初一整式的乘除培优讲义(优选.)
七年级秋季培优讲义整式专题
2018年七年级秋季培优讲义——整式专题一知识解读整式加减：1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方把数字或字母连接而成的式子;单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减1单项式：数与字母的积的代数式叫单项式;数字因数叫单项式的系数;所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.2多项式：几个单项式的和叫多项式;多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数;单项式的个数也就是多项式的基数.3单项式和多项式统称为整式.4同类项;两个单项式中;如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等;那么这两个单项式叫同类项.5整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项;合并同类项的法则是：把系数相加减;字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念;合并同类项;去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础;也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础;同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础;归纳起来就是要注意以下几点：1.理解四式单项式、多项式、整式、n 次m 项式、三数系数、次数、项数和二项常数项、同类项2.掌握三个法则去括号法则、添括号法则、合并同类项法则.3.熟悉两种排列升幂排列、降幂排列.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.例题精讲例11已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式;求mn . 2已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ;求abc .例21先化简;再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+;其中12x =-;y ＝2. 2已知4m n -=;1mn =-;求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.例3已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式;当x ＝2时的值为－17;求当x ＝－2时;此多项式的值.例4已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关;求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.练1若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关;求代数式323222(42)a b a b ---的值.例5已知2234A x xy cy =-+;23B ax xy =-;222C x bxy y =-+;且23A B C x xy --=-+2y -;求a 、b 、c .例61当x ＝2时;代数式31ax bx -+的值等于－17;那么当x ＝－1时;求代数式31235ax bx --的值.2已知代数式3ax bx c ++;当x ＝0时的值为2;当x ＝3时的值为1;求当x ＝－3时代数式的值.3已知21x x +=;求432222012x x x x +--+的值.练2如果210a a +-=;求3222a a ++的值.例7倡导“节能减排”;鼓励居民节约用电.2012年7月1日起;湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度;方案如下：如：小明家3月份用电量为500度;则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=元.1若小华家4月份电量为100度;则应付费元;5月用电量为210度;则应付费元;6月份电量为450度;则应付费元；2若小华家7月份的用电量为x 度;请用x 表示应付的电费；3若小华家9月份已付电费177.9元;请你求出小华家9月份的用电量；4若小华家某月的电费为a 元;则小华家该月用电量属于第几档.例8观察下面有规律的三行单项式：x ; 22x ; 34x ; 48x ; 516x ; 632x ;……①2x -; 24x ; 38x -; 416x ; 532x -; 664x ;……②22x ; 33x -; 45x ; 59x -; 617x ; 733x -;……③1根据你发现的规律;第一行第8个单项式为；2第二行第n 个单项式为；3第三行第8个单项式为；第n 个单项式为；例9已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式;求1197531a a a a a a +++++的值.练3已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式;求24a a +的值.例101已知x ;y 为整数;且5|(9)x y +;求证：5|(87)x y +.2已知x 、y 、z 均为整数;且11|(725)x y z +-;求证：11|(3712)x y z -+.跟踪练习1.单项式3243x y z -的系数是;次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式;单项式253n m x y -与该多项式次数相同;则mn ＝.3.4243527x x y xy ---是次项式;最高次项是;最高次项的系数是;常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式;则m ＝;n ＝.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项;则m ＝;n ＝;13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=;则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+;其中一个多项式是2235x x --;则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位;后面每排都比前排多3个座位;则第10排有.9.某城市广场中央;有一如图阴影部分所示的花坛;其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米;重叠部分都是边长2米的正方形;圆的半径是r 米;则这个花坛的占地面积为.10.1化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；2化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；3已知多项式22911A x x =--;2354B x x =++;求(2)A B --.11.12323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--;其中a ＝－2；2若2|1||2|1a ab c -+-=-;且a 、b 、c 都为正整数;求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数;单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式;①试求m 、n 的值；②当x＝－1;y ＝1时;求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项;求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1;且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项;求m 的值.15.1多项式531ax bx ++;当x ＝2时;其值为－5;则x ＝－2时;该多项式的值为多少 2若241550x x +-=;求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.3若331x x -=;求432912372003x x x x +--+的值.4已知x ＝2时;多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3;则当x ＝－2时;求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤;夹克每件售价80元;T 恤每件售价50元;厂方在开展促销活动期间;向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款;现客户要向服装厂购买夹克50件;T 恤x 件x ＞50. 1若该客户按方案①购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；若该客户按方案②购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；2若x ＝100;通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算3若两种优惠方案可同时使用;当x＝100时;你能给出一种更为省钱的购买方案吗试写出你的购买方案;并说明理由.17.观察下面的三个数列：①－1; ＋2; －3; ＋4; －5; ＋6;……②－3; 0; －5; ＋2; －7; ＋4;……③－2; ＋4; －6; ＋8; －10; ＋12;……1这三个数列的第n个数分别是；2在第一行中是否存在连续的三个数;使得和为－40 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由；3是否存在这样的一列;使其中三个数的和为78 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由.18.1已知a、b为整数;且10=+;如果17|(5)n a b-;请你证明：17|n.a b2已知一个三位数;它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数;证明：这个三位数也是11的倍数.。
2024年中考数学一轮复习提高讲义：整式的乘除
整式的乘除知识梳理1.同底数幂的运算(1) 乘法: aᵐ⋅aⁿ=aᵐ⁺ⁿ,(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ,(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(其中m,n 都是正整数). 注意事项：①am⋅a′′=am+n区别加法aᵐ+aⁿ≠aᵐ⁺ⁿ(如2³+2²=12≠32=2⁵);②区分−aᵐ⋅aⁿ与((--a)" · a" ,-一个是积的符号，另一个是底数的符号；③推广(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ:[(aᵐ)ⁿ]ᵖ=aᵐⁿᵖ.(2)除法(将除法转化为乘法计算)：circle1a m÷a n=a m⋅1a n =a m−n=a m⋅a−n,由此我们还可以得到1a n=a−n;②a⁰=1,因为aᵐ÷a′′=1=a′m−m=a⁰.2.单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.3.多项式相乘(1)多项式与单项式相乘：利用分配律，用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.m(a+b+c)=ma+mb+mc(2)多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加.(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce多项式乘法结束后，一般按照各项的次数高低进行排列.4.重要公式(1)平方差公式:a²−b²=(a+b)(a−b)(2)完全平方公式：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²(a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−2ab+b²典型例题例 1计算：(1)(−2x²)⋅(−3x²y³z)(2)−6x2y⋅(a−b)3⋅13xy2⋅(b−a)2(3)(−4ab3)⋅(−18ab)−(12ab2)2分析本题主要考查单项式的乘法运算和混合运算，乘法运算可以根据单项式与单项式的乘法法则进行.特别是第(3)题注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算减法.解 (1)原式: =(−2)⋅(−3)⋅x²⋅x²y³z=6x⁴y³z(2) 原式=−6x2y⋅13xy2⋅(a−b)3⋅(b−a)2=−6x2y⋅13xy2⋅(a−b)3⋅(a−b)2=−6⋅13⋅x2y⋅xy2⋅[(a−b)3⋅(a−b)2]=−2⋅x3y3⋅(a−b)5(3) 原式=(−4ab3)⋅(−18ab)−14a2b4=12a2b4−14a2b4=14a2b4例 2计算：(1)(x+1)(x²−1)(2)(x−y)(x²+x+y)分析本题考查的是多项式的乘法运算，可以根据多项式与多项式的乘法法则进行. 解 (1)原式=x³−x+x²−1=x³+x²−x−1(2) 原式=x³+x²+xy−x²y−xy−y²=x³−x²y+x²−y=:例 3计算：(1)(−13x+34y3)(−34y3−13x)(2)(2a²+b)(−2a²+b)分析本题主要考查平方差公式的运用.解(1) 原式=−(34y3−13x)(34y3+13x)=−(34y3)2+(13x)2=−916y6+19x3(2) 原式: =(b+2a²)(b−2a²)=b²−4a⁴双基训练1.下面是某同学在一次作业中的计算摘录：⑬a+2b=5ab;②4m³n−5mn³=−m³n;③4x³⋅(−2x²)=−6x³;④4a³b÷(−2a²b)=−2a;⑤(a³)²=a⁵;⑥(−a)³÷(−a)== -a²其中正确的个数有( ).A. 1个B.2个C.3 个D. 4个2.计算(x²−3x+n)(x²+mx+8)的结果中不含x²和 x³的项，则 m，n 的值分别为( ).A. m=3,n=1B. m=0,n=0C. m=-3,n=-9D. m=-3,n=83.下列分解因式不正确的是( ).A.x³−x=x(x²−1)B.m²+m−6=(m+3)(m−2)C.(a+4)(a−4)=a²−16D.x²+y²=(x+y)(x−y)4.我们约定a⊗b=10“×10”,如: 2⊗3=10²×10³=10⁵,,那么 4⊗8 为 ( ).A.32B. 10³²C.10¹²D. 12¹⁰5.下列各式是完全平方式的是( ).A.x2−x+14B.1+4x²C.a²+ab+b²D.x²+2x−16.如图18-1所示,矩形花园ABCD 中,AB=a,AD=b,花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RST K.若 LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为( ).A.bc−ab+ac+b²B.a²+ab+bc−acC.ab−bc−ac+c²D.b²−bc+a²−ab7.如图18-2(a)所示，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分裁剪后拼成一个矩形(如图18-2(b)所示)，上述操作所能验证的等式是( ).A.a²−b²=(a +b )(a −b )B.(a −b )²=a²−2ab +b²C.(a +b )²=a²+2ab +b²D.a²+ab =a (a +b )8.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.a²+(−b )²B.5m²−20mnC.−x²−y²D.−x²+99.若 9x²+mxy +16y²是一个完全平方式，那么 m 的值是 .10.(23)2007×(1.5)2008÷(−1)2009=¯.11.分解因式: a²−1+b²−2ab =.12.如果((2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b 的值为 .13.把20厘米长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5平方厘米，则这两段铁丝分别长 .14. 多项式 9x²+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是 .15. 若 3x =12,3y =23,则 3ˣ⁻²ʸ等于 .16. 比较3⁵⁵⁵,4⁴⁴⁴,5³³³的大小: > > .17.计算.(1)(23a 2b)3÷(13ab 2)2×34a 3b 2(2)(x 4+3y)2−(x 4−3y)2(3)(2a-3b+1)²(4)(x²−2x −1)(x²+2x −1)18.化简求值: [(x +12y)2+(x −12y)2](2x 2−12y 2),其中 x =−3,y =4.19.已知实数x 满足x+1x =3,求x2+1x2的值.20.已知.A=2x+y,B=2x-y,计算A²−B².能力提升21.若x+y=2m+1, xy=1,且21x²−48xy+21y²=2010,则m= .22. 设(1+x)²(1−x)=a+bx+cx²+dx³,则。
著名机构讲义暑假06-七年级培优版-整式的乘法-教师版
教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间学 科数学课题名称整式的乘法知识模块Ⅰ:单项式与单项式相乘1.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.也可简单地写成：单项式单项式=（系数相乘）（同底数幂相乘）（单独字母的幂） 2.进行单项式乘法运算时，可按下面三个步骤进行： （1）系数相乘——确定系数（特别注意符号）. （2）相同字母相乘——底数不变，指数相加. （3）不同字母相乘——连同它的指数照搬下来. 3.进行单项式乘法运算时应注意：⨯⋅⋅整式的乘法（3）若，求m ，n 的值。
【答案】（4）一台计算机每秒可作3.75×10次运算，如果它连续工作了1小时40分钟，那么它作了多少次运算？【答案】知识模块Ⅱ:单项式与多项式相乘1.单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再 把所得的积相加.如或2.进行单项式与多项式乘法运算时应注意：（1）非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍为多项式；积的项数与所乘多项式的项数相同. （2）正确运用去括号法则来确定积中每一项的符号.（3）含有乘方、乘法、加减法的混合运算中，要注意运算顺序，还要注意合并同类项，得到最简结果.【例5】（1）______________ （2）____________（3）______________ （4）___________（5）_______（6）_______2m 221012-39n nx y y x x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅+=-+-⎣⎦⎣⎦（）（）-（）（）（）4125m n =⎧⎪⎨=⎪⎩10142.2510⨯()m a b c ma mb mc ⋅++=++().a b c m am bm cm ++⋅=++()32a b +⋅=()22232xy x y xy-=()22a a b c --=()24ab a ab b --=()2212a ab b a ab ⎛⎫--⋅⋅-= ⎪⎝⎭()22123x x xy y ⎛⎫-⋅--= ⎪⎝⎭【答案】（1）（2）（3）（4）【例10】已知：。
北师大版七年级下册 第一章 整式的乘除 复习巩固 讲义(全)
.
、
6、已知 a+b=3, a2+b2=5，求 ab 的值
7、若 m n 10 ， mn 24 ，则 m2 n2
.
8、若 x y 8, xy 10 ,则 x 2 y 2 =
.
8、已知: x y 3, x 2 y 2 3xy 4 ， 求: x3 y xy 3 的值
、
考点 5：不含项
【例 7】
1、要使 6x a2x 1 的结果中不含 x 的一次项，则 a 等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2、使 x2 px 8 x2 3x q 的积中不含 x2 和 x3 ，求 p，q 的值。
变式训练
1、如果(x＋1)(x2－5ax＋a)的乘积中不含x2项，则a为
、
2、若
x
m
考点 4：乘法公式的灵活运用与拓展
【例 6】
1、已知 x y 6, xy 8 ；则 x2 y2 =
.
2、已知 m2 9m 1 0 ，则 m2 m2 =
.
3、若 x2 8x 18 2k 是一个完全平方式，则 k
.
、
变式训练
1、已知 x 2 5x 1 0 ，则 x 2 x 2 =
x
1 3
的乘积中不含
x
的一次项，则
m
等于______．
3、当 k =
时,多项式 x 2 3kxy 3y 2 1 xy 8 中不含 xy 项. 3
4、已知 ax2 bx 1 与 2x2 3x 1 的积不含 x3 的项，也不含 x 的项，试求 a 与 b 的值。
4、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值。
初一整式的乘法与平方差公式培优同步讲义
学科教师辅导讲义学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题； ② 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。
2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（二）平方差公式体系搭建1、平方差公式：22()()a b a b a b-+=-，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：2222()()a b a b a ab ab b a b+-=-+-=-。
平方差公式的逆用即22()()a b a b a b-=-+平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。
沪教版 培优 七年级数学 暑假同步讲义 第6讲 整式的乘法(一)(学生版)
整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．
1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式． 注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：2
2224245234312xyxyxyxyxy．
整式的乘法（一） 知识结构 模块一：单项式与单项式相乘 知识精讲
内容分析 2/ 11
【例1】 计算： （1）2445yy； （2）234163xyxy；
（3）2223623ababab．
【例2】 计算： （1）322233xyxyz； （2）2231263xxyyz；
（3）232232130.432xyxyxy．
【例3】 计算： （1）23243335453xyxyxyxy； （2）3222362325333xyzxyzxyzxy．
【例4】 已知：32327823530mnxyxyxyxy，求mn的值．
例题解析 【例5】 先化简，再求值：2333211222abbcabc，其中111abc，，． 1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：mabc=mambmc．
【例6】 计算： （1）2211313242xxx； （2）22232ababab ；
2024-2025学年七年级数学下册同步讲义(北师大版)第一章 整式的乘除复习与巩固(教师版)
典例：1.下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．（2a）3＝6a3
【答案】D
C．（am）2＝a2+m D．a2+2a2＝3a2
【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案； B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案； C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
第一章 整式的乘除 复习与巩固
1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除 以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
＝12022 ＝1， 故选：C． 【点拨】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
典例：3.计算（1）
30
1 8
1 3 2
1 3
2
（2） 3a3 2 2a3 8a12 2a3
【答案】(1)-8 (2)14a9
【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可．
（2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可．
知识点一. 幂的运算 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
( m，n 为正整数).
2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
( m，n 为正整数).
3.积的乘方：积的乘方 ，等于各因数乘方的积；
( n 为正整数).
4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减；
m n ).
5.零指数幂： a0 1a 0. 即任何不等于零的数的零次方等于 1.
34【提高】整式的除法(培优课程讲义例题练习含答案)
《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：1nnaa -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、（春•南长）已知228xy +=，993y x -=，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据3(2)22xy +=，2933yx -=，列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．2、（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
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整式的乘除培优讲义
【知识精要】:
1幂的运算性质：
① （、为正整数） ② （为正整数） ③ （
、为正整数） ④
（
、为正整数，且
）
（
） （
，为正整数）
2整式的乘法公式：
①
② ③
【例题解析】:
例1, 计算:
1、(a ＋b ＋c)(a －b －c) 2，
()
2
a b c ++
,3、20082－2009×20074、 (2a-b)2(b+2a)2
例2已知，求的值。
例3 已知，，求的值。
例4已知，求的值。
例5 已知，，求的值。
【课堂精练】:
1. （为偶数）
2. 0.00010490用科学记数法表示为
3.
4.
5.
6.
7. 若，那么
8. 如果，那么=（）
A. B. C. D.
9. 所得结果是（）
A. B. C. D. 2
10. 已知为正整数，若能被整除，那么整数的取值范围是（）
A. B. C. D.
11. 要使成为一个完全平方式，则的值为（）
A. B. C. D.
12. 下列各式能用平方差公式计算的是（）
A. B.
C. D.
13.计算：
（1）（2）
（3）（为正整数）
（4）
【培优拓展】:
1.已知，求的值。
2. 若，求的值。
3. 已知，求的值。
4.己知x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。
5计算（1－
221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－20
11）的值．
6.若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．
7．已知（a －1）（b －2）－a （b －3）＝3，求代数式 ½（a ²+b ²）－ab 的值．
8.化简求值：[（x ＋
21y ）2＋（x －21y ）2]（2x 2－2
1y 2），其中x ＝－3，y ＝4．
9.填空
①.设12142
++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。
②.已知51
=+
x x ，那么221x
x +=_______。
③方程()()()()41812523=-+--+x x x x 的解是_______。
④.已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______。
⑤.已知2a =5,2b =10,2c =50,那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是___________. ⑥.若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．
10.计算
（1）()
()0
2
2012
14.3211π--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--
（2）（2）()()()()2
3
3
2
32222x y x xy y x ÷-+-⋅
（3）(
)()2
2
2223366m m n m n m -÷--
【当堂检测】:
1.若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值（ ） （A ）5 （B ）
2
5
（C ）25 （D ）10 =⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2012
2012
532135.2（ ）
A. 1-
B. 1
C. 0
D. 1997 3.设()()A b a b a +-=+2
2
3535，则A=（ ）
A. 30ab
B. 60ab
C. 15ab
D. 12ab 4.已知,3,5=-=+xy y x 则=+2
2
y x （ ） A. 25. B 25- C 19 D 、19-
5.已知,5,3==b
a
x x 则=-b
a x
23（ ）
A 、
2527 B 、10
9 C 、53 D 、52
6. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式： ①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n ); ③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ， 你认为其中正确的有 A 、①②
B 、③④
C 、①②③
D 、①②③④ （ ）
7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、 –3
B 、3
C 、0
D 、1
8．已知.(a+b)2=9，ab= －11
2 ，则a²+b 2的值等于（ ） A 、84 B 、78 C 、12 D 、6
9．计算（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的结果是（ ） A ．a 8+2a 4b 4+b 8 B ．a 8－2a 4b 4+b 8 C ．a 8+b 8 D ．a 8－b 8 10.计算
（1）（
32a 2b ）3÷（31ab 2）2×43a 3b 2； （2）（4x ＋3y ）2－（4
x
－3y ）2；
（3）（2a －3b ＋1）2； （4）（x 2－2x －1）（x 2＋2x －1）；
n
m a b a
（5）（a －
61b ）（2a ＋31b ）（3a 2＋12
1b 2
）；
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