数值传热学习题答案(汇总版)

e
(uu) −(uu) dydt =
n t + t s e w t
e
w
u u 2[ y n − s ]dxdt y
将
(uu )e = (uu )E +(uu) P
2
, (uu )w =
(uu )W +(uu )P ,
第一章： 习题 1－7
解：由于对称性，取半个通道作为求解区域。 常物性不可压缩流体，二维层流、稳态对流换热的控制方程组为： 质量守恒方程
u v + =0 x y
动量守恒方程
2u 2u (uu ) (vu ) 1 p + =− 2v (uv) (vv) 1 p + =− + + 2 2 x y y y x
2krP kr k kr k TP = P + TE + P − TW + rP rS r r 2 r 2
令
1 kr ， rP 1 krw ， a P = a E + aW ， b r aE = k P + = e aW = k − = r 2 r r 2 r
t t t t (uu)tE − (uu)W uN − 2u P + uS yt = 2 xt 2 y
整理得离散方程为：
t (uu)tE − (uu)W
4x
t t t uN + uS − 2uP − =0 y 2
2—3：
u 1 (u 2 ) 2u 解：由 u = x = 2 x = y 2 得：
v = 0,
u T = = 0； y y
出口截面
u v T = 0, = 0, = 0 ； 或者写：采用数值传热学的处理方法。 x x x
y T
u(y) T
O
x
h
进口
图 1-10 习题 1-7 的图示 本题如果采用整个通道作为计算区域，应该扣除 0.5 分
出口
第二章： 2-3. 解：由 u


u 随 x 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿 x 方向不变， y
2
t +t
t

e w
u u t +t u u − dtdx = 2 x − dt t y y y n y s n s
n n n n TE −TW TE −2TPn + TW k + f (x ) +S=0 整理得： 2x x 2
4kT P= 2k + xf ( x)T E+2k − xf ( x)T W +2x 2 S
− 2k 时， a E 会成为负值， x 2k 当 f(x）> 时， aW 会成为负值。 x
选定
u 随 t 而变化的规律，这里采用阶梯显式，则 y
t +t
u t u t u u 2x − dt = 2 − t x t y n y s y n y s 进一步选取 u 随 x,y 分段线性变化，则
dT dr
d P (x )w +
T dr 2
2
P
(x )2 w +
2!
2-4-6
dT d 2T 根据式（2-4-5） 、式（2-4-6）可以计算出 ， dr dr 2
dT (x )w TE − (x )e − (x )w TP − (x )e TW = dr (x )w (x )e 2 + (x )e (x )w 2
2 2 2 2


2-4-7
d 2T (x )w TE − (x )e +(x )w TP + (x )e TW = dr 2 (x )w 2 (x )e + (x )e 2 (x )w 2 2
2-4-8
将式（2-4-7） 、式（2-4-8）代入上面的非守恒型方程，整理成（并考虑到常物性、均分网 格） ：
2-7-2
T 2T (3y ) 3T (3y ) 4T (3y ) (3y ) + 2 Ti , 4 = Ti ,1 + + 3 + 4 + y 2! 3! 4! y y y
2 3 4
2-7-4
（2-7-1）×18， （2-7-2）×（-9） ， （2-7-3）×2 然后相加，验证发现，能够将 Taylor 展开 式中 o(y ) ， o(y ) 两项消掉，而保留了
2u u 1 (uu ) = =η 2 得： y x 2 x
2u (uu) 其守恒形式为： =2η 2 y x
对方程两端在 t 时间间隔内对其控制容积积分得：

t
t + t t
t + t
n
s
t + t e n 2u (uu) = 2 dxdydt t w s y 2 dydxdt w x
将式（2-4-1-1） 、式（2-4-1-2）代入式（2-4-1）可以得到：
2-4-1-2
rk dr = (T r r dr dr x
e w e
1 d
dT
rk
E
rk − TP ) − (TP − TW ) x w
2-4-2
d 2T k dT + + S = 0 的离散方程。 dr 2 r dr
将点 TE 对点 TP 作 Taylor 展开，有：
dT TE = TP + dr
d 2T P (x )e + dr 2
P
(x )e2 +
2!
2-4-5
再将点 TW 对点 TP 作 Taylor 展开，有：
TW = TP −
能量守恒方程 边界条件：
2T 2T (uT ) (vT ) + = a x 2 + y 2 x y
进口截面 u = u ( y ), Tin = c, v = 0 ； 平板通道上（下）壁面 u = v = 0,
T = 0； y
中心线上对称条件：
rk dr = rk r r dr dr dr
w
e
1 d
dT

dT
dT − rk dr w e
2-4-1
dT TE − TP = dr e ( r )e
2-4-1-1
TP − TW dT = dr w ( r )w
2 2 uE + uP u = ， 2 2 e
2 2 uW + uP u = 2 2 w
t u ut N − uP y = (y ) ， n n
t
t ut u p − uS y = (y ) 。 s s
t
(y ) n = (y ) s = y
选定 u 2 随 y 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿 y 方向不变，则

t
t +t
s n
2 (ue2 − uw )dtdy =y
t +t
t
2 (ue2 − uw )dt
选定 u 2 随 t 而变化的规律，这里采用阶梯式显式，则
y
选定 则
t +t
t
t t 2 (ue2 − uw )dt = ( u 2 ) − ( u 2 ) t y e w
(u 2 ) 2u = 2 原方程的守恒形式为： x y 2
对方程两端在 t 时间间隔内对其控制容积积分，把可积的部分积出后得：

t
t +t
s n
2 (ue2 − uw )dtdy = 2 t
t +t

e w
u u − dtdx y n y s
带入得：
2 2 t t t uE − uW uN − 2uP + uS t y = 2 t x 2 y
整理得离散方程为 ：
2 2 t t t uE − uW uN − 2uP + uS = 4x (y)2
习题 2－4 [解]
1．先用控制容积积分法得出离散方程： 以 r 乘式
1 d dT rk + S = 0 ，并对图 2-2 所示的控制容积 P 作积分： r dr dr

e
w
rSdr = S
2 re2 − rw = SrP r 2
2-4-3
根据式（2-4-2） 、式（2-4-3）可以得到：
rk rk rk rk + TP = TE + T W + SrP r x e x w x e x w
2
u u N −u P y n = (y ) ， n
(y ) n = (y ) s = y
u u P −u S y s = (y ) 。 s
带入，得：

t + t
t
t + t u − 2uP + uS (uu) E − (uu)W ydt = 2[ N ]xdt t 2 y
当 f(x）< 成为负值会使 TP 的计算结果偏离实际值。 2—6：
解：查表 2-1，可得各阶导数的中心差分表达式如下：
n TEn − 2TPn + TW d 2T ( 2 ) P,n = dx x 2