届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析
第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。
了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。
规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。
中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。
错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”）（1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关。
()（2）若a∥b，b∥c，则a∥c。
（）（3)向量错误!与向量错误!是共线向量，则A，B，C,D四点在一条直线上.（)(4)当两个非零向量a，b共线时,一定有b＝λa,反之成立.(）解析（2）若b＝0，则a与c不一定平行。
（3）共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B,C，D四点不一定在一条直线上。
答案（1)√（2)×（3)×（4)√2.(老教材必修4P78T6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零,方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量错误!与错误!相等。
则所有正确命题的序号是(）A。
① B。
③ C。
①③ D.①②解析根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量错误!与错误!互为相反向量,故③错误.答案A3.（老教材必修4P92T5改编）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!等于(）A.错误!B。
2错误!C。
3错误! D.4错误!解析错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）＋（错误!＋错误!）＝2错误!＋2错误!＝4错误!.答案D4.（2020·长沙检测）若四边形ABCD满足错误!＝错误!错误!且｜错误!|＝|错误!｜，则四边形ABCD的形状是()A。
等腰梯形B。
矩形C。
正方形D。
菱形解析因为错误!＝错误!错误!，所以错误!∥错误!，且｜错误!｜＝错误!｜错误!|,所以四边形ABCD为以AD为上底，BC为下底的梯形。
又｜错误!|＝|DC，→｜，所以梯形ABCD的两腰相等。
因此四边形ABCD 是等腰梯形。
答案A5。
(2019·西安调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a＋λb 与－（b－2a）共线，则λ＝________。
解析由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线,设a＋λb＝k（2a－b），则有(1－2k）a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以错误!解得k＝错误!,λ＝－错误!。
答案－错误!6。
（2020·昆明诊断）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!（λ1，λ2为实数),则λ1＋λ2的值为________.解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝－错误!错误!＋错误!错误!，∴λ1＝－错误!,λ2＝错误!，即λ1＋λ2＝错误!.答案错误!考点一平面向量的概念【例1】(1）设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使错误!＋b|b｜＝0成立的是()A。
a＝2b B。
a∥bC。
a＝－错误!b D.a⊥b（2)给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点,则错误!＝错误!是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a｜＝|b|且a∥b。
其中正确命题的序号是________。
解析(1)由错误!＋错误!＝0得错误!＝－错误!≠0，即a＝－错误!·｜a｜≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与向量b共线且方向相反时,能使错误!＋错误!＝0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C 中a与b的方向相反;选项D中a与b互相垂直,因此选C.（2)①正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同，故a＝c。
②正确.∵错误!＝错误!，∴|错误!|＝｜错误!|且错误!∥错误!,又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则错误!∥错误!且｜错误!｜＝｜错误!|，因此，错误!＝错误!。
③不正确。
当a∥b且方向相反时，即使|a｜＝|b｜，也不能得到a＝b，故｜a｜＝｜b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.答案（1)C(2)①②规律方法向量有关概念的四个关注点:（1)平行向量就是共线向量，二者是等价的;非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.（2）向量与数量不同,数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小。
（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量,解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4）非零向量a与a｜a｜的关系：a|a｜是与a同方向的单位向量。
【训练1】（1)如图,等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P,点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是（）A。
错误!＝错误! B.错误!＝错误!C。
错误!＝错误! D.错误!＝错误!(2)给出下列说法：①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；②若错误!与错误!共线,则A，B,C三点在同一条直线上；③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与－b反向；④设λ，μ为实数,若λa＝μb，则a与b共线。
其中错误说法的序号是________.解析（1）根据相等向量的定义,分析可得错误!与错误!不平行，错误!与错误!不平行，所以错误!＝错误!,错误!＝错误!均错误，错误!与错误!平行，但方向相反也不相等，只有错误!与错误!方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以错误!＝错误!.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故④错误.答案(1）D（2)④考点二向量的线性运算多维探究角度1平面向量的加、减运算的几何意义【例2－1】已知两个非零向量a,b满足｜a＋b｜＝｜a－b|，则下列结论正确的是（)A.a∥b B。
a⊥bC.|a|＝｜b| D。
a＋b＝a－b解析由已知a,b不共线,在▱ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，由｜a＋b｜＝|a－b｜,知|错误!|＝｜错误!｜，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b。
答案B规律方法解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形，二是熟练运用向量的加、减法法则和运算律以及几何意义求解。
角度2向量的线性运算【例2－2】（2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD 中,E为BC的中点,F为AE的中点，则错误!＝()A。
－错误!错误!＋错误!错误!B.错误!错误!＋错误!错误!C.错误!错误!－错误!错误!D。
错误!错误!－错误!错误!解析错误!＝错误!－错误!,错误!＝错误!＋错误!。
∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!(错误!＋错误!)－错误!＝错误!错误!＋错误!错误!－错误!，又错误!＝错误!，∴错误!＝错误!错误!－错误!错误!.故选D.答案D规律方法1。
解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示。
角度3利用向量的线性运算求参数【例2－3】（2019·荆门阶段检测)在△AOB中，错误!＝错误!错误!,D 为OB的中点,若错误!＝λ错误!＋μ错误!,则λμ的值为________.解析因为错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!(错误!－错误!），因为D为OB的中点，所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝－错误!错误!＋(错误!＋错误!)＝－错误!错误!＋错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!－错误!错误!，所以λ＝错误!，μ＝－错误!，则λμ的值为－错误!.答案－错误!规律方法利用向量线性运算求解参数的思路：（1）先利用向量的线性运算得到相关的线性表示，（2）对比向量等式求出参数或建立方程(组）求解.【训练2】（1）（角度2）(2018·全国Ⅰ卷）在△ABC中，AD 为BC边上的中线,E为AD的中点,则错误!＝(）A。
错误!错误!－错误!错误! B.错误!错误!－错误!错误!C。
错误!错误!＋错误!错误! D.错误!错误!＋错误!错误!（2）（角度3）(2020·河北质检）在△ABC中，O为△ABC的重心，若错误!＝λ错误!＋μ错误!,则λ－2μ＝(）A。
高考数学一轮复习讲义第五章平面向量的概念及线性运算课件
),
F
E
CF
1 2
(CA
CB),
B
AD BE CF
D
C
1 2
(
AB
AC
)
1 2
(BA
BC
)
1 2
(CA
CB
)
0.
AD BE CF 0.
考点一
三角形的重心问题
例1. 在△ABC中，中线 AD, BE, CF交于O,
求证：AO BO CO 0.
A
证明：
AO
2 3
AD,
CO
2 3
CF
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量 是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量 长度等于1个单位 的向量
为±|aa|
要点梳理
平面向量的概念辨析
例 1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a＝b， b＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确的序号是________．
①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一 定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C， 又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边 形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝ |A→B|，因此，A→B＝D→C.
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
(通用版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算实用课件理
(3)若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定不可能都是零 向量． ( √ )
2．填空题 (1)给出下列命题： ①若 a ＝b ，b ＝c，则 a ＝c； ―→ ―→ ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且 a ∥b ； 其中正确命题的序号是________．
B．若|a |>|b |，则 a >b D．若|a |＝0，则 a ＝0
[解析]
(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量， 故 A 不正
确； 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量， 但共线向量不一定在 ―→ ―→ ―→ 同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当 AB ∥ CD 时， AB 所 ―→ 在的直线与 CD 所在的直线可能重合，故 D 不正确． (2)对于 A，当|a |＝|b |，即向量 a ，b 的模相等时，方向不一定相 同，故 a ＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量 不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a |＝0，则 a ＝0，故 D 不正确，故选 C.
答案：C
1 3.如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的 3 处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC a 的边长为 a ，图中列出了长度均为 的若干个 3 向量，则 ―→ (1)与向量 GH 相等的向量有________； ―→ (2)与向量 GH 共线，且模相等的向量有________； ―→ (3)与向量 EA 共线，且模相等的向量有________．
(
)
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相 反的向量 D．共线向量就是相等向量
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
高考数学一轮复习讲义第五章平面向量概念及线性运算
向量的线性运算
例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示 A→D，A→G.
结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键． 解 A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b； A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C) ＝23A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
定义
法则(或几 何意义)
运算律
求两个向量 加法
和的运算
三角形 平行四边形
(1)交换律： a＋b＝b＋a
(2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
求 a 与 b 的相
减法 反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形 法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量 是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量 长度等于1个单位 的向量
为±|aa|
要点梳理
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．
高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计
5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量， 所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平 行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首 尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一 平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.
2020届一轮复习（理）通用版5.1平面向量的概念及线性运算学案
第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算[考纲要求]1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．突破点一 平面向量的有关概念[基本知识] 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．如果对于任意的向量a ，均有a ∥b ，则b 为________． 答案：零向量2．若e 是a 的单位向量，则a 与e 的方向________． 解析：∵e ＝a|a |，∴e 与a 的方向相同．答案：相同3．△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF ―→共线的向量有________个．答案：7个[典例感悟]1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( ) A ．方向相同的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合，故D 不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若|AB ―→|＝|DC ―→|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中，假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于①，|a |＝|b |，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB ―→|＝|DC ―→|，则AB ―→，DC ―→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由A ，B ，C ，D 四点共线，得向量AB ―→与CD ―→共线，反之不成立，可能AB ∥CD ，所以向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件，故选B.[方法技巧]关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二 平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ＞0时，λa与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λ μ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG ―→＝13(PA ―→＋PB ―→＋PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心．特别地，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0⇔P 为△ABC 的重心．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R)的充要条件．( )(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP ―→＋OQ ―→＝________.答案：FO ―→2．化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝________.解析：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)＋(DC ―→－DB ―→)＝CB ―→＋BC ―→＝0.答案：03．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为________．答案：－12[全析考法]考法一 平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”； (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． [例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC 中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上，AN ―→＝3NB ―→，点P 在MN 上，MP ―→＝2PN ―→，那么AP ―→＝( )A.23AB ―→－16AC ―→B.13AB ―→－12AC ―→C.13AB ―→－16AC ―→ D.12AB ―→＋16AC ―→(2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)AP ―→＝AM ―→＋MP ―→＝AM ―→＋23MN ―→＝AM ―→＋23(AN ―→－AM ―→)＝13AM ―→＋23AN ―→＝16AC―→＋12AB ―→.故选D. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→.因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考法二 平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a＋μb (λ，μ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2(2)(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．[解析] (1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在一个实数t 使AB―→＝t AC ―→，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，μt ＝1，消去参数t 得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB ―→＝1μa ＋b ，此时存在实数1μ使AB ―→＝1μAC ―→，故AB ―→和AC ―→共线．∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．故选A.(2)由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB ―→＝λBD ―→. 又AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2ke 2， 所以BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.[答案] (1)A (2)－94[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用1.[考法一]在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→D.12AB ―→＋34AD ―→解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→，故选B. 2.[考法一]在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13D.23解析：选D 由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→，即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.故λ＋μ＝12＋16＝23.3.[考法二]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [课时跟踪检测] 1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 反向共线D ．存在正实数λ，使得a ＝λb解析：选D 由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使得a ＝λb ，故选D.2．设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→一定成立D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立解析：选A 在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立，AD ―→＝BC ―→一定成立，BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立，但|AB ―→|＝|AD ―→|不一定成立．故选A.4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ，故选B. 5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则1λ＋1μ＝( )A.13B.23C.29D.92解析：选D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D.8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形解析：选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→，即2DA ―→＝CB ―→，∴DA ∥CB ，且2|DA ―→ |＝|CB ―→|，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( )A.14AB ―→－34AC ―→B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→ 解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B. 法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值为( )A.13B.19 C ．1D ．3解析：选B 因为AN ―→＝13NC ―→，所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→，因为B ，P ，N 共线，所以m ＋89＝1，m ＝19.11．(2019·河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：由AP ―→＝12PB ―→可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，所以λ＋1＝－32，解得λ＝－52.答案：－5212．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λμ＝________.解析：∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→，∴AB ―→＝λAM ―→＋3μAB ―→－2μAM ―→，∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→，∵AB ―→和AM ―→是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0，λ－2μ＝0，解得⎩⎨⎧μ＝13，λ＝23，∴λμ＝29. 答案：29 13．(2019·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→ (λ∈R)，则AD 的长为________． 解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3. 答案：3 314．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→.∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→ (0≤λ≤1)．∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12， 即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 15．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)，∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→，∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
高考数学一轮复习 第五章平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算教学案 理
第五章平面向量5.1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1三角形法则平行四边形法则三角形法则(1)|λa|＝______.(2)当λ＞0时，λa的方向____；当向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：__________.1．给出下列命题：①向量AB 与向量BA 的长度相等，方向相反； ②AB ＋BA ＝0；③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，则OC 等于( )．A ．2OA －OBB ．OA ＋2OBC ．23OA －13OB D ．－13OA ＋23OB3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )． A ．a ，b 方向相同B ．a 与b 中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝04．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，共线的三点是__________．5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝__________(用a ，b 表示)．一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确． (1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝CD ，BC ＝DA ； (8)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 方法提炼1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关．请做演练巩固提升1二、向量的线性运算【例2－1】在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD ＝13AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为( )． A ．1 B ． 3 C ．2 3 D ．3【例2－2】如图所示，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF ＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD －AB ；(2)AB ＋CF . 方法提炼1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，则OP ＝12(OA ＋OB )．(2)向量加法的多边形法则12A A ＋23A A ＋34A A ＋…＋1n n A A ＝1n A A .提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．请做演练巩固提升2,3三、向量的共线问题 【例3－1】设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 【例3－2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．请做演练巩固提升5以向量为背景的新定义问题【典例】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A ＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：由13A A ＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC ＝c AB ，AD ＝d AB ，则1c ＋1d＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0＜c ＜1,0＜d ＜1，1c ＋1d＞2，也不正确，故选D ．答案：D答题指导：1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决． 3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办． 1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．A ．aB ．bC ．cD ．0 3．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0，若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 4．(2012四川高考)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测 知识梳理1．大小 方向 模 长度 0 0 为1个单位 方向相同或相反的非零 平行 相等 相同 相等 相反2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|·|a | 相同 相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa 基础自测1．B 解析：②中AB ＋BA ＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB 与CD 所在直线还可能平行，故②③⑤错．2．A 解析：依题意得2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0，所以OC ＝2OA －OB . 3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向． B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．排除A ，B ，C ，故选D.4．A ，B ，D 解析：AB ＋BC ＋CD ＝AD ＝3a ＋6b ，∵AD ＝3AB ，∴A ，B ，D 三点共线．5．b －12a 解析：BE ＝BC ＋CE ＝AD ＋12BA ＝b －12a .考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的； (2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同； (3)不正确；要看向量方向是否相同； (4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同． 【例2－1】C 解析：如图所示，因为B ，D ，C 三点共线，所以λ＋13＝1，即λ＝23.在AB 上取一点E 使AE ＝23AB ，在AC 上取一点F 使AF ＝13AC ，由AD ＝13AC ＋23AB ＝AF ＋AE ，可知四边形AEDF 为平行四边形， 又∠BAD ＝∠CAD ＝30°， 所以AEDF 为菱形．因为AE ＝23AB ，AB ＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF 中，AD sin 120°＝DFsin 30°，所以AD ＝sin 120°·DFsin 30°＝2 3.故选C.【例2－2】解：(1)AD －AB ＝BD ＝OD －OB ＝d －b . (2)AB ＋CF ＝OB －OA ＋CO ＋OF ＝b －a －c ＋f .【例3－1】解：(1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，且BF ＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF ＝λBD ， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12. 【例3－2】(1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB 与BD 共线． ∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝(λk －1)＝0. ∴k ＝±1. 演练巩固提升1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线， ∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴存在实数λ2，使得b ＋c ＝λ2a .② 由①得，b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.3．B 解析：由已知条件可得M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB ＋AC ＝2AD ，又AM ＝23AD ，故m ＝3.4．D 解析：若a|a |＝b |b |，则向量a|a |与b|b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线同向，故选D.5．解：设OA ＝a ，OB ＝t b ，OC ＝13(a ＋b )，∴AC ＝OC －OA ＝－23a ＋13b ，AB ＝OB －OA ＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AC ＝λAB ，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．。