2009年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2log 2的值为【D 】A ．2B.2C.12- D.122.抛物线2y =-8x 的焦点坐标是【B 】A ．（2，0）B.（-2，0）C.（4，0）D.（-4，0）3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于【C 】A ．13B.35C.49D.634．如图1D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则【A 】A ．AD +BE +CF =0B ．BD CE DF -+ =0C ．AD CE CF +- =0D ．BD BE FC -- =0图15．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【B 】A ．14B.16C.20D.486．平面六面体ABCD -1A 1B 1C 1D 中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为【C 】A ．3B.4C.5D.67．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（A）8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数{(),(),()()f x f x kk k f x kf x ≤>=取函数()2xf x -=。

当K =12时，函数()k f x 的单调递增区间为【C 】A (,0)-∞B (0,)+∞C(,1)-∞-D(1,)+∞二填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

9.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.10.若0x >，则2x x+的最小值为22.11.在4(1x +的展开式中，x 的系数为6(用数字作答)。

12.一个总体分为A.B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。

已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为12013.过双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A.B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为2。

14.在锐角ABC ∆中，6b xlyB =--则cos ACA的值等于2，AC 的取值范围为(2,3)。

15.如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若AD xAB y AC =+，则312x =+,32y =图2三解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。

16（每小题满分12分）以知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=。

（Ⅰ）若a //b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若,0,a b θπ=<<求θ的值。

解（Ⅰ）因为//a b ，所以2sin cos 2sin θθθ=-，于是sin cos a θθ=，故tan θ=14（Ⅱ）由a =b 知，2sin θ+（cos θ-2sin θ2)=5，所以1-2sin2θ+42sin θ=5.从而-2sin2θ+2（1-cos2θ=4，即sin2θ+cos2θ=-1，于是Sin （2θ+4π）=-22又由0<θ<π知，4π<2θ+4π<94π，所以2θ+4π=54π，或2θ-4π=74π因此θ=2π，或θ=34π17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设要求：（I ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件1A ,1B ,1C ，i=1，2，3.由题意知1A 23A A 相互独立，1B 23B B 相互独立，1C 23C C 相互独立，1A ,1B ,1C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且P （1A ）=，p （1B ）=13，p （1C ）=16（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！p （1A 2B 3C ）=6p （1A ）p （2B ）p （3C ）=6x12x 13x 16=16（1I ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率P=1-p （1B 2B 3B）=1-p （1B ）p （2B ）p （3B ）=1-（1-132)=192718.（本小题满分12分）如图3，在正三棱柱ABC -1A 1B 1C 中，AB =4,A 1A 7,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

解（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC -1A 1B 1C 的性质知1AA ⊥平面ABC又DE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥A 1A .而DE ⊥A 1A ，111AA A E A = ,所以DE ⊥平面11ACC A又DE ⊂平面1A DE ，故平面1A DE ⊥平面11ACC A （Ⅱ）解法1过点A 作AF 垂直1A E 于点F 连接DF .由（Ⅰ）知，平面1A DE ⊥平面11ACC A ，所以AF ⊥平面1A DE ,故ADF ∠直线AD 和平面1A DE ∠所成的角。

因为DE ⊥11ACC A 所以DE ⊥AC 而∆ABC 是边长为4的正三角形，于是AD =23AE=4-CE =4-12CD =3又因为A 1A =7所以1A E =221AA AE +=2(7)3+=411374AE AA AF A E ∙==,21sin 8AF ADF AD ∠==即直线AD 和平面1A DE 所成的角的正弦值为218解法2如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),1A .(2,0,7),D(-1,3),E(-1,0.0)易知1A B=（-3，3，-7），DE =（0，-3，0），AD =（-3，3，0）设n=（x ，y ，z ）是平面1A DE 的一个法向量，则1303370{n DE y n A D x y z ∙=-=∙=-+-=uuu vuuuu v解得7,03x z y =-=故可取n=7,0,-3，）于是37218423-=-⨯cos ,n ADn AD n AD∙=∙uuu ruuu r uuu r由此即知，直线AD 和平面1A DE 所成的角是正弦为21819．（本小题满分13分）已知函数()f x =3x +2bx +cx 的导函数中图象关于直线x=2对称。

（1）求b 的值；（2）若()f x 在x=1处取得最小值，记此极小值为g(1)，求g(1)的定义域和值域。

解（1）()f x =32x +2bx+c ；因为函数1f （x ）的图象关于直线x=2对称，所以26b-=2，于是6b =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x =3x -62x +cx ；1f （x ）=32x -12x+c=32(2)x -+c-12.（ⅰ）当c ≥12时，'f （x ）≥0，此时()f x 无极值。

（ii ）当c ≤12时，'f （x ）=0有两个互异实根1x ·2x ，不妨设1x ＜2x ，则1x ＜2＜2x 当x ＜1x 时，'f （x ）>0，()f x 在区间（-∞，1x ）内为增函数；当1x ＜x＜2x 时，'f （x ）＜0，()f x 在区间（1x ，2x）内为减肥函数当1x ＜2x 时，'f （x ）>0，()f x 在区间（+∞，2x）内为增函数所以()f x 在x =1x 处取极大值，在x =1x 处取极小值因此，当且仅当12c <时，函数()f x 在2x x =处存在唯一极小值，所以22t x =>于是()g t 的定义域为(2,)+∞由/2()3120f t t t c =-+=得2312c t t=-+于是3232()()626,(2,)g t f t t t ct t t t ==-+=-+∈+∞当2t >时，/2()6126(2)0,g t t t t t =-+=-<所以函数()g t 在区间(2,)-∞内是减函数，故()g t 的值域为(,8).-∞20（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）（1）求椭圆C 的方程：（2）设点P 是椭圆C 的左准线与x 轴的交点，过点P 的直线L 与椭圆C 相交于M.N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线L 的斜率的取值范围。

解（1）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>焦距为2c ，由题设条件知，28,,a b c ==所以221 4.2b a ==故椭圆C 的方程式为22184x y +=（3）椭圆C 的左准线方程为4,x =-所以点P 的坐标(4,0)-，显然直线l 的斜率k 存在，所以直线l 的方程为(4)y k x =+。

如图，设点M ，N 的左边分别为1122(,),(,),x y x y 线段MN 的中点G 00(,)x y，由22(4)184y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(12)163280k x k x k +++-=……①由2222(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->解得2222k -<<……②因为12,x x 是方程①的两根，所以21221612k x x k+=-+，于是0x =122x x +=22812k k -+，0024(4)12k y k x k =+=+因为0x =22812k k-+≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边，有直线12F B ,1F 1B 方程分别为2,2,y x y x =+=--所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为000022{y x y x ≤+≥-既22222248212124821212k k k k k k k k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩亦即2222102210k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩解得313122k ---≤≤，此时②也成立故直线l 斜率的取值范围是[312--,312-)21.（本小题满分13分）对于数列{}nu 若存在常数M ＞0,对任意的n N '∈，恒有1121n n n n u u u u u u M+--+-+∙∙∙+-≤则称数列{}nu 为B -数列(I)首项为1，公比为12-的等比数列是否为B-数列？请说明理由;(II)设S n 是数列{}x n 的前n 项和。