数值传热学部分习题答案

习题4－2

一维稳态导热问题的控制方程：

022=+∂∂S x

T

λ 依据本题给定条件，对节点2

节点3采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式，最后得到各节点的离散方程： 节点1： 1001=T

节点2： 1505105321-=+-T T T 节点3：

75432=+-T T

求解结果：

852=T ，403=T

对整个控制容积作能量平衡，有：

02150)4020(15)(3=⨯--⨯=∆+-=∆+x S T T h x S q f f B

即：计算区域总体守恒要求满足

习题4－5

在4－2习题中，如果25

.03)(10f T T h -⨯=，则各节点离散方程如下：

节点1： 1001=T

节点2： 1505105321-=+-T T T

节点3：

25.03325.032)20(4015])20(21[-⨯+=-⨯++-T T T T

对于节点3中的相关项作局部线性化处理，然后迭代计算； 求解结果：

818.822=T ，635.353=T （迭代精度为10-4）

迭代计算的Matlab 程序如下： x=30; x1=20;

while abs(x1-x)>0.0001

a=[1 0 0;5 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)^(0.25)]; b=[100;-150; 15+40*(x-20)^(0.25)]; t=a^(-1)*b; x1=x; x=t(3,1);

end

tcal=t

习题4-12的Matlab程序

%代数方程形式A i T i=C i T i+1+B i T i-1+D i

mdim=10;%计算的节点数

x=linspace(1,3,mdim);%生成A、C、B、T数据的基数；

A=cos(x);%TDMA的主对角元素

B=sin(x);%TDMA的下对角线元素

C=cos(x)+exp(x); %TDMA的上对角线元素

T=exp(x).*cos(x); %温度数据

%由A、B、C构成TDMA

coematrix=eye(mdim,mdim);

for n=1:mdim

coematrix(n,n)=A(1,n);

if n>=2

coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n);

end

if n

coematrix(n,n+1)=-1*C(1,n);

end

end

%计算D矢量

D=(coematrix*T')';

%由已知的A、B、C、D用TDMA方法求解T

%消元

P(1,1)=C(1,1)/A(1,1);

Q(1,1)=D(1,1)/A(1,1);

for n=2:mdim

P(1,n)=C(1,n)/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1));

Q(1,n)=(D(1,n)+B(1,n)*Q(1,n-1))/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1));

end

%回迭

Tcal(1,mdim)=Q(1,mdim);

for n=(mdim-1):-1:1

Tcal(1,n)=P(1,n)*Tcal(1,n+1)+Q(1,n);

end

Tcom=[T;Tcal];

%绘图比较给定T值和计算T值

plot(Tcal,'r*')

hold on

plot(T)

结果比较如下，由比较可知两者值非常切合（在小数点后8位之后才有区别）：

习题4-14

充分发展区的温度控制方程如下：

)(1r

T

r r r x T u

c p ∂∂∂∂=∂∂λρ 对于三种无量纲定义w b w T T T T --=

Θ、∞∞

--=ΘT T T T w 、w w T T T T --=Θ∞进行分析如下

1）由w

b w

T T T T --=

Θ得：

w w b T T T T +Θ-=)(

由T 可得：

x T x T x T T T x T w b w w b ∂∂Θ-+∂∂Θ=∂+Θ-∂=∂∂)1(]

)[(

r

T r T T r T T T r T w w b w w b ∂∂Θ-+∂Θ∂-=∂+Θ-∂=∂∂)1()(])[( 由b T 与r 无关、Θ与x 无关以及

x T ∂∂、r

T

∂∂的表达式可知，除了w T 均匀的情况外，该无量纲温度定义在一般情况下是不能用分离变量法的； 2）由∞

∞

--=

ΘT T T T w 得： ∞∞+Θ-=T T T T w )(

由T 可得：

x

T x T T T x T w w ∂∂Θ=∂+Θ-∂=∂∂∞∞]

)[(

r

T r T T r T T T r T w w w ∂∂Θ+∂Θ∂-=∂+Θ-∂=∂∂∞∞∞)(])[( 由b T 与r 无关、Θ与x 无关以及

x T ∂∂、r

T

∂∂的表达式可知，在常见的四种边界条件中除了轴向及周向均匀热流const q w =的情况外，有0=∂∂r

T w

，则该无量纲温度定义是可以用分离变量法的； 3）由w

w

T T T T --=

Θ∞得： w w T T T T +Θ-=∞)(

由T 可得：

x

T x T T T x T w w w ∂∂Θ-=∂+Θ-∂=∂∂∞)1(]

)[(