高一数学指对数大小比较和计算
数学高一知识点对数
数学高一知识点对数数学高一知识点：对数一、引言对数是数学中非常重要的一个概念，它在许多数学领域和实际应用中都有重要的作用。
在高中数学中，对数是基础知识点之一，理解和掌握对数的概念、性质和运算规律对于学好数学课程具有重要意义。
本文将介绍对数的基本概念、对数的运算以及对数的实际应用。
二、对数的基本概念1. 对数的定义在数学中，对数是指以某一固定正数为底数，将另一个正数表示为指数的幂的运算。
设a为正数且a≠1，b为正实数，则以a为底b的对数写作logₐ b。
2. 对数的性质对数具有以下基本性质：(1) logₐ a = 1，即底数与真数相等时，对数等于1；(2) logₐ (mn) = logₐ m + logₐ n，即对数的底数相同，对应真数的乘法等于对数的加法；(3) logₐ (m/n) = logₐ m - logₐ n，即对数的底数相同，对应真数的除法等于对数的减法；(4) logₐ (a^m) = m，即以a为底，底数与对数相等时，对数等于指数。
三、对数的运算规律1. 对数的乘法规律logₐ (mn) = logₐ m + logₐ n2. 对数的除法规律logₐ (m/n) = logₐ m - logₐ n3. 对数的幂运算规律logₐ (a^m) = m4. 对数的换底公式若a、b、c为正数且a≠1，b≠1，c≠1，则有：logₐ b = logc b / logc a四、对数的实际应用对数在许多实际问题中具有重要应用，以下是一些常见的实际应用场景：1. 音量的测量在声学中，音量是以分贝（dB）表示的。
分贝是用对数来描述的，它可以比较不同声音的强度，从而更好地理解和分析声音的变化。
2. pH值的测量在化学中，pH值是用于测量溶液的酸碱性的指标。
pH值是通过对数计算得出的，根据不同物质的酸碱性，可以对其进行分类和判断。
3. 经济增长的分析对数还可以用于分析经济增长。
在经济学中，人均收入和GDP 增长率通常使用对数来进行测算和比较，以更好地衡量和分析国家经济的发展情况。
高一数学指数对数的知识点log
高一数学指数对数的知识点log一、指数的基本概念指数是数学中的一个重要概念，它用来表示某个数相乘的次数。
比如2的3次方表示将2相乘3次，即2 * 2 * 2 = 8。
指数可以是正整数、零或负整数。
其中，正整数指数表示乘方，零指数表示1，负整数指数表示倒数。
二、指数的运算规律1. 乘法规律：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。
例如：2的3次方乘以2的4次方等于2的(3+4)次方，即2^3 × 2^4 = 2^7。
2. 除法规律：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。
例如：2的5次方除以2的3次方等于2的(5-3)次方，即2^5 ÷ 2^3 = 2^2。
3. 幂的幂规律：(a的m次方)^n = a的(m×n)次方。
例如：(2的3次方)^4 = 2的(3×4)次方，即(2^3)^4 = 2^(3×4)。
4. 乘方表达式求值的顺序：先乘方，后乘除加减。
例如：2的3次方乘以3再减去4，应先计算2^3 = 8，再进行8×3 - 4的运算。
三、对数的基本概念对数是指把一个数与某个基数的幂相等的关系。
对数可以用来简化指数运算，它的表达形式为logₐ(b)，其中a为基数，b为真数，log为对数运算符。
四、常见的对数及其性质1. 自然对数：以常数e为底数的对数，表示为ln(x)。
常数e是一个无理数，约等于2.71828。
2. 以10为底的常用对数：表示为log₁₀(x)或简写为log(x)。
例如log₁₀(100) = 2，即10的2次方等于100。
3. 对数的性质：- log(a × b) = log(a) + log(b) 两数相乘的对数等于两数的对数之和。
- log(a ÷ b) = log(a) - log(b) 两数相除的对数等于两数的对数之差。
- log(a^n) = n × log(a) 数的幂数的对数等于幂数与底数的对数的乘积。
指对数比较大小8种常考题型总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)
第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法．（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可 （2）利用指数对数函数图象关系比较大小（2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<，12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<=（3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与21的大小等 （4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；．（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ，e a 2log 12ln ==，3log 12log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a >（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小 【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小 题型二：比较与1,0的大小关系 题型三：取中间值比较大小 题型四：利用换底公式比较大小 题型五：分离常数再比较大小 题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小 题型八：构造函数比大小 【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵2log y x =在定义域上单调递增， ∵222log 0.6log 0.8log 1.2<<，即c b a >>. 故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a 、b 、c 的大小顺序为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【详解】42log 6log 6b ==，又382log 9log 9c ==，因为3369>>，2log y x =单调递增，所以c b a <<. 故选：C 【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ） A ．22log 5.3log 4.7< B ．0.20.2log 7log 9<C ．3πlog πlog 3>D ．log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为2=log y x 是单调递增函数，所以22log 5.3log 4.7>，故A 错误； 对于B ，因为0.2=log y x 是单调递减函数，所以0.20.2log 7log 9>，故B 错误； 对于C ，因为33ππ3=1,1log πlog log 3log π><=，所以3πlog πlog 3>，故C 正确； 对于D ，当01a <<时，=log a y x 是单调递减函数，当1a >时，=log a y x 是单调递增函数， 所以当01a <<时，log 3.1log 5.2>a a ，当1a >时，log 3.1log 5.2<a a ，故D 错误. 故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，ln 2b =，2log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为()2log f x x =为单调递增函数，所以22log πlog 31>>. 因为ln 21<，所以c a b >>． 故选:B ．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知1ln 3a=，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：2ln 3ln 3c ==，21ln e ln 3ln e 2=<<=，即12c <<， 又1ln 3a =，所以31ln elog e ln 3ln 3a ===，所以112a <<， 3335log 5log 2log 2b =-=，33315log 3log log 3122=<<=，即112b <<， 又5e 2>，所以335log e log 2>，即a b >， 综上可得c a b >>； 故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知0.919x =，2log 0.1y =，2log 0.2z =，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可 【详解】因为9x y =在R 上为增函数，且0.910>， 所以0.910991>=，即1x >，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.10.21<<， 所以222log 0.1log 0.2log 10<<=，即0y z <<， 所以x z y >> 故选：B.题型二：比较与1,0的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】分别根据23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =、0.6x y =的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可比较【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上是减函数，12220133a ⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭< ； ln y x =在()0,+∞上是增函数，1lnln102b =<=； 0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，0.200.60.61c -=>=，故c a b >>， 故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出0a <，1b >，01c <<，即可得到正确答案. 【详解】因为13log y x=为减函数，所以1133log 2log 10a =<=，即0a <；因为2log y x =为增函数，所以22log 321log b =>=，即1b >； 因为2x y =为增函数，所以0.300221c -<=<=，即01c <<； 所以b c a >>. 故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若0.110a =，lg0.8b =，5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>，由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<，0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=，a cb ∴>>，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0,1分段法求得正确答案.【详解】55lg 0.20,log 6log 51,0ln 2ln e 1a b c =<=>=<=<=， 所以a c b <<. 故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>， 故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知32log 3a =，2log 3b =，139c =，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为332log log 103a =<=，2221log 2log 3log 42b =<=<=，1133982c =>=， 因此，c b a >>. 故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知6log 2a =，0.5log 0.2b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【详解】解：110.5222log 0.2log 5log 5log 42--==>=，即2b >，66610log 1log 2log 62=<<=，即102a <<，00.30.31110.60.60.50.52=>>>=，即112c <<，所以b c a >>； 故选：A 【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>. 故选：D.高二期末（理））设0.632log 8c =A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为533223log 8log 20.60.615c ====<， 所以c a <，因为0.6y x =在(0,)+∞上为增函数，且910<， 所以0.60.6910<，因为lg y x =在(0,)+∞上为增函数， 所以0.60.6lg9lg100.6<=，所以b c <， 综上b c a <<，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知52log 4a =，31log 72b =，4log 52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】B【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案. 【详解】解：由552log 4log 16a ==，则12a <<， 3331log 7log 7log 912b ==<=， 42log 5log 52252c ===>，所以b a c <<. 故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（ ） A ．x y z << B ．y x z << C ．y z x << D ．z y x <<【答案】D【分析】令3451x y z k ===>，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较作答. 【详解】因x ，y ，z 为正数，令345x y z k ===，则1k >， 因此有：31log log 3k x k ==，41log log 4k y k ==，51log log 5k z k ==， 又函数()log k f t t =在(0,)+∞上单调递增，而1345<<<，则0log 3log 4log 5k k k <<<， 于是得111log 3log 4log 5k k k >>， 所以z y x <<. 故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得． 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a <b <1， ∵c 125=>50=1， ∵c >b >a ， 故选：D .【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得． 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a <b <1， ∵c 125=>50=1， ∵c >b >a ， 故选：D . 【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设0.1log 4a =，50log 4b =，则（ ） A ．()22ab a b ab <+< B ．24ab a b ab <+< C ．2ab a b ab <+< D ．2ab a b ab <+<【答案】D【分析】由对数函数性质得0,0a b <>，从而0ab <，由对数换底公式和对数运算法则计算得1112a b<+<，再由不等式性质可得结论．【详解】因为0.1log 4a =，50log 4b =，所以0,0a b <>，所以0ab <， ()44411log 0.1log 50log 51,2a b +=+=∈，即1112a b<+<，所以2ab a b ab <+<. 故选：D ．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设2log a π=，6log b π=，则（ ）A ．0a b ab -<<B ．0ab a b <<-C ．0ab a b <<-D ．0a b ab <-<【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得>0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项. 【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<， 故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设0.20.3a =，20.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由0.20.20.3log 0.3aa =⇒=，因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，所以01a <<，由220.3log 0.3bb =⇒=，因为22log 0.3log 0.51<=-，所以1b <-，因此0ab <，0a b +< 由0.20.31log 0.3log 0.2a a =⇒=，20.31log 0.3log 2b b=⇒=， 于是有：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b+=+=，因为0.30.3log 0.4log 0.31<=，所以1111b aa b ab++<⇒<，因为0ab <，所以b a ab +>， 即0ab a b <+<， 故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合,a b 两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（ ） A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．22xy z > D ．32x y z +>⎝【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461x y zt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确； 对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =， ∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∵34x y <， ∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∵46y z <，∵346x y z <<，故B 错误； 对于C ，由1111222z x y xy=+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确； 对于D ，由22xy z >，可得232222222x y xy z z z ⎛⎫+>>=>+ ⎪ ⎪⎝⎭（x y ≠），故D 正确． 故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可． 【详解】由题意得， 666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-， 888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-， 1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-， 因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>， 所以a b c <<. 故选：D ．【题型专练】1.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 【答案】D【详解】由题意得，()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>故选：D ．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末）73a =，4log 20b =，33log 2log 6c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可 【详解】74133a ==+，4444log 20log 4log 51log 5b ==+=+，333log 2log 61log 4c =+=+， 因为433333334log 3log 81log 64log 43==>=，所以a c >，因为2423lg3lg5log 5lg5lg32log 4lg 4lg 4(lg 4)+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅<222222lg15lg162lg 42221(lg 4)(lg 4)(lg 4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<==，43log 51,log 41>>， 所以43log 5log 4<，所以c b >， 综上a c b >>， 故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【分析】由基本不等式可判断14a <，由对数的性质可得14b >，再作差可判断,c b 大小.【详解】()2lg 2lg51lg 2lg544a +=⋅<=，2ln 2ln 41444b ==>，9ln ln 3ln 22ln 33ln 2803266c b --=-==>，则c b >.所以a b c <<. 故选：A ． 【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知log 5a =0.62b =，0.2log 6c =-，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据换底公式可得,1a c >，再根据换底公式与基本不等式可得c a <，再根据5532b ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得b a >，进而求得大小关系【详解】24log 5log 51a =>=，0.25log 6log 61c =-=>，则()25224lg 4lg 6log 6lg 4lg 62log 5(lg 5)lg 5c a +⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==<()()2222lg 24lg 25221lg 5lg 5⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=，所以c a <； 243log 5log 52a ==<，()5550.63282b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以32b >，则b a >.所以b a c >> 故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【题型专练】1.已知3log 2=a ，4log 3=b ，5log 4=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【详解】()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > 又因()6,5256log 4log 4433∈==b ，()5,4625log 5log 4444∈==c ，所以c b 44>，所以c b > 所以c b a >>，故选B 题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设0a >，0b >，则下列叙述正确的是（ ） A ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b > B ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b < C ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b > D ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b < 【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为ln y x =和2y x =在(0,)+∞上均为增函数， 所以()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数， 所以()()f a f b >时，得0a b >>，反之也成立， 即ln 2ln 2a a b b +>+时，0a b >>，反之也成立， 所以ln 2ln 2a b b a ->-时，0a b >>，反之也成立， 故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若2e 2e x x y y ---<-，则（ ） A ．()ln 10y x -+< B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【答案】B【分析】先构造函数()2e x xf x -=-，通过导函数得到单调性，从而得到x y <，故可通过函数单调性判断出()ln 1ln10y x -+>=，而x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故CD 均错误.【详解】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x xf x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若1a b >>，且x y x y a a b b --->-，则（ ） A ．()ln 10x y -+> B ．()ln 10x y -+< C ．ln 0x y -> D ．ln 0x y -<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()x xf x a b -=-，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为x y x y a a b b --->-，即x x y y a b a b --->-，故令()x xf x a b -=-，则上式等价于()()f x f y >因为1a b >>，,x x y a y b -==-都是R 上的单调增函数，故()f x 为R 上的单调增函数，则由()()f x f y >，可得x y >，即0x y ->； 则11x y -+>，故()ln 10x y -+>，则A 正确；B 错误； 因为0x y ->，故无法判断ln x y -的正负，故C ，D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数()x xf x a b -=-，并利用其单调性判断,x y 的大小关系.2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．11x y< B ．33x y < C ．()ln 10y x -+> D ．122x y -<【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法） 由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故0x y <<，所以11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确．0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确．0221x y -<=，故D 不一定正确．故选：BC ．方法二（构造函数法） 由题意，2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，故A 错误．33x y <，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确， 故选：BC ．。
高一对数和指数知识点归纳
高一对数和指数知识点归纳在初中阶段，我们已经接触了对数和指数的概念，而在高中的数学学习中，对数和指数的知识会更加深入和丰富。
本文将对高一阶段的对数和指数知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分知识。
一、对数的基本概念与性质对数是指数的逆运算，它可以帮助我们解决指数运算中的一些问题。
数学中常用的对数有自然对数和常用对数两种。
1.1 自然对数自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数。
表示为ln(x)，其中x为被求对数的数。
自然对数具有以下性质：- ln(1) = 0，ln(e) = 1- ln(xy) = ln(x) + ln(y)- ln(x/y) = ln(x) - ln(y)- ln(x^n) = nln(x)1.2 常用对数常用对数是以10为底的对数。
表示为log(x)，其中x为被求对数的数。
常用对数的一些性质包括：- log(1) = 0，log(10) = 1- log(xy) = log(x) + log(y)- log(x/y) = log(x) - log(y)- log(x^n) = nlog(x)二、指数函数与对数函数指数函数是以指数形式进行定义的函数，形如y = a^x，其中a 为底数，x为指数。
指数函数有如下性质：- 当a>1时，函数图像为递增的指数函数；当0<a<1时，函数图像为递减的指数函数。
- 特殊指数函数e^x被称为自然指数函数，其中e为自然对数的底数。
对数函数是指数函数的逆函数，记为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。
对数函数的性质包括：- 当a>1时，函数图像为递增的对数函数；当0<a<1时，函数图像为递减的对数函数。
三、对数和指数的运算在高一阶段，我们需要掌握对数和指数运算的一些规律。
3.1 指数幂运算法则- a^m * a^n = a^(m+n)- (a^m)^n = a^(mn)- (ab)^m = a^m * b^m- (a/b)^m = a^m / b^m- (a^m)^n = a^(mn)3.2 对数幂运算法则- logₐ(xy) = logₐx + logₐy- logₐ(x/y) = logₐx - logₐy- logₐ(x^r) = rlogₐx四、快速计算方法在实际运算中，为了简化计算，我们可以借助对数和指数的性质来进行快速计算。
例说指数与对数比较大小的方法
ʏ高 登指数与对数比较大小的常用方法有:函数性质法,作差法,作商法,图像法和特殊法等㊂下面举例分析㊂一㊁函数性质法例1 已知f (x )是定义在(-ɕ,+ɕ)上的偶函数,且在(-ɕ,0]上是增函数,设a =f (l o g 47),b =f (l o g 123),c =f (0.2-0.6),则a ,b ,c的大小关系是( )㊂A .c <a <b B .c <b <aC .b <c <aD .a <b <c因为l o g 123=-l o g 23=-l o g 49,所以b =f (l o g 123)=f (-l o g 49)=f (l o g 49)㊂易得l o g 47<l o g 49,0.2-0㊂6=15-35=5125>532=2>l o g 49㊂因为函数f (x )是定义在(-ɕ,+ɕ)上的偶函数,且在(-ɕ,0]上是增函数,所以f (x )在[0,+ɕ)上是单调递减函数,所以f (0.2-0.6)<f (l o g 123)<f (l o g 47),即c <b <a ㊂应选B ㊂评注:函数性质法比较大小的主要依据是函数的单调性和奇偶性的应用㊂二㊁作差法例2 设x ,y ,z 为正数,且2x =3y=5z ,则( )㊂A .3y <2x <5z B .2x <3y <5z C .3y <5z <2x D .5z <2x <3y令2x=3y=5z=k ㊂由x ,y ,z 为正数,可知k >1,所以x =l g k l g 2,y =l g k l g 3,z =l g k l g5㊂因为k >1,所以l g k >0,所以2x -3y =2l g k l g 2-3l g k l g 3=l g k ˑ(2l g 3-3l g2)l g 2ˑl g3=l g k ˑl g98l g 2ˑl g3>0,所以2x >3y ㊂又因为2x -5z =2l g k l g 2-5l g k l g 5=l g k ˑ(2l g 5-5l g 2)l g 2ˑl g5=l g k ˑl g2532l g 2ˑl g 5<0,所以2x <5z ㊂由上可得,3y<2x <5z ㊂应选A ㊂评注:作差法是比较大小的常用方法,主要是利用对数运算法则确定差值的正负号㊂三㊁作商法例3 设3x =6y =4z =t ,x ,y ,z 为正数,则6x ,3y ,2z 的大小关系为㊂由3x =6y=4z =t ,x ,y ,z 为正数,可知t >1,所以x =l n t l n 3,y =l n tl n 6,z =l n t l n 4㊂因为6x 3y =2ˑl n 6l n 3>1,所以6x >3y ㊂又因为3y 2z =32ˑl n 4l n 6=l n 43l n 62>1,所以3y >2z ㊂由上可得,6x >3y >2z ㊂评注:作商法主要是利用对数运算法则确定商值与1的大小关系㊂四㊁中间值法例4 设a =l o g 2π,b =l o g 12π,c =π-2,则( )㊂A .a >b >c B .b >a >cC .a >c >bD .c >b >a因为π>2,所以a =l o g 2π>1㊂因为π>1,所以b =l o g 12π<0㊂因为π>1,所以0<π-2<1,即0<c <1㊂综上可得,a >c >b ㊂应选C ㊂评注:利用对数函数与指数函数的性质,将a ,b ,c 转化到区间(1,+ɕ),(-ɕ,0),(0,1)上是解题的关键㊂五㊁图像法例5 已知实数a ,b 满足等式12a=13b,则下列关系式中不可能成立的4知识结构与拓展 高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.是( )㊂A .0<b <aB .a <b <0C .a =bD .b <0<a在同一坐标系内,作出函数y =12x和y =13x的图像,如图1所示㊂图1由图可知:当a >b >0时,12a=13b可能成立㊂当a <b <0时,12 a=13 b也可能成立㊂当a =b =0时,显然12 a=13 b ㊂当a >0>b 时,可得12 a <13 b㊂综上可知,A ,B ,C 可能成立,D 不可能成立㊂应选D ㊂评注:准确作出函数图像,结合函数的性质得出结论㊂六㊁特殊法例6 设x ,y ,z 为正实数,且l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z >0,则x 2,y 3,z5的大小关系不可能是( )㊂A .x 2<y 3<z 5B .y 3<x 2<z 5C .x 2=y 3=z 5D .z 5<y 3<x2(方法1)取x =2,由l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z ,可得y =3,z =5,此时可得x 2=y3=z 5,C 正确㊂取x =4,由l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z ,可得y =9,z =25,此时可得x 2<y 3<z 5,A 正确㊂取x =2,由l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z ,可得y =3,z =5,此时可得z 5<y 3<x 2,D 正确㊂应选B ㊂(方法2)设l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z =k ,则x =2k,y =3k,z =5k,所以x 2=2k -1,y3=3k -1,z 5=5k -1㊂由题设知k >0,下面对k 与1的大小关系加以讨论㊂若k =1,则x 2=1,y 3=1,z 5=1,所以x 2=y 3=z5,C 有可能正确㊂若0<k <1,则根据函数f (t )=tk -1在(0,+ɕ)上单调递减得2k -1>3k -1>5k -1,所以z 5<y 3<x 2,D 有可能正确㊂若k >1,则根据函数f (t )=t k -1在(0,+ɕ)上单调递增得2k -1<3k -1<5k -1,所以x 2<y 3<z 5,A 有可能正确㊂应选B ㊂评注:通过对参数取特殊值,再比较大小㊂特殊法是求解选择题㊁填空题的常用方法㊂1.若a =15-0.3,b =l o g 52,c =e -12,则a ,b ,c 的大小关系是㊂提示:由指数函数y =15x的图像与性质得a =15-0.3>1,由对数函数y =l o g 5x 在(0,+ɕ)上单调递增得b =l o g 52<l o g 55=12㊂因为c =e -12=1eɪ12,1,所以b <c <a ㊂2.函数f (x )=a |x +1|(a >0,a ʂ1)的值域为[1,+ɕ),则f (-5)与f (4)的大小关系是㊂提示:因为|x +1|ȡ0,f (x )值域为[1,+ɕ),所以a >1,所以f (-5)=a 4,f (4)=a 5㊂由函数的单调性知a 4<a 5,所以f (-5)<f (4)㊂作者单位:江苏省泗洪中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
数学高一指数对数知识点
数学高一指数对数知识点数学是一门抽象而又实用的学科，其中的指数对数知识点在高一阶段有着重要的地位。
本文将重点介绍高一学生应该掌握的指数对数知识点，以帮助同学们更好地理解和应用这一部分内容。
一、指数与对数的基本概念1. 指数的概念在数学中，指数是乘方运算的一种表示方式。
指数可以看作是乘方的幂，用于表示一个数被乘以自身的次数。
例如，2³表示2乘以自身3次，即2的立方。
2. 常见的指数规律指数运算中存在着一些常见的规律，需要学生掌握和灵活运用。
例如，指数相乘的结果等于底数不变，指数相加的结果。
这一规律可以表达为a^m * a^n = a^(m+n)。
3. 对数的概念对数是指数的逆运算。
如果a^x = b，那么称x为以a为底b的对数，记作log_a(b) = x。
对数函数是一个非常重要的数学函数，在实际问题中有着广泛的应用。
二、指数与对数的运算法则1. 指数的运算法则高一阶段，学生需要熟练掌握指数运算法则，包括指数相同、底数相同等情况下的运算规律。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)，a^(-m) = 1 / a^m等。
这些规律有助于简化复杂的指数运算。
2. 对数的运算法则类似指数，对数也有一些常见的运算法则。
例如，log_a(m * n) = log_a(m) + log_a(n)，log_a(m^n) = n * log_a(m)等。
熟练掌握这些法则可以简化对数运算的复杂性。
三、指数与对数方程1. 指数方程指数方程是以指数形式给出的方程，解决指数方程需要运用指数的运算法则和性质。
例如，2^x = 16，可以通过观察得到x = 4为满足方程的解。
2. 对数方程对数方程是以对数形式给出的方程，解决对数方程需要熟悉对数的运算法则和性质。
例如，log_2(x) = 3，可以通过将方程重新转化为指数形式得到x = 2^3 = 8。
四、指数与对数函数1. 指数函数指数函数是以指数形式表示的函数，其中底数为常数，指数为自变量。
高一数学对数与对数运算4
例题与练习 例4 已知logax＝logac＋b，求x的值.
例题与练习 例4 已知logax＝logac＋b，求x的值. 练习 教材P.68练习第4题
课堂小结
换底公式及其推论
课后作业
1．阅读教材P.64-P.69； 2．《学案》P.79双基训练.
思考
1.
证明 log a x logb log b a 1
log a b log b c log c a 1
(2)
log am bn
n m log a b
讲授新课
两个常用的推论：
(1) log a b log b a 1
log a b log b c log c a 1
2.2.1 对数与 对数运算
主讲老师：
复习引入
对数换底公式：
复习引入
对数换底公式：
log a
N
log m N log m a
复习引入
对数换底公式：
log a
N
log m N log m a
(a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0)
例题与练习
例1 已知log18 9 a，18b 5， 求 log 36 45.
(2)
log am bn
n m log a b
(a，b＞0且均不为1)．
例题与练习 例1 设log34·log48 ·log8m＝log416， 求m的值.
例题与练习 例2 计算
(1) 51log0.2 3
(2) log 27 16 log 3 4
例题与练习
例3 生物机体内碳14的“半衰期” 为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占76.7%， 试推算马王堆古墓的年代.
新教材苏教版高中数学必修一 知识点07 指数与对数
高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点7指数与对数指数根式-------- n 次方根，根式1．a 的n 次方根的定义一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根的表示3.(1)负数没有偶次方根．(2)0的n 次方根等于0，记作n0＝0.(3)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．(4)na n ＝a (n 为大于1的奇数)．(5)na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．4.指数幂的运算对有理数指数幂的运算性质的三点说明：(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：∈同底数幂相乘，底数不变，指数相加；∈幂的幂，底数不变，指数相乘；∈积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．对数1.对数的定义：一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：2.对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法∈将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．∈利用幂的运算性质和指数的性质计算．3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法∈“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；∈“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．4.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．解决对数应用题的一般步骤一、由根式化简求值例题1若=，则实数a的取值范围是()A．a∈R B．a＝1 2C．a＞12D．a≤12【答案】D【分析】由|1﹣2a|=1﹣2a，于是2a－1≤0，解出即可．【详解】，所以|2a－1|＝1－2a，即2a－1≤0.所以a≤1 2 .故选D【点睛】本考查根式的运算性质、绝对值的性质例题2下列说法正确的个数是（）∈16的4次方根是2；的运算结果是±2；∈当n为大于1a∈R都有意义；∈当n为大于1a≥0时才有意义.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】∈16的4次方根应是±2；， 由根式的性质得∈∈.正确. 故选：B【点睛】考查根式的概念和性质训练1则实数a 的取值范围是A ．(),3-∞B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】B=，可得130a -≥，从而求得结果.【详解】2696a -=== 130a ∴-≥，解得：13a ≤即a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 故选B【点睛】本题考查根式的化简求值问题训练2=a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞ B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R【答案】B 【详解】=可得2112a a -=-，所以120a -≥，即12a ≤． 故选：B.=.二、根式与分数指数幂的互化例题1化简43]的结果为（）A ．5BC ．D ．5-【答案】B【分析】先看根式下的式子易得22(5)5-=，再结合分数指数幂的意义，mna=子进行化简；再根据指数幂的运算性质*()(,)m n mn a a m n N =∈，将上式的结果化简，继而得到原式的值. 【详解】解：()311132244234]555⨯⨯====故选：B.【点睛】考查的是实数指数幂的化简运算，考生要掌握实数指数幂的运算性质以及分数指数幂的意义. 例题2的结果是（ ） A ．132- B ．122-C ．232-D ．322-【答案】B【分析】化根式为分数指数. 【详解】13111323222222⨯⎛⎫==-⨯=-=- ⎪⎝⎭.故选:B.【点睛】考查根式与分数指数的转化训练10a >）的分数指数幂形式为（ ） A ．34a-B ．34aC ．43a-D ．43a【答案】A【分析】由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可. 【详解】1333242411aa a⨯-====.故选：A.【点睛】考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题.训练2设0a>2表示成分数指数幂的形式，其结果是（）A．12a B．56aC．76a D．32a【答案】C【分析】把根式化成指数幂的形式，再运用幂的运算法则可得出结果.【详解】57222226656aa aa-=====.故选：C.【点睛】考查根式运算化成指数幂的形式三、指数式与对数式的互化例题1log b N＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（）A ．a b ＝NB ．b a ＝NC ．a N ＝bD ．b N ＝a【答案】B【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】由log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)， 则b a ＝N 故选：B【点睛】考查了指数式与对数式的互化 例题2把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ∈，空气的温度是0θ∈，经过t 分钟后物体的温度θ∈可由公式010()ektθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80∈的物体，放在20∈的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40∈，则k 约等于（参考数据：ln 3 1.099≈）（ ） A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3【答案】D【分析】80∈的物体，放在20∈的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40∈，则44020(8020)k e -=+-，从而413ke-=，由此能求出k 的值． 【详解】由题知，80∈的物体，放在20∈的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40∈，则44020(8020)k e -=+-，从而413ke-=， 14ln ln33k ∴-==-，得1 1.009ln 30.344k =≈≈.故选:D【点睛】考查指数与对数的运算训练1下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A ．01e =与ln10=B ．13182-=与811log 23=-C ．3log 92=与1293=D ．7log 71=与177=【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可. 【详解】01ln10e =⇔=，故A 正确；13182-=⇔811log 23=-，故B 正确；23log 9239=⇒=，129193log 32=⇒=，故C 不正确； 17log 7177=⇔=，故D 正确．故选：C ．【点睛】考查了指数式与对数式的互化训练2指数式 x 3=15的对数形式为: A ．log 3 15=x B ．log 15 x=3 C ．log x 3= 15 D ．log x 15= 3【答案】D【分析】根据指数式与对数式关系判断求解.【详解】因为指数式 x 3=15的对数形式为log x 15= 3，所以选D. 【点睛】考查指数式与对数式相互关系，考查基本分析判断能力.四、对数的概念判断与求值例题1下列指数式与对数式的互化不正确的一组是A ．100=1与lg1=0B ．131273-=与271log 33=-C ．log 39=2与32=9D ．log 55=1与51=5【答案】B【分析】根据对数和指数的换算关系可判断A ，C ，再由对数的运算公式得到D 是正确的,进而得到结果. 【详解】100=1即lg 1=0，A 正确；131273-=对应的对数式应为2711log 33=-．B 不正确3 92log =即2 39=，故C 是正确的;log 55=1即51=5， D 是正确的; 故选B ．【点睛】考查了对数与指数的关系，当a >0，且a ≠1时，log b a a N b N =⇔=，对数log (0,1)a N a a 且>≠具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即0N >；（2）1的对数等于0，即log 10a =；（3）底数的对数等于1，即log 1a a =． 例题2下列语句正确的是∈对数式log a N=b 与指数式a b =N 是同一关系的两种不同表示方法． ∈若a b =N （a>0且a≠1，N>0），则log a N a N =一定成立． ∈对数的底数可以为任意正实数． ∈log a a b =b 对一切a>0且a≠1恒成立． A ．∈∈∈∈ B ．∈∈∈ C ．∈∈∈ D ．∈∈∈【答案】B【分析】根据对数函数的概念以及对数的运算公式依次对选项进行判断即可得到答案. 【详解】由对数概念及log ba a Nb N =⇔=知∈正确；若a b =N （a>0且a≠1，N>0），则log a N=b ，log a N b a a N ==，故∈正确；由对数的性质知∈正确．对数的底数不能为1，故∈错误． 故选B ．【点睛】考查了对数的概念，以及对数的简单公式，对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．训练1下列函数是对数函数的是 A ．3log (1)y x =+ B ．()y log 2a x = (a 0,a 1)>≠ C ．ln y x = D ．2y log a x = (a 0,a 1)>≠【答案】C【分析】对数函数的基本形式为log a y x = 【详解】由对数函数定义可以，本题选C ． 【点睛】对对数函数的定义 训练2 有下列说法： ∈零和负数没有对数；∈任何一个指数式都可以化成对数式； ∈以10为底的对数叫做常用对数； ∈以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】∈利用对数的概念即可判断；∈当底数是负数时不可以，比如：（﹣2）3； ∈根据常用对数的概念即可判断； ∈利用自然对数的定义即可判断． 【详解】对于∈，零和负数没有对数，正确；对于∈，任何一个指数式都可以化成对数式，错误，当底数是负数时不可以， 比如：（﹣2）3；对于∈，以10为底的对数叫做常用对数，正确； 对于∈，以e 为底的对数叫做自然对数，正确． 综上所述，正确命题的个数为3个， 故选C ．【点睛】考查命题的真假判断与应用，着重考查对数的概念综合式测试一、单选题1．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞C ．1(0,][10,)10+∞ D ．1[,10]10【答案】B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =，所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值.2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 3．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18 B ．118C ．83D ．38【答案】C【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ．【点睛】考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．4．已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >> B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【答案】A【分析】先转化对数式为指数式，求解,m n ，再转化2152014225612433m n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，再利用中间值2，可比较,m p 的大小，即得解 【详解】依题意，54m =，故125542m ==；而89n =，故118493n ==，所以122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，所以m n >，因为0.80.8log 0.5log 0.642p =>=，2522m =<， 所以p m n >> 故选：A【点睛】考查了指数式对数式大小的比较，数学运算能力，属于中档题 5．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b ==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b ==由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg3lg3lg5lg5a b ==== 由对数运算化简可得11lg3lg52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152==故选:A【点睛】考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.6．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg 20.3010=，lg30.4771=）.（ ） A ．2023年 B ．2024年C ．2025年D ．2026年【答案】C【分析】列出函数关系，设第n 年获利y 元，则20 1.2,n y n N *=⨯∈，解不等式20 1.260n ⨯>即可得解. 【详解】设第n 年获利y 元，则20 1.2,n y n N *=⨯∈，2019年即第1年，20 1.260n⨯>， 1.2lg3lg30.4771log 3 6.03lg1.2lg32lg 210.47710.60201n >===≈+-+-， 所以7n ≥，即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元. 故选：C【点睛】考查函数模型的应用，涉及解指数不等式，转化为对数进行计算，利用换底公式计算化简. 7．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则至少要抽的次数是（参考数据：lg20.301=） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】根据题意得出20.2%5n⎛⎫< ⎪⎝⎭，将指数式化为对数式，解出n 的取值范围，即可得出结果. 【详解】抽气机抽()n n N *∈次后，容器内的空气为原来的25n⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可得210.2%5500n⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 325210lg1lg5000lg5003lg 22log 6.782510500012lg 2lg lg lg 522n --∴>====≈-， 因此，至少要抽的次数是7. 故选：B.【点睛】考查指数模型的应用，同时也考查了指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 8．函数()51f x ax bx =-+，若()()5lg log 105f =，则()()lg lg5f 的值为（ ）A ．3-B ．5C ．5-D ．9-【答案】A【分析】设()lg lg5t =,由已知()()5lg log 105f =可得()5f t -=，又()51f x ax bx =-+，计算()f t -与()f t ，相加即可求解.【详解】()()51lg log 10lg lg lg5lg5⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设()lg lg5t =，则()()()5lg log 105f f t =-=．因为()51f x ax bx =-+，所以()515f t at bt -=-++=，则()51f t at bt =-+，两式相加得()52f t +=，则()253f t =-=-，即()()lg lg5f 的值为3-． 故选：A【点睛】考查了对数的运算，函数求值，换元法，属于中档题. 二、填空题92log 3125(log 10)4-++【答案】10【分析】由指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算公式，可得：原式22239lg 252lg 252(12lg 2)log log =++=++-12lg 25lg 412lg10010=--=-=【点睛】考查了指数幂与对数的运算及性质，着重考查运算与求解能力，属于基础题.10．若,a b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，则 lg()(log log )a b ab b a +的值为______． 【答案】12【分析】原方程可化为22()410lgx lgx -+=，设t lgx =，则原方程可化为22410t t -+=，利用换元法令1t lga =，2t lgb =，再根据对数的运算法则，即可得答案；【详解】原方程可化为22()410lgx lgx -+=，设t lgx =，则原方程可化为22410t t -+=．设方程22410t t -+=的两根为1t ，2t ，则122t t +=，1212t t =． 由已知a ，b 是原方程的两个根．可令1t lga =，2t lgb =，则2lga lgb +=，12lga lgb ⋅=， ()()·a b lg ab log b log a ∴+ lg lg (lg lg )lg lg ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭b a a b a b 22(lg lg )(lg )(lg )lg lg ⎡⎤++⎣⎦=a b b a a b2(lg lg )2lg lg (lg lg )lg lg b a a ba b a b+-=+⋅2122221212-⨯=⨯=．故答案为：12.【点睛】考查对数方程的求解及对数运算法则求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C分别在函数y x =，12y x =，2xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x在函数y x =的图像上，所以2A x =，即212A x ==⎝⎭. 因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y在函数x y =⎝⎭的图像上，所以414C y ==⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】考查指数、对数和幂函数的图像和性质12．已知()232log 3x f x =⋅，则()10072f 等于__________.【答案】2014【分析】令100732x =，即可求出x 的值，代入函数式即可求出()10072f 的值．【详解】令100732x =，则100733log 21007log 2x ==，()100732221007log 2log 32014f ∴=⨯⨯=．故答案为2014．【点睛】考查利用赋值法进行函数求值，同时考查指数式与对数式的互化以及对数运算法则、换底公式推论log log 1a b b a ⋅=的应用． 三、解答题13．（1）计算：5log 3333322log 2log log 8259-+-； （2）1222301322(7.8)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭-⎭.【答案】（1）7-（2）12【分析】（1）利用对数的运算法则化简求值；（2）利用指数幂的运算法则化简求值. 【详解】（1）解：原式52293log 28log 5237329⨯=-=-=-． （2）解：原式12232⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭2323331()()22⨯--+399112442=--+=. 【点睛】考查对数和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．（1）证明对数换底公式：log log log a b a NN b=（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >） （2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18.【答案】（1）证明见解析；（2）322log 185mm+=. 【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. 【详解】（1）设log b N x =，写成指数式x b N =.两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =.因为0b >，1b ≠，log 0a b ≠，因此上式两边可除以log a b ，得log log a a Nx b=. 所以，log log log a b a NN b=. （2）23333325333log 18log 3log 22log 22log 18log 32log 25log 25mm+++====. 【点睛】考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.15．已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+.（1）求a 的值；（2）证明：()()11f x f x +-=；（3）求12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）4a =；（2）证明见解析；（3）1007.【分析】（1）分01a <<和1a >两种情况讨论，根据指数函数x y a =的单调性列出关于a 的方程，解出即可得出实数a 的值；（2）由（1）得出()442xx f x =+，然后利用通分以及指数的运算律证明出()()11f x f x +-=；（3）利用（2）中的结论，结合倒序相加法可求出所求代数式的值. 【详解】（1）当01a <<时，函数x y a =在[]1,2上单调递减，则函数x y a =的最大值为max y a =，最小值为2min y a =，由题意得220a a +=，即2200a a +-=，解得4a =或5a =-，均不合乎题意； 当1a >时，函数x y a =在[]1,2上单调递增，则函数x y a =的最小值为min y a =，最大值为2max y a =，由题意得220a a +=，即2200a a +-=，解得4a =或5a =-，4a =合乎题意. 因此，4a =；（2）由（1）知()442xx f x =+，()()11444441442424224x x xx xx x x f x f x --∴+-=+=+++++44421422444242x x x x x x=+=+=+⋅+++； （3）由（2）知12014120152015f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22013120152015f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…，10071008120152015f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12014220132015201520152015f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1007100820152015f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111007=++⋅⋅⋅+=.【点睛】考查利用指数函数的最值求参数，以及利用指数运算证明等式与求值，在涉及指数函数单调性相关的问题时，要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想与计算能力，属于中等题.。