离散数学
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
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满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
离散数学 经典教材
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，它涉及到数学中的许多概念和方法。
以下是一些离散数学的经典教材：
1.《离散数学》（作者：Kozen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常丰富，而且语言通俗易懂，是学习离散数学的好教材。
2.《离散数学及其应用》（作者：Rosen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
3.《离散数学教程》（作者：Kleitman）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
4.《离散数学精讲》（作者：Sipser）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
以上是一些离散数学的经典教材，每本书都有其独特的风格和特点，读者可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教材。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
contingent离散数学
contingent离散数学
“contingent离散数学”是指与离散数学相关的概念或内容。
离散数学（Discrete mathematics）是研究离散对象数学结构及其性质的有关数学分支的总称，以处理离散对象为特征，研究内容通常包括（但不限于）图论、集合论、组合数学、数理逻辑，以及各种代数结构等可以离散化或者枚举计数的数学对象。
在计算机科学与技术领域，离散数学具有广泛的应用，同时也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，人们可以掌握处理离散结构的描述工具和方法。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学 概念
离散数学概念离散数学是一门研究离散结构的学科，其中的离散结构可以表示为离散对象或离散事件。
它是计算机科学的基础学科之一，在算法设计和系统分析中有着广泛的应用和深远的影响。
离散数学中的概念包括集合、关系、函数、图论、计数等。
1.集合集合是离散数学中最基础、最重要的概念之一。
集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用括号{}括起来表示。
例如，一个集合A包含了元素a、b、c，则A={a,b,c}。
集合的基本运算包括：并集、交集、补集和差集。
并集指的是包含两个集合中所有元素的一个新集合，交集指的是两个集合中共有的元素构成的一个集合，补集则是指一个集合相对于另一个集合的所有不包含的元素构成的集合，差集则是指一个集合中除去另一个集合中共有的元素后所剩余的元素所构成的集合。
2.关系关系是指任意两个元素之间的一种有序的二元关系，用箭头表示，例如(x,y)表示x与y之间有一种特定关系。
关系可以是等于（=）、大于（>）、小于（<）等。
根据关系的定义，关系可以分为反对称、对称、传递等几种类型。
其中反对称关系是指如果(x,y) 且(y,x)，则x=y；对称关系是指如果(x,y) ，则(y,x)；而传递关系则是指如果(x,y)且(y,z)，则(x,z)。
3.函数函数是指一个集合中的每一个元素都对应于另一个集合中的唯一元素的一种映射关系。
函数通常用f(x)来表示，其中f为函数名称，x为变量名称。
例如，用f(x)=x^2表示一个函数，当x为2时，f(x)的值为4。
函数的性质包括：单调性、奇偶性、周期性等。
其中单调性是指函数在定义域内的增减情况；奇偶性则是指函数与自身的中心对称关系；周期性则是指函数图像的重复性。
4.图论图论是离散数学中最为重要和实用的一部分，它用数学语言对各种问题进行分析和解决，例如网络连接问题、旅行商问题等。
图由点和边组成，点表示对象，边表示对象之间的关系。
常用的图有有向图和无向图，有向图是指图中的边有一个方向，无向图则是指图中的边没有方向。
离散数学 格
定义（子格）
定义： 设（L，≤）是格，S L， 如果（S，≤）是格， 则称（S，≤）是格（L，≤）的子格。
格的性质：
1、格满足幂等律: a×a=a，a+a=a；Th7.3 2、格的子代数也是格；Th7.4 3、格满足对偶律； 4、代数格必为偏序格。
注:
任取L中元素a，由×，+满足吸收律知， a×（a+a）=a， a +（a×a）=a。 故
a×a=a×（a+（a×a））， a+a=a+（a×（a +a））。 又由×，+ 满足吸收律知，上面两式的等式右 端都等于a。因此， a×a = a， a + a = a。 即， 运算亦满足等幂律。
定义（对偶式）
定义：在格（L，×，+ ）的任一公式中，出 现×，+处分别用+，×替换后所得到的公 式称为该公式的对偶式。 如: (1) a+b+c 与 a×b×c (2) a×(b+c)与 a+(b×c)
对偶定理：
Th: 格中如公式A 为定理，则A的对偶式也是 定理。 Th: 代数格与偏序格同构。
定义（偏序格） 定义： 给出一个偏序集（L，≤）, 如果对于任意a，b∈L，L的子集{a，b} 在L中都有一个下确界(记为inf{a，b}) 和一个上确界（记为sup{a，b}），则 称（L，≤）为一个格。
例. S是任意一个集合，ρ(S)是S的幂集合， 则，偏序集(ρ(S)，)是一个格，记 (ρ(S)，∪，∩)。 因为对A,B∈ρ (S)， sup{A,B}=A∪B∈ρ (S),inf{A,B}=A∩B∈ρ (S) 例 . 设 Z+ 是所有正整数集合， D 是 Z + 中的“整除 关系”，对任意a，b∈Z+，aDb当且仅当a整除 b，于是，（Z+，D）是一个格。 sup{a，b}=lcm(a，b)(最小公倍数)∈Z+， inf{a,b}= gcd(a，b)（最大公因数）∈Z+ 。 注：不是所有的偏序集都是格。
推理 离散数学
推理离散数学
推理和离散数学是两个不同的概念，但它们之间存在一定的联系。
推理是一种逻辑过程，通过已知的事实或假设来得出新的结论。
在推理过程中，需要使用一些逻辑推理规则和方法，如演绎推理、归纳推理、类比推理等。
推理在数学、哲学、法律、医学等领域都有广泛的应用。
离散数学则是一门研究离散结构和离散量的数学学科，它主要研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）及其相互之间的关系和性质。
离散数学在现代数学、计算机科学、信息科学等领域都有重要的应用。
在离散数学中，逻辑推理是一个重要的工具，用于证明离散对象的性质和定理。
例如，在集合论中，可以使用逻辑推理来证明集合的一些基本性质，如并集、交集、补集等的性质。
在图论中，可以使用逻辑推理来证明图的一些基本性质，如连通性、欧拉路径等。
因此，可以说推理和离散数学之间存在一定的联系，推理是离散数学中的一个重要工具和方法，而离散数学则是推理在数学领域的一个重要应用领域。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳
本文档旨在归纳和总结离散数学中的主要知识点。
离散数学是
一门关于离散结构和离散对象的数学学科，主要用于计算机科学、
信息技术和其他相关领域。
以下是一些常见的离散数学知识点：
1. 集合论：集合的定义、运算、子集、并集、交集和差集等。
2. 命题逻辑：命题、命题的合取、析取和否定、简介真值表和
命题等价性。
3. 谓词逻辑：量词、谓词、论域、量化和解释等。
4. 图论：图的定义、图的表示方法、连通性、树、图的着色问
题等。
5. 计数和组合：排列、组合、二项式系数、鸽笼原理等。
6. 关系论：关系的定义、关系的性质、等价关系和偏序关系等。
7. 有限自动机：状态、转移函数、状态转移图和正则表达式等。
8. 布尔代数：布尔运算、逻辑电路的设计和卡诺图等。
以上只是离散数学中的一部分知识点，这些知识点在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。
深入理解和掌握离散数学的知识对于解决实际问题和进行科学研究具有重要意义。
希望本文档能够帮助您系统地了解离散数学的主要知识点，为您的研究和研究提供参考和指导。
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第一部分：1.命题/谓词逻辑的推理2.求析取合取范式3.求给定解释下公式的值第二部分：1.关系的性质/判断，证明2.偏序关系（哈斯图），极大值，极小值，上界下界3.证明等价关系第三部分：1.证明半群，独异点，群2.子群3.同态映射4.找特异元素第四部分：1.点和边的关系2.邻接矩阵，可选矩阵3.最优二叉树（哈夫曼的算法）略过不考的部分：第二部分：第八章8.3节第九章全部第三部分：第十一章11.7节第十三章全部第四部分：第十五单全部第十七单全部第十八单全部自己通过网络及课本整理的，希望能帮到大家。
内容在下面。
一、命题：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.1. 命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；2. 主析取(合取)范式法判断命题公式类型，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.3.定理1设Φ(A)是含命题公式A的命题，Φ(B)是用命题公式B置换Φ(A)中的A之后得到的命题公式. 如果A⇔B，则Φ(A)⇔Φ(B).4.求析取(合取)范式的步骤：①将公式中的联结词都化成⌝，∧，∨(即消去个数中的联结词→，↔，⎺∨)；②将否定联结词⌝消去或移到各命题变项之前；③利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式5.求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤：①求公式A的析取(合取)范式；②“消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P∧⌝P(P∨⌝P)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P∧P(P∨P)用P替代，m i∨m i(M i∧M i)用m i(M i)替代. ③若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项P i或⌝P i，则添加P i∨⌝P i(P i∧⌝P i)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；④将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏)表示.蕴含式推理6.求公式(p∧q)∨r的主析取范式及主合取范式。
(p∧q)∨r<=> (p∧q∧(r∨┐r))∨((p∨┐p)∧(q∨┐q)∧r)<=> (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)<=> (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)<=>(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)<=>m1∨m3∨m5∨m6∨m7此即所求的主析取范式。
另外(p∧q)∨r<=> (p∨r)∧(q∨r)<=> (p∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r)<=> (p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r)<=> (p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r) <=>M0∧M2∧M4最后一式即为所求的主合取范式。
二、谓词逻辑：量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”1. 在谓词公式∀xA和∃xA中，x是指导变元，A是相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域A中，x的所有出现都是约束出现，即x是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效。
2.前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2…QkxkB，称A为前束范式。
其中Q1，Q2，…，Q k只能是∀或∃，x1,x2,…,x k是个体变元，B是不含量词的谓词公式.3.引入消去和附加量词的规则，有US规则(全称量词消去规则)，UG规则(全称量词附加规则)，ES规则(存在量词消去规则)，EG规则(存在量词附加规则)三、集合：集合的元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“∈”或不属于“∉”关系.1.集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
2.笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
3.集合的运算集合A和B的并A⋃B，由集合A和B的所有元素组成的集合.集合A和B的交A⋂B，由集合A和B的公共元素组成的集合.集合A的补集~A，属于E但不属于集合A的元素组成的集合，~A. 补集总相对于一个全集. 集合A与B的差集A－B，由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合..集合A与B的对称差A⊕B，A⊕B＝(A－B)⋃(B－A)或A⊕B＝）A⋃B〕－（A⋂B）4.集合运算律幂等律：A∪A=A ；A∩A=A 零律：A∪E =A ；A∩φ= φ交换律：A∪B=B∪A ；A∩B=B∩A 同一律：A∪φ =A ；A∩E=A结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)排中律：A∪~A=E 矛盾律：A∩~A =φ吸收律：A∩(A∪B)=A；A∪(A∩B)=A德摩根定律：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)；A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)~(B∪C)= ~B∩~C；~(B∩C)= ~B∪~C；~φ=E；~E=φ双重否定律：~（~A)=A5.集合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导.四、二元关系与函数：如果一个集合R 为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R 是一个二元关系。
1. 二元关系，是一个有序对集合，设集合A ,B ，，记作xRy ；二元关系的定义域：Dom(R ) ⊆A ； 二元关系的值域：Ran(R ) ⊆B2. 关系的表示方法：集合表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.列举法，如R ＝{<1,1>,<1,2>}；描述法：如关系矩阵： R ⊆A ×B ，R 的矩阵关系图： R 是集合上的二元关系，若<a I ,b j >∈R ，由结点a I 画有向弧到b j 构成的图形.3. 特殊关系：（1）、空关系：Φ （2）全域关系：EA={<x, y> | x ∈A ∧ y ∈A }= A ×A（3）恒等关系：IA={<x, x> | x ∈A}（4）小于等于关系：LA={<x, y>| x, y ∈A ∧x ≤y ∈A },A ⊆ R（5）整除关系： R ⊆ ={<x, y>| x ，y ∈ψ ∧ x ⊆ y} ,ψ是集合族4. 二元关系的运算：设R 是二元关系，（1）R 中所有有序对的第一元素构成的集合称为R 的定义域dom R = { x | ∃y （<x , y>∈R ）}（2）R 中所有有序对的第二元素构成的集合称为R 的值域ranR = {y | ∃x （<x , y>∈R ）}（3）R 的定义域和值域的并集称为R 的域fld R = dom R ∪ran R5. 二元关系的运算：设F,G,H 是任意的关系，（1）（F -¹) -¹= F （2）dom(F -¹)=ranF ；ran (F -¹)=domF（3）（ F ◦ G ) ◦ H = F ◦(G ◦ H ) （4）（ F ◦ G ) - ¹ =G -¹ ◦ F -¹设R 是A 上的关系（幂运算）（1）R º = {<x ，x>| x ∈A} （2）R ^n = R ^(n-1) ◦ R ，n ≥1 （3）R ◦ R º = R º ◦ R = R6. 系的性质自反性；矩阵的主对角线元素全为1；关系图的每个结点都有自回路.反自反性；矩阵的主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路.对称性 若，则；矩阵是对称矩阵，即；关系图中有向弧成对出现,方向相反. 反对称性 若且，则x =y 或若，则；矩阵不出现对称元素.传递性 若且，则；在关系图中，有从a 到b 的弧，有从b 到c 的弧，则有从a 到c 的弧. 判断传递性较为困难.},{B y A x y x R ∈∧∈><=},{B y A x y x R ∈∧∈><=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(R x x A x >∈<∈∀,,R M R x x A x >∉<∈∀,,R M R y x >∈<,R x y >∈<,R M ji ij r r =R y x >∈<,R x y >∈<,y x R y x ≠>∈<,,R x y >∉<,R M R b a >∈<,R c b >∈<,R c a >∈<,7. R 是集合A 上的二元关系，(1)R 是自反的⇔I A ⊆R ; (2)R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅;(3)R 是对称的 ⇔R ＝R －1； (4)R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ；(5)R 是传递的⇔R •R ⊆R .8. 关系的闭包：设R 是非空集合A 上的二元关系，在关系R 中，添加最少的有序对，新关系用R '表示，使得R '具有关系的自反(对称、传递)性质，R '就是R 的自反(对称、传递)闭包，记作r(R) ，s(R)和t(R)。
闭包的求法：定理12：；定理13：；定理14的推论：9. 等价关系和偏序关系 极大(小)元、最大(小)元问题：等价关系：如果集合A 上的二元关系R 是自反的，对称的和传递的，那么称R 是等价关系。
设R 是A 上的等价关系，x , y 是A 的任意元素，记作x ～y 。
等价类：设R 是A 上的等价关系，对任意的∀x ∈A ，令[x ]R={ y | y ∈A ∧ x R y }，称[x ]R 为x 关于R 的等价类。