湖南省郴州市2014届高三第三次教学质量监测考试数学(文)试题 扫描版含答案
湖南省郴州市2014届高三第三次教学质量监测英语1
湖南省郴州市2014届高三第三次教学质量监测英语1高考英语2014-04-02 201439湖南省郴州市2014届高三第三次教学质量监测英语试题第一部分听力（共三节，满分30分）做听力部分时，请先在试题卷上作答。
听力部分结束前，你将有两分钟的时间将第1至17小题的答案转涂到答题卡上，将第18至20小题的答案转写到答题卡上。
第一节（共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试题卷的相位置。
听完每段对话后，你都有2014秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A．＆19.15. B．＆9.15. C．＆9.18.答案是B。
1．How long does it take the slow train to get to New York?A．One hour. B．Threehours. C．Four hours.2．What time did the man arrive?A．At 201400. B．At201430. C．At 201445.3．Where is Harold living?A．In New York. B．In NewMexico. C．In an apartment.4．What happened this afternoon?A．The dog hid in the car. B．Her dog washurt. C．Mary went to the Veterinarian.5．What conclusion can be drawn from the man’s reply?A．He enjoys playing chess. B．He cannot play chess．. C．He hates playing chess.第二节（共12小题；每小题1.5分，满分18分）听下面4段对话。
数学_2014年湖南省某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)
2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合A={3, a2}，B={0, 1, a+1}，若A∩B={1}，则A∪B=()A {0, 1, 3}B {0, 1, 2, 3}C {0, 2, 3}D {0, 1, 3, 4}2. 下列说法中，不正确的是（）A “|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B 命题p:∀x∈R，sinx≤1，则¬p:∃x∈R，sinx>1C 命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y不是偶数，则x+y不是偶数” D 命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则(¬p)∨(¬q)为真命题3. 冬日，某饮料店的日销售收入y（百元）与当天的平均气温x(∘C)之间有下列5组样本数据：根据散点图可以看出，这组样本数据具有线性相关关系，则其回归方程可能是（）A ŷ=x+2.6B ŷ=−x+2.6C ŷ=x+2.8D ŷ=−x+2.84. 执行如图所示的程序框图，若输入x=3，计算机输出的y值为13，则图中①处的关系式可以是（）A y=x3B y=x−3C y=3xD y=3−x5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2+a4=10，则使S n>527成立n的最小值是（）A 16B 17C 22D 236. 若抛物线y2=ax经过不等式组{x−y−2≥0,x+2y−8≤0,y≥1表示的平面区域，则抛物线焦点的横坐标的取值范围是()A [124, 14] B [112, 12] C [16, 1] D [14, 32]7. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起得到一个三棱锥C−ABD，已知该三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A 1B 2C √3D 2√38. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，过点A向∠BAD所在区域等可能任作一条射线AP，已知事件“射线AP与线段BC有公共点”发生的概率为13，则BC边的长为（）A 1B √3C 3D 3√39. 设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a, b >0)的左、右焦点，动点P 满足PF 1→⋅PF 2→=0，若直线l:3x −4y −10=0与点P 的轨迹有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（ ） A a 2+b 2=2 B a 2−b 2=2 C a 2+b 2=4 D a 2−b 2=410. 已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足：对任意正实数a ，b ，都有f(ab)=f(a)+f(b)−2，且当x >1时恒有f(x)<2，则下列结论正确的是（ ）A f(x)在(0, +∞)上是减函数B f(x)在(0, +∞)上是增函数C f(x)在(0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数D f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11. 已知z 为纯虚数，且满足(2−i)z =4−bi ，则实数b =________．12. 已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 的参数方程为{x =5−√3ty =t （t 为参数），设A ，B 分别为圆C 和直线l 上的动点，则|AB|的最小值为________．13. 如图，已知|OA →|−1，|OB →|=2，∠AOB =∠BOC =60∘，若OC →=λOA →+OB →，则λ=________．14.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，已知AB =6，AD =5，CD =2，B =30∘，∠ADB 为锐角，则： （1）sin∠ADB =________； （2）AC 边的长为________．15. 设x 1=2t +i t−1×2t−1+i t−2×2t−2+i t−3×2t−3+...i 2×22+i 1×21+i 0×20． x 2=2t +i 0×2t−1+i t−1×2t−2+i t−2×2t−3+...+i 3×22+i 2×21+i 1×20． x 3=2t +i 1×2t−1+i 0×2t−2+i t−1×2t−3+...+i 4×22+i 3×21+i 2×20．x 4=2t +i 2×2t−1+i 1×2t−2+i 0×2t−3+i t−1×2t−4+...+i 5×22+i 4×21+i 3×20，… 以此类推构造无穷数列{x n }，其中i t =0或l(k =0, 1, 2,…,t −1, t ∈N ∗)，若x 1=110，则 （1）x 2=________．（2）满足x n =x 1(n ∈N ∗, n ≥2)的n 的最小值为________．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 已知函数f(x)=√3sin2ωx +6cos 2ωx −3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B 、C 为图象与轴的交点，且△ABC 为正三角形． （1）求ω的值； （2）若f(x 0)=6√35，且x 0∈(23, 83)，求f(x 0+1)的值．17.今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60, 70]，[70, 80]，[80, 90]，[90, 100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A，B，C，D四个等级，等级评定标准如下表所示：(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；(2)从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．18. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=CD，E为PB的中点．（1）求异面直线PA与DE所成的角；（2）在底边AD上是否存在一点F，使EF⊥平面PBC？证明你的结论．19. 某地区电力成本为0.3元/kw⋅ℎ，上年度居民用电单价为0.8元/kw⋅ℎ，用电总量为akw⋅ℎ（a为正常数），本年度计划将居民用电单价适当下调，且下调后单价不低于0.5元/kw⋅ℎ，不高于0.7元/kw⋅ℎ．经测算，若将居民用电单价下调为x元/kw⋅ℎ，则本年度居民用电总量比上年度增加0.2ax−0.4kw⋅ℎ．（1）当用电单价下调为多少时，电力部门本年度的收益最低？（精确到0.01元/kw⋅ℎ，参考数据：√2≈1.414）（2）若保证电力部门本年度的收益比上年度增长20%以上，求下调用电单价的定价范围．20. 如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率e=√32，且AF→⋅BF→=−1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若存在斜率不为零的直线l与椭圆相交于C、D两点，且使得△ACD的重心在y轴右侧，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21. 已知函数f(x)=1x+1．（1）设g(x)=f(x)⋅1nx，判断函数g(x)在(0, +∞)上是否存在极大值，并说明理由．（2）如图，曲线y=f(x)在点Q(0, 1)处的切线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交曲线于点Q1；曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2；依次重复上述过程得到点列：P1，P2，P3，…，P n(n∈N∗)，设点P n的坐标为(a n, 0)，求数列{a n}的通项公式，并证明：1a1+1a2+...+1a n≥32−12n．2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. B2. C3. D4. C5. D6. A7. A8. B9. C10. A11. −812. 113. −214. 分别为：35，3√5．15. 87、7．16. 解：（1）函数f(x)=√3sin2ωx+6cos2ωx−3=√3sin2ωx+3cos2ωx=2√3sin(2ωx+π3)．由于△ABC为正三角形，故高线的长为2√3，故边长为BC=4，故周期为8，即2π2ω=8，求得ω=π8．（2）由以上可得，f(x)=2√3sin(π4x+π3)，由f(x0)=2√3sin(π4x0+π3)=6√35，可得sin(π4x0+π3)=35．结合x0∈(23, 83)，可得π4x0+π3∈(π2, π)，∴ cos(π4x0+π3)=−45．求f(x0+1)=2√3sin[π4(x0+1)+π3]=2√3sin[(π4x0+π3)+π4]=2√3[sin(π4x0+π3)cosπ4+cos(π4x0+π3)sinπ4]=2√3(35×√22−45×√22]=−√65．17. 解：(1)∵ 最高小矩形下底边的中点值为75，∴ 估计评估得分的众数为75；∵ 从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，∴ 第二个小矩形的面积为1−0.28−0.16−0.08=0.48；∴ x¯=65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08=75.4，即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4；(2)∵ A等级的频数为25×0.08=2，B等级的频数为25×0.16=4，∴ 从6家连锁店中任选2家，共有6×52=15种选法，其中选1家A等级和1家B等级的选法有2×4=8种，选2家A等级的选法有1种,∴ P=8+115=35，即至少选一家A等级的概率是35．18. 解：（1）取AB的中点G，连结EG、DG，∵ E是PB的中点，∴ EG // PA，∴ ∠DEG为所求的角，由已知得BD=2√2，PD=2，则PB=2√3，∴ DE=12PB=√3，又EG=12PA=√2，DG=√AD2+AG2=√5，∴ DG2=DE2+EG2，∴ ∠DEG=90∘，∴ 异面直线PA与DE所成角为90∘．（2）存在点F为AD的中点，使EF⊥平面PBC．证明如下：取PC的中点H，连结DH，EH，∵ PD=CD，∴ DH⊥PC，①∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC，∵ 底面ABCD是正方形，∴ CD⊥BC，∴ BC⊥平面PCD，∴ BC⊥DH．②结合①②知DH⊥平面PBC，∵ E，F分别是PB、AD的中点，∴ FD= // 12BC，EH= // 12BC，∴ FD= // EH，∴ 四边形EFDH 是平行四边形，∴ EF // DH ， ∴ EF ⊥平面PBC ．19. 解：（1）设电力部门本年度的收益为y 元，则y =(a +0.2a x−0.4)(x −0.3)，x ∈[0.5, 0.7]，∴ y =[(x −0.4)+0.02x−0.4+0.3]a ≥(2√0.02+0.3)a ， 当且仅当x −0.4=0.02x−0.4，即x =0.4+0.1×√2≈0.54时取等号，故用电单价下调为0.54元/kw ⋅ℎ时，电力部门本年度的收益最低； （2）令(a +0.2ax−0.4)(x −0.3)>0，5a(1+20%)，即x 2−1.1x +0.3>0， ∴ x <0.5或x >0.6， ∵ 0.5≤x ≤0.7， ∴ 0.6<x ≤0.7，∴ 下调用电单价的定价范围是(0.6, 0.7]．20. 解：（1）设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． A(−a, 0)，B(a, 0)，F(c, 0)． AF →=(c +a, 0)，BF →=(c −a, 0)． ∵ AF →⋅BF →=−1，∴ c 2−a 2=−1， 又ca =√32，a 2=b 2+c 2，联立解得b 2=1，a 2=4，c 2=3． ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x =ty +m ，联立{x 2+4y 2=4x =ty +m ，化为(t 2+4)y 2+2mty +m 2−4=0， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−2mt t 2+4．∵ △ACD 的重心在y 轴右侧， ∴x 1+x 2−23>0，即x 1+x 2>2，∴ t(y 1+y 2)+2m >2， ∴−2mt 2t 2+4+2m >2，即4m >t 2+4．∵ 直线l 与椭圆相交，则△=4m 2t 2−4(m 2−4)(t 2+4)>0，化为t 2+4>m 2， ∴ 4m >m 2，解得0<m <4，又t 2≥0，∴ 4m >t 2+4≥4，解得m >1， ∴ m 的取值范围是(1, 4)．21. 解：（1）g(x)=f(x)⋅1nx =lnxx+1(x >0)，g′(x)=1(x+1)2(x+1x−lnx)．设ℎ(x)=x+1x −lnx =1+1x−lnx ．ℎ′(x)=−1x 2−1x=−1+x x 2<0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减， ∵ ℎ(e)=1e >0，ℎ(e 2)=1e 2−1<0，∴ ℎ(x)在区间(e, e 2)内存在唯一零点，即存在x 0∈(e,e 2)，使得ℎ(x 0)=0．∴ 当0<x <x 0时，ℎ(x)>0，从而g′(x)>0；当x >x 0s 时，ℎ(x)<0，从而g′(x)<0． ∴ g(x)在区间(0, x 0)上是增函数，在区间(x 0, +∞)上是减函数， ∴ x 0为函数g(x)的极大值点．故函数g(x)在(0, +∞)上存在极大值． （2）∵ f′(x)=−1(x+1)2，则f′(0)=−1，∴ 切线QP 1的方程为：y =−x +1．令y =0，则x =1． ∴ a 1=1．由已知可得Q n−1(a n−1，1a n−1+1)，则切线Q n−1P n 的方程为y −1a n−1+1=−1(a n−1+1)2(x −a n−1)．令y =0，则x =2a n−1+1，∴ a n =2a n−1+1(n ≥2)．∵ a n +1=2(a n−1+1)(n ≥2)，则数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴ a n +1=2n ，即a n =2n −1．因此∑1ain i=1=1+122−1+⋯+12n −1≥1+122+...+12n =1+14(1−12n−1)1−12=32−12n ．。
湖南省郴州市高三数学三模试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省某某市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）A．B．C．D．23．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．6．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7，若用S n表示该数列前n项和，则（）A．当n=15时，S n取到最大值B．当n=16时，S n取到最大值C．当n=15时，S n取到最小值D．当n=16，S n取到最小值7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④9．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．10．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知G是△ABC的重心，若直线PQ过点G，与AC，BC分别交于P ，Q ，设=m， =n ，则+=．14．已知流程图如图所示，输出的y值，则输入的实数x值．15．弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移y之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为．t 0 t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0y ﹣20.0﹣17.8﹣10.1 0.1 10.3 17.1 20.0 17.7 10.3 0.1﹣10.1﹣17.8﹣20.016．在圆x2+y2=r2中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k AC•K BC=﹣1，设直线AB过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点A，B，P（x，y）为椭圆上异于A，B的任意一点，用各类比的方法可得k AP•K BP=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f （x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？18．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：组别每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）甲小组 10 11 12 13 14 15 16乙小组 12 13 15 16 17 14 a假设所有成员所用时间相互了独立，从甲、乙两小组随机各选1人，甲小组选出的人记为A，乙小组选出的人记为B．（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c ＞0）．（Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=x+的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），某某数a的取值X围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD 于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值X围．2016年某某省某某市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选C2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）A．B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i．复数z的模为：．故选：B．3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数【考点】命题的否定．【分析】原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D．4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．5．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；k=0时，ω=故选C6．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7，若用S n表示该数列前n项和，则（）A．当n=15时，S n取到最大值B．当n=16时，S n取到最大值C．当n=15时，S n取到最小值D．当n=16，S n取到最小值【考点】等差数列的性质．【分析】由4a n+1=4a n﹣7，变形为：a n+1﹣a n=﹣，利用等差数列通项公式可得：a n．令a n≥0，解得n即可得出结论．【解答】解：∵4a n+1=4a n﹣7，变形为：a n+1﹣a n=﹣，∴数列{a n}是等差数列，公差为﹣，首项为25．∴a n=25﹣（n﹣1）=．令a n≥0，解得n≤15．∴当n=15时，S n取到最大值．7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【考点】向量的共线定理．【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．【解答】解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D9．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先化简不等式，确定满足sin（x+）≥且在区间[0，π]内x的X围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【解答】解：∵2sin cos+cosx≥，即sinx+cosx≥，即sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，又∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴在区间[，]内，满足sin（x+）≥时，x+∈[，]，∴在区间[0，π]内，满足sin（x+）≥时，x∈[，]；∴事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为P==．故选：B．10．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称【考点】函数的图象．【分析】对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，再求出其值域即可进行判断；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，从而得出答案．【解答】解：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f（x）的同值变换；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，值域为（1，+∞），T不属于f（x）的同值变换；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f（x）的同值变换；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，故T属于f（x）的同值变换；故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知G是△ABC的重心，若直线PQ过点G，与AC，BC分别交于P，Q，设=m， =n，则+= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用表示出，根据P，G，Q三点共线列出方程得出m，n的关系．【解答】解：取AB中点D，连结CD，则，∵G是△ABC的重心，∴=+．∵=m， =n，∴，，∴+．∵P，G，Q三点共线，∴，∴．故答案为：3．14．已知流程图如图所示，输出的y值，则输入的实数x值﹣2 ．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求y=的值，分当x≥0时和当x＜0时求得输出y=时的x值即可得解．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当x≥0时，y=（x+2）2=⇒x=﹣（舍去）或﹣（舍去）；当x＜0时，y=3x =⇒x=﹣2，故答案为：﹣2．15．弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移y 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为y=﹣20cos （t）．t 0 t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0y ﹣20.0﹣17.8﹣10.1 0.1 10.3 17.1 20.0 17.7 10.3 0.1﹣10.1﹣17.8﹣20.0【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由表格中的数据得到振幅A=20，周期T=12t0，过点（0，﹣20），从而写出解析式即可．【解答】解：由表格可知，振幅A=20，周期T=12t0=，解得：ω=，又函数图象过（0，﹣20），可得：﹣20=20sinφ，解得：φ=2kπ+，k∈Z，故振动函数解析式为：y=20sin（t+2kπ+）=﹣20cos（t），k∈Z．故答案为：y=﹣20cos（t）．16．在圆x2+y2=r2中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k AC•K BC=﹣1，设直线AB过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点A，B，P（x，y）为椭圆上异于A，B的任意一点，用各类比的方法可得k AP•K BP= ﹣．【考点】类比推理．【分析】由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质．【解答】解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k AC•k BC=﹣，证明如下：设点A的坐标为（m，n），则点B的坐标为（﹣m，﹣n），进而可知=1，又设点P的坐标为（x，y），则k AP=，k BP=∴k AP•k BP=，将y2=b2（1﹣），n2=b2（1﹣）代入得k AP•k BP=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（ωx+），由此根据周期为π求得ω的值．根据五点法，求出对应的五点，即可画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∴T==π，解得：ω=2，∴f（x）=sin（2x+），列表：x ﹣2x+0 π2πsin（2x+） 0 1 0 ﹣1 0描点得图象：（Ⅱ）把y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上的点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x+）的图象．18．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：组别每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）甲小组 10 11 12 13 14 15 16乙小组 12 13 15 16 17 14 a假设所有成员所用时间相互了独立，从甲、乙两小组随机各选1人，甲小组选出的人记为A，乙小组选出的人记为B．（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“A所用的时间比B所用时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；【解答】解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“A所用时间不小于13天”等价于“甲是A组的第4或第5或第6或第7个人”∴A所用时间不小于13天的概率P（A4∪A5∪A6∪A7）=P（A4）+P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“A所用的时间比B所用时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；（2）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量与所成的角的余弦值的绝对值等于，由此可求得P点的坐标．【解答】（1）证明：如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连结NE，则，E（0，0，1）∴又，，∴．∴，且NE与AM不共线，∴NE∥AM，又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．（2）设P（t，t，0），则=， =．又∵与所成的角为60°，∴，解之得或（舍去），故点P为AC的中点时满足题意．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c ＞0）．（Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=x+的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得，c=2，设F2关于直线y=x+的对称点为（m，n），运用点关于直线的对称条件，解方程可得m，n，代入椭圆方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积；②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣c），与椭圆方程联立，设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，c=2，即a2﹣b2=4，设F2关于直线y=x+的对称点为（m，n），可得=﹣， n=•（m+2）+，解得m=﹣2，n=，将（﹣2，）代入椭圆方程可得+=1，解得a=3，b=，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，此时易得A（c，），B（﹣c，），C（﹣c，﹣），D（c，﹣），所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|CD|=；②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣c），将其代入椭圆方程，整理得（b2+a2k2）x2﹣2ca2k2x+a2c2k2﹣a2b2=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．则x1+x4=，x1x4=．连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积S=2=|F1F2|•|y1﹣y4|=2c|y1﹣y4|，又（y1﹣y4）2=k2（x1﹣x4）2=k2[（x1+x4）2﹣4x1x4]=k2[（）2﹣4•]=•，由a＞b，可得（k2+）2﹣k2（1+k2）=k2+，当a≤b时，（y1﹣y4）2＜，即有S＜；当a＞b时，S与k的取值有关，无最值．综上，当a≤b时，平行四边形的面积取得最大值；当a＞b时，S与k的取值有关，无最值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），某某数a的取值X围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）减函数极小值增函数所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为，令，因为，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值X围为．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD 于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，得ρ2sin2θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C的直线坐标方程．（2）由直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），得直线l的直角坐标方程是x+y=1．由此能求出直线l被曲线C截得的线段AB的长．【解答】解：（1）由ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，得ρ（1﹣2sin2θ）+8cosθ﹣ρ=0，所以ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即曲线C的直线坐标方程为y2=4x．（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），所以直线l在y轴上的截距为1，又因为直线l过定点（1，0），由直线方程的截距式，得直线l的直角坐标方程是x+y=1．联立，消去y，得x2﹣6x+1=0，又点（1，0）是抛物线的焦点，由抛物线的定义，得弦长|AB|=x A+x B+2=6+2=8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，原不等式可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，通过对x取值X围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，易知函数g （x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，当时，不等式为3﹣x+1﹣2x＞5，∴，当时，不等式即3﹣x+2x﹣1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，当x＞3时，不等式即x﹣3+2x﹣1＞5，∴x＞3，综上所述不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞3}．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，所以函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，根据题意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值X围为（﹣∞，2）．…。
湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学(文)试题(扫描版)
郴州市2019届高三第三次教学质量监测试卷数学（文科）Mii A+ I VI 14 1|考生注意：1.本试昙分第I卷（选择題）和第U卷（非选择题｝两部分•共150分。
考试时间120分仲e2.请将各題答案填写在签题卡上.3 .本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷一、选择题:本大题共12小題，毎小题5分，共60分,在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •已知a€R・复数尸年二互为实数•则a=A.-2 K2 C.O D.y2.巳知集合A=Q|y=石>・B=b|F-8V0>・则ADB=A. （272 ・+8〉R （-oo.2>/2） C. （0,272） D.[0.2V2）3 .新闻出版业不断推进供给侧结构性改革.深入推动优化升级和融合发展•持续提高优质岀版产品供给•实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业裤收增氏悄况•则下列说法错误的是我新Ml出版产业兀毀字出饭迪穴牧悄况□散字出版W呑业牧人（亿元）口5r闻岀版业含歧收人（亿元）A.2O12年至2016年我国新闻出版业和数字岀版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业荐收趙过2012年我国数了出版业荐收的2倍C.2016年我国新闻出版业背收超过2012年我国新闻出版业营收的1. 5倍D.2016年我国数字出版业肯收占新闻出版业甘收的比例未超过三分之-4.已知尊差数列的前13项和为52•则（一2尸"=A. 256 R -256 C. 32 D. -325.设才』满足约束条件整空沢，< •,则2=工+，的鼠大值是A.6B.5C.4D.3【邮那节2019用底二第「次敬学及■隘溪试爻钗学« 1天（共4页i文*" • 19-03-313C・【邺州韦2019冬码二鼻二次載学质■占测试卷收学M 2 KIM45I)文*可 • 19-03-313C*6•已知収曲线C ：4-^ = l(a>0,6>0)的左、右两个焦点分别为F I -F 2.若存在点P 满足 a br I PF, I : \PF 2\ : |FiEI=4：6：5・则该双曲线的离心率为A. 2B 寺C.yD.57.已知函数/S=Acos(2工+卩)@>0)的图象向右平移令个单位长度后•得到的图象关于y 轴对称』(0〉_】.当年取得最小伉时•旳数/(P 的解析式为 A. /(x) —42cos(2J -4 y) B. /(x)=cos(2x-r~) C. /(T ) =v ,z 2cx )s(2-r —Y )D./QgcosQz —pD ・5或;12.已知皈数心)为R I ••的奇南数•且图彖关于点(3.0)对称■且当疋(0・3)时,/3 —(寺尸 一1・则函数/Cr)在区间［2013.2018］上的 A.用小值为一晋 B.赧小值为一召 C.最大值为0D.最大值为看第U 卷二、填空题:本大题共4小題，毎小题5分，共20分.把答案填在答題卡中的横线上. 13•已知函数/一严3•三°,若/T/•(一2)1= — 2•则.11——14•在zMBC 中.D 为BC 的中点•且BC=3AD=3・则人5 •处=▲ •&已知函数/(工)的导函数为/(x)-n 满足/(.r)=cosx-x/(|)>若曲线y-fM 在才=0EW处的切线为/•则下列直线中与血线I 垂虫的是 A< 2j —y —1=0 B. 2x+y+l=0 C. 丁一2y —2=0D.工+2，+1=09.执行如图所示的程字框图•若输入的a#分别是1.2048.则输出的i =A. 4B. 5C. 6D. 8 _ 10•已知某儿何体的三视图如图所示•其中止视图号侧视图是全等的貢角二 宓角形•则该几何体的各个面中•圮大面的面积为九2 B. 5 C. 皿冷DSIXP[w2'B3或; 叫■.6«是杏/丽;7 襪图［样州市2019範鸟二第三次戟学底■监测试鼻收学 * 3页（共4页）文科］• 19-03-313C-15 •已知数列』-】良公比为斗的等比数列•且山＞0・若数列｛aJM 递增数列•则山的取值范 a.o围为 ▲ ・ 16. 在四面体AHCD 中.AABD 与△BDC 都是边长为2的等边三角形•且平面ABD 丄平面BDC •则该四面体外接球的体积为 ▲・三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21 题为必考题，每道试题考生都必须作答•第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必善题：共60分. 17. （12 分）如氏•在四边形 ABCD 1>>ZD=2ZH<AD=2DC=4>sin ZB~ :. (1〉求AC 的长，(2)若的面积为 6•求 sinZCAH • sinZACB 的优18. (12 分)如图•在多面体ABCDEF 中•底血ABCD 是边长为2的菱形. 且z "A D=60°・四边形BDEF 是等腰梯形•且DE = EF = FB = LAC1BF. （1） 证明：平面也疋F 丄¥面ABCD. （2）求该多面体的体积.19. （12 分〉某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调仕•每位市民仅有一次参 加机会•通过随机抽样•得到参与问卷调査的100人的得分（满分：100分）数据•统计结果如 表所示.组别[40.50) [50,60) [60.70) [70.80) [80,90) [90.100] 男35 1S 1812 女5 1010713（1） 若规定何卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”•请完成答题氏中的2X2列联表.并判断能否在犯错谋概率不超过0.05的前提卜••认为是否为“环保关注者”勺性别有关？（2） 若问卷得分不低J ： 80分的人称为“环保达人现在从本次调査的“环保达人”中利用分 层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识何答，再从这5名市民屮抽取2人参与用谈会•求抽取的2名市民中•既有男“环保达人”乂有女“环保达人”的槪率.20. （12 分）已知椭圆C ：^4^ = l （a>6>0）的离心率尸给且稱圆过点（屈1）・P(Ki^k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0. 010 0,0050.001爲2.0722. 7063.8415.0246. 6357.879 10. 828______ n ad —W ____________ (a i 6)(c+d)(a+C(6+d) • r?=a+b+c+d ・附丧及公式:以一 B（1）求桶圆C的标准方程.⑵设f［线/与C交于M,N两点，点D在C上・O是坐标原点，若阪I OXJ-OS.判定皿边形OMDN的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；如果不是•请说明理由.21.（12 分）已知两数/（工>=工一aln工_b,（1）讨论负数/'Cr）的单调性.（2）若V J>0./（X）>0.求ah的最大值.（二）选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一題作答.如果多做■则按所做的第一題计分. 22•［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）庄点角坐标系^Oy中，曲线G的参数方程为I^Z^/sin a（Z为参数*0Ca<K）-点MC0.-2）.以坐标原点O为极点,工轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=4-/2cos（^ ‘ 于）.（"求曲线C2的宜角坐标方程，并指出其形状；⑵曲线G与曲线G交于两点・若卅可+诡］=晋・求衣2的值.23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）已知/■（工）=|“+2|・（1）当a = 2时•求不等式/（x）>3x的解集'（2）若证明：.【樽州市2019届高三第三次教学质■总测试*故学1 4页（共4页）文科】• 19-03-313C-【那州市2019届之三第三次救学质■盪滴试参数学・参号答妄» 1页(其4頁)文科1• 19—03—313C •郴州市2019届高三第三次教学质量监测试卷数学参考答案(文科)■ n a —2+ai a —2+ai —a4-(a —2)i , ” * c 1.B 二=—p ----------- = —=— = -------------- j --------- = —a+(a —2)i 为实数•故 a=2・ 2.1)由題町知•集合 A = {x\•”= U|-2>/2 V ・rV2血几则 A 门”=[0• 2血). 3. C 16635. 3X L 5>23595. 8 •故 C 不正确. 4. A 由 Sis ==52・心=4•得(一2P*+r =<-2)g =256.5. A 由題町知•再iBi 出可行域知•当/：，=-#+=平移到过点(2⑷时・“《=6. 6 B r=i ______ 1丫丄打] _ = =邑\PFt\-1 PFi | 6-42*7. A 因为^(x)=cos[2(x —-|-) + ^] = cos(2x — +予)关于y 轴时称•所以一十+予Z) •所以护=十 +后呼的Jft 小值是丰/(0)=z\cw 芋=1.则八=妊所以/(x)=v/Tcw(2x4-2.). & B /z (x) = — sin x —令才=号•则厂(牙 > =— •即 才+*r ・ /X0)=l/«0) = * •所以/的方程为y=*r+l ・所以宜线2卄y+l=0与直线/垂宜. 9. C 第一次运祥• i= 2・a= 2 "= 1024・a <加 第一次 15算• j = 4・a=8 “=256 •« Vfrx 第三次运算a = 6.a=48J>=^^>6.所以输出i = &ia D 由三视图可知.该几何休是一个三枝悔.如图所示•将其放住一个长方体中•并记为三械 悔 P —.\BC. S"". =S Z \B — -/T3 ・S A /MT = %/2"・S/vwr = 2 .故最大面的面枳为 x/JT. 11. C 设直线的幢料角为°剧狙闵=磊=点=亨•所以点一 1 =命•即血0= 土 +•所以苴线/的方程为y=±*r+l •当立线/的方程为y = *r+l ・联立 佝r;八=一I 印-=需j = i | = I ；“i'i*. -:iri 汽 /的方ZJ V = 一十，-1.11 A 臾为隕数的图象关于点(3.0)对称•所以/(6+x> = -/(-x). 乂頤数只小为奇顒数•所以/(6+T ) =/a )•所以函数/(门尼同期为6的同期函数.乂補数/GO 的定乂域为R •且为奇丽数.故/9)=0・/(一3)= /<3)=0.依次类推./(3rt)=0</f6N ).作出函数的大致图絵•如图所示.根据周期性可知•函数7< K 间［2013.2018］上的图象与在区间［-3.2］上的图象完全一样•可知函数/d 在《一3.2］上单U4递疋.且/〈一3》一0・所以雨数血区间［2013.2018］上的尿小值为一半・ 13. -2 A/<-2>］ = /<3) = a=-lP=4y ，=务+1\AF\1阳一+•综上•碉=4或$。
2023年湖南省郴州市高考数学第三次质检试卷+答案解析(附后)
2023年湖南省郴州市高考数学第三次质检试卷1. 若其中i为虚数单位，则在复平面上所对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为( )A. B. C. D.4. 篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为( )A. B. C. D.5. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为，AB为圆台的一条母线点B在圆台的上底面圆周上，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为( )A. 30B. 40C. 50D. 606. 设，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.7.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与C交于A，B两点.若，，则C的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知函数，实数m，n满足不等式，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.9. 给出下列命题，其中正确的是( )A. 对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大B. 若随机变量，，则C. 若，则D. 已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，下列说法正确的是( ) A. 若，则直线AB的倾斜角为B.C. 若抛物线上存在一点，到焦点F的距离等于4，则抛物线的方程为D. 若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为11. 设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在上有且只有5个极值点C. 在上单调递增D. 的取值范围是12. 如图，已知正四棱柱中，，E为的中点，P为棱上的动点，平面过B，E，P三点，则( )A.平面平面B. 平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C. 当P与A重合时，截此四棱柱的外接球所得截面面积为D. 存在点P，使得AD与平面所成角的大小为13.若的展开式中的系数为3，则______ .14. 已知点，若过点的直线m交圆C：于A，B两点，则的最小值为______ .15. 已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为______ .16. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为______ .17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求角的角平分线交AB于点D，且，求的最小值.18. 如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线证明：直线平面若Q在直线l上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.19. “现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值精确到百元参考数据：20.已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点，分别做x轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.求该椭圆的离心率.若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，，双曲线的焦点，，A为与的一个公共点，记，，求的值.21. chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球的开发主要采用人类反馈强化学习技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取，数据对，帮助数学模型更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.参考数据：，，若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某n阶变量的绝对值误差，，其中，N表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是，现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差MAE为定值.在测试chatGPT时，如果输人问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.22. 已知函数，若函数和有公切线，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：其中i为虚数单位，则，故，所以在复平面上所对应的点在第四象限．故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，，所以故选：分别求出集合M，N，进而求本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：，，，故选：先根据导数的几何意义求出，再利用裂项求和法，即可得解．本题考查导数的几何意义，裂项求和法，属基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，则概率为故选：考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案．本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l，所以，解得，将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O，线段就是蚂蚁经过的最短距离，设，圆心角是，则由题意知①，②，由①②解得，，，，，则故选：根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可．本题考查圆台的结构特征以及立体几何中的距离问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为，，令，则，再令，则，所以当时，即在上单调递增，所以当时，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，因为，所以，所以，所以，即，所以故选：由换底公式得到，，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断b、c，再根据对数函数的性质判断c、a，即可得解．本题主要考查对数值大小的比较，导数的应用，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设，因为，，则，，，所以，，，，可得A在短轴上，在中，，而在中，由余弦定理可得，而，所以，可得，可得离心率，故选：设的值，由题意及椭圆的定义可得其它焦半径的值，在两个三角形中，由角互补可得余弦值之和为0，可得a，c的关系，进而求出离心率．本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，函数关于对称，又，，，恒成立，是增函数，，，又是增函数，，，故选：根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可．本题考查函数的对称性，函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：选项A，对于独立性检验的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误；选项B，，，，正确；选项C，，则，，正确；选项D，把代入回归直线方程，得，剔除两个样本点和后，新的平均数，，又新的回归直线的斜率为3，即，则，解得，则新的回归方程为，正确；故选：由独立性检验判断选项A，由正态分布的对称性，判断选项B，由二项分布的方差公式，判断选项C，由回归直线方程的求法，判断选项本题考查回归直线方程，独立性检验，二项分布的方差，正态曲线的性质，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：设，，当直线l的斜率为0时，，则，不符合题意，所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，由得，，则，，所以，对于A：，即，代入，，，解得，所以直线l的斜率，即直线l的倾斜角为或，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：若抛物线上存在一点，到焦点F的距离等于4，即，则，解得，所以抛物线的方程为，故C正确；对于D：若点F到抛物线准线的距离为2，则，所以抛物线方程为，连接PM，过点P作轴于点C，则，若直线的斜率，，若，则，，所以，因为，由题可知，，所以，因为，所以综上，最小值为，故D错误；故选：设直线l的方程为，，与抛物线方程联立，由根与系数关系得出和，选项ABD均可转化为坐标的计算，代入根与系数关系，即可做出判断，C选项可直接由焦半径公式列方程得出p的值，即可做出判断．本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．11.【答案】CD【解析】解：由题设，在上，若，所以在上有5个零点，则，解得，故D正确；在上，，当，极值点个数为6个，故B错误；且故不为0，故A错误；在上，则故递增，即在上递增，故C正确．故选：根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断本题主要考查三角函数的图象变换，考查正弦型函数的性质，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：正四棱柱中，，E为的中点，P为棱上的动点，平面过B，E，P三点，对于A，易证平面，从而平面平面，所以A对；对于B，平面与正四棱柱表面的交线围成的图形可以是五边形，所以B不对；对于C，设外接球的球心为O，O到平面的距离不到平面的距离的一半，而到平面的距离为，所以O到平面的距离为，面正四棱柱的外接球的半径为，由勾股定理小截面圆的半径，，所以C正确；对于D，取的中点T，连接TE，易得，则TE与平面的所成的角就是AD与平面的角设为，，当点T到平面PBE即平面的距离最大时，所成角正弦最大即角最大，，由等体积法，到平面PBE即平面的距离h的最大值，当点P在点A处时的面积最小，点到平面PBE即平面的距离的最大值H，由，所以，而，所以，则的最大值为，所以D不对．故选：证明平面，推出平面平面，判断A；利用平面的基本性质判断B；设外接球的球心为O，O到平面的距离不到平面的距离的一半，推出小截面圆的半径判断取的中点T，连接TE，TE与平面的所成的角就是AD与平面的角设为，由等体积法，到平面PBE即平面的距离h的最大值，当点P在点A处时的面积最小，点到平面PBE即平面的距离的最大值H，求出结果判断本题考查直线与平面所成角，等体积法的应用，平面的基本性质的应用，平面与平面垂直的判断，是难题．13.【答案】【解析】解：由，则其通项为，令，则，或，，所以，由于，所以故答案为：根据二项式展开式通项特征，即可根据得k，r的取值，进而求解．本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，设H为AB的中点，连接CH，则，的轨迹是以CN为直径的圆，其圆心为，半径，，由圆的性质可得，故答案为：设H为AB的中点，由垂径定理得出点H的轨迹是以CN为直径的圆，圆心为，由向量的运算可得，根据圆的性质得出即可得到答案．本题考查圆的概念，圆的几何性质，数形结合思想，属中档题．15.【答案】【解析】解：如图所示：依题意得，底面ABC的外接圆半径为，点P到平面ABC的距离为，所以，所以，设球的半径为R，所以，则，得，设球的半径为r，则，又，得，所以球的表面积为故答案为：由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，通分得：，即；设，，，函数在单调递增，恒成立，得，即，设，易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以故答案为：将函数化简成，构造同构函数，分析单调性，转化为即求解，研究函数单调性即可解决．本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，故，所以，因为，所以，即，故，即，故，，，故，，所以；，的平分线交AB于点D，故，由三角形的面积公式可得，化简得，又，，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为【解析】根据正弦定理得到，化简得到，计算得到，得到答案．根据面积公式得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案．本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题、18.【答案】证明：，F分别是PC，PB的中点，，平面AEF，平面AEF，平面AEF，平面ABC，平面平面，，平面平面ABC，平面平面，，平面ABC，平面平面解：是的中位线，，又，当时，，又因为，故此时，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，令平面PAQ的法向量为，则，，令，则，令平面PQB的法向量为，则，，令，则，因为，，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为【解析】证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；根据体积关系求出边长，建系求出法向量，求出二面角即可．本题主要考查直线与平面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：若全款购置，则25万元10年后的价值万元，若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为万元，因此，付全款较好．由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，，记，，则①，②，①-②作差可得：，整理得到：万元【解析】分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案．设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，，由错位相减法即可求出本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．20.【答案】解：由题意，，又因为，故，即，解得舍负设椭圆的方程为由题意知双曲线的方程为联立，的方程，解之得不失一般性，可设A在第一象限，所以点，，同理，，，，同理，，因为的离心率为，则，的离心率为，则，又，所以【解析】由题意列式，构造齐次式得，求解即可．联立，的方程点A，再求三边应用余弦定理可得，同理得到，计算可得．本题主要考查椭圆的性质，双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，该单个样本的交叉嫡损失函数：根据定义，该三阶变量的绝对值误差为记事件A：chatGPT中输入的语法无错误；事件B：chatGPT中输入的语法有错误；事件C：chatGPT的回答被采纳．依题意：，，，，所以【解析】根据交叉嫡损失函数，将数据代入求值即可；根据绝对值误差MAE的定义及公式化简证明；利用条件概率公式及全概率公式求解即可．本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由题意，当时，设，则，，令，得舍负在上单调递减，在上单调递增，根据题意t的取值范围为设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，，，代入，得问题转化为：关于x的方程有解，设，则函数有零点，，当时，，，问题转化为：的最小值小于或等于，设，则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，由知，故，设，则，故在上单调递增，，当时，，的最小值等价于又函数在上单调递增，【解析】设，用导数法解即可；设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，可得，化简得到，然后将问题转化为关于x的方程有解求解．本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．。
湖南省郴州市2025届高三数学下学期3月第三次教学质量监测试题
湖南省郴州市2025届高三数学下学期3月第三次教学质量监测试题(本试卷共4页，22题，全卷满分150分，考试用时120分钟)留意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|y，则A∩B等于A.(2，3)B.[2，3)C.[2，6)D.(－1，2]2.若复数z满意z(1＋i)＝1－i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为A.1B.－1C.iD.－i3.设非零向量a，b满意|a|＝4|b|，cos<a，b>＝14，a·(a－b)＝30，则|b|＝4.地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个平安出口，若同时开放其中的两个平安出。
口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个平安出口的编号是A.m1B.m2C.m3D.m45.函数f(x)＝2xxe1-的图象大致是6.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键。
要主动培育本土人才，激励外出能人返乡创业。
2024年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的看法》。
看法指出，要实行党中心、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业。
为激励返乡创业，某镇政府确定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员。
湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学(文)试题
湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学（文）试题一、单选题(★) 1 . 已知，复数为实数，则（）A．-2B．2C．0D．(★) 2 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一(★) 4 . 已知等差数列的前13项和为52，则（）A．256B．-256C．32D．-32(★) 5 . 设，满足约束条件，则的最大值是（）A．6B．5C．4D．3(★) 6 . 已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．5(★★) 7 . 已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知函数的导函数为，且满足，若曲线在处的切线为，则下列直线中与直线垂直的是（）A．B．C．D．(★) 9 . 执行如图所示的程序框图，若输入的，分别是1，2048，则输出的（）A．4B．5C．6D．8(★★) 10 . 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）A．2B．5C．D．(★★) 11 . 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（）A．2或B．3或C．4或D．5或(★★) 12 . 已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为0D．最大值为二、填空题(★) 13 . 已知函数，若，则_____．(★) 14 . 在中，为的中点，且，则_______．(★) 15 . 已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为______．(★★★★) 16 . 在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．三、解答题(★) 17 . 如图，在四边形中，，，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.(★★) 18 . 如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.（1）证明：平面平面 .（2）求该多面体的体积. (★★) 19 . 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示.组别男23 5 15 18 12 女5 10 10 7 13（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的 列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率. 附表及公式： ， .0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(★★★★) 20 . 已知椭圆 的离心率 ，且椭圆过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与交于，两点，点在上，是坐标原点，若，判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.(★★★★) 21 . 已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，，求的最大值.(★★) 22 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值.(★★) 23 . 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，证明：.。
2019届湖南省郴州市高三第三次质量检测数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省郴州市高三第三次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知，复数为实数，则（）A．-2 B．2 C．0 D．【答案】B【解析】化简复数为的形式，虚部为零可得.【详解】为实数，故.【点睛】本题主要考查复数的运算，熟练复数运算的规则是求解关键.2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分别求解集合A,B，再求两个集合的交集.【详解】由题可知，集合，，则.选D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，正确描述集合是求解关键，关注代表元素对集合的影响. 3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．已知等差数列的前13项和为52，则（）A．256 B．-256 C．32 D．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由，，得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．设，满足约束条件，则的最大值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】作出可行域，平移目标函数，得出最值.【详解】由题可知，再画出可行域知，当：平移到过点A时，.选A.【点睛】本题主要考查线性规划，截距型目标函数求解最值时，一般是按照“作，移，指，求”的步骤来进行.6．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.7．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，.当取得最小值时，函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.【详解】因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.8．已知函数的导函数为，且满足，若曲线在处的切线为，则下列直线中与直线垂直的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求导数代入，求出，再求出切线斜率，可得.【详解】，令，则，即.，，所以的方程为，所以直线与直线垂直.选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线，把切点横坐标代入导数可得切线斜率.9．执行如图所示的程序框图，若输入的，分别是1，2048，则输出的（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】逐步代入，进行计算，可得结果.【详解】第一次运算，，，，；第二次运算，，，，；第三次运算，，，，，所以输出.选C.【点睛】本题主要考查程序框图的识别，解决的方法是“还原现场”.10．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）A．2 B．5 C．D．【答案】D【解析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现. 11．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（）A．2或B．3或C．4或D．5或【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.【详解】。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．D
4．B
5．C
6．B
7．C
8．B
9．A
10．D
二、填空题
11．．
12．x2=16y．
13．．
14．n n．
15．{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．
三、解答题
16．解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）=cosC，得sin（A﹣B）=sin（﹣C），
∵△ABC是锐角三角形，
∴A﹣B=﹣C，即A﹣B+C=，①
又A+B+C=π，②
由②﹣①，得B=；
（Ⅱ）由余弦定理b2=c2+a2﹣2cacosB，得（）2=c2+（3）2﹣2c×3cos，
即c2﹣6c+8=0，
解得c=2，或c=4，
当c=2时，b2+c2﹣a2=（）2+22﹣（3）2=﹣4＜0，
∴b2+c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，
∴c≠2．
则c=4．
17．解：（Ⅰ）由题意，可得2x2列联表，
非高收入族高收入族总计
赞成29 3 32
不赞成11 7 18
总计40 10 50
假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系，则
K2===6.272＜6.635
∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；
（Ⅱ）由题意，月收入在[15，25）中，有4人赞成楼市限购令，1人不赞成的，赞成的分别是A1，A2，A3，A4，不赞成的是B，从中选出两人的所有结果有：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1B），（A2A3），（A2A4），（A2B），（A3A4），（A3B），（A4B），共10个基本事件，
其中所抽取的两人都赞成楼市限购令的有：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A2A3），（A2A4），（A3A4），有6个基本事件，
所以选所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率是P=0.6．
18．（1）证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F
又A'E∩A'F=A'
∴A'D⊥平面A'EF
而EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF
（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接A'G
∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF，DE=DF，
∴点G为EF的中点，
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF
∴∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角
由（1）可得A'D⊥A'G，
∴△A'DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴，，
∴，，
又A'D=2
∴
∴
∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为
方法二：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF=A'E=A'F=1，
∴
∴A'E2+A'F2=EF2，∴A'E⊥A'F
由（1）得A'D⊥平面A'EF，
∴分别以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角
坐标系A'﹣xyz，
则A'（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2）
∴，，
设平面DEF的一个法向量为，则由，
可取
又平面A'EF的一个法向量可取
∴
∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由题得，甲工厂第n年的年产量是一个等差数列的项，其首项为100，公差是10，∴a n=10n+90，
乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b n=100+2+22+23+…+2n﹣1=2n+98，
∴“十二•五”期间（即2011年至2015年），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共
5×100+×10++490=1002万吨
（Ⅱ）各年的产量如下表
n 1 2 3 4 5 6 7 8
a n100 110 120 130 140 150 160 170
b n100 102 106 114 130 162 226 354
∴2018年底甲工厂将被乙工厂兼并．
20．解：（1）易求A（2，1），B（﹣2，1）．…（2分）
设P（x0，y0），则．由，得，
所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．
平方得，即．…（10分）因为直线MN的方程为（x2﹣x1）y﹣（y2﹣y1）x+x1y2﹣x2y1=0，
所以O到直线MN的距离为，…（12分）
所以△OMN的面积S=MN•l=|x1y2﹣x2y1|=
==．
故△OMN的面积为定值1．…（16分）
21．解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，
．
令f'（x）=0得：
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x 1 （1，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增
因此，当时，f（x）有极大值，且；
当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．
（Ⅱ）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，
令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，
即g（x）最小值=g（0）=0．
对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．
即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．
（1）当a=0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x
＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，
∴a=0符合题意．
（2）当a＜0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令
f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，
得﹣1≤a＜0，
∴﹣1≤a＜0符合题意．
（3）当a＞0时，，f'（x）=0得，
时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；
令f'（x）＜0，解得．
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，
而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．
同理时也不成立．
综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．。