y=a(x-h)2+k的图象和性质
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
6.二次函数y=a(x-h)2+k的图象
（2）根据图象回答： 当x x<0或x>2 时，
(0,0)
(2,0)
y>0; 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
(1,-1)
下课了!
(-2,2)
3 2 1
1 2 y x 2
x
–5 –4 –3 – 2 –1 O – 1 1 2 y x 2 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4
1 2 3 4 5
考考你学的怎么样：
填空： 1、(1)由抛物线y=2x²向____平移 个单位,再向 平移 个单位可得 到y= 2(x +1)2 –3。
1y 2x 3
5
2
向上 向下 向下 向上
2 y 0 .5 x 1
2
直线x= –1 (–1,0) 直线x=0 直线x=2
3 2 3 y x 1 4
(0,–1)
(2, 5)
4 y 2 x 2 5 2 5y x 4 2
2
y 2( x 1)
2
y 2( x 1) 1
y 2( x 1)2 1 的图像可以由 y 2 x 2 先向上平移一个单位
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.
,
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口
2
对称轴 直线x=3
顶点坐标 (3,–5)
最值 当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
上下平移规律
y=ax2
上加下减
y ax c
2
左右平移规律
y=ax2
左加右减
y=a(x-h)2
九年级数学下册 y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质课件 人教新课标版
议一义P45
17
我思，我进步
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-
2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时， y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x 值的增大而减小?
2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而
?
增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大 而减少？
第七页，编辑于星期五：十三点 四十七分。
做一做P44 7
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图 象完．成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?
有什么关系?它是轴对称图形
吗?它的对称轴和顶点坐标分
别是什么?
y3x12
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向左平移了1 个单位.
图象是轴对称图形. 对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标 是点(-1,0).
1.抛物线y=a(x-
二次函数y=a(x-h)2的性质
h)2的顶点是(h,0),
对称轴是平行于y 轴的直线x=h.
26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
河南淮阳羲城中学
怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
向下
直线x=h （h,k）
当x＞h时，y随x 当x=h时， 的增大而减小；
y最大值=k x＜h时，y随x的 增大而增大.
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顶点式
y a x h2 k a 0
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
y = a(x - h )2
简记为：
上加下减常数项， 左加右减自变量。
上下平移
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y = ax2 左右平移
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 中考链接：
抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2 .
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课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a （x －h ）2＋k 的图象和性质回顾：抛物线2)(h x a y -=+k 与2ax y =之间存在什么样的平移规律？ 仔细梳理，认真填写：归纳反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变.所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 典型例题例 1 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b ，c 的值．分析：把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．解：根据题意得，y=(x-4)2-2=x 2-8x=14, 所以 8,14.b c =-⎧⎨=⎩例2 第一象限内的点A 在一反比例函数的图象上，过A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，连AO ，已知△AOB 的面积为4.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点A 的纵坐标为4，过点A 的直线与x 轴交于P ，且△APB 与△AOB 相似，求所有符合条件的点P 的x坐标；（3）在（2）的条件下，过点P ，O ，A 的抛物线是否可由抛物线241x y =平移得到？若是，请说明由抛物线241x y =如何平移得到；若不是，请说明理由. 解：（1）设反比例函数的解析式为xky =，点A 的坐标为（x ，y ），∵S △AOB = 4， ∴421=xy ，∴x 8=y ，∴xy 8=.（2）由题意得A （2，4），∴B （2，0）.∵ 点P 在x 轴上，设P 点坐标为（x ，0），∴∠ABO =∠ABP =900.∴△ABP 与△ABO 相似有两种情况：①当△ABP ∽△ABO 时，有BP ABBO AB =.∴BP=BO=2，∴P （4，0）. ②当△PBA ∽△ABO 时，有BA PB BO AB =，即424PB=，∴PB=8.∴P （10，0）或P （－6，0）. ∴ 符合条件的点P 坐标是（4，0）或（10，0）或（－6，0）.（3）当点P 坐标是（4，0）或（10，0）时，过点P ，A ，O 三点的抛物线的开口向下，∴不能由241x y =的图象平移得到. 当点P 坐标是（－6，0）时，设抛物线解析式为)6(+=x ax y . ∵抛物线过点A （2，4），∴41=a ，∴)6(412x x y +=，∴49)3(412-+=x y . ∴该抛物线可以由241x y =向左平移3个单位，向下平 移49个单位得到. 强化练习 一、选择题1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =（ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到3．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有（ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=21 二、填空题4．把函数22x y =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 .5．抛物线m x x y +-=42的顶点在x 轴上，其顶点坐标是 ，对称轴是 . 6．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 7．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．。
y=a(x-h)2+k的图象和性质
平移方法2:
x=－1
1 2 1 2 向左平移 1 2向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数
y= 2（x-3）2+3
对 开口 称 方向 轴
向上 x=3
顶 点
(3,3)
最 值
3
增减性
x<3，递减； x>3，递增 x>-3，递减； x<-3，递增 x>-2，递减； x<-2，递增 x<-1，递减； x>-1，递增
(m, n) 。
y=a(x-h)2 +k(a≠0)
a>0
向上
பைடு நூலகம்
a<0
向下
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
(h ,k) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
(h ,k)
x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
方向、顶点与对称轴、 解: 先列表
… -4 1 y ( x 1) 1 …-5.5 2 x
2
-3
-2
-1
0
1
2
八年级数学下二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点连线画图
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
…
先列表
x
…
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点画图.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
直线x=－1
思考：
1
2
抛物线 y ( x 1) 1
2
的对称轴、顶点、增减性?
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
-10
y ( x 1) 2 1
2
二次函数
2
y
(
x
1
)
1
y x
(2)抛物线
与
2
2
有什么关系?
y
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
2
直线 x= n-m
称轴_____________________。
1 2
5.若二次函数 y x 经过平移变换
2
后顶点坐标为(-2,3) ,则平移后的函数解
1
2
y ( x 2) 3
析式为_________。
2
6.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x 不动,
2
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么
y=a(x-h)2+k的图像和性质
2
1 2 y (x 2) 1 试研究二次函数 的图象。 2
1 1 2 2 y (x 2) 的图象与函数y x 的图象之间的关系。 2 2
1 2 1 2 y x 1的图象与函数y x 的图象之间的关系。 2 2
1 2 你能找到函数y (x 2) 1与 2 1 2 函数y x 的图象之间的关系吗？ 2
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物 线y=4x2平移得到吗?
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2(x-3)2+3 y= −2(x+3)2-2 y= −2(x-2)2-1
y= 3(x+1)2+1
y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 向上 开口方向 (h ,k) 顶点坐标 对称轴 x=h 当x<h时， 增 y随着x的增大而减小。 减 当x>h时， y随着x的增大而增大。 性 x=h时,y最小值=k 极值
1 向右平移 1 2 2 y (x 2) 1 y x 1 2 2 2个单位
向 上 平 移
1 个 单 位
向 上 平 移
1 个 单 位
1 2 y x 2
向右平移
h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
a<0 向下 (h ,k) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下和左右平移得到.