17必修四 第二章 平面向量 第一节 平面向量的基本概念及线性运算 教师版

1第 1 页 共 23 页教学辅导教案1．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120°案：B2．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1 答案：D3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C5．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A6．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 答案：C8.已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴f (α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＝45.[问题1]在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤[答案] D[解析] 由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D ．[问题2] 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →.(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|. (4)不相等． [问题3]根据右图填空：b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________. [答案] af f b δ[解析] 由向量加法的多边形法则可知．[问题4] 如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.[解析] 解法一：AP →＝AB →＋BP →，BQ →＝BC →＋CQ →，CR →＝CA →＋AR →.又∵P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 的中点，∴BP →＝12BC →，CQ →＝12CA →，AR →＝12AB →，∴AP →＋BQ →＋CR →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋12BC →＋12CA →＋12AB →＝32(AB →＋BC →＋CA →)＝0.解法二：AP →＝12(AB →＋AC →)，BQ →＝12(BA →＋BC →)，CR →＝12(CA →＋CB →)， ∴AP →＋BQ →＋CR →＝12(AB →＋AC →＋BA →＋BC →＋C A →＋CB →)＝0.[问题5]化简下列各式：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →－OD →＋AD →； (3)AB →－AD →－DC →.[解析] (1)AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)＋(CA →＋DC →)＝AD →＋DA →＝0. (2)OA →－OD →＋AD →＝OA →＋(AD →＋DO →) ＝OA →＋AO →＝0.(3)AB →－AD →－DC →＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →.[问题6] 如图，已知向量a 、b 、c ，求作向量a －c ＋b . 导学号34340514[解析] 如图，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .连接AC ，则CA →＝a －c .过点B 作BD ∥AC ，且BD ＝AC ，则BD →＝CA →. 所以OD →＝OB →＋BD →＝b ＋a －c ＝a －c ＋b .[问题7]已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ， MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM → ＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2(a －b ) ＝2b －2a .[问题8]化简下列各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )； (2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )． [解析] (1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b .(2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b＝－16a .(3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝－11b ＋11c .[问题9]设两个非零向量a 与b 不共线，若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．[解析] ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线， 又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．1． 向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【典例剖析】【例1】若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b.其中正确的是()A．①④⑤B．③C ．①②③⑤D ．②③⑤[答案] D[解析] |a |与|b |大小关系不能确定，故①错，a 与其单位向量平行②正确．a ≠0，∴|a |>0，③正确．|b |＝1，故④错．由定义知⑤正确．【例2】如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．[解析] ∵AD →＝DB →，∴|AD →|＝|DB →|，从而D 是AB 的中点．∵DF →＝BE →，∴DF →与BE →是平行向量，从而DF ∥BE ，即DF ∥BC ．∴F 是AC 的中点． 由三角形中位线定理知，DF ＝12BC ，又|DF →|＝|BE →|，即DF ＝BE ， 从而E 为BC 的中点． 于是DE ∥AC ，且DE ＝12AC ．∴DE ∥AF 且DE =AF ，故DE →＝AF →. ∵F 是AC 的中点，∴AF ＝12AC ，【例3】在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C [解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．【例4】给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②③④[解析] 若O D →＋O E →＝OM →，则 O D →＝OM →－O E →，故①正确；若O D →＋O E →＝OM →，则OM →－O D →＝OM →＋D O →＝O E →，故②正确； 若O D →＋O E →＝OM →，则O D →－E O →＝OM →，故③正确；若O D →＋O E →＝OM →，则－O D →－O E →＝－OM →，即D O →＋E O →＝M O →，故④正确．【例5】下列各式中不能化简为PQ →的是( )A ．AB →＋(P A →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C ．QC →－QP →＋CQ →D ．P A →＋AB →－BQ →[答案] D[解析] A 中AB →＋BQ →＋P A →＝AQ →＋P A →＝PQ →， B 中AB →＋PC →＋BA →－QC →＝PC →－QC →＝PQ →， C 中QC →－QP →＋CQ →＝PQ →， 故选D ．【例6】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ，MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM → ＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2(a －b ) ＝2b －2a .【例7】化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ). 答案：(1)14a －9b (2)－2a ＋4b【例8】（1）如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C【例9】（1）已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a 与b 是共线向量，则实数k 的值为________．答案：－2（2）如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．[解析] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则： BD →＝BA →＋AD →＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋13e 2，MB →＝12e 1，BC →＝AD →＝e 2，MC →＝MB →＋BC →＝12e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝⎛⎭⎫12e 1＋e 2. 故MN →＝13MC →，故M 、N 、C 三点共线．1．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形[答案] C[解析] 因为AB →与CD →为共线向量，所以AB →∥CD →，但|AB →|与|CD →|可能相等，也可能不相等．2．当向量a 与任一向量都平行时，向量a 一定是________．答案：零向量3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM → [答案] C[解析] 原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →. 4．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案] B[解析] ∵a 与b 方向相反，且|a |<|b |时，a ＋b 与a 的方向相反，a ＋b 与b 的方向相同，故B 不正确．5．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( )A ．a ＝bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．以上都不对[答案] C[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形是菱形，因此|a |＝|b |.6．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ①、②、④、⑤、⑥正确，③不正确，故选C ． 7．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE → [答案] B[解析] EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →，故选B ．8．设a 、b 为非零向量，且满足|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 的关系是( )A ．共线B ．垂直C ．同向D ．反向 [答案] D[解析] 设a 、b 的起点为O ，终点分别为A 、B ，则a －b ＝BA →，由|a －b |＝|a |＋|b |，故O 、A 、B 共线，且O 在AB 之间．故OA →与OB →反向，所以选D ． 9．已知|OA →|＝|OB →|＝2，且∠AOB ＝120°，则|OA →＋OB →|＝________.[答案]2[解析] 以OA →，OB →为邻边作▱OACB ， ∵|OA →|＝|OB →|，∴▱OACB 为菱形， ∴|OA →＋OB →|＝|OC →|，∵∠AOB ＝120°，∴△OAC 为正三角形，∴|OC →|＝ 2. 10．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →[答案] A[解析] ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →，∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →，故选A ．11．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.[答案] 13或－2[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， ∴k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m 1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0， ∴k ＝13或－2.【知识点一】向量a ＋b 与非零向量a ，b 的模及方向的联系(1)当向量a 与b 不共线时，向量a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量a 与b 同向时，向量a ＋b 与a (或b )方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当向量a 与b 反向，且|a |≤|b |时，a ＋b 与b 方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.【知识点二】用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．【经典例题剖析】【例1】下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线 D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量[错解] 错解一：因为向量a 与b 共线，所以a ＝λ1b ，又因为向量b 与c 共线，所以b ＝λ2c ，则a ＝λ1λ2c 向量a 与c 共线，故选A ．错解二：因为向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，根据传递性向量a 与c 不共线，故选B ．错解三：因为向量AB →与CD →是共线向量，所以AB →与CD →在同一条直线上，所以A 、B 、C 、D 四点共线，所以应选C ．[辨析] 错解一中对零向量的认知不到位，忽略了零向量与任何向量共线．错解二中错因是非零向量共线传递的负迁移，是平行线传递性的负迁移．错解三的错因是对向量共线与线段共线在认知上的错位．[正解] 当b ＝0时，A 不对；如图，△ABC 的中位线EF ，a ＝EF →，c ＝BC →，b ＝AB →，显然满足B 的条件，但a ∥c ，故B 不对；当AB →与CD →的基线平行或重合时，AB →与CD →共线，但显然前者A 、B 、C 、D 四点不共线，故C 错；假若a 与b 中存在一个向量为0，则一定有a ∥b ，与a 、b 不共线条件矛盾，∴D 正确．[变式1]已知a 、b 为两个向量，给出以下4个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 的方向相反；③|a |＝0或|b |＝0；④a 与b 都是单位向量． 由条件________一定可以得到a 与b 平行． [答案] ②③[解析] 长度相等或都是单位向量不能得到a ∥b ，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a ∥b .故填②③.【例2】(1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．[解析]由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．[答案](1)4(2)|a|＝|b|[变式2]设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号为()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤答案：C【例3】已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用a ，b 表示向量MC ，NC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线． [解题流程][规范解答](1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝a .(1分)∵M 为AB 的中点，∴MB ＝12AB ＝12b ，(2分)∴MC ＝MB ＋BC ＝12b ＋a .(4分)∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ＝13DB ，(6分)∴NC ＝NB ＋BC ＝13DB ＋BC ＝13(AB －AD )＋BC＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b .(8分) (2)证明：由(1)知NC ＝23MC ，(10分)又NC 与MC 有公共点C ， ∴M ，N ，C 三点共线．(12分)[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边示两相等向量，这在线性运算中经常用到先将MC 用平行四边形中的有关有向表示，然后再用向量表示这是解决此类问通法．要注意向量的始点和终点，此点也出错.将向量NB 转化为13()AB －AD此题的难点，很多同学因不会转化而无法在证出NC ∥MC 后，只有再说明NCMC 有公共点C ，才能说明M ，N ，C 线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完失分．[变式3]如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．答案：(1)OC ＝2a －b ；DC ＝2a －53b (2)451．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________．[答案] BD →、DA →[解析] 三角形的中位线平行且等于底边的一半，EF →＝12BA →＝BD →＝DA →.2．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________．[答案] |AB →|＝|DC →|[解析] 由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量AB →与DC →满足|AB →|＝|DC →|. 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →＋CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →＋CF →＝0 D ．BD →＋BE →＋FC →＝0[答案] A[解析] ∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，∴DE ∥AC ，DF ∥BC ． ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴ED →＝CF →.又AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0，故选A ．∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(AC →－AB →)＝23(b －c )，AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23b －23c ＝23b ＋13c .8．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b .[答案] －57[解析] ∵|a |＝5，|b |＝7，∴|a ||b |＝57，又方向相反，∴a ＝－57b .9．已知a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，则a ＋b ＝________，a －b ＝________，2a －3b ＝_______.[答案] 3e 1－e 2 e 1＋3e 2 e 1＋8e 2 [解析] ∵a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2， ∴a ＋b ＝3e 1－e 2， a －b ＝e 1＋3e 2，2a －3b ＝4e 1＋2e 2－3e 1＋6e 2 ＝e 1＋8e 2.10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．[解析] ∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8＝λk k ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4λ＝－2.故k ＝±4.1．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是( )A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身) B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身) C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线 [答案] D[解析] 易知△ABC 和△ACD 均为正三角形．对于A ，向量AB →＝DC →； 对于B ，|AB →|＝|DC →|＝|DA →|＝|CB →|＝|CA →|；对于C ，△BAD 是顶角为120°的等腰三角形，则|BD →|＝3|DA →|； 对于D ，CB →∥DA →成立，故D 是错误的． 2．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b . 其中正确命题的序号是________． [答案] ②[解析] 在讨论向量共线的问题时，要考虑方向、长度、位置，尤其不能忘记对零向量的讨论．对于①，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故①错误． 对于②，a ＝b ，则a 与b 同向，∴a ∥b ，故②正确．对于③，|a |与|b |不一定相等，a 与b 的方向也不一定相同，故a ＝b 不一定成立，故③错误．3．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C[解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．22[答案] D[解析] ∵AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |，∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D ．5．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．[答案] 3 [解析] 如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.6.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.[答案] 2[解析] ∵AD DB ＝AE EC ＝12， ∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1， 如图所示，作CF →＝ED →，连DF ，则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →，∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.7．已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0.求证：G 是△ABC 的重心．[解析] 如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－(GB →＋GC →)()以GB →、GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →，又∵在▱BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →，∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|，∴G 为△ABC 的重心．8．已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于E 点，O 是任意一点，如图所示．求证：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OE →.[解析] 解法一：因为E 为平行四边形两对角线的交点，所以2OE →＝OA →＋OC →，2OE →＝OB →＋OD →.即4OE →＝OA →＋OB →＋OC →＋OD →.解法二：因为OE →＝OA →＋AE →＝OB →＋BE →＝OC →＋CE →＝OD →＋DE →，而AE →＋CE →＝0，BE →＋DE→＝0，所以4OE →＝OA →＋OB →＋OC →＋OD →.。