浙教版七年级数学下册第三章：3.4平方差公式专题训练
初中数学浙教版七年级下册第3章 整式的乘除3.4 乘法公式-章节测试习题(5)
章节测试题1.【题文】求30 ×29的值.【答案】899【分析】把原式变成（a-b）（a+b）的形式，符合平方差公式的结构，再利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式==．2.【题文】计算9x-4y，当x=1，y=1时的结果【答案】5【分析】先逆用平方差公式，然后代入求值即可．【解答】解：9x-4y=（3x+2y）（3x-2y）当x=1，y=1时，原式=5×1=5．3.【题文】计算：【答案】【分析】两次运用平方差公式计算即可.【解答】解：4.【题文】小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．解：原式=2x2﹣1﹣x（x+5）…①=2x2﹣1﹣x2+5x…②=x2+5x﹣1 …③【答案】见解析.【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项．【解答】解：①：4x2﹣1﹣x（x+5）．②：4x2﹣1﹣x2﹣5x．③：3x2﹣5x﹣1．5.【题文】利用公式计算：①103×97 ② 20152﹣2014×2016．【答案】①9991．②1.【分析】（1）把103看成是100+3，把97看成是100-3，根据平方差公式即可得出结果；（2）把2014看成是2015-1，把2016看成是2015+1，根据平方差公式计算后合并即可得出结果.【解答】解：原式 =（100+3）×（100﹣3）=1002﹣32=10000﹣9=9991② 20152﹣2014×2016．解:原式 =20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=16.【题文】求值（1）已知： , ,求及的值;（2）已知的平方根是±3,的立方根是2,将多项式化简求值【答案】（1）12, 3.（2）-10.【分析】（1）把（x+y）2=18，（x-y）2=6，展开后，相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．（2）先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，把进行化简，然后把a、b的值代入化简结果即可得解．【解答】解：（1）∵（x+y）2=18，（x-y）2=6，∴x2+y2+2xy=18，x2+y2-2xy=6，两式相加得，2（x2+y2）=24，∴x2+y2=12；两式相减得，4xy=12，∴xy=3．（2）由题意，得：解得：（a+b）(a-b)-(a-b)2=a2-b2-a2+2ab-b2当,时,原式7.【答题】如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为______．【答案】±4【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,∴2a+2b=±8,∴a+b=±4.故答案为：±4.8.【答题】已知实数a，b满足a2－b2＝10，则(a＋b)3·(a－b)3的值是______．【答案】1000【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】因为a2－b2＝10 ，所以(a＋b)3·(a－b)3=（a2－b2）3=1000.9.【答题】已知a+b=3,a-b=5,则代数式a2-b2的值是______【答案】15【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：=（a+b）（a-b）=3×5=15．故答案为：15．10.【答题】计算：1.222×9－1.332×4＝______．【答案】6.32【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】原式=（1.22×3）2-（1.33×2）2=3.662－2.662=（3.66+2.66）（3.66-2.66）=6.32．故答案是：6.32．11.【答题】已知x＋y＝5，x－y＝1，则代数式x2－y2的值是______．【答案】5【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】x2− y2=(x+y)(x-y)，∵x+y=5，x－y＝1，∴x2− y2=(x+y)(x-y)=5×1=5，故答案为：5.12.【答题】计算：2017×1983______．【答案】3999711【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：2017×1983=13.【答题】若a+b=8，a﹣b=5，则a2﹣b2=______【答案】40【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】 .14.【答题】已知m+n=3，m-n=2，那么m2-n2的值是______．【答案】6【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】∵m+n=3，m-n=2∴原式=（m+n）（m-n）=6故答案是：6．15.【答题】下列各式能用平方差公式计算的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】A.∵(−a+b)(a−b)=−(a−b)(a−b)，两个二项式没有相反数的项，故选项A不符合题意，B.(a−b)(a−2b) 没有相反数的项，不能用平方差公式计算，故选项B不符合题意，C.(x+1)(x−1)=x2−1，故选项C符合题意，D.(−m−n)(m+n)=−(m+n)(m+n)，两个二项式没有相反数的项，故选项D不符合题意，选C.16.【答题】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）。
浙教版数学七年级下册第三章整式的乘除同步练习3.4平方差公式
浙教版七年级下第三章整式的乘除同步练习3． 4平方差公式题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10 小题， 3*10=30 ）1. 下列算式能用平方差公式计算的是()11A ． (2a＋ b)(2b－ a)B． (2x＋ 1)(－2x－ 1)C． (3x － y)(－ 3x＋ y)D． (－ m－ n)( －m＋ n)2．下列计算正确的是()A ． (a＋ b)(b－ a)＝ a2－ b2B． (2m＋ n)(2m － n)＝ 2m2－ n2C． (x m＋ 3)(x m－ 3)＝ x2m－ 9D． (x－ 1)(x ＋ 1)＝ (x－1) 23. 若 a2－ b2＝－1， a＋ b＝－1，则 a－b 的值为 () 16411A.4 B．－4 C． 2 D． 44．计算 (x4＋ 1)(x 2＋ 1)(x ＋ 1)(x － 1)的结果是 ()A ． x8＋ 1B ． x8－1C． (x＋ 1)8D． (x－ 1)85．计算的结果是()A ．－ 1B ．0 C． 1 D．－ 26．下列计算中，错误的有（）22222；①（ 3a+4）（ 3a－ 4） =9a － 4；②（ 2a－b）（ 2a +b） =4a－ b③（ 3－ x）（ x+3） =x 2－9；④（－ x+y ）·（ x+y ） =－（ x－ y）（ x+y ） =－ x2－ y2．A ． 1 个B． 2 个C．3 个 D ．4 个7.两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是（）A.10B. 9C.8D.68．解方程：x（ x+2 ）+（ 2x+1 ）（ 2x－ 1） =5（ x2+3 ）的解是()A ． 2B ．4C． 8D． 169．已知：，，的值是（），A ． 1B． 0C．2D． 310．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短 3 米，东西方向要加长 3 米，则改造后的长方形草坪的面积是（）2A. （ 4a +9）平方米B. （ 4a2－ 9）平方米2C. （ a － 9）平方米D. （ a2+9）平方米第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 6 小题， 3*6=18 ）11.填空： (1)(2x － 3)(________) ＝4x2－ 9.(2)(________)(5a ＋ 1)＝ 1－25a2.12.下列运算(1)a3+a3=3a6；(2)（－ a）3·（－ a）5=a8； (3)（－ 2a2 b）·4a=－ 24a6b3； (4)11212（－ a－ 4b）（ a－ 4b） =16b － a . 正确的有 _________. （填代号）33913．计算： 101 ×99＝(100＋ ____)(100 －____) ＝ 1002－ ____2＝ ________．14．若 m－ n＝ 2，m＋ n＝ 5，则 m2＋n2的值为 ______．若 x2－ y2=30，且 x－ y= －5，则 x+y 的值是 ________.15．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1⋯⋯请你把发现的规律用含n(n为正整数 )的等式表示为 ________________ ．16. 计算：______ ．评卷人得分三．解答题（共7 小题， 52 分）17.(6 分 ) 计算：(1)( － 2a－ b)(b－ 2a)．(2)( － 7m＋ 8n)(－ 8n－7m) ．(3)(x － 2)(x ＋ 2)(x 2＋ 4)．18.(6 分 ) 用简便方法计算：(1)697 ×703.(2)2018 2－2017×2019.19.(6 分 ) ) 先化简，再求值：， m=2018.． x=8, y=7.20. (8 分 ) 如图 1，从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图 2 的梯形．(1) 如图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为S2，请直接用含 a，b 的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．21. (8 分 ) 已知 a－ b＝ 10， b－ c＝ 15，c＋ a＝ 20，求 a2－ c2的值．22. (8 分 ) 我们在计算（248）（ 21632+1）时，发现直接运算很2+1）（ 2+1）（ 2+1）（ 2 +1+1）（ 2麻烦，如果在算式前乘以（2－ 1），即 1，原算式的值不变，而且还使整个算式能用乘法公式计算．解答过程如下：原式 =（2－ 1）（2+1）（ 22+1）（24+1）（ 28+1）（ 216+1）（ 232+1 ）=（ 22－ 1）（ 22+1）（ 24+1）（ 28+1）（ 216+1）（ 232+1）448+11632=（ 2 －1）（ 2 +1）（ 2）（ 2+1）（ 2 +1）=⋯ =264－ 1你能用上述方法算出（3+1）（ 32+1）（ 34+1 ）（ 38+1 ）（ 316+1）的值吗？请试试看 !23. (8分 )如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如： 4＝ 22－ 02， 12＝ 42－ 22， 20＝62－ 42，因此， 4， 12，20 都是“神秘数”．(1)28 和 2020 这两个数是“神秘数”吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为2k 和 2k＋ 2(其中 k 取非负整数 )，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是 4 的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差 (取正整数 )是“神秘数”吗？为什么？参考答案：1-5DCABC6-10 DACDB11. (1)2x ＋ 3, (2)1 －5a12. （ 2），（4）13. 1, 1, 1, 999914. 14.5, -615. (2n － 1)(2n ＋ 1)＝ (2n)2－ 1 16. 316017. 解： (1)原式＝ -(b+2a)(b-2a)=4a 2－ b 2(1) 原式＝ -(8n+7m)(8n-7m)=49m 2－ 64n 2224(3) 原式＝ (x -4)(x +4)=x － 1618. 解： (1)原式＝ (700－ 3)(700 ＋ 3)＝ 489991(2) 原式＝ 20182－ (2018 －1) ×(2018 ＋ 1)＝ 20182－ (2018 2－ 1)＝ 119. 解：当 m=2018 时，当 x=8, y=7 时20.221 2 2解： (1)S 1＝ a － b ， S 2＝(2b ＋ 2a)(a － b)＝ (a ＋ b)(a － b) (2)(a ＋ b)(a － b)＝ a －b221.22＝ 500解：将 a － b ＝ 10 与 b － c ＝ 15 相加得 a － c ＝ 25，∴ a －c ＝(a ＋c)(a － c)＝20×2522. 解：原式 = 1(3－ 1)(3+1)(3 24816122481612 +1)(3 +1)(3 +1)(3 +1) = 2 (3 － 1)(3+1) (3 +1)(3 +1)(3 +1)= 2(34－ 1) (34+1)(3 8+1)(3 16+1)= 1 (38－ 1)(38+1)(3 16+1)= 1(316－ 1)(316+1)= 1 (332－ 1)2 2 223. 解： (1)∵ 28＝82－ 62， 2020＝5062－ 5042，∴ 28， 2020 都是神秘数(2) ∵ (2k ＋2) 2－ (2k) 2＝ (2k ＋ 2＋ 2k)(2k ＋ 2－ 2k)＝2(4k ＋ 2)＝ 4(2k ＋ 1)，∴是 4 的倍数 (3) 由(2) 可知， “神秘数 ”是 4 的倍数，但不是 8 的倍数．∵ (2k ＋1)2－ (2k － 1)2 ＝8k ，∴两个连续奇数的平方差 (取正整数 ) 不是 “神秘数 ”。
初中七年级数学下册第三章整式的乘除3.4乘法公式一练习新版浙教版
3.4 乘法公式(一)A 组1．计算(2x －5)(－2x －5)的结果是(C )A. 4x 2－5B. 4x 2－25C. 25－4x 2D. 4x 2＋252．下列能用平方差公式计算的是(B )A. (－x ＋y )(x －y )B. (y －1)(－1－y )C. (x －2)(x ＋1)D. (2x ＋y )(2y －x )3．下列计算正确的是(B )A. (1－x )(1＋x )＝x 2－1B. (x ＋3y )(x －3y )＝x 2－9y 2C. (2x －y )(－2x －y )＝4x 2－y 2D. (2b ＋3a )(2b －3a )＝4b 2－3a 24．用平方差公式计算199×201正确的是(A )A. (200－1)(200＋1)B. (200－1)(199＋2)C. (201－2)(200＋1)D. (198＋1)(198＋3)5．填空：(1)(a ＋3)(a －3)＝a 2－9．(2)(－a －3b )(－3b ＋a )＝9b 2－a 2．(3)(3x －y )(3x ＋y )＝9x 2－y 2.6．利用平方差公式计算：(1)514×634. 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－34⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋34 ＝36－916＝35716. (2)30.8×29.2.【解】 原式＝(30＋0.8)(30－0.8)＝302－0.82＝900－0.64＝899.36.(3)201720172－2016×2018. 【解】 原式＝201720172－（2017－1）（2017＋1）＝201720172－20172＋1＝2017. 7．利用平方差公式计算：(1)(3m －4)(3m ＋4)．【解】 原式＝(3m )2－42＝9m 2－16.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －12b .【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＝19a 2－14b 2. (3)(2m ＋3n )(2m －3n )．【解】 原式＝(2m )2－(3n )2＝2m 2－3n 2.(4)(ab －c )(－ab －c )．【解】 原式＝(－c ＋ab )(－c －ab )＝(－c )2－(ab )2＝c 2－a 2b 2.(5)(2x ＋1)(2x －1)－1.【解】 原式＝4x 2－1－1＝4x 2－2.8．计算：(1)(5x ＋2y )(5x －2y )－(3x ＋2y )(3x －2y )．【解】 原式＝25x 2－4y 2－(9x 2－4y 2)＝25x 2－4y 2－9x 2＋4y 2＝16x 2.(2)(2x －7)(x ＋7)－(2x －3)(2x ＋3)．【解】 原式＝2x 2＋14x －7x －49－(4x 2－9)＝2x 2＋7x －49－4x 2＋9＝－2x 2＋7x －40.9．先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)－x (x －1)，其中x ＝12. 【解】 原式＝x 2－1－(x 2－x )＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1.当x ＝12时，原式＝12－1＝－12. B 组10．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b )(如图①)，把余下的部分拼成一个梯形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(A )A. a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )B. (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C. (a －b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D. (a －2b )(a －b )＝a 2＋ab －2b 2(第10题)【解】 由图①可知阴影部分的面积为a 2－b 2，由图②可得梯形的上底为2b ，下底为2a ，高AB 为(a －b )，根据梯形的面积公式可得（2a ＋2b ）（a －b ）2＝2（a ＋b ）（a －b ）2＝(a ＋b )(a －b )． ∵两个图形中阴影部分面积相等，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．11．某村正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，若将它的每边都加长3 m ，则面积增加63 m 2.原绿地的边长为__9__m.【解】 设原绿地的边长为x (m)，根据题意，得(x ＋3)2－x 2＝63，即3(2x ＋3)＝63，解得x ＝9.12．计算下列各题．(1)若a ＋b ＝5，a 2－b 2＝5，求a 与b 的值．【解】 ∵a ＋b ＝5，a 2－b 2＝5，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，∴a －b ＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2. (2)已知x －y ＝2，y －z ＝2，x ＋z ＝14，求x 2－z 2的值．【解】 ∵(x －y )＋(y －z )＝4，∴x －z ＝4.∵(x ＋z )(x －z )＝x 2－z 2，∴x 2－z 2＝14×4＝56.(3)已知(a ＋2016)(a ＋2018)＝2017，求(a ＋2017)2的值．【解】 ∵(a ＋2016)(a ＋2018)＝(a ＋2017－1)(a ＋2017＋1)＝(a ＋2017)2－12＝2017，∴(a ＋2017)2＝2018.(4)若(2a ＋2b －1)(2a ＋2b ＋1)＝63，求a ＋b 的值．【解】 ∵(2a ＋2b －1)(2a ＋2b ＋1)＝63，∴[2(a ＋b )－1][2(a ＋b )＋1]＝63，4(a ＋b )2－1＝63，4(a ＋b )2＝64，(a ＋b )2＝16，∴a ＋b ＝±4.13．有两个正方形的边长之和为20 cm ，面积之差为40 cm 2，求这两个正方形的面积．【解】 设这两个正方形的边长分别为x (cm)，y (cm)(x >y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，①x 2－y 2＝40.② 由②，得(x ＋y )(x －y )＝40，∴x －y ＝2.③联立①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝9， ∴x 2＝121，y 2＝81.答：这两个正方形的面积分别为121 cm 2，81 cm 2.14．阅读材料：我们在计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘(2－1)，即1，原算式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算．解答过程如下：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＝…＝264－1.你能用上述方法算出下面式子的值吗？请试试看．(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)．【解】 原式＝12(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝12(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1) ＝12(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1) ＝12(38－1)(38＋1)(316＋1) ＝12(316－1)(316＋1)＝332－12. 数学乐园15．公式的探究与应用：(第15题)(1)如图①所示，可以求出阴影部分的面积是a 2－b 2(写成两数平方差的形式)．(2)若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，则此长方形的面积是(a ＋b )(a －b )(写成多项式乘法的形式)．(3)比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．(4)运用公式计算：(1－122)(1－132)(1－142)…(1－1992)(1－11002)． 【解】 (4)原式＝(1－12)(1＋12)(1－13)(1＋13)(1－14)(1＋14)…(1－199)(1＋199)(1－1100)(1＋1100) ＝12×32×23×43×34×54×…×9899×10099×99100×101100＝12×101100＝101200.。
3.4.1 平方差公式 浙教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)
第3章 整式的乘除3.4 乘法公式第1课时 平方差公式基础过关全练知识点1 平方差公式1.(2020浙江杭州中考)(1+y)(1-y)=( )A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y22.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )m―n m+12n B.(-m-n)(m+n)C.(m-2)(m+2)D.(m-n)(n-m)3.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( )A.4-9a2B.9a2-4C.9a2-2D.9a2+44.下列各式中,计算结果正确的是( )A.(x-3)(3+x)=x2-3B.(3x+2)(3x-2)=3x2-4C.(5ab-c)(c+5ab)=25a2b2-c2D.(-6y+x)(6y+x)=x2-36y5.计算:(1)(5+6x)(6x-5)= ;(2) -13m+n-13m―n= .6.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= .7.(2023浙江宁波中考)计算:(a+3)(a-3)+a(1-a).知识点2 平方差公式的应用8.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( )A.增加8 m2B.增加16 m2C.减少16 m2D.保持不变9.解方程:(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)=7.10. 用简便方法计算:(1)3 003×2 997; (2)1102-109×111.11.如图,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,大正方形与小正方形的面积之差是60,求阴影部分的面积.能力提升全练12.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( )A.24B.16C.8D.413.(2023江苏南京期中,5,★★☆)若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p,q满足的条件可能是 ( )①p=a,q=b;②p=a,q=-b;③p=-a,q=b;④p=-a,q=-b.A.①③B.①④C.②③D.②④14.(2020浙江衢州中考,12,★☆☆)定义:a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 .15.若3(a+2023)2=81,则(a+2 022)(a+2 024)= .16.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,求a+b的值.17.探究:如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成如图②所示的长方形.比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式: (用字母a、b表示).图①图②应用:请应用这个公式完成下列各题:(1)已知2m-n=3,2m+n=4,则4m2-n2的值为 ;(2)计算:(x-3)(x+3)(x2+9).18.(2022北京通州期中,25,★★☆)在整式(x-2)■(x+2)+▲中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式.(1)计算:(x-2)-(x+2)+(-5+y);(2)若(x-2)(x+2)+▲=3x2+6,求出整式“▲”;(3)若(x-2)■(x+2)+▲的计算结果是二次单项式,请直接写出一组满足条件的“■”和“▲”.素养探究全练19.【运算能力】先阅读,后计算.为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成(5-1),然后可以连续运用平方差公式.计算过程如下:4×(5+1)×(52+1)=(5-1)×(5+1)×(52+1)=(52-1)×(52+1)=(52)2-1=624.请你借鉴小黄的方法计算:1×1+1+1+1+1+1+1+2答案全解全析基础过关全练1.C 根据平方差公式可得(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.2.C (m-2)(m+2)=m 2-22,符合平方差公式,故本选项符合题意,故选C.3.A 原式=(-2+3a)(-2-3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a 2,故选A.4.C (x-3)(3+x)=x 2-32=x 2-9,所以A 选项错误;(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4,所以B 选项错误;(5ab-c)(c+5ab)=(5ab)2-c 2=25a 2b 2-c 2,所以C 选项正确;(-6y+x)(6y+x)=x 2-(6y)2=x 2-36y 2,所以D 选项错误.故选C.5.答案 (1)36x 2-25 (2)19m 2-n 2解析 (1)原式=(6x+5)(6x-5)=(6x)2-52=36x 2-25.(2)原式 =-13m 2-n 2=19m 2-n 2.6.答案 4解析 ∵(x+y)(x-y)=x 2-y 2,x 2-y 2=44,x-y=11,∴11(x+y)=44,∴x+y=4.7.解析 (a+3)(a-3)+a(1-a)=a 2-9+a-a 2=a-9.8.C 设正方形草坪的边长为x m,则面积为x 2 m 2.将该正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的长为(x+4)m,宽为(x-4)m,则改造后长方形草坪的面积为(x 2-16)m 2,故比原来的面积减少16 m 2.故选C.9.解析 去括号,得4a 2-1-4a 2+4a=7,移项、合并同类项,得4a=8,系数化为1,得a=2.10.解析 (1)原式=(3 000+3)×(3 000-3)=3 0002-32=9 000 000-9=8 999 991.(2)1102-109×111=1102-(110-1)×(110+1)=1102-(1102-1)=1.11.解析 阴影部分的面积为12AE·BC+12AE·DB=12AE(BC+DB)=12(a-b)(a+b)=12(a 2-b 2)=12×60=30,∴阴影部分的面积为30.能力提升全练12.B (a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故选B.13.C ∵(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,∴p=a,q=-b或p=-a,q=b或p=-b,q=a或p=b,q=-a,故选C.14.答案 x2-1解析 ∵a※b=a(b+1),∴(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-12=x2-1.15.答案 3解析 ∵3(a+2023)2=81,∴3(a+2023)2=34,∴(a+2 023)2=4,∴(a+2 022)(a+2 024)=(a+2 023-1)(a+2 023+1)=(a+2 023)2-1=4-1=3.16.解析 ∵(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,∴[2(a+b)-1][2(a+b)+1]=63,∴4(a+b)2-1=63,∴4(a+b)2=64,∴(a+b)2=16,∴a+b=±4.17.解析 探究:(a+b)(a-b)=a2-b2.应用:(1)12.(2)(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.18.解析 (1)原式=x-2-x-2-5+y=y-9.(2)根据题意得整式“▲”=3x2+6-(x-2)(x+2)=3x2+6-(x2-4)=3x2+6-x2+4=2x2+10.(3)答案不唯一.如:“■”表示的运算符号是“×”,“▲”表示的整式是4.详解:∵“■”表示的运算符号是“×”,∴原式=(x-2)(x+2)+▲=x2-4+▲,∵计算结果是二次单项式,∴“▲”表示的整式是4.素养探究全练19.解析 1×1+1+1+1+1+1+1+2=1―1+1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+=1―1+1+1+=1―1+1+.=1―1+=1-12128。
3.4 完全平方公式 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练巩固篇(含答案)
专题3.21 完全平方公式（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列式子正确的是（）A．B．C．D．2．已知，那么x2+y2的值为（ ）A．13B．7C．6D．53．已知，，则代数式的值为（）A．8B．C．9D．4．若的值为，则的值为（）A．B．C．D．5．若，则的值是（）A．－3B．3C．6D．96．已知（x－2021）2 +（x－2023）2 ＝50，则（x－2022）2的值为（）A．24B．23C．22D．无法确定7．若是完全平方式，且，则（）A．B．或27C．27或D．或8．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（ ）A．10B．11C．12D．139．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为()A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b10．观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（）；；；；A．B．C．D．二、填空题11．计算：_____．12．已知，则=_____________13．若，，则__．14．若代数式可化为，则的值是________．15．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad－bc.则二阶行列式的值为___.16．若，，则的值为______．17．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是．依此方法，代数式的最小值是________________．18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝_______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________．三、解答题19．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．20．用乘法公式简便计算：(1) ；(2) ．21．运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）．22．已知，求的值．23．乘法公式的探究及应用：数学活动课上罗老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1) 观察图2，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______．(2) 根据（1）中的数量关系，解决如下问题：①已知，，求的值．②类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．24．用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：(1) 比较a2+b2与2ab的大小：①当a＝3，b＝3时，a2+b2 2ab；②当a＝2，b＝时，a2+b2 2ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ab．(2) 通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；(3) 如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG，设两个正方形的面积分别为S1，S2，若三角形BCG 的面积为1，求S1+S2的最小值．参考答案：1．D【分析】根据乘法公式进行计算和判断． 解：A、(x+3y)(x−3y)=x2−9y2，故原选项错误；B、(a−b)2=a2−2ab+b2，故原选项错误；C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故原选项错误；D、由A项解答可得a2−9b2=(a+3b)(a−3b)，故原选项正确；故选D．【点拨】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式的展开形式及逆用是解题关键．2．D【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再将题中已知条件代入计算即可．解：∵，∴，∴．故选：D．【点拨】本题主要考查了完全平方公式变形式求值，观察发现式子的变形前后的相等关系是解答本题的关键．3．D【分析】先求出m、n的值，然后代入计算，即可求出答案．解：根据题意，∵，，∴，，∴====；故选：D【点拨】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．4．B【分析】把进行完全平方，展开计算的值即可.解：∵=1，∴=1，∴-2=1，∴=3，∴=8，故选B.【点拨】本题考查了完全平方公式的展开计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键.5．D【分析】把变形为，代入得到，根据非负数的性质求出a、b、c的值即可解答．解：∵，∴，把代入中得：，∴，即，∵，∴，即，∴，∴；故选：D．【点拨】本题考查完全平方公式的构造和非负数的性质，准确地对式子变形构造完全平方公式是解题的关键．6．A【分析】先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，∴（x-2022）2=24．故选：A．【点拨】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．7．D【分析】根据完全平方式得出2（b−1）x＝±2•x•2，求出b值即可．解：∵x2＋2（b−1）x＋4是完全平方式，∴2（b−1）x＝±2•x•2，解得：b＝3或−1，当b=3时，，当b=-1时，，故选：D．【点拨】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2＋2ab＋b2或a2−2ab＋b2，也考查了负整数指数幂.8．B【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为和b的直角三角形面积，即可得，根据完全平方公式的变式应用可得，代入计算即可得出答案．解：根据题意可得，∵，，∴，故选：B．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．9．A【分析】4张边长为a的正方形卡片的面积为4a2，4张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为4ab，1张边长为b的正方形卡片面积为b2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a2+4ab+b2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b．解：设拼成后大正方形的边长为x，∴4a2+4ab+b2=x2，∴(2a+b)2=x2，∴该正方形的边长为：2a+b.故选A.【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．10．C【分析】根据题意得出次幂展开项的系数规律，分别表示出的展开式，得到所求即可．解：∵；；；；得到，则的展开式第三项的系数是，故选：C．【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.解：【点拨】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.12．14【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．解：∵∴又∵∴∴即故答案为：14．【点拨】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．13．7【分析】直接利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．解：，，，，．故答案为：7．【点拨】本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关键是牢记公式，并灵活运用即可．14．5解：，根据题意得，，解得=3，b=8,那么=5.15．1解：由题意可得：===.故答案为1.16．【分析】根据求出的值，再利用完全平方和公式求出2xy的值，根据、2xy求得的值，进一步求得．解：∵，∴，又∵，∴，则，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用展开式求得2xy的值是解题的关键．17．【分析】由题目中提供的方法把前两项凑成一个完全平方式即可求得最小值．解：所以代数式的最小值是1；故答案为：1【点拨】本题考查了完全平方公式，根据二次项与一次项凑成完全平方式是本题的关键．18． 34 20【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得；②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得．解：①，＋＝＋＝②＋＝=40，故答案为：34；20．【点拨】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键．19．﹣7【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab，（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，据此计算即可．解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．20．(1)(2)【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查了平方差公式和完全平方公式，理解和掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．21．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案；（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）]＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7）＝（5x＋2）（x−12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1]＝−1＝；（3）原式＝＝−6（2x−y）＋9＝；（4）原式＝＝．【点拨】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．22．-22【分析】首先根据，可得，据此求出a、b的值各是多少；然后去括号，合并同类项，将代数式[（2a＋b）2−（2a−b）（a＋b）−2（a−2b）（a＋2b）]化为最简式，再把a、b的值代入即可．解：∵，∴，∴，，解得，∴．【点拨】本题考查了配方法的应用，整式的混合运算−化简求值，要熟练掌握，解题关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．23．(1)(2)①；②这个长方形的面积为【分析】（1）由图形得出完全平方公式即可；（2）①，根据完全平方公式计算出的值即可；②，利用①的结论即可．解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为，因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成，由此可得：．故答案为：；（2）①：由可得：，将，代入得：，解得：；②：令，，则，，仿照可得：，，即，故这个长方形的面积为．【点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活运用、，之间的关系是解题的关键．24．(1)①；②；③(2)；理由见分析(3)的最小值为4【分析】（1）代入计算得出答案；（2）根据（1）的结果，得出结论；（3）由题意可知ab＝2，S1＋S2＝a2＋b2，而a2＋b2≥2ab，进而得出答案．(1)解：①把a＝3，b＝3代入，a2＋b2＝9＋9＝18，2ab＝2×3×3＝18，∴a2＋b2＝2ab；故答案为：＝；②把a＝2，b＝代入，a2＋b2＝4＋＝，2ab＝2×2×＝2，∴a2＋b2＞2ab；故答案为：＞；③把a＝−2，b＝3代入，a2＋b2＝4＋9＝13，2ab＝2×（−2）×3＝−12，∴a2＋b2＞2ab，故答案为：＞．(2)由（1）可得，a2＋b2≥2ab，理由如下：∵，又∵，∴a2＋b2≥2ab．(3)由题意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△ACF的面积为1，即，∴ab＝2，∵S1＋S2＝a2＋b2≥2ab，∴S1＋S2＝a2＋b2≥4，因此S1＋S2的最小值为4．【点拨】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，根据偶次幂的性质得出a2＋b2≥2ab是正确解答的关键．。
初中数学浙教版七年级下册第3章 整式的乘除3.4 乘法公式-章节测试习题
章节测试题1.【题文】已知:a+b=3,ab=2,求的值.【答案】5.【分析】把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．2.【题文】考古学家从幼发拉底河附近的一座寺庙里，发掘出数千块泥板书，他们从泥板书中发现美索不达米亚的祭祀已经知道平方表的用法，并能够利用平方表算出任意两个自然数的乘积．例如：计算乘以，祭祀们会按下面的流程操作：第一步：加上，将和除以得；第二步：减去，将差除以得；第三步：查平方表，得的平方是；第四步：查平方表，得的平方是；第五步：减去，得到答案．于是他们便得出．请你利用所学的代数知识，设两个自然数分别为、，对泥板书计算两个自然数乘积的合理性做出解释．【答案】见解析【分析】按照题中所给的步骤进行推导即可.【解答】解：．3.【题文】计算：．【答案】【分析】先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算即可.【解答】解：原式.4.【题文】已知:a+b=3,ab=2,求的值.【答案】5.【分析】把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．5.【题文】计算:(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2.【答案】2mn【分析】原式第一项利用平方差根式化简，第二项利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．【解答】解：(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2=m2-n2+m2+2mn+n2-2m2=2mn.6.【题文】用乘法公式计算：99.82．【答案】9960.04．【分析】把99.8写成（100-0.2），然后利用完全平方公式计算即可得解；【解答】解：99.82=（100﹣0.2）2=1002﹣2×100×0.20+22=9960.04．7.【题文】已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【答案】±4【分析】首先，根据完全平方公式将(x+y)2打开，并根据xy的值求出x2+y2；然后，根据完全平方公式求出(x-y)2的值，开平方即可求解.【解答】解：∵(x+y)2=25，∴x2+2xy+y2=25，又∵xy=94，∴x2+y2=412，∴(x-y)2=x2-2xy+y2=412-2×94=16，∴x-y=±4.8.【题文】现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙）尝试解决：（1）图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是______；（2）小聪想用几何图形表示等式（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2，图2给出了他所拼接的几何图形的一部分，请你补全图形；（3）小聪选取1张Ⅰ号卡片、3张Ⅱ号卡片、4张Ⅲ号卡片拼接成一个长方形，那么拼接的几何图形表示的等式是______；拓展研究：（4）如图3，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有______．（填写序号）①ab=；②a+b=m；③a2+b2=m2；④a2+b2=．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）答案见解析；（3）（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（4）①③．【分析】（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可；（2）根据已知等式画出相应的图形，如图所示；（3）根据题意列出关系式，分解因式后即可得到结果．根据完全平方公式判断即可．【解答】解：(1)这个几何图形表示的等式是(2)如图：(3)拼接的几何图形表示的等式是根据图③得：∴∵∴∴①③正确，故答案为：①③9.【题文】已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）．【答案】（1）10；（2）±8．【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简，再将代入计算即可求出值；（2）利用完全平方公式及平方根定义求出的值，原式利用平方差公式分解后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)把x+y=4两边平方得：将xy=3代入得：(2)∵∴∴x−y=2或x−y=−2，则原式=(x+y)(x−y)=8或−8.10.【题文】利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．(1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a＝2 016，b＝2 017，c＝2 018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？【答案】（1）详见解析；（2）3.【分析】(1)已知等式右边利用完全平方公式化简,整理即可作出验证;(2)把a,b,c的值代入已知等式右边,求出值即为所求式子的值.解：(1)等式右边＝ (a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2)＝ (2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝等式左边，所以等式是成立的．(2)原式＝ [(2 016－2 017)2＋(2 017－2 018)2＋(2 018－2 016)2]＝3.11.【题文】计算：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）．【答案】2x2﹣4x+19．【分析】用完全平方公式和平方差公式展开后，再合并同类项.【解答】解：(2x﹣1)2﹣2(x+3)(x﹣3)=4x2﹣4x+1﹣2x2+18=2x2﹣4x+19．12.【题文】已知，，求下列代数式的值．（1）；（2）．【答案】（1）30；（2）8．【分析】（1）原式提取5，利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y=2，xy=﹣1，∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y）2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30；（2）∵x+y=2，xy=﹣1，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8．13.【题文】已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值．【答案】a2＋b2＝28，(a＋b)2＝31【分析】用完全平方公式变形解答即可．【解答】解：，∴=25+3=28，=28+3=31．14.【题文】阅读材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：（），则__________，__________．（）已知，求的值．（）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．（提示：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）【答案】（1）a=3,b=1;(2)16（3）9【分析】(1) (2)(3) 将已知化为完全平方形式，利用非负性求值.【解答】解：（）∵，，，∵，，∴，，，．（），，，∵，，∴，，，，∴，∴．（），，，∵，，∴，，，，∵，∴，，∴，∵、、为正整数，∴，∴周长．15.【题文】（1）计算：x（4x﹣1）﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x﹣1）2；（2）已知实数a，b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．【答案】（1）原式=x2﹣3x+10；（2）a2+b2+ab=13﹣6=7．【分析】（1）x（4x﹣1）按照单项式乘多项式的法则计算，（2x﹣3）（2x+3）根据平方差公式计算，（x﹣1）2根据完全平方公式计算；（2）把（a+b）2=1，（a ﹣b）2=25的左边按照完全平方公式乘开，然后把两个式子相加可得a2+b2=13，把两个式子相减可得ab=﹣6.【解答】解：（1）原式=4x2﹣x﹣（4x2﹣9）+（x2﹣2x+1）=4x2﹣x﹣4x2+9+x2﹣2x+1=x2﹣3x+10；（2）∵（a+b）2=1，∴a2+2ab+b2=1①，∵（a﹣b）2=25，∴a2﹣2ab+b2=25②，由 ①+‚②得：a2+b2=13，由①•﹣②‚得：ab=﹣6，∴a2+b2+ab=13﹣6=7．16.【题文】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到(a+b)²=a²+2ab+b²．图1 图2 图3（1）写出由图2所表示的数学等式：_____________________；写出由图3所表示的数学等式：_____________________；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a²+b²+c²的值．【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 45【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，bc+ac+ab=38，作为整式代入即可求出．【解答】解：(1)根据题意,大矩形的面积为：小矩形的面积为：(2)由（1）得17.【题文】已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值.【答案】（1）-30；（2）；（3）【分析】（1）提公因式，然后将a+b=5和ab=-6整体代入求值；（2）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答；（3）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答．【解答】解：（1）∵，∴；（2）；（3），故.18.【题文】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．【答案】（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积= a2还可以表示为19.【题文】已知a2+b2=1,a-b=,求a2b2与(a+b)4的值.【答案】【分析】把目标代数式化成包含已知代数式的形式. 【解答】解：因为a2+b2=1,a-b=,所以(a-b)2=a2+b2-2ab.所以ab=- [(a-b)2-(a2+b2)]=.所以a2b2=(ab)2=.因为(a+b)2=(a-b)2+4ab.=,所以(a+b)4=[(a+b)2]2=.20.【题文】请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a－b 的值．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)①9;②5.【分析】（1）两个阴影部分的面积可以用阴影部分面积相加和用总面积减去非阴影部分面积来表示。
七年级数学下册《平方差公式》典型例题课时训练(含答案)
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++nK参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -=（3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y --．解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y --=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --=2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~22~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================y x xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式242(21)(21)(21)(21)(21)n=-++++L224222222(21)(21)(21)(21)(2)1214 1.n n n n ⨯=-+++=-=-=-L说明：添加)12(-极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。
七年级数学下册《平方差公式》综合训练(含答案)
1.5 平方差公式【课内四基达标】1.填空题(1)(-x-y)(x-y)＝( )2-( )2(2)(x 3-3)(3+x 3)(9+x 6)( )＝x 24-6561(3)［(a+2b)m+1+32(2a-b)n ］［(a+2b)m+1-32(2a-b)n ］＝ (4)(21x+32y)(-32y+21x)＝ (5)(2-m+n)(2+m-n)-(1-m+n)(1+m-n)＝2.判断(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”)(1)(2b+3a)(2b-3a)＝4b 2-3a( )(2)(2x 2-y)(-2x 2-y)＝4x 2-y 2( ) (3)(31p-21q)(21p+31q)＝91p 2-41q 2( ) (4)(71x 2+5y 2)(71x 2-5y 2)＝49x 2-25y 2( ) 3.选择题(1)在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b-21a) C.(-a+b)(a-b) D.(x 2-y)(x+y 2)(2)计算(0.7x+0.2a)(-0.2a+0.7x)，结果等于( )A.0.7x 2-0.2a 2B.0.49x 2-0.4a 2C.0.49x 2-0.14ax-0.04a 2D.0.49x 2-0.04a 2(3)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x 2+1)的结果正确的是( )A.x 4-1B.x 4+1C.(x-1)4D.(x+1)4(4)在下列各式中，运算结果是x 2-36y 2的是( )A.(-6y+x)(-6y-x)B.(-6y+x)(6y-x)C.(x+4y)(x-9y)D.(-6y-x)(6y-x)4.用简便方法计算(1)132×128 (2)743×8415.计算(1)(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2) (2)(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) (3)(3x m +2y n +4)(3x m +2y n -4)(4)(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)(5)(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)【能力素质提高】1.若S ＝12-22+32-42+……+992-1002+1012，则S 被103除得到的余数是2.若A ＝(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)，则A －1996的末位数字是( )A.0B.1C.7D.93.计算：(3m 2+5)(-3m 2+5)-m 2(7m+8)(7m-8)-(8m)24.解方程(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)＝(7x+1)·(x-1).5.(a 2+ab+b 2)(a 2-ab+b 2)(a-b)(a+b)，其中a=2,b=-1.【渗透拓展创新】已知：(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是16x 2+27y 2-5xy ，求M.【中考真题演练】 (513x 3-617y 2)(-513x 3 -617y 2)参考答案【课内四基达标】1.(1)y,x (2)81+x 12 (3)(a+2b)2m+2-94(2a -b)2n (4)21x 2-94y 2 (5)3 2.(1)× (2)× (3)× (4)×3.(1)B (2)D (3)A (4)D4.(1)16896 (2)63615 5.(1)a 8-256 (2)0.49y 2-3625x 2 (3)9x 2m +12x m y n +4y 2-16 (4)4bc (5)2x 2+3【能力素质提高】1.提示S ＝1+(32-22)+(52-42)+…+(992-982)+(1012-1002)＝1+(2+3)+(4+5)+…+(98+99)+(100+101)＝2102101 ＝5151＝103×50+1 2.D 3.-58m 4+25 4.x ＝2 5.63；提示：原式＝a 6-b 6【渗透拓展创新】5xy-36y 2【中考真题演练】36289y 4-25169x 6。
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浙教版七年级数学下册第三章3.4平方差公式专题训练
知识精炼
例题1：
(1)（b+2）（b-2） （2）（b-2）（-b-2）
(3)（3y-2m ）（3y+2m ） （4）（ab 3—c ）（-ab 3—c ）
(5)(3a+2b)(2b-3a) （6）(x 2+y)(-y+x 2)-(-x)2(-x 2)
(7) (5x-3)(5x+3)-3x(x-7) (8) (2a-b+c)(2a+b-c)
例题2、简便计算：
（1）-1002×998 （2）4932×503
1 （3）12021201920202+⨯
例题3、计算
（1）(x+y)(x-y)(x 2+y 2)(x 4+y 4)(x 8+y 8)；
（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1；
课堂练习
1、以下各式能用平方差公式计算的是（）
A.(a-2b)(a-2b)
B.(-a-2b)(a+2b)
C.(-a-2b)(a+2b)
D.(a+2b)(a+2b)
2、与5a-b 的积等于b 2-25a 2的因式为（）
A.5a-b
B.5a+b
C.-5a-b
D.b-5a
2、填空
（1）已知x ，y 满足方程组{3252-=+=-y x y x ，则x 2-4y 2的值为 ； （2）(-3x 2+2y 2)( )=9x 4-4y 4.
（3）已知x 2-y 2=8，x-y=4，则x+y 的值为 ；
（4）观察下列各式：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1...把发现的规律用含n （n 为正整数）的等式表示出来： ；
3、计算：
（1）(3m-4)(3m+4) (2)(31a+21b)(31a-2
1b)
（2）(2m+3n)(2m-3n) （4）(2x+1)(2x-1)-1
（5）(2a-1)2-(-3a+1)(1+3a) （6）(a+2b+c)(a+2b-c)-(a+b-c)(a-b+c)
4、（1）若a+b=5，a 2-b 2=5，求a 与b 的值
（2）已知x-y=2，y-z=2，x+z=14，求x2-z2的值；
（3）已知(a+2018)(a+2020)=2019，求(a+2019)2的值；
（4）若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63，求a+b的值；
5、已知代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2.
(1)当x=1，y=-3时，求代数式的值；（2）当4x-3y=0，求代数式的值
6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。
如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”。
（1）28和2012这两个数时神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数（正奇数）的平方差是神秘数吗？为什么？
7、如图①，从边长为a 的大正方形中减掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： .(用字母表示) 请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m 2-n 2=12，2m+n=4，则2m-n 的值为 .
②计算：（2a+b-c ）（2a-b+c ）
拓展：①(2+1)(22+1)(24+1)...(232+1)+1结果的个位数字为 .
②计算：1002-992+982-972+...-32+22-12
8、阅读下列材料：某同学在计算3×(4+1)×(42+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算：
3×(4+1)×(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255
请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：
（1）2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
（2）(1+
21)(1+221)(1+421)(1+821)+1521
（3）(1-221)(1-231)(1-241)...(1-2991)(1-21001)。