高一【数学(人教A版)】根式与分数指数幂-练习题
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课时训练
分析：先化简集合 ，再对所求式子化简成含绝对值的式，进而对 进行讨论去绝对值.
解答：原式 .
，
当 时，原式 ；
当 时，原式 .
∴原式
点评：本题考查一元二次不等式的求解、配方法、去绝对值的方法，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
故答案为：0或2(a－b).
点评：本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题.
12．
分析：由实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.
解答：由 有意义，可得 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
点评：本题主要考查了实数指数幂的运算的化简、求值，其中解答中熟记实数指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
21．（1）41；（2）
分析：（1）直接由分数指数幂的运算性质化简即可.
（2）先化简所求，再代入x，y求值.
解答：（1） =36+9-5+1=41；
（2） ，
将 代入得 .
点评：本题考查了分数指数幂的运算性质，根式的化简，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
22．（1） ；（2） .
分析：（1）利用根式的性质可得出结果；
对于A中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义；
对于B中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义；
对于C中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 可能没有意义；
对于D中式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义.
故选：C.
点评：本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的性质，求得各项式子有意义的条件是解答的关键，着重考查推理能力.
点评：本题考查同底数幂的乘法运算，适当变形是解题关键，属于基础题.
分数指数幂教案及练习
分数指数幂活动一：复习引入：1．整数指数幂的运算性质：===⋅n n m n m ab a a a )()()(),(),(Z n Z n m Z n m ∈∈∈2．根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n=. ②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n na =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a . 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.3．引例：当a ＞0时 ①5102552510)(a a a a===②=312a ③32333232)(a a a ==④=a 上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.活动二：建构数学：1.正数的正分数指数幂的意义n m n ma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)n mn ma a 1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)；(2)0的正分数指数幂等于0；(3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:)())....(3(),())....(2(),().....1(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.活动三：应用数学： 例1求值：4332132)8116(,,,,,,)41(,,,,,100,,,,,,8---. 解：=328 ===---43321)8116()41(100 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a a a a ,,,,,,,,,,,3232••(式中a ＞0) 解：252122122a a a a a a ==⋅=⋅+ ==⋅a a a a 323例3计算下列各式（式中字母都是正数）：.))(2();3()6)(2)(1(88341656131212132n m b a b a b a -÷-aab b ab a b a b a 44)]3()6(2[)3()6)(2)(1(0653121612132656131212132==-÷-⨯=-÷-++++88341))(2(n m 例4计算下列各式： 433225)12525)(2();0()1(÷->a a a a解：活动四：理解数学：（课本练习）1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)：32534351,,,--a aa a ． 解：551a a =； ====---32535353431a a a aa 2.用分数指数幂表示下列各式： (1)32x ； （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） ；（３）32)(n m -；（４）4)(n m -（ｍ＞ｎ）； (5)56q p ⋅（ｐ＞０）； (6)m m 3． 解：(1)3232x x =； (2)4343)()(b a b a +=+； (3)3232)()(n m n m -=-； 322)1(a a a •435)12525)(2(÷-【课后提升】1．计算：48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π． 解：原式48373)2764(1.01)925(32221+-++=- 1004837316910035=+-++=． 2．已知：32121=+-a a ，求21212323----a a aa ．3．化简)21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++=s4．若x ＞0，y ＞0且)5(3)(y x y y x x +=+，求y xy x y xy x +-++322值.5．已知：+-∈-=N n x n n ),55(2111，求n x x )1(2++的值．。
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
人教版高一根式和分数指数幂运算练习(含答案)
根式和分数指数幂例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围．解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1. 例2 化简：(1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3. (2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 求下列各式的值：(1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2. (2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．已知x 5＝6，则x 等于( )A. 6B.56 C ．－56 D ．±56 答案 B2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m 答案 C3．(42)4运算的结果是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定 答案 A4.3－8的值是________． 答案 －25.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________． 答案 0或2(a －b )解析(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤b ，2(a －b )，a >b .例1 用根式的形式表示下列各式(x >0)．25(1);x 53(2).x -解 (1) 25x ＝5x 2. (2)53x-＝13x 5.跟踪训练1 用根式表示2132x y -(x >0，y >0)．解221332121xy y x-=⋅=例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0.(1)5a 6； (2)13a 2； (3)4b 3a 2； (4)(－a )6.解65.a=23231.aa-==(3)4b3a2132133444242.bb a a aa--⎛⎫===⎪⎝⎭632.a a===跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂：(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x(5x2)2.解1776212(2)2;===313224();a a ====(3)2113333;b b b b=⋅=3591353511.()xx x-======例3计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.5233177(0.027)2;1259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解10.5233177(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)211511336622(2)(6)(3);a b a b a b-÷-解原式＝211115326236[2(6)(3)]44.a b ab a+-+-⨯÷－－＝＝(3)111222.m mm m--+++解1111122222111122222().m m m mm mm m m m-----+++==+++跟踪训练3(1)化简：130.256178;86-⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 原式＝1111131(1)()36623334424481(2)2(2)(3)2223112.-⨯-+⨯+⨯+⨯=+++=(2)化简：213211113625;1546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 212111132(1)()332261111362565(4)51546x y x yx y x y -⎛⎫------- ⎪⎝⎭--⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110662424.x y y ==(3)已知11225,x x -+=求x 2＋1x 的值．解 由11225,x x-+=两边同时平方得x ＋2＋x －1＝25，整理，得x ＋x －1＝23，则有x 2＋1x＝23.例4 已知a >0，b >0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值．解 方法一 ∵a >0，b >0，又a b ＝b a ，1119()()(9),a b a bbba b a b a a ∴=⇒=⇒=81829993a a a ∴=⇒=⇒=方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.跟踪训练4 已知67x ＝27,603y ＝81，求3x －4y 的值．解 由67x＝33，3673,x =得由603y＝81，46033,y=得433y x-∴＝60367＝9＝32，∴4y －3x ＝2，故3x －4y＝－2. 1．化简238的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B 2．1225-等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.15答案 D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝12()(0)x x ->B.6y 2＝13(0)y y <C ．340)xx -=>D ．130)xx -=≠答案 C4．(36a 9)4＝________.答案 a 25．计算122-⨯________．答案 16。
2014年新课标人教A版必修1数学2.1.1根式与分数指数幂随堂优化训练课件
(1) 3 (16)3 ； (2) 6 ( 3) 6 ； (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2. 解：(1) 3 (16)3 ＝－16. (2) 6 ( 3) 6 ＝|－3|＝3. (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π.
2.化简：
题型 3 分数指数幂与根式的互化 【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0)：
4 3 1 2 3 2 5 2
(1)5 ；
4 3
(2)2 ；
(3)a ；
(4)a .
思维突破：根据分数指数幂的意义计算.
解：(1)5 ＝ 3 54 . 2 (2)2 ＝ 2 .
1 2
(3)a ＝ a3. 1 (4)a ＝ 5. a
依此类推，若 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________. 答案：二次方根 立方根 四次方根
n 次方根
2.计算( 3)2，3 43 ，n (2) n .从特殊到一般， 思考( n a )n，n a n 的结果.
答案：( 3)2＝3， 3 43 ＝4， n (2) n
－2，n为奇数， ＝ 2，n为偶数.
a
－a
a≥0， (n 为大于 1 a＜0
2 －7 练习 2： 3 (7)3 ＝________ ； 4 (2) 4 ＝________.
3.分数指数幂的意义 正分数 指数幂
m a 规定： a ＝________(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)
m n
n
分 1 数 m n am 指 负分数 规定： a n ＝ 1m ＝____________( a>0，m， an 数 指数幂 * n ∈ N ，且 n>1) 幂 0 0 的正分数指数幂等于____________ ， 性质 没有意义 0的负分数指数幂____________
人教A版2019必修第一册 高一数学 4
4.1 指数考点1：n 次方根的概念问题1. a 的n 次方根定义：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.2. a 的n 次方根的表示x n＝a ∈⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.【例1】（1）8的立方根是________． （2）已知x 6＝2021，则x ＝________.（3）若4x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________． 【答案】(1)3 (2)±62 019 (3)[－3，＋∞) 【解答】(1)8的立方根是2. (2)因为x 6＝2 021，所以x ＝±62021.(3)要使4x ＋3有意义，则需要x ＋3≥0，即x ≥－3. 所以实数x 的取值范围是[－3，＋∞)． 【方法技巧】n 次方根的个数及符号的确定（1）n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； （2）n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号. 【针对训练】1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：∈6(－3)2n ；∈5a 2；∈6(－5)2n ＋1；∈9－a 2，其中无意义的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个【解析】A ∈中(－3)2n >0，所以6(－3)2n 有意义；∈中根指数为5有意义；∈中(－5)2n＋1<0，因此无意义；∈中根指数为9，有意义．选A考点2：利用根式的性质化简求值考点讲解1．根式的性质(n >1，且n ∈N *) ① n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. ②n 0＝0.③ 负数没有偶次方根． 【例2】 化简下列各式：（1）5(－2)5＋(5(－2))5；（2）6(－2)6＋(62)6；（3）4(x ＋2)4. 【解答】 (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2.－x －2，x <－2.【方法技巧】正确区分n a n 与(na )n（1）(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； （2）n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 【针对训练】2．若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围． 【解答】 ∈9a 2－6a ＋1＝(3a －1)2＝|3a －1|， 由|3a －1|＝3a －1可知3a －1≥0，∈a ≥13.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.考点3：根式与分数指数幂的互化∈ 正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ∈ 负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；∈ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．【例3】 将下列根式化成分数指数幂的形式：（1）a a (a >0)；（2）()32521x x；（3）32432--⎪⎪⎭⎫⎝⎛b(b >0)． 【解答】 (1)原式＝==⋅2321a a a 432123a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛(2)原式＝53533159359354325211111-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx xxx x x .(3)原式＝91324132324132b bb ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯---【方法技巧】根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．【针对训练】3．将下列根式与分数指数幂进行互化： （1）a 3·3a 2；（2）a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．【解答】 (1)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a 113. (2)a－4b 23ab 2＝a－4b 2·(ab 2)13＝a－4b 2a13b 23＝a －113b 83＝a －116b 43.考点4：利用分数指数幂的运算性质化简求解【例4】 化简求值：（1）()0132432131322256416027.0π+-++⎪⎭⎫⎝⎛--（2）()()()c b ab a ba 24132124-----÷-⋅（3）363342b ab a ⨯÷【解答】（1）原式=()()1576413124253.03223434212313=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）原式=()cac b a c b a ba331124-1)2(2)4(3241312-=-=÷---------+---（3）原式=34612361613123342b a b b a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷【方法技巧】 指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. （2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 【针对训练】4．（1）计算：212-04122532-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛－(0.01)0.5；（2）化简：313315383327----⋅÷⋅÷a a a a a a(a >0)．【解答】（1）原式=15161016111001944112121=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+（2）原式=661321233153832327a a a a a a aa ==⋅÷⋅÷⋅----考点5：有限制条件的根式的运算【例5】（1）若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________.（2）若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 【解答】（1）－1 [∈x <0，∈|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ， ∈x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.]（2）x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9 ＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.带条件根式的化简（1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.（2）有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.考点6：指数幂运算中的条件求值【例6】 已知42121=+-aa ，求下列各式的值：（1）a ＋a －1；（2）a 2＋a －2. 【解答】 (1)将42121=+-aa 两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.【方法技巧】 解决条件求值的思路（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．注意n a n 同(na )n 的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．3．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．4．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．一、选择题1．下列等式中成立的个数是( ) ∈(na )n＝a (n ∈N *且n >1)；∈na n＝a (n 为大于1的奇数)；∈na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于零的偶数)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】D 由n 次方根的定义可知∈∈∈均正确． 2．若a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[2,4)∈(4，＋∞) C ．(－∞，2)∈(2，＋∞)D ．(－∞，4)∈(4，＋∞)知识小结考点演练【解答】B 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，∈a ≥2且a ≠4.3．化简(x ＋3)2－3(x －3)3等于( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或－2x 或2x【解答】C 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D ．[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18【解答】C 对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a 3b 6)＝－a 7b 8，故A 正确；对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a 6－3b 9－6＝a 3b 3，故B 正确；对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 错误；对于D ，易知正确，故选C.5．已知xy ≠0且4x 2y 2＝－2xy ，则有( ) A ．xy <0 B ．xy >0 C ．x >0，y >0 D ．x <0，y >0【解答】A4x 2y 2＝－2xy ≥0，又xy ≠0，∈xy <0.6．若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n【解答】C 原式＝(m ＋n )2－(m －n )2＝|m ＋n |－|m －n |，∈n <m <0，∈m ＋n <0，m －n >0，∈原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .7．若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解答】D ∈(1－2x ) －34＝14(1－2x )3，∈1－2x >0，得x <12.8．已知ab ＝－5，则a －b a ＋b －ab 的值是( ) A ．2 5 B ．0 C ．－2 5D ．±25【解答】B 由题意知ab <0，a －ba ＋b －a b ＝a －ab a 2＋b －ab b 2＝a 5a 2＋b 5b 2＝a5|a |＋b 5|b |＝0，故选B. 二、填空题10．若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________． 【答案】－11或7【解析】因为81的平方根为±9，所以a ＝±9. 又因为－8的立方根为b ，所以b ＝－2，所以a ＋b ＝－11或a ＋b ＝7.11．若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 019＋y 2 020＝________． 【答案】0【解析】∈x －1≥0，4x ＋y ≥0，且x －1＋4x ＋y ＝0，∈⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. ∈x 2 019＋y 2 020＝－1+1＝0.12．已知4（a －1）4＋1＝a ，化简(a －1)2＋（1－a ）2＋3（1－a ）3＝________． 【答案】a －1【解析】由已知4（a －1）4＋1＝a ， 即|a －1|＝a －1，即a ≥1.所以原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 13．已知3a ＝2，3b ＝15，则32a －b ＝________．【答案】20【解析】32a －b ＝32a 3b ＝（3a ）23b ＝2215＝20. 14．已知2121--a a ＝5，则2121--aa ＝________．【答案】3【解析】因为22121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a ＝a ＋a －1＋2＝22121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a ＋4＝5＋4＝9.又因为3,021212121=+>+--aa a a 所以14．设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________． 【答案】27【解析】由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3， 所以x ＝3y ＋3.∈ 由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9，所以2y ＝x －9. ∈由∈∈联立方程组，解得x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.1．求下列各式的值：（1）432981⨯（2）63125.132⨯⨯（3）5.1213241-916449270001.0--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-+【解答】（1）原式=667413244121344333333==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+ （2）原式=()632322323326131213131-16123121=⨯=⨯=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+++（3）原式=()()()73142778910318731.0318731.03121-5.1221232341-4=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-+---⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2．化简：（1）n(x －π)n (x <π，n ∈N *)；（2）4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【解答】(1)∈x <π，∈x －π<0， 当n 为偶数时，nx －πn＝|x －π|＝π－x ；巩固提升当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∈a ≤12，∈1－2a ≥0，∈4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .3．设－2<x <2，求x 2－2x ＋1－x 2＋4x ＋4的值． 【解答】原式＝x －12－x ＋22＝|x －1|－|x ＋2|，∈－2<x <2， ∈当－2<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋2)＝－2x －1； 当1≤x <2时，原式＝x －1－(x ＋2)＝－3.∈原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，－2<x <1，－3，1≤x <2.4．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x >y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值．【解答】∈x ＋y ＝12，xy ＝9，∈(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝108. ∈x >y ，∈x －y ＝63，∈x 12－y 12x 12＋y 12＝(x 12－y 12)2(x 12＋y 12)(x 12－y 12)＝x ＋y －2x 12y 12x －y ＝x ＋y －2(xy )12x －y ＝12－2×91263＝663＝33.。
2.1.1 根式与分数指数幂
n 次方根
1.根式的概念
xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 (1)a 的 n 次方根：如果________
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
a R ________ ，a∈________ ；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为
n
(0，＋∞) ±n a ，a∈___________. ________
例1.计算下列各式：
(1)(0.064) ＋[(－2)3] ＋16
1 27 2 (2)－ 8 3 ＋(0.01) 2 .
1 3
4 3
－0.75
；
3 (2m2 n
3 5 10
) (m n3 )6
1 2
解：(1)原式＝(0.43) ＋(－2)－4＋(24)
1 1 1 3 3
3
1 1 1 2 3 6
＝2×3＝6.
1 2 2 1 2 1 2 2
(3)原式＝
(m n ) (m n ) (m n )(m n )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2m＋n ＝ . m－n
式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.
3.计算： (2m2 n ) (m n3 )6 (m, n N ) 解：原式=(2m2 n )
10
3 5 10
3 5 10
1 2
(m n3 )6
6
1 2
人教A版高中数学必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)
(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
3.若x4=a， 则 x 叫做 a 的 四次方根（a≥0 )
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的五 次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结 果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数 指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌 握分数指数幂和根式之间的互化；分数指 数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等 的能力。
(1) 整数指数幂的概念：