§4随机变量的独立性
随机变量的独立性
P{ X = 0} = 1 p , P{ Z = 0} = 2 p(1 p) ,
P{ X = 0, Z = 0} = P{ X = 0, X + Y = 1}
= P{ X = 0, Y = 1} = P{ X = 0} P{Y = 1} = p(1 p ) .
2 p(1 p ) 2 = p(1 p ) , p = 0.5 . 令
1 ,若X + Y为偶数, Z= 0 ,若X + Y为奇数. 取何值时, 和 相互独立 相互独立? 问p取何值时,X和Z相互独立? 取何值时
解 首先求出Z的概率分布: 首先求出 的概率分布: 的概率分布
P{ Z = 0} = P{ X + Y = 1}
因为X和 因为 和Y 相互独立
= P{ X = 0, Y = 1} + P{ X = 1, Y = 0}
1 α= . 6
2 β = . 9
5
又由分布律的性质,有 又由分布律的性质 有
1 1 1 1 α + + + +β + =1 9 18 3 9
7 α+β = 18
假设随机变量X和 相互独立 相互独立, 例3 假设随机变量 和Y相互独立,都服从参数为 p(0<p<1)的0-1分布,随机变量 分布, ( ) 分布
f (x, y) = f X ( x) fY ( y) 成立,所以 相互独立.8 成立,所以X,Y相互独立 相互独立.
例5 设(X,Y )的联合密度函数为 ,
8 xy 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = , 其它 0
1
y
y= x
是否相互独立? 问X与Y是否相互独立? 与 是否相互独立 的边缘密度分别为 解 X,Y的边缘密度分别为
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。
在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。
本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。
一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。
相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。
二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。
2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。
3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。
协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。
相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。
三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。
在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。
4.4 随机变量的独立性
即为
F(x，y)=Fx(x)FY(y)
反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有
P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1) = Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1) =[Fx(x2)-Fx(x1)][FY(y2)-FY(y1)]
则称向量(X1, X2,…, Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)是相互独立的。
2．独立性推广的定理 定理1.
如果随机变量X1, X2,…, Xn相互独立,I1,I2,…,In为数 轴上任意n个区间,则事件{x1∈I1},{x2∈I2},…,{xn∈In}相 互独立. 定理2. 若X1, X2,…, Xn相互独立，则
(1)其中任意k个随机变量也相互独立。
(2) Y1=g1(X1), Y2=g2(X2),…, Yn=gn(Xn)也相 互独立, gi(x)(i=1,2,…,n)为n个连续函数。
定理3. 若(X1, X2,…, Xn)和(Y1,Y2,…,Ym)相互独立，则 (1) (X1, X2,…, Xn)中任意k个随机变量构成的随机向量与
四、独立性推广的一些定义
独立性的概念推广至高维随机向量的情形 1．定义: 设(X1，X2，…，Xn)为n维随机向量，其分布函 数为F(x1，x2，…，xn)，关于xi的边缘分布函数Fxi(xi)， 若对于任意实数x1，x2，…，xn有
FX ( x1 , x2 , , xn ) FX1 ( x1 ) FX 2 ( x2 ) FXn ( xn )
p
i xi x , y j y
随机变量的独立性
3.随机变量的独立性随机变量的独立性是一个十分重要的概念。
在这一节中，我们利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量的独立性，并推导到有限多个随机变量的独立性。
1.两个随机变量的独立性定义3.6 若二维随机变量(X , Y )对任意实数均有成立，则称随机变量与是相互独立的。
设随机变量(X , Y )的联合分布函数和边缘分布函数分别为和,则与相互独立等价于对任意实数有。
若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是即这里分别是(X , Y )，X，Y的分布律。
若(X , Y )是连续性随机变量，则由分布函数与概率密度函数关系知，X与Y独立，即成立的充分必要条件是这里分别是(X , Y )，X，Y的密度函数.10.已知随机变量的联合分布律为试确定常数a，b，使X与Y相互独立解先求出(X , Y )关于X和Y的边缘分布律因要使与相互独立，故可用来确定常数a，b。
由即解得 因此(X , Y )的联合分布律和边缘分布律为经检验，此时X 与Y 是相互独立的。
例11 设随机变量(X , Y )在矩形区域上服从均匀分布，若试求(U , V )的联合分布律，并判断U 与 V 是否独立.解 区域G 如图3-7所示，因(X , Y )在G 上服从均匀分布，其联合密度函数于是得(U, V)的联合分布律和边缘分布律:其中所以U与V是不相互独立的。
例12 设随机变量的联合密度函数为试问X与Y 是否相互独立?解因为（X，Y）关于X的边缘密度函数所以，对任意实数x，y均有故X与Y是相互独立的。
例13 若二维随机变量(X, Y )服从正态分布。
试证X与Y相互独立的充分必要条件是。
证因为(X , Y )的联合密度函数为边缘密度函数为所以易见：成立的充分必要条件是，而X与Y相互独立的充分必要条件是(3.1)式对任意实数x,y成立。
例 14 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时之间，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时之间，设他俩到达的时间是相互独立的，求他俩到达的时间相差不超过5分钟概率。
随机变量的独立性
⑵．如果随机变量 X 与Y 相互独立，则由
Fx， y FX xFY y
可知，
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第三章 随机变量及其分布
例1
§4随机变量的独立性
设二维随机变量 X， Y 的联合分布函数为
F x，
y
2 1
2
arctan
5 x
2
10 arctan y
x ， y
试判断 X 与Y 是否相互独立？
第三章 随机变量及其分布
例 3（续）
§4随机变量的独立性
Y
X
0
1
2
pi
0
1 9
2 9
1
4
9
9
1
2 9
2 9
0
4 9
2
1 9
0
0
1 9
p j
4 9
4 9
1 9
P X 1， Y 2 0 PX 1PY 2 4 1
99
随机变量 X 与Y 不独立．
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第三章 随机变量及其分布
连续型随机变量的独立性
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
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第三章 随机变量及其分布
例 2（续）
§4随机变量的独立性
Y X
1
2
3
pi
1
1 6
1 9
1
1
18
3
2
1 3
1 3
p j
1 2
1 9
1 18
如果随机变量 X 与Y 相互独立，则有
pij pi p j i 1， 2； j 1， 2， 3
随机变量及其分布事件的相互独立性
03
随机试验
在一定条件下进行的试验 ，其结果具有不确定性。
样本空间
随机试验所有可能结果的 集合。
事件
样本空间的一个子集，是 随机试验的结果的集合。
事件的概率
非负性、规范性、可加性 等。根据事件的性质和概率的 定义进行计算。
描述事件发生的可能性大 小的数值。
概率定义
概率的性质 概率计算
事件的相互独立性
取值是连续的实数的随机变量称为连 续随机变量。
02
随机变量的分布
概率分布
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的取值范围是有限或可数的，每个取值对应的概率是已知的， 这些概率值之和为1。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量的取值范围是无限的，取值对应的概率是未知的，需要使用概 率密度函数来描述。
多元随机变量的分布
二元随机变量的分布
二元随机变量有两个取值，其分布可以描述为两个边缘分布 的组合。
高维随机变量的分布
高维随机变量有多个取值，其分布可以描述为多个边缘分布 的组合。高维随机变量的分布比一维和二元随机变量的分布 更为复杂，需要考虑更多的因素。
03
事件及其相互独立性
事件的定义
01
02
如果事件的发生不受随机变量的影响，则称事件与随机变量相互独立。
独立性的条件
事件的发生不受随机变量的影响，或者随机变量的取值不影响事件发生的概率。
两个随机变量的相互独立性
定义
如果对于任意两个实数$x$和$y$，有 $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$，则称 $X$和$Y$相互独立。
随机变量及其分布事件的相 互独立性
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随机变量的独立性
对于任意的x， y ，随机事件 X x 与 Y y 相互独立．
结论：在独立的条件下有 F x， y FX x FY y
二维随机变量 X， Y 的联合分布函数F x， y 可由其边缘分布函数 X x 与 FY y 唯一确定． F
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第三章 随机变量及其分布
1
因 p21 ( X 0, Y 0) 0 1 1 而 p2 P( X 0) , p1 P(Y 0) 2 2 p21 p2 p1
故X与Y不独立
第三章 随机变量及其分布
三、连续型随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设 X， Y 是二维连续型随机变量 ，其联合密度函数 为 f x， y ， 又随机变量X 的边缘密度函数为 X x ， f
试判断随机变量 与Y 是否相互独立？ X 解：
当0 x 1时，
2 2 1 2 f X x f x， y dy x xy dy 2 x x 3 3 0
2
第三章 随机变量及其分布
所以，随机变量 的密度函数为 §4随机变量的独立性 X
二、离散型随机变量的独立性 设 X， Y 是二维离散型随机变量 ，其联合分布律为 pij P X x i， Y y j i，j 1， 2，
又随机变量X 的分布律为
§4随机变量的独立性
p i P X x i
p j P Y y j
i 1， 2，
如果对于任意的 ， y ，有 x
F x， y FX x FY y
则称 X， Y 是相互独立的随机变量 ．
第三章 随机变量及其分布
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
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第三章随机变量及其分布
§4随机变量的独立性
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
⎛⎞⎛1y x ππ第三章随机变量及其分布
二、离散型随机变量的独立性
第三章随机变量及其分布
例2
第三章随机变量及其分布
第三章
随机变量及其分布
§4随机变量的独立性
第三章随机变量及其分布
§4随机变量的独立性
第三章
随机变量及其分布
§4随机变量的独立性
例3
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
三、连续型随机变量的独立性第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布§2 边缘分布第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布第三章随机变量及其分布
{}
第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性
X
反之，如果随机变量Y
相互独立，则对任意的
与
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
第三章
随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布一、和的分布
第三章随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布
解：，
，，，的取值都是与由于4321Y X 第三章随机变量及其分布{}{}{}
第三章随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布由于X , Y 的对称性可得
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布例3
第三章随机变量及其分布§4 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布
+∞
§4 多维随机变量函数的分布第三章随机变量及其分布§4 多维随机变量函数的分布
例4第三章随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布
+∞§4 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布§4 多维随机变量函数的分布
例4（续）
例5
第三章
随机变量及其分布
§4 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布
§4多维随机变量函数的分布
()+∞−−
−x z x 221第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
推广至n 个随机变量的取大和取小
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布
例７：教材１０例８
第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布例８（续）第三章随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
第三章随机变量及其分布第三章随机变量及其分布
第三章随机变量及其分布§5 多维随机变量函数的分布例1（续）
第三章随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布例1（续）。