和积法计算最大特征向量实例
层次分析法的计算
n i 1
( AW )i nWi
.
式中AWi表示向量AW的第i个分量。
例如
1 5
1/ 5 1
1/ 3
3
每行之乘积
1
1 5
1 3
0.7
51 3 15
3 1/ 3 1
3
11
1
3
0.412
0.105
球Mi的三次方根
2.466
标准化
0.637
,
1
0.258
即权系数为
W (0.105, 0.637, 0.258)T
.
式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。
例 某厂准备购买一台计算机，希望功能强，
价格低，维护容易。现有A、B、C三种机型可供 选择。其中A的性能较好，价格一般，维护一般 水平；B的性能最好，价格较贵，维护也只需一 般水平；C的性能差，但价格便宜，容易维护。 试用层次分析法进行决策分析。
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
4、层次单排序及其一致性检验（用方 根法计算这三个准则关于目标的排序权值）
M1 15, M 2 0.667, M3 1
w1 3 15 2.446, w2 3 0.667 0.405, w3 3 1 1
标准化：
2.446
2.446
W1 2.446 0.405 1 3.871 0.637
在具体计算中，当ek与ek-1接近到一定程度时， 我们就取e=ek
例如
1 1 1/ 5 1/ 3 A 1 1 1/ 3 , e0 1/ 3
5 3 1 1/ 3
1 1 1/ 5 1/ 3 0.733 e '1 Ae0 1 1 1/ 3 1/ 3 0.778 , e '1 0.733 0.778 3 4.511
第四章-特征值 的计算
}是 个 摆 动 序 列 ， 当 k 充 分 大 时 有
λ1
2 k 1
x
( 2 k 1)
( α 1 u 1 α 2 u 2 ),
x
(2k )
λ1 ( α 1 u 1 α 2 u 2 )
2k
λ1
2
xi
(k 2) (k )
.
16
xi
另一方面，
x
(k 1)
λ1
k 1
0 1.0, x 3.求整数r , 使得xr max( x ), y xr 4.计算 x Ay, 置xr 2 ,
5.计算 0 (1 0 )
2
2.置k 1, 0 0,
1 0,
2 21 0
,
6.若 0 , 输出 , y停机, 否则转7,
23
a ak
(a k 1 a k )
2
a k 2 2a k 1 a k
ˆ : a k
可以证明ˆ k a比ak a快, a
ˆ 用ak 逼近a , 这种方法称为 Aitken加速法.
24
算法4.2
25
1.输入A (aij ), 初始向量x , 误差限 , 最大迭代次数 , N
2
( 3)
2
( 2.5 2) 4.8 5
3.25
( 4)
2.5
( 2.8 2.5)
5.4285714 5.6
3.0249999
(6)
2.9285714 3.00030487
( 2.9756097 2.9285714)
求特征向量例题
求特征向量例题特征向量是在线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的特征值相对应。
在数学和物理学中，特征向量在解决矩阵相关问题时扮演着重要的角色。
假设我们有一个2x2的矩阵A，其中的元素为a、b、c和d。
我们想要找到这个矩阵的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵A的特征值，即满足以下方程的λ：det(A - λI) = 0其中，I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的值。
假设我们求解的特征值为λ1和λ2。
接下来，我们需要找到与这些特征值对应的特征向量。
特征向量可以通过求解以下方程组得到：(A - λI)v = 0其中，v是一个非零向量。
解这个方程组可以得到特征向量v1和v2。
举个例子来说，假设我们有以下矩阵A：A = [[3, 1],[1, 2]]我们可以按照上述步骤求解特征值和特征向量。
首先，我们需要解方程det(A - λI) = 0：det([[3, 1],[1, 2]] - λ[[1, 0],[0, 1]]) = 0计算得到特征值λ1 = 4和λ2 = 1。
接下来，我们求解方程组(A - λI)v = 0：对于特征值λ1 = 4，我们有：[[3, 1],[1, 2]]v1 = 4v1解这个方程组，我们得到一个特征向量v1 = [1, 1]。
对于特征值λ2 = 1，我们有：[[3, 1],[1, 2]]v2 = 1v2解这个方程组，我们得到另一个特征向量v2 = [-1, 1]。
这样，我们就得到了矩阵A的特征向量。
特征向量在很多领域都有广泛的应用，例如在机器学习中，特征向量可以用于降维和特征提取。
在物理学中，特征向量可以用于描述量子力学中的态矢量。
总之，特征向量在数学和科学研究中都起着重要的作用。
矩阵乘积的特征值与特征向量
矩阵乘积的特征值与特征向量概述矩阵乘积是线性代数中的一个基本概念。
矩阵乘积的本质是将两个矩阵进行运算，得到一个新的矩阵。
在实际应用中，矩阵乘积常用于求解线性方程组、做图像处理和计算机视觉等领域。
特征值和特征向量则是矩阵乘积中的另一个基本概念。
特征值可以描述矩阵在某个轴上的伸缩因子，而特征向量则描述了矩阵在该轴上的变化方向。
本文将着眼于矩阵乘积的特征值与特征向量，介绍它们的计算方法和应用场景。
特征值的定义与计算定义：设A为n阶矩阵，$\\lambda$为一个数，如果存在n维非零向量$\\boldsymbol{x}$使得$A\\boldsymbol{x}=\\lambda\\boldsymbol{x}$，则称$\\lambda$是A 的特征值，$\\boldsymbol{x}$是A的对应于特征值$\\lambda$的特征向量。
计算方法：特征值的计算通常采用特征方程的方式，即通过求解$A\\boldsymbol{x}=\\lambda\\boldsymbol{x}$变形得到$det(A-\\lambda I)=0$的解集，该解集就是矩阵A的所有特征值组成的集合。
其中$det(A-\\lambda I)$是$A-\\lambda I$的行列式，即：$$\\det(A-\\lambda I)=\\begin{vmatrix}a_{11}-\\lambda&a_{12}&\\cdots&a_{1n}\\\\a_{21}&a_{22}-\\lambda&\\cdots&a_{2n}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\ \a_{n1}&a_{n2}&\\cdots&a_{nn}-\\lambda\\end{vmatrix}$$此时求解方程$\\det(A-\\lambda I)=0$即可得到矩阵A的所有特征值。
ahp利用和积法权重配置计算公式和过程
ahp利用和积法权重配置计算公式和过程好的，以下是为您生成的文章：在我们的日常生活和工作中，经常会遇到需要对多个因素进行权衡和比较，以做出最优决策的情况。
这时候，层次分析法（AHP）就派上用场啦！今天咱们就来好好唠唠 AHP 中利用和积法进行权重配置的计算公式和过程。
咱们先来说说为啥要用AHP 这个东西。
就比如说，你要选个手机，可能会考虑价格、性能、外观、品牌这些因素。
但每个因素对你来说重要程度不一样啊，这就得给它们排个队，分个轻重。
AHP 就是帮咱干这个事儿的。
那和积法是咋回事呢？它其实就是一种计算权重的方法。
假设咱们有 n 个因素要比较，先把这些因素两两对比，弄出一个判断矩阵。
比如说，因素 A 和因素 B 相比，你觉得 A 比 B 重要多少，就给个数字。
具体的计算公式是这样的：第一步，把判断矩阵每一列元素都正规化。
就是这一列的每个元素都除以这一列元素的和。
第二步，把正规化后的矩阵按行相加。
第三步，把每行相加的结果再除以 n ，就得到了特征向量。
第四步，计算这个特征向量的平均值，这就是咱们要的权重啦。
听起来可能有点晕乎，咱举个例子哈。
比如说，你要选个旅游目的地，有三个地方 A、B、C ，你考虑的因素是风景、美食、交通便利程度。
然后你觉得风景比美食稍微重要一点，风景比交通便利程度重要很多；美食和交通便利程度差不多重要。
这样就得到了一个判断矩阵。
按照上面的步骤来算，先把每一列正规化。
比如说第一列，风景那列，假设原来的值是 5、3、1 ，它们的和是 9 ，那正规化后就变成 5/9 、3/9 、1/9 。
然后按行相加，再除以 3 ，得到特征向量。
最后算出平均值，就是每个因素的权重。
通过这个权重，你就能知道哪个因素对你来说最重要，在选择旅游目的地的时候就能更有针对性啦。
其实啊，AHP 利用和积法算权重在很多地方都能用得上。
像公司选项目、个人做职业规划等等。
总之，AHP 利用和积法进行权重配置虽然步骤有点多，但只要咱耐心一步步来，就能把那些让人头疼的因素理清楚，做出更明智的选择。
系统评价方法
5.2 综合评价方法
5.2.1 关联矩阵法（决策矩阵法） 设有：
A1,A2,…,Am是评价对象的m个方案； X1,X2,…,Xn是方案的n个评价指标； W1,W2,…,Wn是n个评价指标的权重； Vi1,Vi2,…,Vin是第i 个方案Ai的关于Xj 指标（j=1,…,n）的评定量。
相应的关联矩阵表为：
建模讲解
一、 建立层次结构模型
最高层 中间层 最底层完全层次系：某个因素与下一层次所有 因素都有联系。
二、 构造判断矩阵
判断矩阵表示：针对上一层次某因素而言，本层 次与之有关的各因素之间的相对重要性。
假定A层中因素Ak与下一层因素B1,B2,…,Bn有关， 则构造的判断矩阵为：
bi j是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数 值表示。bi j只能取1，2，3，4，…，9及它们 的倒数。
判断矩阵的一致性指标（CI）的计算：
CI max n
n1
CI=0时：判断矩阵具有完全一致性。 CI越大，判断矩阵的一致性越差。
判断矩阵的平均随机一致性指标（RI），可通 过查表确定：
判断矩阵的一致性检验： 1阶和2阶判断矩阵是完全一致的，不需要检验。 阶数大于2时，用随机一致性比例（CR）检验： CR = CI / RI 当CR<0.1时，判断矩阵具有满意的一致性。 具有满意的一致性表明，判断矩阵在构造时各因素
5-1
系统评价问题的六要素（5W1H）： 1. 评价对象（What） 2. 评价主体（Who） 3. 评价目的（Why） 4. 评价时期（When） 1）初期评价 2）期中评价 3）期末评价 4）跟踪评价 5. 评价地点（Where） 1）评价的范围；2）评价的立场 6. 评价方法（How） 费－效分析法、关联矩阵法、层次分析法、模糊综合评判法
层次分析法课件ppt
按行相加为：
Wi= 1nbij
(i =1,2,….n)
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o对向量W=（ W1， W2…… Wn)t归一 化处理:
Wi=
Wi 1nWj
(i =1,2,….n)
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 在分析社会、经济的以及科学管
理等领域的问题时，首先要对问题有 明确的认识，弄清问题的范围，了解 问题所包含的因素，确定出因素之间 的关联关系和隶属关系。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断矩阵B具有如下特征：
o bii = 1 o bji = 1/ bij o bij = bik/ bjk
j1
Wi
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓层次总排序 利用层次单排序的计算结果，进
一步综合出对更上一层次的优劣顺序 ，就是层次总排序的任务。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
特征向量和特征值的求法
特征向量和特征值的求法在线性代数中，特征向量和特征值是非常重要的概念。
它们在矩阵的分析和应用中有着广泛的应用。
本文将介绍特征向量和特征值的定义、求法以及它们的应用。
特征向量和特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，那么x就是A的一个特征向量，k就是A的对应的特征值。
特征向量和特征值是成对出现的，一个特征向量对应一个特征值。
特征向量和特征值的求法求解特征向量和特征值的方法有很多种，下面介绍两种常用的方法。
方法一：特征多项式法对于一个n阶方阵A，其特征多项式为f(λ)=|A-λI|，其中I为n阶单位矩阵。
求解特征值就是求解f(λ)=0的根。
求解特征向量就是将特征值代入(A-λI)x=0中，解出x。
方法二：幂法幂法是一种迭代方法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
具体步骤如下：1. 任意选择一个非零向量x0作为初始向量。
2. 迭代计算xk+1=Axk/||Axk||，其中||Axk||为Axk的模长。
3. 当xk+1与xk的差距小于某个阈值时，停止迭代。
此时xk+1就是A的最大特征值对应的特征向量。
特征向量和特征值的应用特征向量和特征值在矩阵的分析和应用中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用。
1. 矩阵的对角化对于一个n阶方阵A，如果存在n个线性无关的特征向量，那么A 可以对角化，即存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^-1。
对角化后的矩阵D的对角线上的元素就是A的特征值。
2. 矩阵的相似性如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1，那么A和B是相似的。
相似的矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
3. 矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模长的最大值。
谱半径在控制论、信号处理等领域有着广泛的应用。
总结本文介绍了特征向量和特征值的定义、求法以及应用。
特征向量和特征值在矩阵的分析和应用中有着广泛的应用，掌握它们的求法和应用可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识。