9.C 点拨：由中垂线定理，知AB＝AD，故A 正确，由三线合一知B正确，且有BC＝CD，故D也正确，只有C 不一定成立.10.D 点拨：本题主要考查线段垂直平分线的性质，△AEG 的周长等于BC的长.11.D 点拨：因为OA=OB=OC，∴∠BAO=∠ABO，∠CBO=∠BCO，∴∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°，∴∠DAO+∠DCO=360°-∠ABC-（∠BAO+∠BCO）-∠ADC=150°.12.C 点拨：由AB＝AC及AD 平分∠BAC得BD=CD= 12BC=4.由DE∥AB及AD平分∠BAC得∠ADE=∠EAD，∴AE=DE.故△CDE 的周长=CE+DE+CD=CE+AE+CD=AC+CD=14.13.C 点拨：①③④正确，②中两角不一定相等.14.A 点拨：通过两次对折后，得到的三角形仍是等腰直角三角形.对于这个题目，可以通过动手操作解决问题，也可以利用轴对称的性质进行分析.15.C 点拨：解：如图所示，∵根据题意可知：以4 为腰的等腰三角形有2 个，以5 为腰的三角形有4 个，以5 为底边的等腰三角形有1个，∴符合要求的新三角形有2+4+1=7 个.第15 题图16.D 点拨：本题考查最短路线问题. 作B 点关于y 轴对称点B´点，连接AB´，交y 轴于点C，此时△ABC 的周长最小，∵点A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B´点坐标为：（-3，0），点C 的坐标是（0，3），故选D.二、17.4 点拨：“寅、未、申、酉”可以看作接近于轴对称图形.18.1 或3 点拨：本题应分类讨论，当等腰三角形底与腰不相等时，其对称轴只有1 条；当等腰三角形底与腰相等，即为等边三角形时，其对称轴有3 条.考虑问题不全面时，易漏掉其中的一种情况.19.20 点拨：由折叠易知∠GEF=90°，∠FEB=180°-110°=70°，∴∠AEG=90°-70°=20°.20.9 cm 点拨：由折叠易知BE=BC=7，DE=CD.故△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+（AB-BE）=AC+（AB-BC）=6+（10-7）=9（cm）.三、21.解：因为DE 垂直平分BC,所以DB=DC.所以∠C=∠DBC.又因为BD 平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC. 所以∠C=∠ABD=∠DBC=13×（180°-90°）=30°.所以∠CDE=90°-30°=60°，∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°.22.解：第1个和第4个为轴对称图形.图略.23.解：作点D 关于AB 的对称点M，连接CM交AB于点P，则点P所在的球就是选取的球.利用了轴对称的知识.24.解：∠A＝30°.25.解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△CDE都是等腰三角形；（2）AD与BE互相垂直.理由是：因为BE 平分∠ABC，DE⊥BC，AE ⊥AB，所以AE＝DE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等），所以∠DAE＝∠ADE，从而∠BAD＝∠BDA，所以AB＝BD，所以BE⊥AD（“三线合一”）；（3）AB+AE＝BC.理由如下：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠C＝45°，因为∠CDE＝90°，所以∠DEC ＝45°，所以CD＝DE（等角对等边），由（2）知AB=BD，BE⊥AD.所以AF=DF，∠AFE=∠DFE=90°.又EF=EF.所以△AFE≌△DFE.所以AE=DE.所以AE＝CD，所以AB+AE＝BD+DC＝BC.26.解：（1）过P 作PF∥QC 交AB 于点F，则△AFP是等边三角形.因为P，Q 同时出发，速度相同，即BQ＝AP，所以BQ＝PF，所以△DBQ≌△DFP，所以BD＝DF.因为∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30°，所以BD＝DF＝FP＝AF＝13AB＝13×6＝2，所以AP＝2.（2）由（1）知BD＝DF，而△APF是等边三角形，PE⊥AF，因为AE＝EF，又DE+（BD+AE）＝AB＝6，所以DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6，所以DE＝3 为定值，即DE 的长不变.。
人教版八年级数学上《第13章轴对称》单元测试题(含答案解析)
2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．204．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝°．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是（5，1），∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为14cm；②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是14cm．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．【解答】解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝5【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为14．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14，故答案为：14．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是（1，2）．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标．【解答】解：∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），∴点P坐标是（1，2）．故答案是：（1，2）．【点评】此题主要．考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝35°．【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．【解答】解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，∴∠B＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为40°．【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意，得x+2（x+30）＝180，解得x＝40．故答案为：40°．【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝45°．【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF ＝EF；根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF；∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是9.6．【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．＝BC•AD＝AC•BQ，∵S△ABC∴BQ＝＝＝9.6．故答案为：9.6．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：PA＝PC．理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．【分析】利用线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B又因为∠CAE＝∠B+30°故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．【分析】分两种情况：①设AB＝AC＝5，②设BC＝5，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴不妨设AB＝AC，又∵一边长为5，①设AB＝AC＝5，∵△ABC的周长为22，∴BC＝22﹣5﹣5＝12；∵5+5＜12，∴不成立（舍）；②设BC＝5，∵△ABC的周长为22，∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，∵8.5+5＞8.5，符合题意，∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长．【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，∴∠1＝∠3，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DB＝DO，同理可得EO＝CE，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC＝15，而BC的长为6，∴AB+AC＝9，∴△ADE的周长为9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．【分析】①如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②连接PA ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）如图2，连接PA ，根据三角形的面积列方程即可得到结论；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，根据矩形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）CD ＝PE +PF ，理由：如图1，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（2）①中关系还成立，理由：连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（3）结论：PE ﹣PF ＝CD 或PF ﹣PE ＝CD ，如图2，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAC ﹣S △PAB∴AB ×CD ＝AC ×PF +AB ×PE ，∵AB ＝AC ，∴CD ＝PF ﹣PE ；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，∵PE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．∴四边形CGED为矩形．∴CD＝GE，GC∥AB．∴∠GCP＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．在△PFC和△PGC中，，∴△PFC≌△PGC（AAS），∴PF＝PG．∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．。
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《第13章轴对称》单元测试题
一、选择题
1.
下列图形中，对称轴的条数最少的图形是
A. B. C. D.
2．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E.若AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为( ) A ． 5cm B ． 6cm C ． 7cm D ． 8cm
3．已知等腰△ABC 的周长为18 cm ，BC ＝8 cm ，若△ABC 与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于( )．
A ． 8 cm
B ． 2 cm 或8 cm
C ． 5 cm
D ． 8 cm 或5 cm 4. 已知等腰三角形的一个内角为︒70，则另两个内角的度数是（ ）
A .︒55，︒55
B .︒70，︒40
C .︒55，︒55或︒70，︒40
D . 以上都不对 5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若︒='∠20BC A ，则BD A '∠的度数为（ ） A .︒30 B .︒25 C .︒20 D .︒15 6．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于D ，
E 两点，并连接BD ，DE .若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为( ) A ．45° B ．52.5° C ．67.5° D ．75°
7．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC 本身)共有( ) A ．1个 B ．3个 C ．2个 D ．4个
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝45°，则∠ABC的度数为()
A．75°B．80°C．70°D．85°
9．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为() A．90°B．75°C．70°D．60°
10.在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC上，AD=AE，∠CDE=20°，则∠BAD的度数为（）
A.36°
B.40°
C.45°
D.50°
11.△ABC中，AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP、△ACP、△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A.1个
B.4个
C.6个
D.8个
12．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P 关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN
的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为() A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm
二、填空题
13．矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是(0，0)、(-5，0)、(-5，-2)，则D点的坐标是________，D点关于x轴的对称点的坐标是_________．
14．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为7cm，则它的周长为
_________________cm.
15.如图，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=53°，则∠P=______°.
16.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______度.
17.轴对称是指______ 个图形的位置关系，轴对称图形是指______ 个具有特殊形状的图形．
18．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是___
三角形，△ABC的周长＝___cm.
19．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，
垂足为点P，连接BD，CD，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝________．
20.等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为______ ．
三、解答题
21.如图：的周长为30cm，把的边AC对折，使顶点C和点A重合，
折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若，求的周长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
23．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，
CD＝2AD，AB＝4．
（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；
（2）求出（1）中PC＋PD的最小值．
24. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B 向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB 于D.
（1）若设x
PC；=
AP=，则=
QC.（用含x
的式子表示）
（2）当︒
BQD时，求AP的长；
∠30
=
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED
的长，如果变化请说明理由.
答案
1. B
2.B. 3．D 4.C 5..B 6.C 7.B8.A9．D10.B 11.C 12.A 1
3. （0，-2） （ 0，-2）
14． 15或18 15.53°16.20 17. 两；一 18． 等边， 24 19．96°
20.
或
21. 解：由图形和题意可知：，
，
则，
故的周长
，
答：
的周长为22cm ．
22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△DBE 和△ECF 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，
BD ＝CE ，
∴△DBE ≌△ECF ，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．
(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(10分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF ＝70°. 23. 解：（1）作D 点关于AB 的对称点D′，
连接CD′交AB 于P ，P 即为所求，此时PC+PD=PC+PD′=CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD 最小．
（2）作D′E ⊥BC 于E ，则EB=D′A=AD ，
∵CD=2AD ，∴DD′=CD ，∴∠DCD′=∠DD′C ， ∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABED′是矩形， ∴DD′∥EC ，D′E=AB=4，∴∠D′CE=∠DD′C ， ∴∠D′CE=∠DCD′，∵∠C=60°，∴∠D′CE=30°， ∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8； ∴PC+PD 的最小值为8． 24. 解：（1）x -6；x +6；
（2）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，
（3）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变。