【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末优化总结课件 新人教A版必修4
高中数学第三章三角恒等变换章末整合提升课件a必修4a高一必修4数学课件
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
数 学 必 修
＝sin2α·sin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－12
④
· 人 教 A
＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12
版
12/9/2021
第十页，共三十五页。
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－12
教
A 版
f(1x2/)9/的2021值域．
第十六页，共三十五页。
[解析] (1)∵a＝(1，－ 3)，b＝(sinx，cosx)，
∴f(x)＝a·b＝sinx－ 3cosx，
∵f(θ)＝0，即 sinθ－ 3cosθ＝0，
∴tanθ＝ 3，
∴2cos22s2θi－nθsi＋nθπ4－ 1＝csionsθθ＋－csoinsθθ
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换变和差与积互化半和积角差化的化和正积差余弦、正切
④ · 人 教
辅助角公式：asinx＋bcosx＝
a2＋b2·sinx＋φ，其中tanφ＝ba
A
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数
学
必
修
④
·
人
教
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专题突破
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专题(zhuāntí)一 ⇨三角函数的求值
学
必 修 ④ ·
cos2α·cos2β＝14＋14＝12．
人
教
A
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专题(zhuāntí)三 ⇨三角恒等式的证明
三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的 证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点， 找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名(tóngmíng)，寻找证明的突破 口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系， 灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修
2
sin
2
2
cos2 sin2
=2
2=
cos
=右边.
1 2cos sin 1 sin
22
所以 tan( π - )= cos . 4 2 1 sin
题型四 易错辨析 [例 4] 化简: 1 sin - 1 sin (θ∈(0,π)).
错解:原式= sin2 cos2 +2sin cos - sin2 cos2 2sin cos
2
= 1 (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) 2
=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
证明:(2)法一 左边=cos2θ(1- sin2 ) cos2
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ(1- sin2 )=cos2θ(1-tan2θ)=左边.
1 tan2 π
解:原式= 12 =-2·
12 =-2×
1
tan π
2 tan π
tan π
12
12
6
= 2 =-2 3 . 3 3
题型二 利用二倍角公式给值求值
[例 2] 已知 sin( π -x)= 5 ,0<x< π ,求 cos2x 的值.
4 13
4
cos
π 4
x
解:因为 0<x< π ,所以 π -x∈(0, π ).
cos 2
名师点津
对二倍角公式的理解 (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
高中数学第三章三角恒等变换章末归纳整合课件a必修4a高一必修4数学课件
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第九页，共三十一页。
【例 2】 若函数 f(x)＝tan2x－atan x|x|≤π4的最小值为－6， 则实数 a 的值为________．
【分析】由角的范围可得 tan x 的范围，由二次函数的知识 分类讨论可得．
【解析】∵|x|≤π4，设 m＝tan x∈[－1,1]， ∴y＝tan2x－atan x＝m2－am，m∈[－1,1]． 当a2＜－1，即 a＜－2 时，函数 y＝m2－am 在 m∈[－1,1] 上单12/调9/202递1 增，
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4．(2018 年江苏)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)
＝－
5 5.
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
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【解析】(1)由csoins αα＝43，
结合 α 为锐角，解得
sin2α＋cos2α＝1，
sin α＝45，
cos
α＝35，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－275.
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(2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2245，则 tan 2α＝csoins 22αα＝ －274.
∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，α)， ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝255， 则 tan(α＋β)α＋β)]＝1t＋ant2anα－2αttaannαα＋＋ββ＝－121.
令 2x＋π3＝t，则 t∈π3，43π，函数 y＝h(t)＝2sin t 与直线 y ＝k 在π3，43π上有两个交点，要使两个函数图象有两个交点， 则 3≤k＜2.
高中数学 第三章 三角恒等变换章末总结课件 新人教A版必修4
证明 3：左－右 cosx sin x2 1 tan x
cos2 x sin2 x 1 tan x
cos x sin x 1 tan x cos x sin x 1 tan x
1 tan x 1 tan x 0 1 tan x 1 tan x
∴左＝右
a
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5
(二) 要点概述
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6
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7
四、典型题归纳： （一）求值题
例
1.
已知
4
，
34
，
0，
4
，且 cos
4
3 5
，
sin
5 4
12 13
，求 cos
。
解：由已知
4
，
3 4
，得
3 4
，
4
∴
4
2
，0
又 cos
4
3 5
，∴
sin
4
4 5
2 2
2 2
2
2 cos
2
cos sin 2 cos2
2 2
2
cos
2
cos·cos
2
cos
2
∵ 2，∴ ，∴ cos 0
22
2
cos · cos
∴原式
2
cos
cos
2
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11
（三）证明题
例 3.
求证： 1 2 sin x cos x cos2 x sin2 x
2
2
降幂公式 cos2 cos 2 1 ， sin2 1 cos 2
2
2
⑶
tan
优化方案高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数第2课时半角公式及其应用新人教A版必修4
第2课时 半角公式及其应用, )1．问题导航(1)如何理解“半角”？(2)利用半角公式求值时，如何确定符号？(3)等式sin 15°＝± 1－cos 30°2成立吗？2．例题导读P 125例5.通过此例学习，学会运用二倍角公式推导半角公 式，掌握半角公式．试一试：教材P 128习题3－3 A 组T 9你会吗？P 127例6，例7.通过此两例学习，学会利用半角公式解决给 值求值问题．试一试：教材P 127练习2T 1你会吗？1＋cos αsin1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos α2＝1＋cos α2.( )(2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝ 1－cos α1＋cos α.( )解析：(1)错误．只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2. (2)正确．当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立． (3)错误．当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)正确．若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝ 1－cos α1＋cos α成立．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为( )A.66B ．－66C.306 D ．－306 解析：选D.因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.故cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋232＝－56＝－306. 3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.原式＝1＋cos α2＝|cos α2|， 因为－3π<α<－52π，所以－3π2<α2<－54π.所以cos α2<0.因此原式＝－cos α2.4．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________(用a 表示)． 解析：sin 11°>0，cos 11°>0，所以sin 11°＝ 1－a 2，cos 11°＝ 1＋a2.答案：1－a21＋a2对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解．给值求值已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2的值．(链接教材P 127例6，例7)[解] 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365，又因为π2<α<π，0<β<π2，所以0<α－β<π，所以0<α－β2<π2，所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565.把本例中的条件“α为钝角”改为“α为锐角”，求cos α－β2的值．解：因为α为锐角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝35，cos β＝513，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×513＋45×1213＝6365，又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2，所以－π4<α－β2<π4，所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋63652＝86565. 方法归纳利用半角公式求值的思路(1)看角．若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围．由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cosα2计算．(4)下结论．结合(2)求值．1．(1)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2，cos θ2，tan θ2的值分别为( )A ．－255，55，2B ．－255，－55，2C.255，－55，2 D ．－255，－55，－2(2)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B ．12C ．2D ．－2(3)若1－cos αsin α＝2，则cos α－sin α＝________.解析：(1)因为|cos θ|＝35，5π2<θ<3π，所以cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2.由cos θ＝1－2sin 2θ2，得sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1，所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，所以tan θ2＝sinθ2cosθ2＝2.(2)因为α是第三象限角，cos α＝－45，所以sin α＝－35，1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α1＋cos α1－sin α1＋cos α＝1＋cos α＋sin α1＋cos α1＋cos α－sin α1＋cos α＝1＋cos α＋sin α1＋cos α－sin α＝1－45－351－45＋35＝－2545＝－12.(3)1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α22sin α2cosα2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝sinα2cosα2＝tan α2＝2.所以cos α－sin α＝cos 2α2－sin 2α2－2cos α2sinα2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α2－2tanα21＋tan2α2＝1－22－2×21＋22＝－75. 答案：(1)B (2)A(3)－75利用半角公式化简求值(1)计算：tan π8＋1tan π12.(2)化简（1－sin α－cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．(链接教材P 128习题3－3 A 组T 1)[解] (1)法一：tan π8＋1tanπ12＝1－cosπ41＋cosπ4＋1＋cosπ61－cosπ6 ＝1－221＋22＋1＋321－32＝2－22＋2＋2＋32－3＝2－22＋2＋3＝1＋2＋ 3.法二：tan π8＋1tanπ12 ＝1－cos π4sin π4＋1＋cos π6sinπ6＝1－2222＋1＋3212＝2－22＋2＋3＝1＋2＋ 3. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22|sin α2|＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2|sin α2|＝－sin α2cos α|sin α2|.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.方法归纳(1)利用半角公式进行化简与计算时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围．(2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式，前者有正负号选取，其符号由角的范围确定，必要时需要讨论，后者没有符号选取，其结果的符号由sin α确定，应用十分方便．2．(1)若1＋tan α1－tan α＝2 015，则1cos 2α＋tan 2α＝________.(2)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．(3)化简(tan 5°－tan 85°)·cos 70°1＋sin 70°.解：(1)1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝（sin α＋cos α）2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 015，故填2 015.(2)原式＝4cos 24＋21－2sin 4cos 4＝2|cos 4|＋2（sin 4－cos 4）2＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.因为5π4<4<3π2，所以cos 4<0，sin 4<cos 4<0， 所以sin 4－cos 4<0.从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 故填－2sin 4.(3)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫tan 5°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝tan 25°－1tan 5°·2sin 10°·cos 10°2cos 210° ＝tan 25°－1tan 5°·tan 10°＝tan 25°－1tan 5°·2tan 5°1－tan 25°＝－2.证明三角恒等式求证：(1)tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α.(2)cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.(链接教材P 128例5)[证明] (1)左边＝sin αcos α＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＋1－sin αcos α ＝sin α＋1－sin αcos α＝1cos α＝右边． 故等式成立．(2)左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2·cos α2＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边．方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边，一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传递性．(2)综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式． (3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明．3．(1)求证：2(1＋cos α)－sin 2α＝4cos 4α2. (2)求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x .证明：(1)左边＝2×2cos 2α2－⎝⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α22＝4cos 2α2－4sin 2α2cos 2α2＝4cos 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2α2＝4cos 4α2＝右边．(2)法一：tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sinx 2cos 3x 2cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cosx 2＝2sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x. 法二：2sin xcos x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cosx 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x 2.(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． [解] (1)因为cos x ≠0，所以x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，2分f (x )＝sin 2x （sin x ＋cos x ）cos x＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＝1－cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，4分 所以f (x )的最小正周期为T ＝π.6分(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－7π12≤2x －π4≤π4，8分当2x －π4＝π4，即x ＝π4时，f (x )的最大值为2；10分当2x －π4＝－π2，即x ＝－π8时，f (x )的最小值为－2＋1.12分[规范与警示] (1)在处，直接求函数的定义域，若对函数先化简，则导致分母不存在，再求定义域就出错，此为失分点．在处，正确地使用降幂公式将函数化为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1是解题的关键． 在处，容易将2x －π4的范围算错或忽略，都将导致f (x )的最值求错造成失分．(2)解答此类问题的两个注意点 ①定义域求解时的保原性定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故求解时，应保证函数的原解析式有意义，不可随便化简，如本例不可求f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的定义域． ②提高公式的辨析和识记能力 sin 2x 与cos 2x 的降幂公式非常相似，解题时务必细心，谨防混淆，可采用先写出cos 2x的公式，再对其变形分别记忆，如本例求解中若把sin 2x 的公式用错，会导致该题基本不得分．1．已知α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D.因为α∈(π，2π)，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以1－cos （π＋α）2＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 2．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B ．34C.43 D ．－43解析：选D.由α为第三象限角，且sin α＝－2425知cos α＝－725.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43.3．已知cos α2＝13，540°<α<720°，则sin α4＝________.解析：因为540°<α<720°，所以270°<α2<360°，所以135°<α4<180°，因为cosα2＝13，所以sin α4＝1－cosα22＝33. 答案：334．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin （θ＋π4）＝________.解析：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1.因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2， 所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13，所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12.答案：12, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12 解析：选B.因为180°<θ<270°，所以90°<θ2<135°，所以tan θ2<0，所以tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 2．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2等于( ) A ．－63B ．－66C.66 D ．63解析：选B.由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，所以cos α＝－23，因为α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 3．已知θ为第二象限角，25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2的值为( )A ．－35B ．±35C.22D ．±45解析：选B.由25sin 2θ＋sin θ－24＝0得sin θ＝2425或sin θ＝－1(因为θ为第二象限角，故舍去)，所以cos θ＝－725，且θ2为第一或者第三象限角，所以2cos 2θ2－1＝－725，故cos θ2＝±35. 4．化简2＋cos 2－sin 21等于( )A ．－cos 1B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选C.原式＝2＋2cos 21－1－（1－cos 21）＝3cos 21＝3cos 1，故选C.5．已知450°<α<540°，则12＋12 12＋12cos 2α的值是( ) A ．－sin α2 B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：选A.因为450°<α<540°，所以225°<α2<270°.所以cos α<0，sin α2<0.所以原式＝ 12＋121＋cos 2α2＝ 12＋12cos 2α ＝ 12＋12|cos α|＝ 12－12cos α ＝sin2α2＝|sin α2|＝－sin α2.故选A. 6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于________．解析：因为5π<θ<6π，所以5π4<θ4<3π2，所以sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－2－2a2. 答案：－2－2a27．求值：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1. 答案：－18．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则tan θ＝________． 解析：因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， 所以sin θ>0，cos θ>0.因为sin 2θ＝378，所以cos 2θ＝－18，所以sin θ＝1－cos 2θ2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝34， cos θ＝1＋cos 2θ2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝74， 所以tan θ＝sin θcos θ＝3474＝377.答案：3779．已知sin φ＝－2425，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：(1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6； (2)sin 2φ；(3)cos φ2；(4)tan φ2.解：因为φ是第三象限角，所以cos φ＝－1－sin 2φ＝－725.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝sin φcos π6＋cos φsin π6 ＝－7＋24350.(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝336625.(3)因为φ是第三象限角，所以2k π＋π<φ<2k π＋3π2. 所以k π＋π2<φ2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2m 时，2m π＋π2<φ2<2m π＋3π4(m ∈Z )，cos φ2＝－1＋cos φ2＝－35. 当k ＝2m ＋1时，2m π＋3π2<φ2<2m π＋7π4(m ∈Z )，cos φ2＝ 1＋cos φ2＝35.(4)tan φ2＝1－cos φsin φ＝－43.10．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫cosθ2sinθ2－tan θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ·tan θ2.解：法一：(半角正切公式)因为tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ，则有cosθ2sin θ2＝1tanθ2＝sin θ1－cos θ＝1＋cos θsin θ.所以cosθ2sinθ2－tan θ2＝1＋cos θsin θ－1－cos θsin θ＝2cos θsin θ.1＋tan θ·tan θ2＝1＋sin θcos θ·1－cos θsin θ＝1＋1－cos θcos θ＝1cos θ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cosθ2sinθ2－tan θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ·tan θ2 ＝2cos θsin θ·1cos θ＝2sin θ. 法二：(切化弦) cos θ2sin θ2－sin θ2cos θ2＝cos 2θ2－sin2θ2sin θ2cos θ2＝cos θ12sin θ＝2cos θsin θ， 1＋tan θ·tan θ2＝1＋sin θcos θ·sinθ2cosθ2＝1＋2sin θ2·cos θ2cos θ·sinθ2cosθ2＝1＋2sin2θ2cos θ＝1＋1－cos θcos θ＝1cos θ.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cosθ2sinθ2－tan θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ·tan θ2 ＝2cos θsin θ·1cos θ＝2sin θ. [B .能力提升]1．已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cosβ2的值等于( )A ．±55B ．±255 C ．－55D ．－255解析：选A .由已知，得sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝45，得sin β＝－45.因为β在第三象限，所以cos β＝－35，β2为第二、四象限角，所以cos β2＝± 1＋cos β2＝± 15＝±55. 2．设π<α<3π，cos α＝m ，cos α2＝n ，cos α4＝p ，则下列各式正确的是( )A ．n ＝－ 1＋m2 B ．n ＝ 1＋m2 C ．p ＝－1＋n2D ．p ＝1＋n2解析：选A .因为π<α<3π，所以π2<α2<3π2，cosα2＝－1＋cos α2，即n ＝－1＋m2， 因为π2<α2<3π2，所以π4<α4<3π4，cos α4＝±1＋cosα22， 所以p ＝±1＋n2.故选A . 3．定义运算⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝35，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α sin βcos α cos β＝513，0<β<α<π2，则sin α＋β2＝________.解析：由题意可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α sin βcos α cos β＝sin αcos β－sin βcos α＝sin (α－β)＝513， 因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以cos (α－β)＝1213，又cos α＝35，所以sin α＝45，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2425，所以cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)＝－725×1213＋2425×513＝36325，所以sinα＋β2＝ 1－cos （α＋β）2＝1726130.答案：17261304．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝________.解析：因为α，β∈(0，π)，所以sin α＋sin β>0， 所以cos β－cos α>0，cos β>cos α， 又因为在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数， 所以β<α，所以0<α－β<π，由原式知2sin α＋β2cos α－β2＝33⎝⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2， 所以tan α－β2＝3，所以α－β2＝π3，所以α－β＝2π3.答案：2π35．已知sin α＝1213，sin (α＋β)＝45，α与β均为锐角，求cos β2.解：因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝513.又因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.若0<α＋β<π2，因为sin (α＋β)<sin α，所以α＋β<α不可能． 故π2<α＋β<π.所以cos (α＋β)＝－35. 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝－35×513＋45×1213＝3365， 因为0<β<π2，所以0<β2<π4.故cosβ2＝1＋cos β2＝76565. 6．(选做题)已知函数f (θ)＝－12＋sin 52θ2sinθ2(0<θ<π)．(1)将f (θ)表示成关于cos θ的多项式；(2)试求使曲线y ＝a cos θ＋a 与曲线y ＝f (θ)至少有一个交点时a 的取值范围．解：(1)f (θ)＝－12＋sin 2θcos θ2＋cos 2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2cos θsin θ2＋cos 2θsin θ22sinθ2＝－12＋4cos 2θ2cos θ＋cos 2θ2＝－12＋4cos θ·1＋cos θ2＋2cos 2θ－12＝2cos 2θ＋cos θ－1.(2)由2cos 2θ＋cos θ－1＝a cos θ＋a ， 得(cos θ＋1)(2cos θ－1)＝a (cos θ＋1)．所以cos θ＝a ＋12，所以－1<a ＋12<1，即－3<a <1.。
高中数学第三章三角恒等变换本章整合课件新人教A版必修4
cos(������ + ������) = cos������cos������-sin������sin������ 和角公式 sin(������ + ������) = sin������cos������ + cos������sin������ tan(������ + ������) =
������ ������
������
sin 2+cos 2
������
=
所以原等式成立.
1-tan 2
������ =右边,
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
专题五
变式训练 1 已知 tan2θ=2tan2φ+1,求证:cos 2φ=2cos 2θ+1.
证明:∵tan2θ=2tan2φ+1, ∴tan2θ+1=2(tan2φ+1),
=
2cos2������-1 = π sin 2-2������
sin π-������ 2 π-������ 2· 4 cos 4 cos π-������ 4
=
cos2������ =1 . cos2������
专题一
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专题四
专题五
解法二:原式= =
cos2������
cos2������
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例1
2cos2 ������-1 化简: π π 2tan 4-������ sin2 4+������ 2cos2 ������-1
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【例 2】 求值:sin 50°· (1+ 3tan 10°). 解 :方法一 :原式 =sin 50° 1 + 3 =sin 50° · =sin 50° · =sin 50° ·
cos60 °cos10 °
=
1 cos10 2
°
=
cos10 °
=1.
预习新知
专题一 专题二 专题三
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触类旁通
迁移应用 2 A.1 tan28 °
sin2 002°sin2 008°-cos6 °
sin2 002°cos2 008°+sin6 ° 1
的值是
(
)
B.
C.-tan 28° 答案 :A 解析 :原式 = =
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专题一
三角函数式的化简
三角函数的化简,主要有以下几类:(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和 逆用公式;(2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成 整式或数值;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现 的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”; 角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
=-
°
=-
2016-2017年高中数学第三章三角恒等变换专题整合课件
[点评] 三角恒等式可分为无条件三角恒等式和条件三角 恒等式两类．其证明思路与代数恒等式类同，证明的实质 是进行恒等变换消去差异，达到形式上的统一． 无条件三角恒等式的证明方法主要有以下几种：左右相推 法，左右归一法，变更问题法，分析法，综合法及分析综 合法．
第14页，共22页。
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos 2x＋ 23sin 2x－cos 2x＝sin(2x－π6)． ∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z.
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∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈[－1π2，π2]， ∴2x－π6∈[－π3，56π]． ∵f(x)＝sin(2x－π6)在区间[－1π2，π3]上单调递增，在区间[π3， π2]上单调递减． ∴当 x＝π3时，f(x)取最大值 1.
到不同的方法．
第11页，共22页。
[证明] 法一：∵tan2θ＝2tan2φ＋1，
∴tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)，
sin2θco＋s2cθos2θ＝2·sin2φco＋s2cφos2φ，
即1＋c1os
2θ＝1＋c2os
， 2φ
2
2
∴cos 2φ＝2cos 2θ＋1.
法二：cos 2φ＝2cos 2θ＋1
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
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＝2 5 5×3 1010－ 55× 1100＝ 22. ∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4， ∴C＝π－(A＋B)＝34π，即角 C 的大小为34π.
[点评] 利用三角公式可以解决一些与三角形有关的问题.
【优化方案】高考数学总复习 第3章第3课时三角恒等变换课件 文 新人教A版
(2)求值：tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°.
【思路分析】 (1)先对左边进行化简，再 求值；(2)可变形用两角和的正切公式进行 化简．
【解】 (1)∵sin2α＋cos2α－s1in4sαin2α－cos2α＋1 ＝sin222sαi－n2αc·ocso2sα2－α 12 ＝sin22α－cos22α＋2cos2α－1
变
形
：
1±sin2α
＝
2
sin α
＋
2
cos α±2sinαcosα
＝
_(s_i_n_α_±__c_o_s_α_)_2_.
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 三角函数式的化简
三角函数式的化简的要求： (1)能求出值的应求出值； (2)尽量使三角函数种数最少； (3)尽量使项数最少； (4)尽量使分母不含三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数．
cos2
＝ccoossαα22－＋ssiinnαα22·ccoossαα22＋＋ssiinnαα22
＝1＋cossiαnα＝1－－4535＝－12. 【答案】 A
【名师点评】 本题是课本 P143A 组 1(2)题的延 伸，先利用切化弦，再利用二倍角公式求解．其 难点是不会分子、分母同乘
cosα2＋sinα2，转化为 α 角的三角函数．若题目条 件不变，试求 tanθ2－ta1nθ2的值.
例3 已知 0<β<π4<α<34π，cos(π4－α)＝35，
sin(34π＋β)＝153，求 sin(α＋β)的值． 【思路分析】 比较题设中的角与待求式中的角，
不难发现(34π＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)或将
π cos(4
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π 3π (1)因为 <β <α < ， 2 4
π 3π 所以 0<α －β < ，π <α ＋ β< ， 4 2 所以 sin(α－ β)＝ 1－ cos （ α－ β）＝ cos(α＋ β)＝－ 1－ sin （ α＋ β）＝－ 4 ＝－ . 5
2 2 2 12 5 1－ ＝ ， 13 13
Байду номын сангаас
3sin 10° 2sin 50°＋ cos 10°1＋ cos 10° (2)原式＝ 2 2cos 5° cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 50°＋ cos 10° cos 10° ＝ 2cos 5°
1 3 2sin 50°＋ 2 cos 10°＋ sin 10° 2 2 ＝ 2cos 5° 2cos 40°＋ 2sin 40° ＝ 2cos 5° 2 2sin （ 40°＋ 45°） 2sin 85° ＝ ＝ ＝ 2. cos 5° 2cos 5°
3＋ 5tan θ ＋ 2 2 3cos θ ＋ 5sin θ ＋ 8sin θ cos θ cos θ ＋ 3sin θ cos θ ＝ （ cos θ ＋ 3sin θ ）（ cos θ － sin θ ） 3cos θ ＋ 5sin θ cos θ ＋ （ 3cos θ ＋ 5sin θ ）（ cos θ ＋ sin θ ）
(2)条件恒等式的证明 这类问题的解题思路是恰当地、 适时地使用条件或仔细探求所 附条件与需证明的等式之间的内在联系， 常用方法是代入法和 消元法．
2（ 3＋ cos 4x） 1 (1)求证：tan x＋ 2 ＝ . tan x 1－ cos 4x
2
(2)已知锐角 α，β 满足 tan(α－ β)＝sin 2β ，求证：2tan 2β ＝ tan α ＋tan β .
3 1－ － 5
2
所以 cos 2α ＝ cos[(α－ β)＋(α＋ β)] ＝ cos(α－ β)cos(α＋ β)－ sin(α－ β)sin(α＋ β) 12 4 5 3 33 ＝ ×－ － ×－ ＝－ . 13 5 13 5 65 33 1－ 1 ＋ cos 2 α 65 16 2 所以 cos α ＝ ＝ ＝ . 2 2 65 π 3π 4 65 7 65 又因为 <α < ，所以 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 2 4 65 65
第三章
三角恒等变形
章末优化总结
三角函数式的求值
三角函数求值主要有三种类型，即 (1)“给角求值”， 一般给出的角都是非特殊角， 观察发现题中 的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时 运用诱导公式．
(2)“给值求值”， 即给出某些角的三角函数式的值， 求另外一 些三角函数的值， 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的 角，合理拆、配角．要注意角的范围． (3)“给值求角”， 本质上还是“给值求值”， 只不过往往求出 的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定 角，必要时还要讨论角的范围．
三角函数式的化简
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是 降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的 约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需 要运用倍角公式的变形形式． 在具体过程中体现的则是化归的 思想，是一个“化异为同”的过程，通常考虑三个方面
(1)化简的要求 三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母 不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出值 的应尽量求出值． (2)化简的方法 ①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用； ②常用切化弦，异名化同名、异角化同角等． (3)化简的技巧 ①注意特殊角与特殊值的互化；②注意角的变换技巧；③注意 “ 1”的代换．
π 3π 12 3 (1)已知 <β <α < ，cos(α－ β)＝ ，sin(α＋ β)＝－ ， 2 4 13 5 求 cos α ， sin α 的值． 11 (2)已知 tan α ＝ 4 3， cos(α＋ β)＝－ ， 0° <α <90°， 0° < 14 β <90°，求 β.
[解]
2
1 3 3 解析： f(x)＝ sin xcos x＋ 3cos x＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝ 2 2 2 π π kπ π 3 sin 2x＋ ＋ ，令 2x＋ ＝ kπ ，k∈ Z，所以 x＝ － ， 3 2 3 2 6
2
π 3 k∈ Z，当 k＝1 时， x＝ ，此时 f(x)＝ ，所以函数 f(x)的一 3 2 3 π 个对称中心是 ， 3 2 .
3 3
三角恒等变形与三角函数的性质
利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法， 可以化简三 角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性 质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出 有关三角函数值， 因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考 命题的热点．
解决三角恒等变形与三角函数的综合问题关键在于熟练地运 用基本的三角恒等变形思想方法，对其解析式变形、化简，尽 量使其化为只有一个角为自变量的三角函数． 解决与图像和性 质有关的问题，在进行恒等变形时，要注意三角恒等思想．
2（ 2＋ 1＋ cos 4x） 2（ 2＋ 2cos2 2x） 法二：右边＝ ＝ ＝ 2 2 2 2sin 2x 8sin xcos x 2（ 1＋ cos 2x） （ sin x＋ cos x） ＋（ cos x－sin x） ＝ 2 2 2 2 4sin xcos x 2sin xcos x 2（ sin x＋ cos x） 1 2 ＝ ＝ tan x ＋ 2 2 2 ＝左边． 2sin xcos x tan x 原式得证．
1 1 ＝ 2 ＋ 2 cos θ － sin θ cos θ cos θ ＋ sin θ · cos θ cos θ ＋ sin θ cos θ － sin θ ＝ ＋ 2 2 cos θ （ cos θ －sin θ ） cos θ （ cos 2θ －sin2θ ） 2cos θ 2 ＝ ＝ . cos θ · cos 2θ cos 2θ
已知向量 a＝(2sin x， cos x)， b＝ ( 3cos x， 2cos x)，定 义函数 f(x)＝ a· b－ 1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的递减区间； 7π 5π (3)画出函数 y＝ f(x)， x∈－ ， 的图像，由图像研究并 12 12 写出 f(x)的对称轴和对称中心．
5π 3π 1． 已知 f(x)＝ 1－ x， 当 α∈ ， 时， f(sin 2α )－ f(－ sin 4 2 2α )可化简为 ( D ) A． 2sin α C．－ 2sin α B．－ 2cos α D． 2cos α
解析： f(sin 2α )－ f(－ sin 2α )＝ 1－ sin 2α － 1＋ sin 2α ＝ （ sin α － cos α ） － （ sin α ＋ cos α ） ＝ |sin α － cos α |－ |sin α ＋ cos α |，
4 4 2 2 2 2 2 2 2
(2)因为 tan(α－ β)＝sin 2β ， tan α － tan β tan(α－ β)＝ ， 1＋ tan α tan β 2tan β sin 2β ＝ ， 2 1＋ tan β tan α － tan β 2tan β 所以 ＝ . 2 1＋ tan α tan β 1＋ tan β 3tan β ＋ tan3β 去分母整理得 tan α ＝ ， 2 1－ tan β 3tan β ＋ tan β ＋ tan β － tan β 所以 tan α ＋ tan β ＝ ＝ 2tan 2β . 2 1－ tan β
[解]
f(x)＝ 2 3sin xcos x＋ 2cos x－ 1
2
＝ 3sin 2x＋ cos 2x π ＝ 2sin2x＋ . 6 2π (1)T＝ ＝π . 2 π π 3π π 2π (2)2kπ ＋ ≤ 2x＋ ≤ 2kπ ＋ ⇔ kπ ＋ ≤ x≤ kπ ＋ 2 6 2 6 3 (k∈ Z)，
sin 9°＋ cos 15°sin 6° 2－ 3 3. ＝ ________. cos 9°－ sin 15°sin 6°
sin（ 15°－ 6°）＋ cos 15°sin 6° 解析：原式＝ cos （ 15°－ 6°）－ sin 15°sin 6° sin 15° cos 6°－ cos 15° sin 6°＋ cos 15° sin 6° ＝ cos 15° cos 6°＋sin 15° sin 6°－sin 15°sin 6° sin 15° cos 6° ＝ ＝ tan 15°＝ tan(45°－ 30°) cos 15° cos 6° tan 45°－ tan 30° ＝ ＝ 2－ 3. 1＋ tan 45° tan 30°
化简下列各式： 1＋ 3tan θ 3＋ 5tan θ (1) － ； 2cos 2θ ＋ sin 2θ － 1 cos 2θ － 4sin 2θ － 4 2sin 50°＋ cos 10°（ 1＋ 3tan 10°） (2) . 1＋ cos 10°
[解]
1＋ 3tan θ (1)原式＝ 2 2 cos θ － 3sin θ ＋ 2sin θ cos θ
(2)因为 0° <α <90°， sin α 2 2 且 tan α ＝ ＝ 4 3， sin α ＋ cos α ＝ 1， cos α 1 4 3 所以 cos α ＝ ， sin α ＝ . 7 7 11 因为 cos(α＋ β)＝－ ， 0° <α ＋ β<180°， 14
所以 sin(α＋ β)＝
kπ ＋π ， kπ ＋ 2π 所以函数 f(x)的递减区间为 (k∈ Z)． 6 3