2019年中科大创新班初试数学试题
中科大少年班入围考试题目解析
中科大少年班入围考试题目解析题目1：在三角形ABC中，若∠A = ∠B = ∠C，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形解析：由于∠A = ∠B = ∠C，且三角形内角和为180°，所以每个角都是60°。
根据等边三角形的性质，三个角都相等的三角形是等边三角形。
因此，正确答案是B。
题目2：下列说法中，正确的是（）A. 正方形的对角线互相垂直B. 矩形的对角线相等C. 菱形的对角线互相平分D. 平行四边形的对角线互相平分解析：正方形的对角线不仅相等，而且互相垂直平分；矩形的对角线相等，但不一定互相垂直；菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等；平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等或垂直。
因此，正确选项是C。
题目3：下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A. y = 2xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = x + 1/x解析：反比例函数的一般形式是y = k/x (k ≠0)。
只有选项C满足这一形式（k=1），因此正确答案是C。
题目4：若关于x的一元二次方程kx^2 - 6x + 9 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k < 0B. k > 0C. k ≠0D. k < 1 且k ≠0解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，需要满足Δ= b^2 - 4ac > 0。
将方程kx^2 - 6x + 9 = 0的系数代入，得到Δ= (-6)^2 - 4k9 = 36 - 36k > 0，解得k < 1。
但由于k是二次项系数，不能为0，所以k ≠0。
因此，正确答案是D。
题目5：在数轴上，点A表示的数是-3，将点A向右平移5个单位长度后得到点B，则点B 表示的数是（）A. -8B. -2C. 2D. 8解析：在数轴上，向右平移表示数值增加。
因此，点A表示的-3向右平移5个单位长度后，数值变为-3 + 5 = 2。
中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题
中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。
根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。
以下是部分真题。
填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。
如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。
(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。
若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。
(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。
涉及到二次曲线参数方程的知识。
解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。
(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。
题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。
中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。
随机分组，不分专业。
面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。
面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。
“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。
中科大少年班入学考试真题
选择题
下列哪项是物理变化？
A. 木头燃烧
B. 冰块融化
C. 钢铁生锈
D. 食物腐败
在数学中，√16 的值等于？
A. 2
B. 4
C. 16
D. -4
下列哪个国家不是欧洲联盟的成员国？
A. 法国
B. 德国
C. 英国
D. 俄罗斯
地球绕太阳公转一周的时间大约是？
A. 一天
B. 一个月
C. 一年
D. 十年
下列哪个不是化学元素周期表中的主族元素？
A. 氢
B. 氦
C. 铁
D. 氧
哪个是计算机网络中用于标识设备地址的系统？
A. IP地址
B. MAC地址
C. URL
D. DNS
填空题
在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个锐角的度数为_______。
太阳系中最大的行星是_______。
在化学反应中，原子_______（填“会”或“不会”）发生改变。
二进制数10110转换为十进制数是_______。
地球上最大的生态系统是_______。
牛顿的第一运动定律也称为_______定律。
简答题
请简述牛顿的万有引力定律的基本内容。
解释什么是化学反应中的催化剂，并给出一个日常生活中的例子。
简述计算机网络的基本组成和功能。
请解释什么是光合作用，并说明其在生态系统中的作用。
描述一下地球自转和公转对昼夜和季节变化的影响。
2020年中科大少年创新班初试数学试题
2020年中国科学技术大学创新班初试数学试卷1.若z +¯z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是(−1,√2]解：可转化为直线x =12上的点到(−1,0)与(0,−1)距离之差的取值范围求得为(−1,√2]2.若|5x +6y |+|9x +11y | 1，则满足条件的点(x,y )组成的面积为23.函数f (x )=3√3+1x的离心率是2√334.若a 1=1，a 2=3，a n =2a 2n −1a n −2+a n −1，求a n =n ∏k =2(2k −1)5.若x 2−y 2=4p 2，其中x,y ∈Z +，p 为素数，则x 3−y 3=6p 4+26.已知a =20202020，b =√20192021·20212019，c =20192021+202120192，则a ，b ，c 大小顺序是b <a <c7.已知f (x )=(x −1)2+k 2，且∀a,b,c ∈(0,1)，都存在以f (a ),f (b ),f (c )为边的三角形，求k 范围k >1或k <−18.设a 1,a 2,···,a n 是1,2,3···,n 的一个排列，若i <j 且a i <a j ，则称(a i ,a j )为对子，设x为a 1,a 2,···,a n 中对子的个数，则E (x )=n (n−1)49.求函数y =3sin 2x −2sin 2x +2sin x −cos x ，其中x ∈[0,π2]的值域[−54,5]10.已知函数f (x )=x 3+ax 2−x +1−a ，若对∀x ∈[−1,1]， f (x ) |x |恒成立，求实数a 的范围。
答案：实数a 的取值范围为(−∞,−12]11.若C 23，证明n ∑i =1√i <C (n +1)32证明：令f (x )=√x ，其在(0,+∞)上为增函数，则原函数f (x )=23x 32=23x √x ，依据积分法，有f (n )<F (n +1)−F (n )，即√n <23[(n +1)32−n 32]→n ∑i =1√i <23[(n +1)32−1]<23(n +1)32第1页。
2019年厦大创新实验班招生考试(数学试卷)
厦门大学附属科技中学2019年厦大创新实验班招生考试数学试卷考试时间：90分钟 满分：100分学校： 姓名： 准考证号：注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40 分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不选，错选或多选均不得分）.1．科技中学揽月楼考场有A，B，C三个入口，小林与小周随机从一个入口进入考场，则小林与小周恰好从同一入口进入考场的概率是（）A．19B．16C．13D．122．过原点的直线l与反比例函数y=k x的图象交于点A（﹣2，a），B（b，﹣3），则k的值为（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣23．一组学生去春游，预计租车费用为120元，后来又有2个学生参加进来，租车费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生人数是（）A．8人B．10人C．12人D．15人4．使用公式：12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)，计算22+42+62+…+242的结果为（）A．650 B．1300 C．2600 D．48005．已知x＝2是不等式�x﹣5��ax﹣3a+2�<0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．1≤a＜2 C．1＜a＜2 D．a＜1或a>26．若直线l1经过点（3，0），l2经过点（1，0），且l1与l2关于直线y＝1对称，则l1与l2的交点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，32）D．（0，2）7. 若关于x 的不等式m x x ≥−42对任意01x ≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．03≥−≤m m 或B ．03≤≤−mC ．3−≥m D ．3−≤m8．某人沿正在匀速向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用时24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下用时56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下用时（ ） A ．32秒B ．36秒C ．42秒D ． 48秒9．如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，连接ED 交AB 于点F ，AF ＝x (0.2≤x ≤0.8)，EC ＝y .则在下面函数图象中，大致能反映y 与x 之间函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，⊙O 的半径为5，A ，B 是圆上两动点，且AB =6，以AB 为边作正方形ABCD （点D ，O在直线AB 两侧）．若AB 边绕点O 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ A ．6π B ．9πC ．10πD ．12π二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．11．定义�abcd�=ad ﹣bc ，若�x +12−x 2−x x +1�=3，则x＝ ． 12．已知关于x ，y 的二元一次方程组�3x −my =52x +ny =6的解是�x =1y =2，若a ，b 满足�3(a +b )−m (a −b )=52(a +b )+n (a −b )=6，则ab = ．13．二次函数2()y ax a b x b +−−的图像如图所示，．14．如图，在等腰Rt △ABC 中，斜边BC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以1cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t 秒（0＜t ＜8），则t ＝ 秒时，S 1＝2S 2．15．方程|2x 3x −4|x 2+4x −5=1所有实数解的和等于 . 16. 设1a=−，则a 3+5a 2+6= .第10题图第13题图第14题图CPAOB三、解答题（本大题共3小题，共30分）．17.（8分）若x −2�xy −3y =0，且x >0，y >0，求代数式x−√xyy+3√xy的值.18. （10分）直线BP 与以AB 为直径的⊙O 相切于点B ，连接OP ，过点A 作AC ∥OP 交⊙O 于点C. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若OP =52AC ，求∠CPO 的正弦值.19. （12分）直线y ＝12x +2分别与x 轴，y 轴交于C ，D 两点，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过点D ，且与直线相交于点E ，且CD ：DE ＝4 ：3． （1）求二次函数表达式；（2）过点D 的直线交x 轴正半轴于点M ①当∠DMO =2∠DCO 时，求点M 的坐标；②过抛物线上一动点P(不与点D 、E 重合)作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，根据M 点的位置探究平行四边形的个数.（直接写出结果）第19题图第18题图草稿纸。
中科大少年班数学考试专题练习-初等数论
7．已知 ， ，求 ．
【答案】
【分析】将原式变形，再讨论 的取值即可得出结果.
【详解】 ,
,
又 , 或 （舍），
, .
8．求证：对于正整数n，令 ，数列 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（ 表示不超过实数x的最大整数）．
【答案】证明见解析
【详解】在二进制中，记 ，
其中 .
用反证法，先证明数列中有无穷多个偶数．
∴20212022≡72022（mod19），而 ，
所以 （mod19），∵73≡1（mod19），∴20212022 1（mod19）．
综上，n＝1．
故答案为：1．
2．已知整数 满足 ，则 的正整数取值个数为___________.
【分析】由于 均为整数，
所以 为整数.
原命题即为求 小于36的不同取值的个数.
故在模 的意义下该数列的形式为1，1，4，4，7，7，10，10， ，
事实上，归纳可以证明： ，
由 ，得数列 含有模 的所有余数，
与平方数只有 个模 的余数矛盾，
这表明， 为3的幂，
令 ， 为整数，满足 ， ，则 ，
又 ，故
在前两种情况下得 ，在最后一种情况得 ，
于是， 或10，
下面反过来验证成立：
【分析】(1)将 代入，利用韦达定理求出两根之和和两根之积，进而求出结果.
(2)根据判别式大于零，求出 的取值范围，再根据韦达定理，化简出两个实数根的平方和，根据题意算出 的值.
（1）
解：由题知， ，所以方程可化为 ，
，所以方程有两根，不妨设为 ，
所以由韦达定理可得 ，
所以 ，
故 .
（2）
由题知，方程有两根，所以 ，
2022年中国科学技术大学创新班招生考试初试数学试题一
中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷共10题，每题10分，共100分。
1.2,sin sin sin ABC ac b A C k B ∆=+=，2，求k 的取值范围。
2.向量(1,0),(1,0),(,),4,a b c x y c a c b c =-==--=则的值可能为（）。
A.1B.2C.3D.4E.以上都不对3.如图，G 为重心，,,,APQ ABC S T S S AP xAB AQ y AC ∆∆====，则（）。
A.x y +为定值B.11x y +为定值 C.11x y+为不定值 D.4192T S ≤≤为定值4.若函数22(log )()1a x x f x a-=-在1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒大于0，则a 的取值范围是（）5.22(2)1a b -+≤，求的最大值与最小值之差为（）。
6.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对角分别为22a b c b a ac -=、、，，则11tan tan A B-的取值范围为（）7.{}n a 满足[]122121+120002,5,54,log n n n n n nn n a a a a a b a S b b +++⎧⎫===+=⎨⎬⎩⎭，为的前n 的和为（）.A.12n n a += B.14+1n n a -= C.[]2022498S = D.[]2022499S =8.在ABC ∆中，1,cos cos 1c b C B =-=，则b 的可能正确的是（）.A.14B.34C.2D.29.菱形ABCD，AB AC =，将ACD ∆沿AC 折起至APC ∆，E 为PB 中点，5ACE S ∆=，则P ABC V -为（）.10.50axe x ->在[]0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学答案解析1.2,sin sin sin ABC ac b A C k B ∆=+=，2，求k 的取值范围。
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2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析
2019中国科学技术大学创新班考试数学试题
更多真题找：新一代韩鹏
注意事项
L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・
3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.
4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・
一.填空题(每题5分，共40分)
1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ ,
2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。
,2引的所有根之和.
3.设点如,0),<x<4,则zUSC面积的最小值为.
4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。
是参数，则¥ +,的最大值为
5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。
得苑q关于y
轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为..
,, 1 X Z 2019 •
6.若、匕％=?(^1(”詞则澎= •
7.设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是.
8.己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl<i<j<k^4\= {18,36,54},则
X l +工2 +石+*4
二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，
1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.
三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.
四、（20分）
设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽）= p,（cos&）.
（2）在实数范用内完企因式分解p（*）.
1.2 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题解析
更多真题：新一代韩鹏•
•
1. k+2M+|3x+4'|<5 区域面积 __________ .
sin(2x) = -cos(3x) = sin(3x+学),x e ［。
,2刀］
所求和为6;r
3 .设点血0),旳,1)+，負* e 4,则M£C 面积的最小值为 ____________________ __
3・2习-1
3 .答案： 2
如图点C
1・答案:25 解析：
画岀可行域如图，Sg = 4S 函=4哼= 25。
2 .答案：6〃 解析：
2x = 3x + —+
3/ =>
2x+3x +==江 + 2 妇r
2
3H 勿7勿1R 3冗19兀 苛a
奇f 亍布•
Sy = S'w + - S*s =卜+ 证"
= -x+-^+-U-^3
2 4、G 4y[x 2 4. x = 3+cosl r-y
答案：36
13-23-1 —=
2
.=4 + cos［；+'丿则伊+ y-丿皿宓
.v-3 = cos^ + rj=> (x-3)2+(.y-4)2 =1
由几何意义疽+尸《36
5.给定一个定角们设鸟0,0）将说顺时针旋转。
得到枝，苑与夕轴对称的称
为0£+1，求丛19坐标。
5 .答案：画出图可以看出周期性，从］9 =（一cos。
厂sin。
）
x2019
2("+lL+l'则行"
5迫
2020
1 1 时1、 1 1 1
歸析.X..I A；n(n + l) n n + 1
,鄂,1 2019
8 2020 2020
7 . -一~为纯虚数，则lz2 + z+3| =______________ .
Z +1 I Imin
7.答案:：匝
3
解析；由几何意义注意z-1与z + 1的夹角，z的轨逐为单位圆上对应岌数,所以
k + z + * = Rp + z + 3、= |z +1 + = |4 cos e - 2i sin e + l|min
=J(4cos0 + 1)2 +4sil? 8min = J12COS，O + 8cQS& + 5min =
8 .己知x1,x2,x3,x A ,且{x f x y x t)l <i<j<k< 4)= (18,36,54},求x l+x2+x3+x i.
答案：14
解析：假设不< x2 < x3 < x4
贝Ik/?沔=18,石工3、4 = 36,玉工2工4 =36,X2X3X4 = 54.
=> x l x2x3x4 = ¥18x36x36x54 =108 => x, = 2,x2 = 3,x3 = 3,x4 = 6 9 .
解析:
易知：四面体4BCD是一个对棱相等的四面体置入到长方体
即可.假设其边长为a,b,c.
a2 +b2 = 16,d2+ c2—25, c2+ a2 =36.
3崩,710 3710 TZ 15^6
2 2 2 仙8 4
解析：令Z,(x)=£W
Jt=o K!
用数学归纳法证明为奇数时e、＞九(x) o x N 0, ”为偶数时/ ＞九(x) = x ＞0
”为1 时e* >l + x 成立，n为。
时e、>l<=>x>0, e x < 1 <=> x < 0.................5 分①n为奇，e x >/^(x)ox^0 n + 1 为偶，令g(x)= e x-/,+1(x)
g(o) = 0,g'(x) = e、-_Ci(x)= e，-九(x)> 0(m 0时)
所以x> 0,g'(x)> 0,g(0)= 0n g(x)> 0 ,x< 0,g'(x)> 0,g(0)=0=>g(x)<0 5分
(2) n为偶e* >儿(x) = x>0, e、<A(x)=x<0
”+1 为奇g(x) = e x -九+i(x) g(0)= 0, g r(x) = e x-f n(x)
/
x>。
时，g'(忏f 0 x<0时，g攵)="-九(煎。
g(o) = o,所以g(x)>0, g(0)= 0,^fVAg(x)<0 10 分
11.解析：(1)用数学归纳法：cos0 = cos0, cos20 = 2cos%-4 ............................ 2分假设当n = k, k + 1结论成立，
当n=k+2 时候：cos[(k + 2)0] = 2cos0cos[(fc +1)0]-cos(k。
)
.•M =A+2命题也成立，且最髙次系数为(背景：切比雪夫多项式)………8分
(2) P(x)为刀次多项式，至多刀个解cos成=0 = 成=2々+三
2
0 = —•—, •, - 均为cos M Q = 0 的解,. ........................................... 8 分
2n 2n 2n
且互不相同Z. P(x) = 2"-1 (x -cos —^)(x 一cos—^)***(x-cos ——-才)
2n 2n 2n2分。