2008年广东高考数学(文科)模拟试题
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数学 （ 文科 ）模拟试题
一
、
选择题 ：本大 题共 １ ０小题 。每小题 ５分 ，
Ａ ．３ ０％
Ｂ．６ ０％
Ｃ． ０ ７ ％
Ｄ．９３ ％
共５ Ｏ分 ． 每小题 的四个选项 中 ，只有 一项 是符合题 在
目要 求 的．
Ｂ ｍ∥ｎ ． ，ｍ上Ｏ ｔ ，则 ｎ ｔ 上Ｏ Ｃ ｎ／ ． ／ａ，ｎ 上卢，则 Ｏ上 ｔ卢 Ｄ ￣／／，ｍ上ｎ ． ／ ３ ，则 ｎ 上卢
Ａ Ｒ Ｂ １ ∞） Ｃ ２ ∞） Ｄ ． ．［ ，＋ ．（ ，＋ ． ２ 函数 ｙ ２ｏ ３ ｑ ）的图像是把 ｙ ２ｏ３ ． ＝ ｃｓ（料 ｒ ＇ ＝ ｃｓｘ的 图像平移而得 ，平移方法是 （ Ａ． 向左平移 个单位长度 ｑ ｒ ＇ Ｂ 向左平移７ 个单位 长度 ． ｑ ｒ ＇ Ｃ 向右平移 个单 位长 度 ． ｑ ｒ ＇ Ｄ 向右平移７ 个单位长度 ． ｑ ＇ ｒ ）
１．在平 面直角 坐标 系上 ，设 不等式 组 ３
， Ｉ ０ ＞
｛０ ｙ ， ＞
｝ ｉ
所表示的平面区域为 Ｄ，记 内的格 ｎ
ｙ ｎ ３ ≤一 （一 ）
点 （ 即横 坐标 和纵坐标 均 为整数 的点 ）的个数 为 （ｔ ） 则 ａ 的值为 — — ｒ Ｎ ， ．
１． ０ 已知某个几何体 的三视 图如下 ：
产业结构 、 帮助农 民脱贫致富等方面发挥 了积极 的作 用． 市林业局 为 了解一片经 济林 的生长情况 ，随机 我
测量 了其 中 １０株树木 的底 部周长 （ 位 ：ｃ ０ 单 ｍ）． 根
正视图 侧视 图 俯视 图
据所得数 据画 出样本 的频率 分布直方图 （ 如下 ） ，那 么估 计在 这片经济林 中 ， 部周长不小 于 １０ｃ 底 ｍ林 １
操
练
７ 已知 集合 Ａ： ｛ ，３ ，９ ，从 中任 取两 个 ． ０ ，６ ｝ 元素分别作为点 Ｐ ）的横坐标与纵坐标 ，则 点 Ｐ （ ，Ｙ 恰 好落入圆 ｘ ｙ＝ ０ ％ ２ １０内的概率是 （ ）
Ａ Ｂ ｃ Ｄ ． ． ． ． ｝ 争 ｝
８ 据 有关．
木所 占百分 比为 （ ）
根据 图中标出的尺寸 （ 单位 ：ｃ ，可得这个几 ｍ） 何体的体积是 （ ）
Ａ ｃ Ｂ ｃ ．ｃ 号ｃ ． ｍ ． ｍ 争ｍ ｝ ｝ ｃ Ｄ ｍ
二、填空题 ：本大题共 ５小题， 每小题 ５分， 满分
０． ０４
２ Ｏ分． 其中 １ ～ ５题 是选做题 ， 生只能选做 一题 ， ４１ 考 两
题全答的只计算前一题得分 ．
Ｏ． Ｏ２
Ｏ． Ｏ１
１． １ 复数 （＋１）虚部是 １． ｚ
离中
２０ ０ ８年 第 ５期
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考搦
１．阅读下 面的程序 框图 ，请你写 出 Ｙ关于 的 ２
函数解析式为
线 ＡＤ的长 为
，ＡＣ ５ ＝ ，则 圆心 ０到 Ａ Ｃ的距离
）
３ 圆 ６１ 左 点 ｌ右 点 距 ． 吾＋ ＝的 焦 Ｆ 顶 Ａ 椭 到 ｚ 的
离为 （
Ａ．１
）
Ｂ． ４ Ｃ．７ Ｄ．９
９若 ｏ ． ，ｂ是正常数 ，ｏ ， ，Ｙ ０ ∞）则 ≠６ ∈（ ， ， ＋ ≥
Ｙ ｘ ｙ ＋
， 当且 仅当旦 ： 时上式取 等号． 利用
为一
１． （ 标 系与 参数 方 程选 做 题 ）在 极 坐标 系 ５ 坐
中 点 ４ ＂ 到 线ｃ （ ， Ｐ（ ） 直 ０ 手）、 距 ，Ｔ ／ ｓ ＝ 的 离 ／
是— — ．
三、解 答题 ： ４小题每题 １ 前 ３分 ，后 ２小题每题
１ ４分 。共 ８ Ｏ分 ．
１ ． ＡＡＢ ６￣ Ｃ中，ｔ Ａ：３ ａ ｎ
６ 已知 Ｏ 是两 个不 同平 面 ，ｍ、ｎ是 两条 不 ． ｔ 、
同直线 ， 下列命题不正确的是 （ 则
｛ｌ ｘ １ ∈ ，Ｑ ｛ｌ ｙ ＝ ２ ， Ｒ｝ ： ｘ ＝ ｙ ＋ ｙ
）
Ａ． ８，ｍ Ｌ ｍ Ｌ８ 伐 伐，
）
１ 已知集合 ．
模
拟
Ｉ — ） ｎ ２｝则 Ｐ ： （ ｎＱ
污染 区域 Ｓ ｋ （ｍ ）与 时间 （ ）可 近似 看作 指数 函 年
数 关 系 ， 已 知 近 ２年 污 染 区 域 由 ０ １ｋ 降 至 ．６ｍ ００ ｋ ．４ ｍ ，则 污染 区域 降 至 ００ ｋ ．１ｍ 还需要 （
Ａ １ ． 年 Ｂ ２年 ． Ｃ３ ．年 Ｄ． 年 ４
Ｙ
４ 已知 ｛ ｝等差数列的公差 为 ２ ． ，若 ａ，ｏ，ａ ｚ ， ｓ ４
成等比数列，则 ａ的值为 （ ２
Ａ． ０ 一１ Ｂ． ８ 一
）
Ｄ． ４ 一
以上结论 ，可以得到 函数 ， （） ＋ ：
（ ｅ（ ， ０
Ｃ． ６ 一
５ 经 济林 是 指 以生 产果 品 、食用 油 料 、饮料 、 ． 工业原料和药材等为主要 目的的林 木，是我 国五大林
１） ）的最小值为 （
Ａ ．２ ５ Ｂ． ２４
）
Ｃ． ２０ Ｄ．１ ８
种之一 ，也是生态 、经济和社 会效益结合得最好的林 种． 改革开放 以来 ，广东省林业蓬勃发 展同时 ，广东 经济林也得到快速 的发展 ，经济林 产业 已成 为广东林
业的重要 支柱产业之一 ，在改善生态环境 、优化林业
ｔｎ ａ Ｂ＝ １
，
．
模
拟 操 练
（ ）求角 ｃ的大小 ； １ （ ）若 ＡＢ边 的长为 ５ ／ ，求 Ｂ ２ 、 一 Ｃ边 的长 ．
１． ７ 如下 图 ，矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，ＡＤ上平 面 Ａ Ｅ，Ｆ Ｂ 为的Ｃ Ｅ中点 ．
（）求证 ： Ｅ／ １ Ａ ／平面 Ｂ Ｄ； Ｆ （） Ｚ Ｅ ＝ ０，求 Ａ ２ 若 ＿ Ｂ ９。 Ａ Ｅ与 Ｂ 所成角的大小 ． Ｆ
2008年高考文科数学试题及参考答案(广东卷)
重庆大学城市科技学院《2011级大学物理电磁学测验题》（说明：本卷一律不使用计算器。
答案中可保留指数、对数、三角函数、反三角函数、乘方、开方，但不能保留四则运算。
）基本公式：点电荷场强：204r qE επ=；均匀带电长直圆柱面场强：rE 02ελπ=外，E内=0；均匀带电球面电势：R q V 04επ=内，r q V 04επ=外；电容器电能：221CU W e=； 长直电流磁场：rIB πμ20=；圆电流中心磁场：r I B 20μ=；长直螺线管磁场：nI B 0μ=；线圈磁矩：S NI m =；磁矩受磁力矩：M =m ×B ；一．单项选择题（共15题，共30分，每题2分）1．两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b （R a <R b ）,所带电荷量分别为Q a 和Q b ，设某点与球心相距r ，当R a <r<R b 时，该点的电场强度的大小为 D 。
A2041r Q Q b a +πε B 2041r Q Q ba -πε C)(41220b b a R Q r Q +πε D 2041r Q aπε 2．如图，一带电大导体板，平板两个表面的电荷面密度的代数和为σ，置于电场强度为的均匀外电场中，且使板面垂直于0E的方向。
设外电场分布不因带电平板的引入而改变，则板的附近左、右两侧的合场强为 A 。
A 00002,2εσεσ+-E E B 00002,2εσεσ++E E C 00002,2εσεσ-+E E D 00002,2εσεσ--E E 3．一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变? D 。
A 电容器的电容量B 两极板间的电场强度C 电容器储存的能量D 两极板间的电势差4．有长为L 截面积为S 的载流长直螺线管均匀密绕N 匝线圈,设电流为I ，则管内储藏的磁场能量为 D 。
A22202LSN I μ B220LSIN μ4C2202LSIN μ DLSN I 2220μ5．电位移矢量对时间的变化率dtDd 的单位是 C 。
2008年广东高考文科基础仿真试题
惜公 民权利 ，既依法行使公 民权利 ，又尊重他人 的权
利
务
（ 障个人权益 ，只享受权利 ，有选择地履行义 躲
④ 自觉履行公 民的义务 ，坚持权利与义务的统一
高中 ２ ０ ０ ８年 第 ６期
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ｊ ●考
错误的是 Ｂ 民族文化是一个民族特有的， 民族无认同感 ． 其他 Ｃ 民族文化既有民族 特性 ， ． 又有中华文化的共性
１． Ｏ 主权 国家是 国际社 会的最基本成 员 ，是 国际 关 系的主要参加者 。只有具备人 口、领 土、政权和主 权 ，才能成为主权 国家 、享有 国际法确认 的权利和履 行相应 的义务。这里所说 的 “ 主权 ”是 ① 国家 的生命和灵魂 ，国家存在的最主要因素 （ 理国内事务和国际事务的统一而不可分割的最高权
是 因为
Ａ． 我国国家机构贯彻对人 民负责原则
Ｂ 公 民在法律面前一律平等 ． Ｃ 公 民的利益与国家利益是一致 的 ．
Ａ 股 份制经济是 公有 制经济 ，有利 于巩 固社会 ． 主义经济制度 Ｂ 股份 制能够筹 集资本 ，扩 大公 有 资本在社 会 ．
总 资 本 中 的 比 重
Ｄ 社会 主义民主具有真实性 ．
①相互交流 Ａ． ①②
②相互借鉴 、吸收 Ｂ ③④ ． Ｃ ②③④ ．
③相互 独立 Ｄ ①②④ 、
①维护国家 利益 ，只履行义务不享受权利
②珍
④渐趋融合 ，又保持各 自特色 １． ３ 中华文化是各 民族 人民共 同创造 的 ，民族文 化是 中华文化 的重要组成部分 。下面对 民族文化认识
２ 银 行发行 的信用 卡带来 了多种便利 ，具 有 多 ．
种功能。下列有关信用卡功能项 目中属于商业银行结
2008年广东省高考文科数学答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案二、填空题：三、解答题： 16解：（1）依题意知A=121)3sin()3(f =φ+π=π，又3433π<φ+π<π；∴653π=φ+π 即2π=φ 因此x cos )2x sin()x (f =π+=；（2）∵1312cos )(，f 53cos )(f =β=β=α=α且)2,0(,π∈βα∴135sin ,54sin =β=α6556135********sin sin cos cos )cos()(f =⨯+⨯=βα+βα=β-α=β-α；17、解：设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，则 x10800x 48560x 2000100002160)x 48560()x (f ++=⨯++= (x ≥10，x ∈Z +)2x1080048)x (f -='令f ´(x)=0 得 x=15 当x>15时，f ´(x)>0；当0<x<15时，f ´(x)<0 因此 当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
18、解：（1）∵BD 是圆的直径∴∠BAD=90º 又△ADP~△BAD∴R 321R 243R 4)30sin BD ()60sin BD (BA AD DP ,AD DP BA AD 222=⨯⨯=︒︒=== （2）在Rt △BCD 中，CD=BDcos45º=2R∵PD 2+CD 2=9R 2+2R 2=11R 2=PC 2∴PD ⊥CD 又 ∠PDA=90º∴PD ⊥底面ABCDS △ABC =21AB ×BC sin(60º+45º)=21R ×2R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22212223=413+R 2三棱锥P-ABC 的体积为：32ABC ABC P R 413R 3R 41331PD S 31V +=⨯+⨯=⨯⨯=- 19、解：（1）∵19.02000x= ∴x=380 （2）初三年级人数为y+z=2000-(373+377+388+370)=500，用分层抽样方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：200048×500=12名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为(y,z)： 由（2）知y+z=500，且y,z ∈N ，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共11个，事件A 包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个∴P(A)=115； 20、解：（1）由x 2=8(y-b)得 y=81x 2+b 当y=b+2时，x=±4，∴G 点的坐标为(4,b+2)x 41y ='，1|y 4x ='= 过点G 的切线方程为y-(b+2)=x-4，即y=x+b-2 令y=0得x=2-b ，∴F 1点的坐标为(2-b,0)； 由椭圆方程得F 1点的坐标为(b,0)，∴2-b=b 即b=1。
2008年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州一测及参考答案
2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(文科) 2008.3本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}22A x x =-<<,{}220B x x x =-≤,则AB =A.()0,2B.(]0,2C.[]0,2D.[)0,22.已知3cos 5α=,则cos 2α的值为A.2425-B.725-C.725D.24253.一个几何体的三视图如图1所示,其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形,则这个几何体的侧面积为B.2πC.3πD.4π4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们所有比 赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为 A.19、13 B.13、19C.20、18D.18、20图2图1 正(主)视图 左(侧)视图俯视图5.已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =,则a = A.1-C.1-D.1或 6.已知a ∈R ,则“2a >”是“22a a >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设()f x 、()g x 是R 上的可导函数,()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''+<,则当a x b <<时,有A.()()()()f x g b f b g x >B.()()()()f x g a f a g x >C.()()()()f x g x f b g b >D.()()()()f x g x f a g a > 8.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A.相离B.相交C.相切D.不确定9.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg 20.3010=,lg30.4771=)A.14次B.13次C.9次D.8次10.在ABC ∆所在的平面上有一点P ,满足PA PB PC AB ++=,则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是A.13 B.12 C.23 D.34二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第11、12、13题是必做题,每道试题考生都必须做答. 11.若复数()()2563i z m m m =-++-是实数,则实数m = .12.在空间直角坐标系中O xyz -,点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 .13.按如图3所示的程序框图运算. 若输入8x =,则输出k = ；若输出2k =,则输入x 的取值范围是 . (注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”,均表示 赋值语句) (二)选做题:第14、15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是 .15.(几何证明选讲选做题)在平行四边形ABCD 中,点E 在边AB 上,且:1:2AE EB =,DE 与AC 交于点F ,若AEF ∆的面积为62cm ,则ABC ∆的面积为 2cm .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x ,第二次出现的点数为y .(1)求事件“3x y +≤”的概率； (2)求事件“2x y -=”的概率. 17.(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求实数a 和b 的值；(2)当x 为何值时,()f x 取得最大值. 18.(本小题满分14分)如图4所示,在边长为12的正方形11AA A A''中,点,B C 在线段AA '上,且3AB =,4BC =,作1BB 1AA ,分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ,作1CC 1AA ,分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ,将该正方形沿1BB 、1CC 折叠,使得1A A ''与1AA 重合,构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -.(1)在三棱柱111ABC A B C -中,求证:AB ⊥平面11BCC B ；(2)求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 中,51=a 且1221nn n a a -=+-(2n ≥且*n ∈N ).(1)求2a ,3a 的值；(2)是否存在实数λ,使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.20.(本小题满分14分)已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点,1l 、2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线,M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交点. (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)试比较PM 与PN 的大小,并说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的最小值；(2)若*n ∈N ,证明:1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.10.由PA PB PC AB ++=,得PA PB BA PC +++=0,即2PC AP =,所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点,如图所示.故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅. 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中第13题第一个空2分,第二个空3分. 11.3 12.()1,2,3-- 13.4；(]28,57 14.cos 2ρθ= 15.72三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概率等基础知识,考查运算求解能力) 解:设(),x y 表示一个基本事件,则掷两次骰子包括:()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()1,5,()1,6,()2,1,()2,2,……,()6,5,()6,6,共36个基本事件. (1)用A 表示事件“3x y +≤”,则A 的结果有()1,1,()1,2,()2,1,共3个基本事件. ∴()313612P A ==.答:事件“3x y +≤”的概率为112. (2)用B 表示事件“2x y -=”,则B 的结果有()1,3,()2,4,()3,5,()4,6,()6,4,()5,3,()4,2,()3,1,共8个基本事件.∴()82369P B ==.答:事件“2x y -=”的概率为29. 17.(本小题满分12分)(本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力) 解:(1)∵函数()sin cosf x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,21.b a +=⎪=⎩ 解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2)由(1)得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即232x k πππ-=+,即526x k ππ=+()k ∈Z 时,()f x 取得最大值2. 18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系,考查空间想象能力和运算求解能力)(1)证明:在正方形11AA A A''中,∵5A C AA AB BC ''=--=, ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =.∵3AB =,4BC =,∴222AB BC AC +=,则AB BC ⊥.∵四边形11AA A A''为正方形,11AA BB ,∴1AB BB ⊥,而1BC BB B =,∴AB ⊥平面11BCC B .(2)解:∵AB ⊥平面11BCC B ,∴AB 为四棱锥A BCQP -的高.∵四边形BCQP 为直角梯形,且3BP AB ==,7CQ AB BC =+=,∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=, ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=,由(1)知1B B AB ⊥,1B B BC ⊥,且ABBC B =,∴1B B ⊥平面ABC .∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱,∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=. 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=. 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识,考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力)解:(1)∵51=a ,∴22122113a a =+-=,33222133a a =+-=.(2)方法1:假设存在实数λ,使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列, 设2n n n a b λ+=, 由}{n b 为等差数列,则有3122b b b +=. ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+.∴13533228λλλ+++=+. 解得,1λ=-. 事实上,1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=. 综上可知,存在实数1λ=-,使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列. 方法2:假设存在实数λ,使得2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列, 设2n n na b λ+=,由}{n b 为等差数列,则有122n n n b b b ++=+(*n ∈N ). ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+. ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-.综上可知,存在实数1λ=-,使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列. 20.(本小题满分14分)(本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识,考查数形结合的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力)解:(1)依题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为1y kx =-.由方程214.y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx -+=. ············ ①∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ,B 两点,∴216160k ∆=->,解得1k >或1k <-.故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞.(2)解法1:∵1x ,2x 是方程①的两实根,∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠,20x ≠. ∵214y x =,∴12y x '=.∵21114y x =,∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+.令1y =-, 得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴21142x PM x -=. 同理,可得22242x PN x -=. ∵22121221222121212142444124444PMx x x x x x x PN x x x x x x x ---=⋅===---(12x x ≠).故PM PN =.解法2:可以断定PM PN =. ∵1x ,2x 是方程①的两实根, ∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠,20x ≠. ∵214y x =,∴12y x '=.∵21114y x =,∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+. 令1y =-,得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫--⎪⎝⎭. 同理可得点N 的坐标为2224,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∵()()2212121212124440222x x x x x x x x x x +---+==. ∴点P 是线段MN 的中点.故PM PN =.21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识,考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识)(1)解:∵()1x f x e '=-,令()0f x '=,得0x =.∴当0x >时,()0f x '>,当0x <时,()0f x '<.∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增. ∴当0x =时,()f x 有最小值1.(2)证明:由(1)知,对任意实数x 均有1xe x -≥,即1xx e +≤.令kx n=-(*,1,2,,1n k n ∈=-N ),则01k n ke n-<-≤,∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即(1,2,,1)nkn k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭. ∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nnnn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---,∴ 1211n nnnn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷).doc
试卷类型：B2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行．若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ．AB ⊆ B ．BC ⊆ C ．B C A =D ．A B C = 2．已知02a <<，复数z a i =+（i 是虚数单位），则||z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．3．已知平面向量(12)=，a ，(2)m =-，b ，且a b ∥，则23a b +=（ ） A ．(510)--，B ．(48)--，C ．(36)--，D ． (24)--，4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，420S =，则该数列的公差d =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．75．已知函数2()(1cos 2)sin f x x x =+，x ∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ． 最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数6．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A ．10x y ++=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ． 10x y --=7．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 错误！未指定书签。
2008届高三数学文科测试试题卷07-117
广东北江中学2008届高三数学(文科)测试试题卷(07-11-17)一.选择题： (本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{32|<<x x }D ． {21|<<-x x }2.命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是( ) A.,11a b a b >-≤-若则 B.,11a b a b >-<-若则 C.,11a b a b ≤-≤-若则 D. ,11a b a b <-<-若则 3. 下列函数为奇函数．．．的是（ ） A ．3x y = B ．00x y x <=≥))C ．xy 2= D ．x y 2log = 4．函数()3sin 12xf x π=+的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数2log ,(0)()3,(0)>⎧=⎨≤⎩x x x f x x ，则[(1)]=f f （ ）A .0B .1C .3D .136．函数f (x ) = x 3－3x + 1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－197. 在△ABC 的三边长分别为AB=2，BC=3，CA=4，则cos C 的值为 （ ）A ．1116B ．14-C ．78D ．－788. 将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ） A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin()6y x π=-D ．sin y x =9．已知()f x 是定义在R 上减函数．．．，且(1)(3)f m f m -<-,则m 的取值范围是 （ ）A ．2m <B ．01m <<C ．02m <<D ．12m <<10．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：则7月份该产品的市场收购价格应为 （ ）A ．69元B ．70元C ．71元D ．72元二.填空题: （本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．） 11．函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____12．0tan 6730'tan 2230'+的值等于____________________．13.若实数x y 、满足条件012-2+10x y x y≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____ ．选做题:14．如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2．15、曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上的点到曲线2C ：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短距离为 ．A FE D CB三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；（2）若1a b ==，求角B 的大小．17．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式220x x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数．．a 的取值范围． 18．（本小题满分14分）已知1tan()42πα+=-. （I ）求tan α的值; （II ） 求2sin 22cos 1tan ααα-+的值.19．（本小题满分14分）设函数2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x R =∈的对称轴方程．20.（本小题14分）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ∀∈，∃常数0M >，都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.（Ⅰ）求函数33()f x x x =-在[1，3]上的最大值与最小值，并判断函数33()f x x x=-在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；（Ⅱ）若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.21．(本小题满分14分)设 f (x ) = px －q x －2 ln x ，且 f (e ) = qe － pe －2（e 为自然对数的底数）(I) 求 p 与 q 的关系；(II) 若 f (x ) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； (III) 设 g (x ) = 2e x，若在 [1,e ] 上至少存在一点x 0，使得 f (x 0) > g (x 0) 成立, 求实数 p 的取值范围.广东北江中学2008届高三数学(文科)测试答题卷(07-11-17)二、填空题（每小题5分，共20分）11、__________________；12、__________________；13、__________________；14、__________________；15、__________________；三、解答题（共80分）16、（12分）姓名：____________班级：____________学号：____________广东北江中学2008届高三数学(文科)测试卷(07-11-17)参考答案一. DCADB CCDAC二.11. （-∞，3）∪（3，4）12.13. 2 14. 9 15. 116．解：（Ⅰ）由已知得：2221222b c a bc cos A bc bc +-===， ……………………… (3分) 又A ∠是△ABC 的内角，所以3A π∠=． ………………………………… (6分)（2）由正弦定理：sin sin a bA B=，1sin 1sin 2b A B a ⋅∴===………………9分又因为b a <，B A ∴<，又B ∠是△ABC 的内角，所以6B π∠=．………………12分17．解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．――――――――――――――4分 （II ）{}{}22002Q x x x x x =-≤=≤≤．――――――――――――――――7分 由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，――――――――――11分即a 的取值范围是(2)+∞，．――――――――――――――――――――――――12分 18. 解: (1) 112tan tan[()]31441(1)2ππαα--=+-==-+-⋅.…………………………6分(2)原式22222sin cos 2cos cos sin cos 13sin cos αααααααα--==-+ 221tan 132tan 1315αα-+===++.……………………………………………8分19、解：（1）2()2cos sin 21cos 2sin 2)14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++ … 2分则()f x 的最小正周期2T ππω==， ―――――――――――――――――――4分 且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．――7分（2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤，当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．所以max ()121f x a a +=⇒=．―――――――――――――――――11分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴．――――――――――14分20.解：（Ⅰ）∵2233)(x x x f +='，当]3,1[∈x 时，0)(>'x f .∴)(x f 在[1，3]上是增函数.---------------------------------3分 ∴当]3,1[∈x 时，)1(f ≤)(x f ≤)3(f ，即 -2≤)(x f ≤26.所以当1x =时，min ()(1)1;f x f ==-当3x =时，max ()(3)26;f x f ==----4分 ∴存在常数M=26，使得]3,1[∈∀x ，都有|()|f x ≤M 成立. 故函数33()f x x x=-是[1，3]上的有界函数.---------------------------6分 （Ⅱ）∵a t t S ++-='2)1(1)(. 由|)(|t S '≤1，得|)1(1|2a t ++-≤1----------------8分 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥++-≤++-1)1(11)1(122a t a t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≥++≤⇒1)1(11)1(122t a t a ------------------------10分令1)1(1)(2++=t t g ，显然)(t g 在),0[+∞上单调递减，则当t →+∞时，)(t g →1. ∴1≤a 令1)1(1)(2-+=t t h ，显然)(t h 在),0[+∞上单调递减， 则当0=t 时，0)0()(max ==h t h ∴0≥a∴0≤a ≤1；故所求a 的取值范围为0≤a ≤1. -------------14分21.解：(I) 由题意得 f (e ) = pe －q e －2ln e = qe － pe －2 ………… 1分⇒ (p －q ) (e + 1e ) = 0 ………… 2分而 e + 1e ≠0∴ p = q………… 3分(II) 由 (I) 知 f (x ) = px －px－2ln xf ’(x ) = p + p x 2 －2x = px 2－2x + p x 2………… 4分令 h (x ) = px 2－2x + p ，要使 f (x ) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h (x ) 在 (0,+)内满足：h (x )≥0 或 h (x )≤0 恒成立. ………… 5分① 当 p = 0时， h (x ) = －2x ，∵ x > 0，∴ h (x ) < 0，∴ f ’(x ) = －2xx 2 < 0，∴ f (x ) 在 (0,+) 内为单调递减，故 p = 0适合题意.………… 6分② 当 p > 0时，h (x ) = px 2－2x + p ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = 1p ∈(0,+)，∴ h (x )min = p －1p只需 p －1p ≥1，即 p ≥1 时 h (x )≥0，f ’(x )≥0∴ f (x ) 在 (0,+) 内为单调递增， 故 p ≥1适合题意. ………… 7分③ 当 p < 0时，h (x ) = px 2－2x + p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1p ∉ (0,+)只需 h (0)≤0，即 p ≤0时 h (x )≤0在 (0,+) 恒成立. 故 p < 0适合题意. ………… 8分 综上可得，p ≥1或 p ≤0 ………… 9分 另解：(II) 由 (I) 知 f (x ) = px －px －2ln xf ’(x ) = p +p x 2 －2x = p (1 + 1x 2 )－2x………… 4分要使 f (x ) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 f ’(x ) 在 (0,+) 内满足：f ’(x )≥0 或f ’(x )≤0 恒成立. ………… 5分 由 f ’(x )≥0 ⇔ p (1 +1x 2 )－2x ≥0 ⇔ p ≥2x + 1x ⇔ p ≥(2x +1x)max，x > 0 ∵2x + 1x≤22x · 1x = 1，且 x = 1 时等号成立，故 (2x + 1x )max = 1∴ p ≥1 ………… 7分由 f ’(x )≤0 ⇔ p (1 +1x 2 )－2x ≤0 ⇔ p ≤ 2x x 2+ 1 ⇔ p ≤(2xx 2 + 1 )min，x > 0而2x x 2+ 1 > 0 且 x → 0 时，2xx 2 + 1→ 0，故 p ≤0 ………… 8分 综上可得，p ≥1或 p ≤0 ………… 9分 (III) ∵ g (x ) =2ex在 [1,e ] 上是减函数 ∴ x = e 时，g (x )min = 2，x = 1 时，g (x )max = 2e 即 g (x ) ∈ [2,2e ] ………… 10分① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x ) 在 [1,e ] 递减 ⇒ f (x )max = f (1) = 0 < 2，不合题意。
2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(文科)
2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科） 2008．3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)0,22．已知3cos 5α=，则cos 2α的值为A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为AB ．2πC ．3πD ．4π4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比 赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为 A ．19、13 B ．13、19C ．20、18D ．18、20图2图1 正(主)视图 左(侧)视图俯视图5．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = A ．1- BC ．1-D ．1或 6．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a > 8．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．14次B ．13次C ．9次D ．8次10．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．11．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．12．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ．13．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ． （注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示 赋值语句）（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与AC交于点F ，若AEF ∆的面积为62cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率． 17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值． 18．（本小题满分14分）如图4所示，在边长为12的正方形11AA A A''中，点,B C 在线段AA '上，且3AB =，4BC =，作1BB 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作1CC1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221nn n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，1l 、2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线，M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较PM 与PN 的大小，并说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()x f x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准40分．10．由PA PB PC AB ++= ，得PA PB BA PC +++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分． 11．3 12．()1,2,3-- 13．4；(]28,57 14．cos 2ρθ= 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”，则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件． ∴()313612P A ==．答：事件“3x y +≤”的概率为112． （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件．∴()82369P B ==．答：事件“2x y -=”的概率为29． 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,221.b a +=⎪⎨⎪=⎩解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）由（1）得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+，即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =．∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BC BB B = ，∴AB ⊥平面11BCC B ．（2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B = ， ∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=． 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=．（2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n n a b λ+=， 由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+． ∴13533228λλλ+++=+． 解得，1λ=-． 事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=． 综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+． ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=--- ()()12221211n n ++=---=-．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-．由方程214.y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx -+=． ············· ①∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，∴216160k ∆=->，解得1k >或1k <-．故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞ ． （2）解法1：∵1x ，2x 是方程①的两实根，∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠． ∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴21142x PM x -=． 同理，可得22242x PN x -=．∵22121221222121212142444124444PMx x x x x x x PN x x x x x x x ---=⋅===---（12x x ≠）．故PM PN =． 解法2：可以断定PM PN =． ∵1x ，2x 是方程①的两实根， ∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠． ∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+． 令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫--⎪⎝⎭． 同理可得点N 的坐标为2224,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵()()2212121212124440222x x x x x x x x x x +---+==． ∴点P 是线段MN 的中点．故PM PN =．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识） （1）解：∵()1xf x e'=-，令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<． ∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． ∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n =-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01kn k e n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkk n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭ ． ∵1,n n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n n n nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=--- ， ∴ 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
2008年广州市高三第一次模拟考试试题
2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科） 2008．3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则AB =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)0,2 2．已知3cos 5α=，则cos 2α的值为A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为A．3B ．2πC ．3πD ．4π4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比 赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为 A ．19、13 B ．13、19C ．20、18D ．18、20图2图1正(主)视图 左(侧)视图俯视图5．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = A ．1- BC ．1-D ．1或 6．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a > 8．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．14次B ．13次C ．9次D ．8次 10．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．12．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ．13．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ． （注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示 赋值语句）（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ． 15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为62cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率． 17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值． 18．（本小题满分14分）如图4所示，在边长为12的正方形11AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，且3AB =，4BC =，作1BB 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）． （1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，1l 、2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线，M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交点．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较PM 与PN 的大小，并说明理由． 21．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
2008届广州市高三“一模”数学试题及解答(文科)
秘密★启用前广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件、互斥，那么．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则A． B． C． D．图1正(主)视图左(侧)视图俯视图2．已知，则的值为A． B． C． D．3．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为A． B．12341121358789756432961甲乙图2C． D．4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为A．19、13 B．13、19C．20、18 D．18、205．已知函数若，则A． B． C．或 D．1或6．已知，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且，则当时，有A． B．C． D．8．直线与圆的位置关系是A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定9．抽气机每次抽出容器内空气的，要使容器内剩下的空气少于原来的，则至少要抽（参考数据：，）A．14次 B．13次 C．9次 D．8次10．在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分.图3开始结束输入x是否输出x,k（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．11．若复数是实数，则实数．12．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为．13．按如图3所示的程序框图运算．若输入，则输出；若输出，则输入的取值范围是．（注:“”也可写成“”或“”，均表示赋值语句）（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在边上，且，与交于点，若的面积为6，则的面积为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为．（1）求事件“”的概率；（2）求事件“”的概率．17．（本小题满分12分）已知函数的图象经过点和．（1）求实数和的值；（2）当为何值时，取得最大值．图4图518．（本小题满分14分）如图4所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图5所示的三棱柱．（1）在三棱柱中，求证：平面；（2）求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比．19．（本小题满分14分）已知数列中，且（且）． （1）求，的值；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别是抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若，证明：．2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678910答案D B B A C A C B D C 10．由，得，BCAP即，所以点是边上的第二个三等分点，如图所示．故．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分．11．3 12． 13．4；14． 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：设表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：，，，，，，，，……，，，共36个基本事件．（1）用表示事件“”，则的结果有，，，共3个基本事件．∴．答：事件“”的概率为．（2）用表示事件“”，则的结果有，，，，，，，，共8个基本事件．∴．答：事件“”的概率为．17．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力）解：（1）∵函数的图象经过点和，∴即解得（2）由（1）得．∴当，即，即时，取得最大值2．18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形中，∵，∴三棱柱的底面三角形的边．∵，，∴，则．∵四边形为正方形，，∴，而，∴平面．（2）解：∵平面，∴为四棱锥的高．∵四边形为直角梯形，且，，∴梯形的面积为，∴四棱锥的体积，由（1）知，，且，∴平面．∴三棱柱为直棱柱，∴三棱柱的体积为．故平面将三棱柱分成上、下两部分的体积之比为．19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）∵，∴，． （2）方法1：假设存在实数，使得数列为等差数列，设，由为等差数列，则有． ∴． ∴． 解得，． 事实上， ． 综上可知，存在实数，使得数列为首项是、公差是1的等差数列．方法2：假设存在实数，使得为等差数列，设，由为等差数列，则有（）．∴． ∴． 综上可知，存在实数，使得数列为首项是、公差是1的等差数列．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解：（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由方程消去得．①∵直线与抛物线相交于，两点，∴，解得或．故直线斜率的取值范围为．（2）解法1：∵，是方程①的两实根，∴∴，．∵，∴．∵，∴切线的方程为．令，得点的坐标为．∴．同理，可得．∵（）．故．解法2：可以断定．∵，是方程①的两实根，∴∴，．∵，∴．∵，∴切线的方程为．令，得点的坐标为．同理可得点的坐标为．∵．∴点是线段的中点．故．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：∵，令，得．∴当时，，当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令（），则，∴．即．∵∴．∵，∴ ．。
2008年广州市高三第一次模拟考试试题答案
2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准40分．10．由PA PB PC AB ++=，得PA PB BA PC +++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分． 11．3 12．()1,2,3-- 13．4；(]28,57 14．cos 2ρθ= 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”，则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件． ∴()313612P A ==．答：事件“3x y +≤”的概率为112． （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件．∴()82369P B ==．答：事件“2x y -=”的概率为29．（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭， ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,221.b a +=⎪⎨⎪=⎩解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）由（1）得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+，即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =．∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BC BB B =，∴AB ⊥平面11BCC B ．（2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且ABBC B =，∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=．（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力） 解：（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=． （2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n n a b λ+=， 由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+． ∴13533228λλλ+++=+． 解得，1λ=-． 事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=． 综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+． ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-．由方程214.y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx -+=． ············· ①∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，∴216160k ∆=->，解得1k >或1k <-．故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞．（2）解法1：∵1x ，2x 是方程①的两实根，∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠． ∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-， 得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴21142x PM x -=． 同理，可得22242x PN x -=． ∵22121221222121212142444124444PMx x x x x x x PN x x x x x x x ---=⋅===---（12x x ≠）．故PM PN =． 解法2：可以断定PM PN =． ∵1x ，2x 是方程①的两实根，∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠． ∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+． 令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫--⎪⎝⎭． 同理可得点N 的坐标为2224,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵()()2212121212124440222x x x x x x x x x x +---+==． ∴点P 是线段MN 的中点．故PM PN =．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识） （1）解：∵()1xf x e'=-，令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<． ∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． ∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令kx n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01kn ke n-<-≤， ∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即(1,2,,1)nkn k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． ∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n n nnn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=---， ∴ 1211nnn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。