2009年高考数学(湖南)文(word版含答案)
2009年湖南高考数学文科卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2log 的值为 【 D 】A ． B.C. 12-D. 122. 抛物线2y =-8x 的焦点坐标是 【 B 】A ．（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0） 3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 【 C 】 A ．13 B. 35 C. 49 D. 634．如图1 D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 【 A 】A ．AD + BE + CF=0 B ．BD CE DF -+ =0 C ．AD CE CF +- =0D ．BD BE FC --=0 图15．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A ．14 B. 16 C. 20 D. 486．平面六面体ABCD - 1A 1B 1C 1D 中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为【 C 】 A ．3 B. 4 C.5 D. 67．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b ］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象可能是（A ）8. 设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数{(),(),()()f x f x k k k f x kf x ≤>=取函数()2xf x -=。
当K =12时，函数()k f x 的单调递增区间为 【C 】 A (,0)-∞ B (0,)+∞ C (,1)-∞- D (1,)+∞二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
2023年高考真题——数学(新高考II卷) Word版含解析
程，解出即可.
y xm
【详解】将直线
y
x
m
与椭圆联立
x2 3
y2
，消去
1
y
可得
4x2
6mx
3m2
3
0
，
因为直线与椭圆相交于 A, B 点，则 36m2 4 4 3m2 3 0 ，解得 2 m 2 ，
设 F1 到 AB 的距离 d1,F2 到 AB 距离 d2 ，易知 F1 2, 0 , F2 2, 0 ，
5.
已知椭圆 C :
x2 3
y2
1 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，直线
y
x m 与 C 交于 A，B 两点，若 △F1AB
面积是 △F2 AB 面积的 2 倍，则 m （ ）．
2 A. 3
B. 2 3
C. 2 3
D. 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 0 ，求出 m 范围，再根据三角形面积比得到关于 m 的方
综上所述： a 1 .
故选：B.
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高 中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有 （ ）．
A.
C45 400
C15 200
种
.C
C30 400
C40 400
C20 200
种.
故选：D.
4.
若
f
x
x
a
ln
2x 2x
1 1
为偶函数，则
a
（
）．
A. 1
2009年高考数学(安徽)文(word版含答案)
2] A． [2，
D． [ 2， 2]
10．考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三 角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ） A．1 B．
1 2
C．
1 3
D．0
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科）
第 II 卷（非选择题 共 100 分）
）
4 3 D． 3 4 4． “ a c ＞ b d ”是“ a ＞ b 且 c d ”的（ ）
A． B． C． A．必要不充分条件 C．充分必要条件 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ）
3 2
2 3
5．已知 | an | 为等差数列， a1 + a3 + a5 =105， a2 a4 a6 =99，则 a20 等于（ A． 1 B．1 C．3 D． 7 ）
C． 1 i
2．若集合 A {x | (2 x 1)(x 3) 0} ， B {x N，|x ≤ 5} 则 A
B 是（）Βιβλιοθήκη ， 2， 3} A． {1
， 2} B． {1
5} C． {4，
， 2， 3， 4， 5} D． {1
x ≥ 0 3．不等式组 x 3 y ≥ 4 所表示的平面区域的面积等于（ 3 x y ≤ 4
a 1
a 2a 1
否
a 100 ?
是 输出 a 结束 （第 12 题图） 13．从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是 ． 14．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 AC = AE + AF ， 其中 ， R ，则 ．
(word完整版)湖南省_2001年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题DOC
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若sini θcos θ＞0，则θ在 ( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )A ．(x －3) 2＋(y ＋1) 2 = 4B ．(x ＋3) 2＋(y －1) 2 = 4C ．(x －1) 2＋(y －1) 2 = 4D ．(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 43．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1B ．2C ．4D ．64．若定义在区间(－1，0)的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 ( ) A ．(210，)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛210，C ．(21，＋∞) D ．(0，＋∞)5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )6．函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )A ．y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)B ．y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)C ．y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)D ．y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)7． 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0)， F 2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 8． 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29． 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°10．设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A ．P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2 = P 1C ．P 3 = P 2＞P 1D ．P 3 = P 2 = P 112． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A ．26 B ．24C ．20D ．19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为15．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q =16．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)已知复数z 1 = i (1－i ) 3．(Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． 19． (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． 20． (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． 21． (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22． (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=． ……4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=． 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分 连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = ……6分 根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p ii m 1…mi m 1+-⋅， 同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以， im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元． 所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0． 化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，11 / 11 即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = na 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21，……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0．……14分。
2011年高考数学湖南文(word版含答案)
【选择题】【1】．设全集{}{}1,2,3,4,5,2,4,U U M N M N ==∪∩=ð则N =（ ）. （A ）{}1,2,3 （B ）{}1,3,5 （C ）{}1,4,5（D ）{}2,3,4【2】．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）. （A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==-（D ）1,1a b =-=-【3】．“1x >”是“1x >”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件 【4】．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）.（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【5】．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 算得，22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）. （A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”（D ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【6】．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）.（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【7】．曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点M （4π，0）处的切线的斜率为（ ）.（A ） 12-（B ） 12 （C ） 2- （D ）2【8】．已知函数2()e 1,()43x f x g x x x=-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）.（A ） 2⎡⎣（B ） (22+（C ）[]1,3 （D ）()1,3【填空题】【9】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .【10】．（选做题）已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 .【11】．（必做题）若执行如下图所示的框图，输入11x =，2342,4,8x x x ===，则输出的数等于 .【12】．（必做题）已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_________． 【13】．（必做题）设向量，a b 满足|ab =（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 【14】．（必做题）设1,m >在约束条件,,1y x y mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．【15】．（必做题）已知圆2212C xy +=：，直线4325.l x y +=： （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 【16】．（必做题）给定*k ∈N ，设函数**f →N N ：满足：对于任意大于k 的正整数n ，().f n n k =-（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当n ≤4时，2≤()f n ≤3，则不同的函数f 的个数为 . 【解答题】【17】．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小； （2）求cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.【18】．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X =70时，Y =460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160,220, 140, 160.（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表：（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【19】．如图1，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2AB =，点C 在AB 上，且∠CAB =30°，D 为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面POD ;（2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.【20】．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （1）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（2）设12···nn a a a A n+++=，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新．【21】．已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相图1交于点,D E ，求,AD EB 的最小值.【22】．设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R . （1）讨论()f x 的单调性.（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】 【1】．B 提示：由{}1,2,3,4,5U MN ==,{}2,4U MN =ð,得N ={}135，，.故选（B ）. 【2】．C提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（C ）. 【3】．A提示：由1x ＞可推出1x ＞，而由1x ＞推不出1x ＞.故选（A ）.【4】．D提示：由已知可得该空间几何体为一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（D ）. 【5】．A提示：26.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（A ）. 【6】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【7】．B 提示：：''sin 11()sin cos 21sin 2x y x x x=-=++，所以1121sin(2)4k ==π+⨯.故选（B ）. 【8】．B 提示：()e 11x fx =--＞，若()()f a g b =，则()2431g b b b =-+--＞，解得22b ＜.故选（B ）. 【9】．2提示：将参数方程2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22143x y +=，将(cos sin )10ρθθ-+=化为直角坐标方程为10x y -+=，联立方程组221,4310,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得27880x x +-=，因为0＞Δ，故交点有2个.【10】．40或60提示：区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：则试点可选为1310(9010)408x =+-=或2510(9010)608x =+-=，由对称性可知，第二次试点可以是40或60.故填40或60. 【11】．154提示：先求和123415x x x x x =+++=，然后再求平均数，输出154x =.【12】．6 提示：()()(2)2929g f f -=-+=-+，所以()26f =.【13】．(4,2)--提示：设(,)x y =a ，由a 与b 的方向相反可设(0)λλ=＜a b ，所以2,,x y λλ=⎧⎨=⎩代入2220x y +=，解得2λ=-，则a 的坐标为(4,2)--.【14】．3提示：画出可行域，利用图解法求解；或,,y x y mx =⎧⎨=⎩1,,x y y mx +=⎧⎨=⎩1,,x y y x +=⎧⎨=⎩求出三个区域端点111(0,0),(,),(,)1122m m m ++，当且仅当直线5z x y =+过点1(,)11mm m ++时有最大值5141m z m +==+，解得3m =.【15】．（1）5；（2）16. 提示：（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为2555d==；（2）由（1）知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线l 的距离小于2，即1:4315l x y +=与圆相交所得的劣弧上，由半径为3可知劣弧所对的圆心角为3π，故所求的概率为1326P π==π.【16】．（1）a （a 为正整数）；（2）16. 提示：（1）由题可知()f n ∈*N ，而1k =时，1n >，则()1f n n =-∈*N ，故只须()1f ∈*N ，故(1)f a =（a 为正整数）.（2）由题可知4k =，4n >，则()4f n n =-∈*N ，而n ≤4时，2≤()f n ≤3即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，则不同的函数f 的个数为4216=.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以s i n 0A ＞.从而s i n cos .C C =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=. （2）由（1）知，34B A π=-cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．解：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为（2）P （“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 【19】．解：（1）如图2，因为OA OC =,D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又⊥PO 底面O ，AC ⊂底面O ,所以AC PO ⊥,而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .（2）由（1）知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC ，在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，则OH ⊥平面PAC .连结CH ， 则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．在Rt △ODA 中，1sin 30.2OD OA =⋅=在Rt △POD中，3OH==在Rt △OHC中，sin 3OH OCHOC ∠== 故直线OC 和平面PAC所成角的正弦值为3【20】．解：（1）当n ≤6时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列，12010(1)13010;n a n n =--=-当n ≥6时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34的等比数列， 又670a =，所以6370()4n n a -=⨯.因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为613010,6,370(),7.4n n n n a n --≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩ (2)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得, 当6n 1≤≤时，1205(1),1205(1)1255;nn S n n n A n n =--=--=-当n ≥7时，由于6S =570,故667833()570704[1()]44n n n S S a a a -=++++=+⨯⨯⨯-63780210(),4n -=-⨯ 63780210()4n n A n--⨯=.因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又283780210()4748280,864A -⨯==>393780210()7947680,996A -⨯==< 所以须在第9年初对M 更新．【21】．解：（1）如图，设动点P 的坐标为(,)x y|| 1.x = 化简得222.y x x =+当x ≥0时，24y x =，当0x ＜时，0.y =图2所以，动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≥和0(0).y x =<（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-．由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设3344(,),(,),D x y E x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=.故()()AD EB AF FD EF FB ⋅=+⋅+AF EF AF FB FD EF FD FB =⋅+⋅+⋅+⋅AF FB FD EF =⋅+⋅1234(1)(1)(1)(1)x x x x =+++++ 12123434()+1++()+1x x x x x x x x =+++2241(2)11(24)1k k=+++++++22184()8416k k =+++⨯=≥. 当且仅当221k k =,即1k =±时，AD EB ⋅取最小值16． 【22】．解：（1）()f x 的定义域为(0,),+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=． 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a -Δ=当0()0.a f x '2≤时，≤，≥Δ故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x <-2>=时，，Δ的两根都小于0.在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x >2>=时，，Δ的两根为12x x ==.当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--. 又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-. 若存在a ，使得2,k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-.即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1).x x x x --=> (*)再由（1）知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以 222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾． 故不存在a ，使得2.k a =-【End 】。
2009年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）若log2a＜0，＞1，则（）A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0 C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0【考点】对数函数的单调区间．【分析】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a，b即可．【解答】解：依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0＜a＜1，b＜0，故选D【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题．2．（5分）（2009•湖南）对于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】向量的共线定理；充要条件．【专题】常规题型．【分析】利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．【解答】解：∵⇒⇒反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法．3．（5分）（2009•湖南）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin（x﹣）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据图象变换得到平移后的函数y=sin（x+φ），然后结合诱导公式可得到sin（x+π）=sin（x﹣），进而可确定答案．【解答】解：将函数y=sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位得到函数y=sin（x+φ）．根据诱导公式知当φ=π时有：y=sin（x+π）=sin（x﹣）．故选D．【点评】本题主要考查图象变换和诱导公式的应用．考查对基础知识的综合运用．4．（5分）（2009•湖南）如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y=（x≥0）的部份图象分别对应曲线C1和C2，则（）A．0＜λ1＜λ2B．0＜λ2＜λ1 C．λ1＜λ2＜0 D．λ2＜λ1＜0【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据图象先判定λ的正负，然后利用图象的高低列出不等式即可．【解答】解：∵曲线C1和C2在第一象限且成递增趋势取点（2x，f（2x）与（0，f（0），连接之后，取其中点（x，[f（2x）+f（0）]/2），根据图象（凸函数）可知，这个中点的纵坐标是小于f（x）（即点（x，f（x））的，由此，[f（2x）+f（0）]/2＜f（x），因为x＞=0，可解得λ＞0，∴λ1，λ2均大于0根据图象有＞∴1+λ1x＜1+λ2x∴λ1x＜λ2x∵x≥0∴0＜λ1＜λ2故选A．【点评】本题考查了根据图象列出不等式的知识，做题时注意分式不等式中分母的关系．5．（5分）（2009•湖南）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85 B．56 C．49 D．28【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21•C72=42，另一类是甲乙都选的选法有C22•C71=7，根据分类计数原理知共有42+7=49，故选C．【点评】本题考查分类加法，在题目中有三个元素有限制条件，解题时先安排有限制条件的元素排列，在安排没有限制条件的元素，注意做到不重不漏．6．（5分）（2009•湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（）A．B．C．D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；弧长公式．【专题】图表型；数形结合；转化思想．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求．∵k OB=﹣，k OA=，∴tan∠BOA=||=1，∴∠BOA=．∴劣弧AB的长度为2×=．故选B．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．7．（5分）（2009•湖南）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单组合体的结构特征；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；压轴题；数学模型法．【分析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．【解答】解：如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF 和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F 为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选C．【点评】本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．8．（5分）（2009•湖南）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有f k（x）=f（x），则（）A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】根据新定义的函数建立f k（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．【解答】解：由题意可得出k≥f（x）最大值，由于f′（x）=﹣1+e﹣x，令f′（x）=0，e﹣x=1=e0解出﹣x=0，即x=0，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2﹣1=1．故当k≥1时，恒有f k（x）=f（x）．因此K的最小值是1．故选D．【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．10．（5分）（2009•湖南）在（1+x）3+（1+）3+（1+）3的展开式中，x的系数为7（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式中x的系数是二项式（1+x）3，，的展开式的x的系数和，再利用二项展开式的通项公式求出各二项展开式的x的系数．【解答】解：C31+C32+C33=23﹣1=7．故答案为7【点评】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．（5分）（2009•湖南）若x∈（0，）则2tanx+tan（﹣x）的最小值为2．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】先利用诱导公式把tan（﹣x）转化成，然后根据x的范围判断出tanx＞0，利用基本不等式求得其最小值．【解答】解：2tanx+tan（﹣x）=2tanx+∵x∈（0，），∴tanx＞0，∴2tanx+≥2=2（当且仅当tanx=时，等号成立）故答案为：2．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题过程中注意等号成立的条件．12．（5分）（2009•湖南）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题设条件，先设∠B2F1B1=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率．解题的同时要进行验根，避免出现不必要的错误．【解答】解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．若∠B2F1B1=60°，则∠B2F1F2=30°．由勾股定理可知c=b．∴，故双曲线C的离心率为．若∠F1B2F2=60°，则∠F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足c＞b，所以不成立．综上所述，双曲线C的离心率为．答案：．【点评】解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．13．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40．【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．【点评】本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．14．（5分）（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为3．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意说明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离．（2）如图作出过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．【解答】解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，即：OD=12（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则∠OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC 所成二面角．易得DE=4所以tan∠OED==3故答案为：（1）12；（2）3．【点评】本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现．15．（5分）（2009•湖南）将正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=…，f（n）=．【考点】数列的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据等差中项法分别求解n=2，3，4时的值，由此归纳出f（n）的值即可．【解答】解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=12（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1∴f（2）=2=当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2同样根据等差中项可得，M的数为∴f（3）=3+==同理可得，f（4）=5=f（n）=故答案为：，【点评】本题目主要考查了数列的通项公式的求解在实际问题中的应用，解题的关键是灵活利用等差中项，进行求解．考查了考试发现问题、解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•湖南）在△ABC，已知2=32，求角A，B，C的大小．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理的应用．【分析】先用向量的数量积求出角A，再用三角形的内角和为180°得出角B，C的关系，用三角函数的诱导公式解之．【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c由2得2abcocA=bc所以cosA=又A∈（0，π）因此A=由=32得bc=；于是sinCsinB==所以sinCsin（）=，∴即sin（2C﹣）=0∵∴∴∴故A=或【点评】考查向量的数量积及三角函数的诱导公式．向量与三角结合是高考常见题型．17．（12分）（2009•湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（I）由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率．（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（I）3名工人独立地从中任选一个项目参与建设设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C．则，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．P（X=0）=；；；．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目．18．（12分）（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，⇒DE⊥AA1．再由DE⊥AE⇒DE⊥平面ACC1A1．即可得出结论；（2）设O是AC的中点．先建立一个以O为原点建立空间直角坐标系，得到相关各点的坐标．再利用线面角的求法在空间直角坐标系内找到直线AD和平面ABC1所成角的正弦值即可．【解答】解：（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1．又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1．又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A（0，﹣1，0），B（，0，0），C1（0，1，），D（，﹣，）．易知=（，1，0），=（0，2，），=（，，）．设=（x，y，z）是平面ABC1的一个法向量，则有解得x=﹣y，z=﹣y．故可取=（1，﹣，）．于是cos＜＞===由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直19．（13分）（2009•湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（13分）（2009•湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】（1）由题意，要求动点的轨迹方程，由于已经告诉了动点所满足的约束条件所以利用直接法求其轨迹即可：（2）由题意及解析式画出图形，利用直线与曲线的轨迹方程联立，通过图形讨论直线与轨迹的交点，利用两点间的距离公式求解即可．【解答】解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），由题设则3︳x﹣2︳①由题意轨迹图（1）如下：（图1）当x＞2时，由①得，化简得．当x≤2时由①得化简得y2=12x故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线C2：y2=12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与C1，C2的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为k AF=，k BF=．图2当点P在C1上时，由②知．④当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x﹣3）（1）当k≤k AF，或k≥k BF，即k≤﹣2时，直线I与轨迹C的两个交点M（x1，y1），N（，）都在C1上，此时由④知|MF|=6﹣x 1|NF|=6﹣从而|MN|=|MF|+|NF|=（6﹣x 1）+（6﹣）=12﹣（x1+）由得（3+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣108=0则x1，x是这个方程的两根，所以x 1+=*|MN|=12﹣（x1+）=12﹣因为当，或时，k2≥24，．当且仅当时，等号成立．（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点M（x1，y1），N（x2，y2）分别在C1，C2上，不妨设点M在C1上，点C2上，则④⑤知，设直线AF与椭圆C1的另一交点为E（x0，y0），则x0＜x1，x2＜2.所以|MN|=|MF|+|NF|＜|EF|+|AF|=|AE|．而点A，E都在C1上，且，有（1）知若直线ι的斜率不存在，则x1=x2=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为．【点评】（1）此问重点考查了直接法求动点的轨迹方程，还考查了对于含绝对值的式子化简时的讨论；（2）此问重点考查了利用图形抓住题目中的信息，分类讨论的思想，还考查了圆锥曲线中的焦半径公式（用点的一个坐标表示），还考查了两点间的距离公式．21．（13分）（2009•湖南）对于数列{u n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N'，恒有|u n+1﹣u n|+|u n ﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M则称数列{u n}为B﹣数列（1）首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是否为B﹣数列？请说明理由；（2）设S n是数列{x n}的前n项和，给出下列两组论断；A组：①数列{x n}是B﹣数列②数列{x n}不是B﹣数列B组：③数列{S n}是B﹣数列④数列{S n}不是B﹣数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列{a n}，{b n}都是B﹣数列，证明：数列{a n b n}也是B﹣数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题；压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）根据B﹣数列的定义，首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列，验证|u n+1﹣u n|+|u n﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M即可；（2）首项写出两个命题，根据B﹣数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；（3）数列{a n}，{b n}都是B﹣数列，则有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1，|b n+1﹣b n|+|b n ﹣a n﹣1|…++|b2﹣b1|≤M2，下面只需验证|a n+1b n+1﹣a n b n|+|a n b n﹣a n﹣1b n﹣1|+…+|a2b2﹣a1b1|≤M．【解答】解（1）设满足题设的等比数列为{a n}，则a n=q n﹣1，于是|a n﹣a n﹣1|=|q n﹣1﹣q n﹣2|=|q|n ﹣2|q﹣1|，n≥2因此|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|=|q﹣1|（1+|q|+|q|2++|q|n﹣1）．因为|q|＜1，所以1+|q|+|q|2+…+|q|n﹣1=，即|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n1|+…+|a2﹣a1|＜故首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是B﹣数列．（2）命题1：若数列{x n}是B﹣数列，则数列{S n}是B﹣数列．此命题为假命题．事实上，设x n=1，n∈N•，易知数列{x n}是B﹣数列，但S n=n|S n﹣1﹣S n|+|S n﹣S n+1|+…+|S2﹣S1|=n由n的任意性知，数列{S n}是B﹣数列此命题为假命题．命题2：若数列{S n}是B﹣数列，则数列{x n}是B﹣数列此命题为真命题事实上，因为数列{S n}是B﹣数列，所以存在正数M，对任意的n∈N*，有|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|≤M即|x n+1|+|x n|+…+|x2|≤M．于是|x n+1﹣x n|+|x n﹣x n﹣1|+…+|x2﹣x1|≤|x n+1|+2|x n|+2|x n﹣1|+…+2|x2|+2|x1|≤2M+|x1|所以数列{x n}是B﹣数列．（3）若数列{a n}{b n}是B﹣数列，则存在正数M1．M2，对任意的n∈N•，有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1，|b n+1﹣b n|+|b n﹣a n﹣1|…++|b2﹣b1|≤M2注意到|a n|=|a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|a n﹣a n﹣1|+|a n﹣1﹣a n﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M1+|a1|同理：|b n|≤M2+|b1|记K2=M2+|b2|，则有K2=M2+|b2||a n+1b n+1﹣a n b n|=|a n+1b n+1﹣a n b n+1+a n b n+1﹣a n b n|≤|b n+1||a n+1﹣a n|+|a n||b n+1﹣b n|≤K1|a n+1﹣a n|+k1|b n+1﹣b n|因此K1（|b n+1﹣b n|+|b n﹣b n﹣1|+|a2﹣a1|）≤k2M1+k1M2+K1（|b n+1﹣b n|+|b n﹣b n﹣1|+|a2﹣a1|）≤k2M1+k1M2故数列{a n b n}是B﹣数列．【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，综合性较强，属难题．。
高考数学(文)二轮复习专题五 解析几何 后 记 答题模板 Word版含答案
后记答题模板【范例赏析】后记答题模板(本讲对应学生用书第48~49页) 范例赏析典例如图，已知A，B分别为曲线C：22xa+y2=1(y≥0，a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C 于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标.(2)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(典例)【规范解答】(1)当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧AB的三等分点，得∠BOT=60°或120°.2分①当∠BOT=60°时，∠SAB=30°.又AB=2，故在△SAB中，有SB=AB·tan 30°=23，所以S231⎛⎝⎭，. 4分②当∠BOT=120°时，同理可求得点S 的坐标为(1，).综上，点S 的坐标为S1⎛ ⎝⎭或S (1，2). 6分(2)切入点一：从点“T ”入手设点T (a cos θ，sin θ)(sin θ≥0)，则直线AT 的方程为y=sin cos a a θθ+(x+a )， 8分令x=a ，得点S 2sin cos 1a θθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以k OS =2sin (cos 1)a θθ+.又B (a ，0)，所以k TB =sin cos -a a θθ. 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.所以k OS ·k TB =sin cos -a a θθ·2sin (cos 1)a θθ+=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以. 15分经检验，当时，O ，M ，S 三点共线.故存在，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点二：从点“S ”入手设点S (a ，m )，则直线SA 的方程为y=2m a (x+a )，联立方程组2221()2x y a m y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，化简得(m 2+4)x 2+2m 2ax+m 2a 2-4a 2=0.8分设点T (x T ，y T )，因为A (-a ，0)，所以x T ·(-a )=2222-44m a a m +，得x T =224-4a m am +，y T =244m m +，所以k TB =-2ma . 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.12分又因为k OS =m a ，所以k OS ·k TB =m a ·2-ma ⎛⎫⎪⎝⎭=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以a=2.15分经检验，当a=2时，O ，M ，S 三点共线.故存在a=2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点三：从直线AS 的斜率入手 假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线. 由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.8分显然，直线AS 的斜率k 存在且k>0，可设直线AS 的方程为y=k (x+a ).由2221()x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得(1+a 2k 2)x 2+2a 3k 2x+a 4k 2-a 2=0. 10分设点T (x T ，y T )，所以x T ·(-a )=42222-1a k a a k +.故x T =3222-1a a k a k +，从而y T =k (x T +a )=2221ak a k +，亦即T 322222-211a a k ak a k a k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 12分方法一：因为B (a ，0)，所以BT u u u r =322222-2211a k aka k a k ⎛⎫⎪++⎝⎭，.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以OS u u u r =(a ，2ak ).由BT ⊥OS ，可得BT u u u r ·OS u uu r =422222-241a k a k a k ++=0，即-2a 4k 2+4a 2k 2=0. 因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分方法二：因为B (a ，0)，所以k BT =-TT y x a =-21a k ，故k SM =a 2k.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以直线SM 的方程为y-2ak=a 2k (x-a ).O ，M ，S 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即-2ak=a 2k (-a ).因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分【总结提升】解题几何中的多动点问题，一直是学生难以逾越的障碍，究其原因：“多且动”，大有牵一发而动全身的感觉，各个点都丝丝相连，环环相扣.而恰恰正是点多且动，反而给我们一个启发，多且动的点中肯定有一个“核心点”，正是这个点牵动了其他点，使其他点始终围绕这个“核心点”运动.例题正是这类问题，其中点M 即为“核心点”，只要把握好这个“核心点”在圆上具有的性质，以其他的点或线为切入点，就可从多途径入手，让每个动点都可“一显身手”，以达到多解的目的.【拓展训练】拓 展 训 练变式 (2015·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22x a+22y b =1(a>b>0)的离心率为2，直线l ：y=12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB=25，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N.(1)求a ，b 的值；(2)求证：直线MN 的斜率为定值.(变式)【解答】(1)因为e=c a =2，所以c 2=12a 2，即a 2-b 2=12a 2，所以a 2=2b 2，故椭圆E 的方程为222x b +22y b =1.由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限.由22221212y x x y b b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得A233⎫⎪⎪⎝⎭，. 又AB=5，所以5，即43b 2+13b 2=5，解得b 2=3.故a=6，3.(2)由(1)知椭圆E 的方程为26x +23y =1，从而A (2，1)，B (-2，-1).①当CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB =00-1-2y x ·0012y x ++=2020-1-4y x =202031--16-4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=20202-2-4x x =-12，所以k CB =-112k .同理k DB =-212k .于是直线AD 的方程为y-1=k 2(x-2)，直线BC 的方程为y+1=-112k (x+2).由1211-(2)2-1(-2)y x k y k x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，，解得12112122124-4-221-2-41.21k k k x k k k k k y k k ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，从而点N 的坐标为12112212124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为12212112124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k +++，.所以k MN =12212112121211221212-2-41-2-41-21214-4-24-4-2-2121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=12214(-)4(-)k k k k =-1.即直线MN 的斜率为定值-1.②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，-1).仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB =-212k .此时CA ：x=2，DB ：y+1=-212k (x+2)，它们的交点坐标为M 222-1-k ⎛⎫⎪⎝⎭，.由BC ：y=-1，AD ：y-1=k 2(x-2)，它们交点N 222--1k ⎛⎫⎪⎝⎭，，从而k MN =-1也成立. 由①②可知，直线MN 的斜率为定值-1.。
2009年高考数学(北京)文(word版含答案)
解：（Ⅰ）因为
=
=
所以函数 的最小正周期为 ．
（Ⅱ）由 得
所以 ．
即 的最大值为1，最小值为 ．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ） 四边形 是正方形，
．
底面 ，
．
平面 ．
平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 于
为 与平面 所成的角．
分别为 的中点
．பைடு நூலகம்
又 底面
底面 ．
在 中
即 与平面 所成的角为 ．
16．（本小题共14分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时，
求AE与平面PDB所成的角的大小．
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min．
14．设A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 ，且 ，那么称 是A的一个“孤立元”．给定 ，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值．
20．（本小题共13分）
设数列 的通项公式为 ．数列 定义如下：对于正整数m， 是使得不等式 成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前2m项和公式；
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，
y
．
C 45° E A 60° NhomakorabeaD
B 图2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 12 分）
cos 2sin ) ， b (1， 2) ． 以知向量 a (sin ，
（I）若 a ∥ b ，求 tan 的值．
f ( x)， f ( x) ≤ K， f k ( x) f ( x) K． K，
取函数 f ( x) 2 A． (, 0)
x
．当 K=
1 时，函数 fk ( x) 的单调递增区间为（ 2
C． (, 1) D． (1, )
）
B． (0, )
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．把答案填在答题卡 中对应题号后的 ．．． 横线上． 9．某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不 喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ． 10．若 x 0 ，则 x 11．在 (1
C． （4，0）
D． （ 4，0） ）
3．设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，已知 a2 =3， a6 11 ，则 S7 等于（ A．13 B．35 C．49 D．63 4．如图 1，D，E，F 分别是 △ ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则（ A． AD + BE + CF 0 B． BD CF DF 0 C． AD CE CF 0 D． BD BE FC 0 B D E 图1 A F C ）
2 的最小值为 x
． （用数字作答） ．
x )4 的展开式中， x 的系数为
12．一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本．已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为
1 ，则总体中的个体数为 12
．
x2 y 2 13．过双曲线 C： 2 2 1 (a 0, b 0) 的一个焦点作圆 x2 y 2 a 2 的两条切线，切 a b
点分别为 A，B．若 AOB 120 （O 是坐标原点） ，则双曲线 C 的离心率为 ．
，B 2 A ，则 14．在锐角 △ ABC 中， BC 1
为 ．
AC 的值等于 cos A
， AC 的取值范围
15． 如图 2， 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若 AD xAB yAC ， 则x
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（文史类）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． log2 A．
2 的值为（
2
B．
）
2
C．
1 2
）
D．
1 2
2． 抛物线 y 2 8x 的焦点坐标是（ A． （2，0） B． （ 2，0）
0 π ，求 的值． （II）若 | a || b | ，
17． （本小题满分 12 分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设 工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的 中任选一个项目参与建设．求： （I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率．
5．某地政府召集 5 家企业的负责人开会，已知甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人 到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ） A．14 B．16 C．20 D．48 6．平面六面体 ABCD A 1B 1C1D 1 中，既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为（ A．3 B．4 C．5 D．6 ）
3
2
平面 ACC1 A1 ； （I）证明：平面 A 1DE
（II）求直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值．
B1 D B
图3
（I）求 b 的值； （II）若 f ( x ) 在 x t 处取得极小值，记此极小值为 g (t ) ，求 g (t ) 的定义域和值域．
20． （本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 是一个面积为 8 的正方形（记为 Q） ． （I）求椭圆 C 的方程： （II） 设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点， 过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N 两点． 当 线段 MN 的中点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 l 的斜率的取值范围． y M P F1 G O B1 B2
1 1 1 ， ， ．现有 3 名工人独立地从 2 3 6
18． （本小题满分 12 分） 如图 3，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 4， AA1 7 ，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE A 1E ． C1 A1 C E A 19． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) = x + bx + cx 的导函数的图象关于直线 x 2 对称．
7．若函数 y f ( x) 导函数 在区间 [a，b] 是增函数，则函数 y f ( x) 在区间 [a，b] 上的图 ．．． 象可能是（ y ） y y y
O a A．
b x
O a B．
b x
O a C．
b x O a
D．
b x
8．设函数 y f ( x) 在 (, ) 内有定义，对于给定的正数 K，定义函数
（Ⅱ）设 Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和．给出下列两组论断： A 组：①数列 {xn } 是 B 数列， ②数列 {xn } 不是 B 数列； B 组：③数列 {Sn } 是 B 数列， ④数列 {Sn } 不是 B 数列． 请以其中一组中的一个论断为条件， 另一组中的一个论断为结论组成一个命题． 判断所给命 题的真假，并证明你的结论；
N F2
l x
21． （本小题满分 13 分）
* 对于数列 {un } ，若存在常数 M 0 ，对任意的 n N ，恒有
| un1 un | | un un1 |
则称数列 {un } 为 B 数列． （I）首项为 1，公比为
| u2 u1 |≤M ，
1 的等比数列是否为 B 数列？请说明理由； 2