数值模拟
数值模拟的概念与方法
数值模拟的概念与方法数值模拟是利用计算机和数值方法对真实世界或抽象模型的问题进行仿真和求解的一种方法。
数值模拟已经广泛应用于科学、工程、经济等领域，帮助人们理解复杂系统的行为、研究问题的性质，并能在其中一种程度上指导实际问题的解决。
首先，离散化是将现实中的连续问题转化为离散的数值问题。
连续问题通过将时间或空间分成有限个部分，用数值代替函数来描述物体的状态或行为，从而将问题转化为有限个运算的步骤。
其次，建立数值模型是在离散化的基础上构建数学模型。
通过分析问题的性质和特点，选择适当的数学方法和数值方法，将问题转化为数学模型。
数值模型通常采用偏微分方程、代数方程、差分方程等形式进行描述。
然后，选择数值方法是指根据问题的特点和数值模型的形式，选择适当的数值方法来求解问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
选择合适的方法能够提高模拟的准确性和效率。
最后，编写数值程序是将数值模型和数值方法转化为具体的计算机程序。
编写程序需要考虑计算精度、计算效率、程序可读性等因素，程序的正确性对于数值模拟能否得到准确结果至关重要。
在数值模拟中，常常需要进行数值实验和验证。
数值实验是通过选取一组预先设定的输入条件和参数来进行模型仿真，观察模型的输出行为和结果，进而评估模型的可靠性和有效性。
验证是将数值模拟的结果与真实数据进行比较，检验模拟结果的准确性和可信性。
数值实验和验证是数值模拟过程中的不可或缺的环节。
数值模拟能够模拟各种现象和问题，比如流体力学、结构力学、电磁场、量子力学和经济学等。
数值模拟在科学研究、工程设计和决策制定中具有重要作用。
通过数值模拟，人们可以对复杂系统进行分析和预测，优化设计方案，减少试错成本，加快产品开发进程，同时也可以促进科学理论的发展和创新。
此外，数值模拟也存在着一些限制和挑战。
首先，数值模拟需要建立适当的数学模型，但有些问题的模型较复杂，难以准确描述或存在数学上的困难。
其次，数值模拟需要进行大量的计算，对计算机的计算能力和存储能力要求较高，而大规模的模拟可能需要花费很长的时间和计算资源。
数值模拟在材料设计与优化中的应用
数值模拟在材料设计与优化中的应用第一章：引言随着科学技术的不断发展，数值模拟在材料设计与优化中扮演着日益重要的角色。
传统的试验方法可能需要耗费大量时间和资源，并且在特定条件下的数据往往无法直接推广到不同条件下。
相比之下，数值模拟可以通过计算和模型构建来预测和分析材料的性能和行为。
这种方法不仅可以节约成本，而且可以快速获得大量有用的信息，为材料的设计和优化提供指导。
第二章：数值模拟方法概述在材料设计与优化中，常用的数值模拟方法包括分子动力学模拟、有限元分析、多尺度建模等。
分子动力学模拟主要用于研究固体材料的微观结构和力学性能。
它通过模拟原子之间的相互作用来预测材料的宏观行为。
有限元分析则常用于分析复杂结构材料的力学性能，如建筑结构和机械零件。
多尺度建模则可以将宏观尺度和微观尺度相结合，更加全面地理解材料的性能与行为。
第三章：数值模拟在材料设计中的应用3.1 基于数值模拟的合金设计合金是材料中的重要组成部分，通过合金设计可以改善材料的力学性能、耐腐蚀性和导热性等。
数值模拟可以帮助研究人员预测合金中不同元素的组成对材料性能的影响，从而指导合金设计。
例如，通过有限元分析预测不同合金成分下的材料硬度、强度等力学性能，或者通过分子动力学模拟研究不同元素间的相互作用，优化合金的稳定性和耐腐蚀性。
3.2 纳米材料设计与优化纳米材料由于其特殊的尺寸效应，具有独特的物理和化学性质，已经成为研究的热点。
通过数值模拟，可以揭示纳米材料的结构和性能之间的关联。
例如，分子动力学模拟可以用于模拟纳米颗粒的生长过程和稳定性，有限元分析可以用于预测纳米材料的机械性能和热学性能。
通过这些模拟方法的应用，可以更好地设计和优化纳米材料的性能。
第四章：数值模拟在材料优化中的应用4.1 材料的力学性能优化在材料的力学性能优化中，数值模拟可以帮助研究人员预测不同处理工艺对材料强度、韧性和抗疲劳性能的影响。
例如，有限元分析可以模拟材料的应力分布和变形行为，从而辅助材料的强度计算。
数值模拟技术介绍及应用
数值模拟技术介绍及应用数值模拟技术是一种利用计算机进行数值计算和仿真的方法。
它通过数学建模和相关的计算算法，将实际问题转化为计算机可以处理的形式，以求解问题的数值近似解或通过仿真预测现象。
这种技术在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、工程学等。
数值模拟技术主要包括以下几个步骤：建立数学模型、离散化、数值求解和后处理。
首先，建立数学模型是数值模拟的第一步，其中包括确定问题的边界条件、初始条件以及方程的数值近似方法等。
然后，离散化是将连续的问题转化为离散的问题，通常使用网格或多边形来离散化求解域。
数值求解是指使用数值方法对离散化后的方程进行求解，其中包括迭代方法、差分方法、有限元方法等。
最后，后处理是对求解结果进行分析和可视化，以获得所需的数值或图形结果。
数值模拟技术在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，数值模拟可以用于天体物理学中行星轨道的模拟、宇宙大爆炸的演化模拟，以及粒子物理学中粒子撞击过程的模拟等。
在化学中，数值模拟可以用于模拟分子的结构和性质，预测物质的性质和反应动力学等。
在生物学中，数值模拟可以用于模拟生物系统的动力学行为，如心脏的传导过程、神经元的电活动等。
在工程学中，数值模拟可以用于模拟流体力学问题、结构力学问题、电磁场问题等。
除了上述领域外，数值模拟技术还有许多其他的应用。
例如，在气象学中，数值模拟可以用于模拟气象系统的动力学和热力学过程，以预测天气的变化。
在金融学中，数值模拟可以用于模拟金融市场的走势、风险管理和金融衍生品的定价。
在计算机图形学中，数值模拟可以用于模拟光线追踪、物理效果等，以生成逼真的图像和动画。
总结起来，数值模拟技术是一种重要的数值计算方法，可以用于解决各种实际问题。
它能够通过数学模型和计算机的计算能力，对问题进行近似求解或进行仿真预测。
这种技术在科学研究、工程设计、产品开发等方面有着广泛的应用，对提高效率、降低成本和推动科学技术的发展起到了重要的作用。
数值模拟 收费标准
数值模拟收费标准数值模拟是一种重要的科学研究方法，它可以通过计算机仿真实验来模拟现实世界中的各种物理现象和工程问题。
在科学研究和工程设计中，数值模拟已经成为一种不可或缺的工具，它可以为科学家和工程师提供更深入的理解和洞察力，帮助他们更好地解决问题和做出决策。
在进行数值模拟之前，我们首先需要了解数值模拟的收费标准。
数值模拟的收费标准通常是根据模拟的复杂程度、计算资源的消耗以及模拟结果的精度来确定的。
一般来说，数值模拟的收费标准包括以下几个方面：1. 模拟的复杂程度，模拟的复杂程度是指模拟对象的复杂程度和模拟过程中所涉及的物理现象的复杂程度。
通常来说，模拟对象越复杂，模拟过程中所涉及的物理现象越复杂，模拟的难度和计算资源消耗就越大，因此收费也会相应增加。
2. 计算资源的消耗，数值模拟通常需要大量的计算资源，包括计算机的运算能力、存储空间以及网络带宽等。
这些计算资源的消耗也会直接影响到数值模拟的收费标准，通常来说，计算资源消耗越大，收费也会相应增加。
3. 模拟结果的精度，模拟结果的精度是指模拟结果与实际情况的符合程度。
通常来说，模拟结果的精度越高，模拟的难度和计算资源消耗也会相应增加，因此收费也会相应增加。
综合考虑以上几个方面，我们可以得出数值模拟的收费标准一般是根据模拟的复杂程度、计算资源的消耗以及模拟结果的精度来确定的。
在实际应用中，科学家和工程师可以根据自己的需求和预算来选择合适的数值模拟服务，并根据服务商提供的收费标准来进行预算和决策。
总的来说，数值模拟是一种非常重要的科学研究方法，它可以为科学家和工程师提供更深入的理解和洞察力，帮助他们更好地解决问题和做出决策。
在选择数值模拟服务时，我们需要了解数值模拟的收费标准，并根据自己的需求和预算来进行选择和决策。
希望本文能够为大家对数值模拟的收费标准有所了解，谢谢阅读！。
数值模拟和仿真在材料科学中的应用
数值模拟和仿真在材料科学中的应用数值模拟和仿真技术在材料科学中的应用已经成为一个不可避免的趋势。
随着计算机技术的不断发展，材料科学领域的研究已经由传统的实验方法向计算机仿真方法转移。
本文将介绍数值模拟和仿真在材料科学中的应用。
一、数值模拟和仿真的概念数值模拟和仿真是计算机科学中的基本方法之一。
数值模拟是通过遵循已知规律和数学方程来计算机模拟实际过程，以便预测未来或解决问题。
仿真是通过计算机模拟物理现象，以便理解其工作原理和展示其特点。
数值模拟主要是通过数学建模方法来计算过程，仿真则是通过计算机模拟物理环境来实现物理环境的模拟。
二、数值模拟在材料科学中的应用1. 材料结构与性能的预测数值模拟可以用来预测材料的结构和性能。
通过数学建模和仿真，科学家可以在计算机上设计新材料，学习材料在不同条件下的性能并进行优化。
这项技术已被广泛应用于多种领域，包括航空航天、汽车、医疗设备以及化学工业等。
2. 材料加工过程的模拟数值模拟可以模拟材料加工的过程，例如锻造、压制和注塑等。
这种技术可以用来预测材料在加工过程中的变形和应力分布，从而优化生产工艺，提高生产效率并减少成本。
特别是在新材料的研发中，这种技术可以帮助研究人员快速开发出高性能材料的生产工艺。
3. 材料热响应的模拟数值模拟可以用来模拟材料的热响应过程。
在研究材料的热机械性能时，数值模拟可以计算材料在高温下的应力、变形和应变率等参数，帮助科学家更好地理解材料的性能并进行优化。
三、总结综上所述，数值模拟和仿真技术在材料科学中的应用非常广泛。
这种技术的发展将有助于提高材料的性能，减少生产成本并提高生产效率。
未来，这种技术将继续在材料科学领域发挥重要作用，并将有助于创造更多高价值的新材料。
数值模拟是一种什么方法
数值模拟是一种什么方法引言数值模拟是一种通过数值方法和计算机模型来模拟现实世界的物理过程和现象的方法。
它是在计算机技术和数学算法的支持下，用离散的数值数据替代连续的物理方程，通过迭代计算来模拟和预测各种自然和工程现象的行为。
数值模拟的基本原理数值模拟的基本原理是将现实世界的问题抽象成数学模型，并利用计算机进行数值计算。
具体而言，数值模拟包括以下几个步骤：1. 定义问题：将现实世界的问题转化为数学模型，并明确问题的边界条件和目标。
2. 离散化：将问题的连续性抽象为离散的网格或空间点，并确定离散化的间隔。
3. 建立数学模型：根据问题的特性，建立相应的数学模型，如常微分方程、偏微分方程等。
4. 数值逼近：利用适当的数值差分或数值积分方法，将数学模型转化为有限差分或有限元等形式，得到离散的数值表示。
5. 迭代计算：根据初始条件和边界条件，通过迭代计算得到数值模拟的结果。
6. 结果分析：对模拟结果进行分析和验证，评估模拟的准确性和可靠性。
数值模拟的应用领域数值模拟广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，如物理、化学、生物、医学、天文学、气象学、地球科学、航空航天、交通运输、材料科学等。
在物理领域，数值模拟可以帮助研究和预测原子、分子、材料和粒子的行为，如分子动力学模拟、量子力学模拟等。
在工程领域，数值模拟可以用于优化设计、模拟运行和预测性能，如飞机设计、汽车碰撞模拟、建筑结构分析等。
在气象学领域，数值模拟可以模拟大气环流、气候变化和天气预报等，提供对天气和气候系统的理解和预测。
在医学领域，数值模拟可以用于模拟人体器官的功能和疾病，如心脏电生理模拟、癌症疾病模拟等，帮助医生诊断和治疗。
数值模拟的优势和局限数值模拟具有以下几个优势：1. 精度可控：通过增加网格的分辨率或改进数值算法，可以提高数值模拟的精度。
2. 成本低廉：相比实验研究或观测研究，数值模拟通常成本低廉且操作简便。
3. 重复性强：数值模拟可以通过改变参数和初始条件，进行多次重复模拟，以获取更全面的结果。
关于数值模拟的一些看法
关于数值模拟的一些看法数值模拟是一种利用数学方法对现实世界进行模拟的技术，它通过建立数学模型，对现象进行抽象和简化，以实现对实际问题的模拟和分析。
数值模拟已经成为现代工程和技术领域中非常重要的工具之一，可以广泛应用于结构分析、流体动力学、热传导、电磁场等领域。
数值模拟具有很多优点，例如可以模拟复杂系统的行为，可以处理多变量和耦合问题，可以预测系统的性能和行为等。
在科学研究、工程设计、优化决策等方面，数值模拟已经成为不可或缺的工具。
然而，数值模拟也存在一些局限性。
首先，数值模拟需要建立数学模型，而模型的精度和可靠性受到多种因素的影响，如模型的简化程度、边界条件的确定、模型的参数等。
其次，数值模拟的计算量往往很大，需要借助高性能计算机或云计算资源来完成，这也会增加成本和时间成本。
此外，数值模拟的结果往往需要进行后处理和解释，这也需要专业知识和技能。
因此，在进行数值模拟时，需要注意以下几点：1.建立合适的数学模型：数学模型是数值模拟的基础，建立合适的模型需要考虑实际问题的特点和边界条件，并进行适当的简化和近似。
2.选择合适的计算方法和软件：数值模拟的计算方法和软件种类繁多，选择合适的计算方法和软件需要考虑问题的复杂性和计算资源的情况。
3.验证和确认模拟结果的可靠性：数值模拟的结果需要经过验证和确认，以保证其可靠性和精度。
4.考虑计算成本和时间成本：数值模拟的计算量和时间成本往往很大，需要考虑计算资源和时间成本的平衡。
5.需要专业的知识和技能：数值模拟需要专业的知识和技能，包括数学、计算机科学、工程等领域的知识和技能。
在应用数值模拟时，需要注意应用的范围和局限性，并根据实际情况选择合适的数值模拟方法和技术。
同时，也需要不断学习和探索新的数值模拟技术和方法，以更好地解决实际问题。
总之，数值模拟是一种非常重要的技术手段，它可以帮助我们解决许多实际问题。
虽然它存在一些局限性，但随着技术的不断进步和应用领域的不断拓展，数值模拟将会越来越成熟和完善。
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数值模拟摘要：数值模拟是一种通过计算机模拟方法来研究和分析现实世界中的物理现象、工程问题和自然现象的方法。
本文将探讨数值模拟的原理、步骤和应用场景，并讨论其优点和限制。
1. 引言数值模拟是一种基于计算机技术的仿真方法，可用于模拟和研究各种自然和工程现象。
它通过利用数值计算方法解决传统试验无法解决或者很难解决的问题。
2. 数值模拟的原理和步骤数值模拟的基本原理是将问题转化为数学模型，并通过计算方法求解该模型。
它通常包括以下步骤：2.1 问题建模在数值模拟中，首先需要对待解问题进行建模。
建模的目的是将实际问题转化为数学模型，包括确定问题的边界条件、初值条件和物理方程等。
2.2 离散化离散化是将连续的问题转化为离散的数值问题。
例如，在求解连续介质力学问题时，可以通过将物理空间离散为网格点，并对网格点上的物理量进行离散化处理。
2.3 数值求解数值求解是数值模拟的核心步骤，涉及到使用数值方法和算法对离散化后的问题进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、边界元法等。
2.4 结果分析数值模拟的最终结果需要进行分析和验证。
分析结果可以通过与理论分析、实验结果或其他已有数据进行比对来验证其准确性和可靠性。
3. 数值模拟的应用场景数值模拟广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、工程学和计算机科学等。
3.1 天气预报数值模拟在天气预报中有着重要的应用。
通过对大气物理方程进行离散化和数值求解，可以对天气系统进行模拟预测，并提供准确的天气预报。
3.2 污染扩散模拟污染扩散模拟是评估污染物排放对环境影响的重要手段。
通过模拟和计算污染物在大气、水体或土壤中的传输和扩散过程，可以评估污染物的浓度分布和危害程度。
3.3 车辆碰撞模拟车辆碰撞模拟可以通过数值模拟来研究交通事故的发生机理和影响因素。
通过建立车辆和人体的力学模型，并对碰撞过程进行数值求解，可以评估碰撞对车辆和人体的影响。
4. 数值模拟的优点和限制数值模拟作为一种研究方法具有以下优点：4.1 成本低廉相对于传统试验方法，数值模拟不需要大量的实验设备和人力资源，能够在计算机上进行模拟和求解，降低了成本。
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数值模拟：利用一组控制方程来描述一个过程的基本参数变化关系，采用数值计算的方法求解，以求得该过程的定量认识，及对过程进行动态模拟分析，在此基础上判断工艺或方案的优劣，预测缺陷，优化工艺等
数值模拟的作用：（1）优化工艺设计，使工艺参数达到最佳，提高产品的质量
（2）可在较短的时间内，对多种工艺方案进行检测，缩短产品的开发周期
（3）在计算机上进行工艺模拟实验，降低产品的开发费用和对资源的消耗
数值模拟的地位：是材料成型领域CAD的重要内容，也是先进制造技术———虚拟化，敏捷花，绿色化生产，并行工程的重要基础
发展趋势：（1）研究发展高质量的数值模拟系统依赖于对成型机理的深入探讨，建立高质量的数学物理模型
（2）改善计算方法，寻找合理而有效的计算方法
（3）研究高度集成的数值模拟软件系统
（4）高质量，高效率的高度集成数值模拟系统是并行工程的可靠而有效的保证
数值模拟的重要内容包括：前处理模拟分析计算后处理三部分
前处理任务：为数值模拟准备个初始的环境及对象
前处理模块：是材料成型过程数值模拟系统的重要组成部分，是对材料成型过程进行准确模拟，分析的前提和基础，其性能的好坏直接影响到整个系统的实用性及计算的准确性
前处理模拟包括：实体造型，网格剖分
数值模拟的数值方法：有限元法，有限差分法
自动剖分网格软件采用技术：三维有限元网格剖分技术，有限差分网格剖分技术
模拟分析计算包括：宏观模拟，微观组织模拟及缺陷模拟，多种物理场的耦合计算
宏观模拟目的：模拟材料成型过程中材料形状，轮廓，尺寸及宏观缺陷的演变过程及结果
微观组织模拟及缺陷模拟：模拟材料成型过程中材料组织及微观尺寸缺陷的演变过程及结果
STL文件：通过对CAD实体模型或曲面模拟进行三角化离散得到的，相当于用一种全由小三角形面片构成的多面体近似原CAD模型（两种格式：ASC∏码，二进制格式）
有限差分法：用差商来代替微商，相应的就用微分方程变为差分方程
优点：对于具有规则的几何特征和均匀的材料特性问题，计算程序设计和计算过程简单，收敛性好
缺点：局限于规则的差分网格，差分只考虑了节点的作用，而忽略了把节点连接起来的单元
的贡献
有限元法包括：位移法，利用余位能进行变分的方法，用混合变分的混合法
有限元法：将连续体简化为有限个单元组成的离散化模型，然后对离散化模型求出数值解答
优点：1概念清晰，容易掌握，可以在不同水平上建立对该法的理解，可以用过直观的物理途径来学习和运用这一方法
2有较强的灵活性和实用性，应用范围广泛
3该法运用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用高速计算机所提供的方便
有限差分法：从微分方程出发，将求解区域经过离散化处理后，近似地用差商代替微商，将微分方程和边界条件的求解会接为求一个线性代数方程组从而得到数值解
有限元法缺点：由于泛函的局限性，是有限元法的推广应用中遇到的困难，有限元法的数值方程的建立比较复杂
单值性条件包括：
几何条件（物体的几何形状与尺度）
物理条件（材料的热物性，包括他们是否随温度而变化以及是否均匀等条件）
时间条件（为所研究的系统过程在开始所求物理量的分布值）
边界条件（所求系统在不同介质之间边界上的热交换条件，不同边界类型，不同热交换现象）
边界条件：
第一类边界条件：给出热传导系统不同介质之间边界上各点处的温度值
第二类边界条件：给出热传导系统不同介质之间便见上各点处的温度沿边界法相n的热流率第三类边界条件：给出热传导系统上各点处沿法线方向的热流率于边界温度的线性关系
热物性的途径：查阅手册，进行专门的实测，实验和数学相结合
热物性参数测试方案1.激光脉冲法2.数值反算法3.非稳态热线法（条件1.恒温状态下，热线的温度和试样温度一致的2.热线半径与长度之比很小）
后处理模块：采用真三维色彩图形显示各种计算结果（模拟结果的可视化）
衡量计算方法的好坏：1.解的精度2.求解方法的简易以及计算工作量的大小3.不同差分格式的稳定性
稳定性：如果初始条件和边界条件有微小变化，看最后的解是否也能保持在微小的变化范围内，若解的最后变化是微小的，则认为稳定。
否则不稳定
显示差分格式稳定性条件2/M1+2/M2小于等于1
隐式差分格式是无条件稳定的。
改进差分格式（中心差分）优点：
利用一些特殊的数值处理技巧，避免前述显示和隐式差分格式的不足。
以提高计算精度和保证稳定性，或增加差分方法对复杂铸件凝固数值解析的适应性和灵活性。
直接差分法：
实际上是从传热的物理本质和能量守恒定律出发，直接形成计算机可进行的差分方程式。
（优点：灵活处理几何形状较复杂的外形，对网格单元可定义不同热物性值，方便解多种材质系统问题）
直接差分法分：内节点法、外界点法。
二维系统中内节点法形成单元须满足条件：
1、单元的各顶点共圆，圆心就是单元的节点。
2、各单元节点尽量保证在单元重心附近。
外节点法：选取剖分的单元的顶点为节点，然后围绕节点按一定的要求再形成新的节点领域。
内节点法优点：建立差分方程比较简单、制作数据较方便，计算机时短，不会浪费计算内存。
缺点：网格剖分缺乏直观性，在边界上或不同材料用显式解法时要防止由于剖分的盲目性而造成计算的不稳定。
理想接触：不存在界面热阻。
界面上温度连续、热流连续。
潜热处理方法：
1、温度补偿法：纯金属或共晶合金在同意温度下凝固。
2、等效化热法：固熔合金在等温区间下的凝固。
3、热焓法：金属。
形函数：在插值公式中节点位置量前面的系数。
流场存在的三大类问题（解决方法）
1、计算迭代系数多、运算时间长（研究新计算方法、提高计算机硬件）
2、实验验证困难（研究新的验证方法）
3、模拟结果不够理想（找到跟好的计算方法）
问题原因：
1、在充型过程中存在自由表面多。
2、没有明显的求解压力差方法。
3、在高温密封环境下检测困难。
流动分类：
1、恒定流动、非恒定流动
2、层流、紊流
3、粘性流、牛顿流体。
七大累方程：
1、质量方程：
2、动量方程：
3、能量方程：
4、体积函数方程：
5、K方程：
6、ε方程：
7、P（k）方程：
1.后处理：将数值模拟计算中取得的大量繁杂数据转化为用户可以看得见并且看出工程含义，
可以用于指导工艺分析的图形.图像和过程动画处理技术，即模拟结果可视化处理。
2.插值函数：如果给定f(X)在【a，b】区间上互异的n+1个点的值（i=0.1.2…n）寻求＄（x）逼近f（x）且＄（xⅰ）=f（xⅰ）在其它处近似相等，称为插值函数
3.形函数：插值函数中节点函数前的系数只和单元形状节点位置空间大小，插值方法有关与节点函数无关，与插值函数具有相同的性质。
4.但值性条件：要得到数学方程的一些具体的计算结果，还必须具备能使这些物理量被单一确定下来的各种条件。
5.合金材质不同，潜热释放形式不同，处理的方法：
（1）温度补偿法.主要应用于纯净金属或共晶合金，都是同一温度上发生凝固
（2）等效比热法：用于某一温度区间内凝固
（3）热焓法：适用于任何金属材料，必须做出热焓曲线。