初一整式的乘除培优同步讲义
北师大版七年级下册数学《同底数幂的除法》整式的乘除培优说课教学复习课件
每个水分子的直径是4×10-10m，
用小数表示为
.
（2）拓展延伸：
如果一滴水的质量约为 0.05g，请根据（1） 中提供的数据回答：
①一滴水中大约有多少个水分子？
用科学记数法表示
.
②如果把一滴水中的水分子依次排成一列 （中间没有空隙），能排多少米？
用科学记数法表示
.
课堂小结
这节课你学到了哪些知识？ 用科学记数法表示小于1的正数与表示大于10
只要m，n都是整数，就有am÷an=am-n成立!
我们前面学过 的运算法则是否
也成立呢？
反馈练习：
下面的计算是否正确？如有错误请改正
(1) b6÷b2 =b3 ；
(2) a10÷a-1 =a9 ；
(3) (-bc)4÷(-bc)2 = -b2c2 ； (4) xn+1÷x2n+1 =x-n .
反馈练习： 计算
假设一种可入肺颗粒物的直径约为 2.5μm，相当于多少米？
多少个这样的颗粒物首尾连接起来能 达到1m？与同伴交流
2. 估计1张纸的厚度大约是多少厘 米.你是怎样做的？与同伴交流
课堂练习
基础练习： （1）用科学记数法表示下列各数，并在计算
器上表示出来： 0.000 000 72； 0.000 861； 0.000 000 000 342 5
一般地，一个小于1的正数可以用 科学记数法表示为：
a× 10n (其中1≤a＜10,n是负整数）
怎样确 定a和n？
巩固落实
1.用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 000 1= 0.000 000 000 002 9= 0.000 000 001 295=
2.下面的数据都是用科学记数法表示的， 请你用小数把它们表示出来:
北师大版初一数学下讲义整式的乘除
第一章：整式的乘除1.1同底数幂的乘法复习回顾：复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：探索新知1．利用乘方的意义，计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)=10×10×10×10×10 (乘法的结合律)=105． 2．建立幂的运算法则将上题中的底数改为a ，则有 a 3·a 2＝(aaa)·(aa)＝aaaaa ＝a 5， 即a 3·a 2=a 5=a 3+2． 用字母m ，n 表示正整数，则有即a m ·a n =a m+n ．3．剖析法则思考以下问题：(1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？(4)公式中的底数a 可以表示什么？ (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 请大家试着叙述这个法则：应用提高探讨pn m a a a ⋅⋅等于什么？ 课堂训练(1)-a 2·a 6 (2)(-x)·(-x)3 (3)y m ·y m+1 （4）()3877⨯-（5）()3766⨯- （6）()()435555-⨯⨯- （7）()()b a b a -⋅-2（8）()()b a a b -⋅-2(9)x 5·x 6·x 3 (10)-b 3·b (11)-a·(-a)3 (12)(-a)2·(-a)3·(-a)1.2 幂的乘方与积的乘方（一） 复习回顾复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则 1、幂的意义 2、.nm nmaa a +=⋅（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
探索新知根据已经学习过的知识，回忆并探讨以下实际问题：1． 乙正方体的棱长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V 乙 = cm 3 。
2018七年级浙教版整式的乘除培优讲义
整式的乘除培优课【知识精要】：1幕的运算性质：①/X 工”（喇、打为正整数）②（讨为正整数）③八「—1（W、町为正整数）④（咗、卞为正整数，且■'1 - ■ ■）一（.r f ））戶=丄/ （直工0，戸为正整数）2整式的乘法公式：①-.■1- I ■/1： - ■■■②'■' 1 ' ：一$ ■-"③• ■' - :「-3. 科学记数法A = axl^，其中1莖同TO4单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法则；6•多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
7单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
【例题解析】例1,计算:1、(a + b + c)(a —b —c),3、20082—2009X 2007 4、(2a-b)2(b+2a)2例2已知Ji. 3 ［，求- ― ［的值。
例3 ［例2］已知丿"-，「…二，求“八的值(--zrV) =1S A V例4 ［例3］已知’•，求认一T的值例5 ［例4］已知一工一，〔，一「上：二，求的值。
【课堂精练】1. ' - - (嗚为偶数)2. 0.00010490用科学记数法表示为5.(k25xl08) x (-S x 10」)x(-3xl0®) =6.（X—= X3十A■十丄若• 4 ,那么—11. 要使丄'■ I ■■■<•' - 11--成为一个完全平方式，贝U咗的值为（）A. 滋=2B.梯=-2C.叨三±1D. ^ = ±212. 下列各式能用平方差公式计算的是（）4.7.8.9.如果JA. r丹+（-屮所得结果是（A. L"B. 1 11-2)C. -2D. 210.(A.已知T为正整数，若八能被"整除,）= 6那么整数吨的取值范围是A."-恤-工）C.（托+ 刃〔F_y）13. 计算：（1）:丄-■-■ 一八I-B. (X-J/X-X-J)D.(左+恥+刃(2) ■- :' : I」.严为正整数）【培优拓展】：1. 已知云"「，求厂,-一的值。
2019年北师大七年级(下)数学 第一章：整式的乘除运算讲义
2019年北师大七年级（下） 第一章：整式的乘除运算讲义【解题方法与策略】整式的乘法（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c ．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加．公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加．公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++整式的除法（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c ．（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加．公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．典例剖析【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．236326a a a ⋅=B ．358248x x x ⋅=C ．44339x x x ⋅=D ．88165510y y y ⋅=【例2】 直接写出结果：（1）23232a b a b ⋅= （2）22558x y xyz ⋅=（3）3263b a b ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭（4）()()2424a b b -⋅-=【例3】 计算：（1）3223152a bc ab ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()1323443m x yz x y z +⋅-（3）)21).(43).(32(222z xy z yz x -- （4）33332543ab a b abc ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()1245m m a b b a -⎡⎤⎡⎤-⋅--⎣⎦⎣⎦ （6）()()()21536m n m x y x y y x +⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦【练习】计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦．【例4】 计算：（1）()()43322.a ab c （2）()()233222x x y -⋅-（3）()()23226.3xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（4）()32223334x x y xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（5）()()2323m n x y x y -⋅ （6）()()()232223m n n x y x y xy -⋅-⋅-【例5】 若()18333m n m n a a b a b ++⋅=，则m = ，n = ．【例6】 如果223a b x y --和35825a b a bx y ++是同类项，那么这两个单项式的积是 ．【例7】 直接写出结果：（1）()62m n ---= （2）()222a a ab b --=（3）()()253a b ab -+⋅-= （4）()21684.2x x x ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭（5）()23413=3x x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ （6）()1=m m na a a --【例8】 计算：（1）()()22324a a b a a ab --- （2）()()222131a b ab ab ab -++-（3）()()2321322m n x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ （4）()()3213222m n ab b a b b a b ⎡⎤⎛⎫+--⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）()()()()534233515221x x y x x y ⎡⎤--⋅---⎣⎦ （6）12123111264226n n x y xy x y xy ++⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例9】 化简求值25365(21)4(3)24m m m n m m n --+-+---，其中12m n =-=，．【例10】 解方程()()()22614116x x x x x x ---=-+．【练习】若2(31)6(3)16x x x x --+-=，则______x =．【例11】 解不等式()()()222224253x x x x x x -+-+-≤．【例12】 对代数式进行恰当的变形求代数式的值 （1）若56x y +=，求2530x xy y ++；（2）若210m m +-=，求3222013m m ++；（3）若20x y +=，求()3342x xy x y y +++．【例13】 直接写出结果：（1）()()a b m n ++= （2）()()2a b m n +-= （3）()()23x x +-= （4）()()34y y --= （5）()()3x y x y -+= （6）()()22a b a b --=【例14】 下列计算正确的是：（ ）A ．()()22222a b a b a b +-=-B ．()()22a b a b a b --+=-C ．()()22333103a b a b a ab b --=-+D ．()()2233a b a ab b a b --+=-【例15】 下列计算正确的是：（ ）A ．()2222a b a ab b --=-+ B ．()222a b a b -=-C ．()()()2244x y x y x y x y +--=-D ．()()222244a b b a a ab b --=-+-【例16】 计算：（1）()()3123a a +- （2）)214)(221(-+x x（3）()(2)x y x y ++ （4）()()43a b a b ---（5）(2)(2)(21)a a a -++； （6）233222()()x y x y x y -⋅-【例17】 计算：（1）(2)(3)a a a +- （2）()()0.10.20.30.4m n m n -+（3）2(23)(2)()x y x y x y -+-+ （4）2(2)(2)()a b a b a b +--+（5）22()()()x y x y y x -+--+ （6）()()22x xy y x y ++-【例18】 已知230a a --=，则(3)(2)a a -+的值是_________．【例19】 （1）若()()22345+x x ax bx c +-=+，则a = ，b = ，c = ．（2）若2(2)()6x x n x mx --=-+，则___________m n ==，．【例20】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【例21】 先化简再求值：()()()()3123454a a a a +----，其中2a =-．【例22】 直接写出结果：（1）52x x ÷= （2）94y y ÷= （3）88x x ÷= （4）()()106xy xy ÷= （5）()63c c -÷= （6）()1312x x -÷= （7）()323x x ⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭（8）()5122ax x -÷=（9）()()7426=3a b b a -÷- （10）()0π 3.14-=【例23】 计算：（1）()42m m nx x x ÷⋅ （2）42m m n x x x ÷⋅（3）()()233223a b a÷ （4）211528n n a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭（5）()()2483pq m n n m ⎡⎤--÷-⎣⎦ （6）()()21212n n x y x y +⎡⎤⎡⎤+÷+⎢⎥⎣⎦⎣⎦【练习】计算：（1）222(4)8x y y ÷（2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷（3）3232213()()34a b ab ÷ （4）2322(0.8)(4)n n x y x y ÷【例24】 若()28332233m n ax y x y x y ÷=，求a m n 、、的值．【例25】 化简求值：()()()43242322422a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⋅-÷-÷-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中5a =-．【例26】 直接写出结果：（1）()269123x x -+÷= （2）()()32281477x x x x --÷-= （3）()()32121866x x x x -+÷-= （4）()()433226892x y x y x y xy -+÷-=【例27】 计算：（1）472632211()()393a b a b ab -÷-（2）()282342336( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷（3）()323453360.90.645a x a x ax ax ⎡⎤-+-÷⎢⎥⎣⎦（4）()()2233735322728217m n m m n m n m n ⎡⎤+-÷-⎢⎥⎣⎦【例28】 先化简，再求值：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+- ，其中15a =-，1b =- ．【练习】()()()()32322524a b a b a b a b a +--+--÷⎡⎤⎣⎦，其中23a b =-=，．【例29】 已知2610x x -+=，求221x x +的值．【练习】已知23530x x --=，求221x x +的值．【例30】 已知多项式322x x ax -+的除式为1bx -，商式为22x x -+，余式为2，求a b 、的值．【例31】 将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +余式为1 求a b c --= ．【例32】 (3)x +与(2)x m -的积中不含x 的一次项，则________m =．【例33】 如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．【练习】已知23(536)(12)x mx x x -+--的计算结果中不含3x 的项，则m 的值为 ．【例34】 计算322(25)(231)x x x x -+--+．【例35】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【练习】使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值．【例36】 在()()22231x ax b x x ++--的积中，3x 项的系数是5-，2x 项的系数是6-，求a b 、的值．【练习】已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【例37】 已知实数a b x y 、、、满足35ax by ay bx +=-=，．求()()2222a b x y ++的值．【例38】 规定一种新运算“*”：a *()()()()2534b a b a b =++-++，试化简()1m -*()1n +．【练习】规定一种新运算“*”：对于任意实数()x y ，恒有()x y ，*()()211x y x y x y =++--，，．若实数a b ，满足()a b ，*()()=a b b a ，，，则a b ，的值为多少？【例39】 已知()5543221x ax bx cx dx ex f +=+++++，则a b c d e +++++的值为 ；a b c d e f -+-+-的值 ．【练习】已知()66543232x ax bx cx dx ex fx g -=++++++，则a c e g +++的值为 ； b d f ++的值为 ．知识回顾计算：（1）()()22x x +- （2）()()3131x x +- （3）()()a b a b +- （4）()()2323x x +-（5）()21x + （6）()221x - （7）()2a b + （8）()2a b -【解题方法及策略】平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差． ①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式． 如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(39x y x y x y +-=-）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-．②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形．如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍．完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”．注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
七年级上册数学同步讲义第6讲：整式的乘法(一) - 教师版
辅导教案学员姓名：学科教师：周乔乔年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题整式的乘法（一）教学内容整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．整式的乘法（一）知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲内容分析注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．【例1】 计算：（1）2445y y ⋅；（2）()234163x y x y ⋅-；（3）()2223623a b ab a b ⋅⋅-．【难度】★【答案】（1）620y ；（2）552x y -；（3）5636a b -． 【解析】（1）原式=()2464520y y +⨯=；（2）原式=()2314551623x y x y ++⎡⎤⨯-⋅=-⎢⎥⎣⎦；（3）原式=()2121235662336ab a b ++++⨯⨯-=-⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子 相乘与两个式子相乘法则相同．【例2】 计算：（1）()()23333z x y -⋅；（2）()()3224247a xy a x y -⋅-；（3）()()2322x y x y ⎡⎤---⎣⎦（把x y -作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★【答案】（1）623243x y z -；（2）14751372a x y ；（3）()54x y --． 【解析】（1）原式=()3326262333243z x y x y z -⋅=-；例题解析（2）原式=()()()()32212632121623474343a xy a x y a x y +++-⋅-=-⨯-=⎡⎤⎣⎦14751372a x y ；（3）原式=()()2322x y +⨯--=⎡⎤⎣⎦()54x y --【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．【例3】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【难度】★【答案】（1）75383x y z -；（2）444x y z -；（3）914275x y -．【解析】（1）原式=()3242333432332839327x y x y z x y z ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦75383x y z -；（2）原式=()22311263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦444x y z -；（3）原式=224636224326621321343259225x y x y x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-=⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦914275x y =-．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．【例4】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）57235x y ；（2）710320381x y z ．【解析】（1）原式=3324263575757953234425355x y x y x y x y x y x y x y ⋅+⋅=+=；（2）原式=442366937103710371038540203332738181x y z x y z x y z xy x y z x y z x y z ⎛⎫⋅+-⋅=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．【例5】 计算：2233()2()x y a x y ab ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦（把x y +作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★★【答案】()3336x y a b -+． 【解析】原式=()()2121332x y a b ++⨯-+=⎡⎤⎣⎦()3336x y a b -+．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．【例6】 已知：()()()32327823530m n x y x y x y x y ⋅-⋅=-，求m n +的值． 【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=55783030m n x y x y ++-=-，由此可得5758m n +=+=，， 可解得23m n ==，，5m n +=【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．【例7】 先化简，后求值：233322221391233x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知，．【难度】★★【答案】化简结果是75x y ，代入求值结果是32-【解析】原式=7575754133x y x y x y -=，代入求值得()751232-⨯=-【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例8】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【难度】★★★【答案】化简结果是579a b c ，代入求值结果是1．【解析】原式=()33623357911824a b b c a b c a b c -⋅⋅⋅-=，代入计算得：()()5971111-⨯⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例9】 化简：()75122xy x y -⋅--．【难度】★★★【答案】当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【解析】对原式进行分析整理，原式=574657122xy x y xy x y xy x y xy -⋅=-⋅⋅=-⋅，由此可知，对式子去绝对值需进行分类讨论：即当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ．【总结】本题主要考查对代数式进行简单的恒等变形，找出可能需要讨论的部分即可进行分 类讨论，准确解题．1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例 模块二：单项式与多项式相知识精讲如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．【例10】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅-；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）432113648x x x -+-；（2）322364a b a b -；（3）23238x y x y -+．【解析】（1）原式=2222111131322242x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭432113648x x x -+-；（2）原式=222322ab a b ab ab ⋅-⋅=322364a b a b -； （3）原式=()()212121243x xy x y xy ⋅--⋅-=23238x y x y -+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项．【例11】计算：（1）()322211263a b a b ab -⋅；（2）2222432345x y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）433442a b a b -；（2）42332448315x y x y x y --+．【解析】（1）原式=322224334111264233a b ab a b ab a b a b ⋅-⋅=-；（2）原式=222222224344234335x y x x y xy x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332448315x y x y x y =--+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计 算时注意符号． 例题解析【例12】计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并同类 项运算．【例13】先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【难度】★★【答案】化简结果是38x ，代入求值结果是1-．【解析】原式=()2222322222102x x x x x x x x x x x ⋅-⋅+-⋅-⋅--⋅ 4324322222102x x x x x x =-+-+-38x =将12x =-代入计算得：31812⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．【例14】先化简，后求值：()22322213344434xy x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-+-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中 133x y =-=，．【难度】★★【答案】化简结果是33x y -，代入求值结果是1．【解析】原式()22232211121133344434xy x y xy x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3344441212x y x y x y =-+-33x y =-．将133x y =-=，代入计算得：原式=()331313⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．【例15】已知26ab =，求()253ab a b ab b --的值．【难度】★★ 【答案】174．【解析】原式36242a b a b ab =--()()32222ab ab ab =--32666=--174=．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．【例16】解关于x 的方程：()13538n n x x x ++=+．【难度】★★【答案】815x =．【解析】133538n n x x x x +⋅+⋅=+1131538n n x x x +++=+158x =815x = 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾． 【例17】已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值．【难度】★★【答案】752-．【解析】根据题意，可得：25025200m m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：525m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．原式=2222221041815121524m mn m mn n mn n m mn --++--+=-，代入计算得：原式=25575245222⎛⎫⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查两非负数和为零的模型，两式分别为零，然后再对代数式化简求值．【例18】对任意有理数,x y 定义运算如下：x y ax by cxy ∆=++，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a =1，b =2，c =3时：131********∆=⨯+⨯+⨯⨯=，现已知所定义的新运算满足条件，1∆2=3，2∆3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x 均成立，求a 、b 、c 、d 的值． 【难度】★★★【答案】5014a b c d ===-=，，，．【解析】根据题意，得2232364a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，现存在一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x ， 代入即为ax bd cdx x ++=对任意x 恒成立，即关于x 的方程()1a cd x bd +-=-有无数解， 故可得10a cd bd +-=⎧⎨-=⎩，结合0d ≠和前面所得两个等式解方程可解得：5014a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．【总结】本题主要考查新定义运算，需要根据定义内容进行值的替换，同时对恒成立问题结合一元一次方程的一般形式ax b =有无数解的情况进行讨论，此时00a b ==，． 模块三：多项式与多项式相1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例19】 计算：（1）134624x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11113232x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2189338x x +-；（2）221194x y -． 【解析】（1）原式=2133364632432448x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2189338x x +-；（2）原式=2211111111113322329664x x y y x y x xy xy y ⎛⎫⎛⎫+-+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221194x y -．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式()()22a b a b a b +-=-．【例20】计算：（1）()()22x y x xy y +-+；（2）22152xy x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★ 例题解析【答案】（1）33x y +；（2）3223412554x y x y xy -+． 【解析】（1）原式=()()2222322223x x xy y y x xy y x x y xy x y xy y -++-+=-++-+=33x y +； （2）原式=2111555222xy x x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22212554xy x xy y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=3223412554x y x y xy -+．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例21】计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】（1）4218760x x x --+；（2）224x y -；（3）4223x x -+-【解析】（1）原式=()()2243232212555121260x x x x x x x x x x x x --+-=+---+--+4218760x x x =--+；（2）原式 =()()223223323103xy x xy y x y x y xy ++-++322332232236331034x y x y xy x y x y xy x y =++---=-；（3）原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++=42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．【例22】若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值．【难度】★★【答案】63m n ==，．【解析】原式=()()()43233393x n x m n x mn x m +-+-++-+，因为两式乘积中不含2x 和3x 项，所以可得30330n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，不含的项即其系数为0即可．【例23】已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？【难度】★★【答案】2个，m 的值为16或8．【解析】()()()2215x a x b x a b x ab x mx ++=+++=++，由此可得15a b mab +=⎧⎨=⎩，a 、b 均为 正整数，可知a 、b 为15的因数，15=5×3，或15=15×1，由此可得15116m =+=或 538m =+=．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，以及数字的因数的个数．【例24】已知：多项式432221191112221222324x x x x x mx x nx ⎛⎫⎛⎫++++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求()311222n m m n ⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．【难度】★★【答案】1【解析】2243211111912121223246221234x mx x nx x m n x mn x m n x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，原式=4321192222x x x x ++++，由此可得11262219342m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得62m n =⎧⎨=-⎩．又()()()()334111112222222216n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤⎡⎤---+=-+⋅-+=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，将62m n =⎧⎨=-⎩代入该 式中即得()4116221611616⨯+⨯-=⨯=⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的运算法则，同时考查在指数相同的情况下，若 两式相等，则对应项的系数也相等．【例25】某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示）【难度】★★【答案】223a ab b ++．【解析】()()22222222a b S a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-⨯+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()22222522a ab b a ab b ++-++=223a ab b ++【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，对于不规则图形的面积采用割补法计算．【例26】解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【难度】★★【答案】85x =-．【解析】()()()()322322114232x x x x x x x x x x x x x +++++--+-+-=-+-2242456x x x +=--85x =-【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解方程的步骤有一个整体的知识回顾．【例27】解不等式：()()()()()6971725x x x x x -----<-．【难度】★★【答案】8221x >．【解析】()()221554871435x x x x x -+--+<- 7471435x x -+<- 2182x -<-8221x >【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解不等式的步骤有一个整体的知识回顾．【例28】学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为1.22米，比赛的终点线定在如图所示的C处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（π取3.14，精确到0.01米）【难度】★★★ 【答案】3.83m ．【解析】设第一道半径为r ，则第二道半径为()1.22r +，观察两道上运动员的位置，可知两条跑道上运动员起始距离应为()112 1.222 1.22 1.22 3.14 3.8322r r m πππ⨯+-⨯=≈⨯≈．【总结】跑道问题，可利用代数式计算得到一个只与已知量相关的式子，运用了“设而不求”的数学思想．【习题1】 计算：（1）()225x xy ⋅-；（2）()()232323a b c a -⋅-；（3）()232123xy xy ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（4）()3224142xy x y ⋅-．【难度】★【答案】（1）310x y -；（2）762108a b c -；（3）5889x y ；（4）71432x y -．【解析】（1）原式=()2125x y +⨯-=⎡⎤⎣⎦310x y -；（2）原式=()()()234623436223427a b c a a b c +-⋅-=⨯-=⎡⎤⎣⎦762108a b c -；随堂检测师生总结1、你能熟练地说出整式乘法的类型有哪几种吗？2、你能将这几种类型的法则熟练地说出来吗？3、在理解和运用多项式与多项式相乘的法则时，应注意哪几点？（3）原式=2336223262112839x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5889x y ；（4）原式=()()32612162121146422xy x y x y ++⎡⎤⋅-=⨯-=⎢⎥⎣⎦71432x y -．【总结】本题主要考查单项式乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，同时本题还考查了对积的乘方运算的练习深化．【习题2】 计算：（1）()23223255x y xy x y ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）()222322233a b a b a b ⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭；（3）()223235453xy xy xy x y ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）566x y ；（2）443a b -；（3）343x y ． 【解析】（1）原式=()2121323255x y ++++⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦566x y ；（2）原式=44444423a b a b a b --=-；（3）原式=22212313434343544353x y xy x y x y x y x y ++⎡⎤⎛⎫⋅+-⨯=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，再进行合并同类项运算．【习题3】 计算：（1）222133224ab a b a a b ⎛⎫⋅-+⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）0；（2）5444132x y z x y -．【解析】（1）原式=323233022a b a b -+=；（2）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先用计算法则计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题4】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅ 333233323432a b a b a b a b =+--()323334312a b a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法法则，先分别计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题5】 计算： （1）()2133235n n n n n n ab a b b a b +-+-+⋅（n 为正整数，1n >）；（2）()222214322x xy y x xy x y ⎛⎫-⋅--⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()221367x x x +--+；（4）21111132469m m m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）3224x y x y +；（3）3261587x x x --++； （4）311278m -． 【解析】（1）原式=23133352535n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b ++-++⋅-⋅+⋅ =()()()213133352535n n n n n n n n n n a b a b a b +++++-++++⨯-⨯+⨯ =22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）原式=()222221443322x xy x y x xy x x y -⋅--⋅-⋅+⋅=3222232436x y x y x y x y -+-+ =3224x y x y +；（3）原式=()()222367367x x x x x --++--+ =32261214367x x x x x --+--+=3261587x x x --++；（4）原式=221111111134692469m m m m m ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23211111112182781218m m m m m ++--- =311278m -． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，再进行合并同类项运算，（4）题主要考查立方差公式．【习题6】 计算：()()()()23325361245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】()()5538x y x y +-．【解析】原式=()()()()233255536312458x y x y x y x y ++⎛⎫⨯⨯+⋅-=+- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法，运算过程中注意符号的变化．【习题7】 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】4223x x -+-．【解析】原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++ =42423253x x x x +--- =4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项， 再进行合并同类项运算；本题计算中注意观察，运用整体思想．【习题8】 若20x y +=，则代数式()3342x xy x y y +++的值． 【难度】★★ 【答案】0【解析】原式=()()()()32232222422222220x x y xy y x x y y x y x y x y +++=+++=++=． 【总结】本题在解题过程中注意整体思想的运用．【习题9】 先化简，再求值：12x =，1y =，求()()()22223x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-的值． 【难度】★★【答案】18-．【解析】原式=()()()()()()3222233x y x xy y xy x y x y x xy y xy x y -++--=-++-=-， 将 112x y ==，代入计算得：原式=311128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，注意整体思想的运用．【习题10】 先化简，再求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【难度】★★【答案】化简结果是29142a a +-，代入求值结果是7-．【解析】原式=()()33232254812229142a a a a a a a a a ------+=+-，将1a =-代入计算得：原式=()()29114127⨯-+⨯--=-．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则．【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为m 米，下底为n 米，高是h 米． （1）写出这块梯形的面积公式；（2）当8m =米，14n =米，7h =米时，求它的面积． 【难度】★★【答案】（1）()12h m n +；（2）77平方米．【解析】（1）梯形的面积公式，（2）()28147277s m =+⨯÷=． 【总结】本题主要考查梯形的面积公式和代数式的求值计算．【习题12】 解方程：()()22526x x x x x --+=-．【难度】★★【答案】67x =【解析】2222526x x x x x ---=- 76x -=-67x =【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法，同时对解方程的知识进行回顾．【习题13】 已知：()()523323229251342m n n m x y x y x y ax y ⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭．求：()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】36-．【解析】因为()()5233232261536102925134=182m n n m m n m n x y x y x y x y ax y ++++⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭，由此可得 261529361025m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩．将12m n =⎧⎨=⎩代入()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭， 可得：()()221121*********⎛⎫+⨯⨯-⨯⨯+⨯+=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，两个代数式相等，则次数相同的项的系数也相同，运用多项式的乘法法则进行计算．【作业1】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； （3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5312x y ；（2）7634a b c ；（3）434x y z -． 【解析】（1）原式=322153311232x y x y ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式=2642361423763111616424a b ab c a b c a b c ++⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）原式=()22211263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦434x y z -． 【总结】本题主要考查单项式的乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个单项式相乘与两个单项式相乘的法则完全相同．【作业2】 计算：课后作业（1）3221213232x y y xy ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()3212243ab a a b b ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦． 【难度】★【答案】（1）53343531181612x y x y x y --+； （2）221517a b ab +． 【解析】（1）原式=22331213238x y y x y ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2333323311121382838x x y y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=53343531181612x y x y x y --+； （2）原式=33251712212443412ab a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221517a b ab +． 【总结】本题主要考查单项式与多项式相乘的乘法法则．【作业3】 计算：（1）()()123243x y x y x y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()233222x y x y x y -⋅-． 【难度】★ 【答案】（1）3223171144126x x y xy y +--；（2）43255234x y x y x y x y --+． 【解析】（1）原式=()2232231117112244124126x xy y x y x x y xy y ⎛⎫+-+=+-- ⎪⎝⎭； （2）原式=()()2322322243255234x y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+．【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可．【作业4】 计算：（1）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）()()3322543124752a ab ab a b ab ⎛⎫-⋅--⋅-- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）5444132x y z x y -；（2）6625220220a b a b ab -++．【解析】（1）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -； （2）原式=()()()()33625432218474542a ab ab a b ab ab ab -⋅--⋅-⋅--⋅- =6666252828220a b a b a b ab -++=6625220220a b a b ab -++．【总结】本题主要考查整式的乘法，主要相关法则的准确运用．【作业5】 计算：（1）()()()2221a a a -++；（2）()()32225231x x x x -+-⋅-+． 【难度】★★【答案】（1）32284a a a +--；（2）54322778155x x x x x -+--+-．【解析】（1）原式=()()232421284a a a a a -+=+--；（2）原式=()()()3222223122315231x x x x x x x x --++-+--+=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+- =54322778155x x x x x -+--+-． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项的运算．【作业6】 当14t =时，代数式()3221723228t t t t t t ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭的值为__________． 【难度】★★【答案】107128【解析】对代数式化简，结果为()322432187374628824t t t t t t t t ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，将14t =代入， 求值计算，得：原式=432187131787310728424446412864128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【作业7】 已知：多项式()()43222212x x x x mx x nx +++=++++，求m 与n 的值．【难度】★★【答案】12m n =-=，【解析】因为()()()()()2243212322x mx x nx x m n x mn x m n x ++++=+++++++，又()()22432122x mx x nx x x x ++++=+++，所以可得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩． 【总结】当两个多项式相等时，则同底数幂指数相同的项的系数也相同．【作业8】 已知：()()22345x x ax bx c +-=-+，求代数式：()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---的值．【难度】★★★【答案】7420．【解析】因为()()2234510712x x x x +-=--+，又()()22345x x ax bx c +-=-+，所以可得：10712a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，对代数式()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---化简可得：原式=3223222222222222a a b a ab a b a bc ab a bc +-+-+=+， 将10a =-，7b =，12c =代入，则原式=()()222107107127420⨯-⨯+-⨯⨯=． 【总结】两个多项式相等，若同底数幂的指数相同，则它们的系数也相同，本题主要考查代数式的化简求值．【作业9】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【难度】★★★【答案】23a b =⎧⎨=⎩． 【解析】()()()()()2243212312233231ax bx x x ax b a x a b x b x ++-+=+-+-++-+，因为多 项式的积不含3x的项，也不含x 的项，所以可得：23030b a b -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法计算，计算结果中不含有某一次数项，即该次数项的系数为0．【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点．例如：()()23111x x x x -++=-，()()22332428a b a ab b a b +-+=+小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系......”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算()()22224x y x xy y ---+吗？【难度】★★★【答案】（1）()()()()22332233a b a ab b a b a b a ab b a b -++=-+-+=+；；（2）338x y --． 【解析】归纳总结，即立方和和立方差公式．（2）式变形即得原式=()()()32233322428x y x xy y x y x y ⎡⎤-+-+=-+=--⎣⎦． 【总结】对于一些常见的公式，需要进行记忆，在此前提下，注意观察题目中的每一个细节之处才能真正把握好相关规律．。
北师大版七年级下册 第一章 整式的乘除 复习巩固 讲义(全)
.
、
6、已知 a+b=3, a2+b2=5，求 ab 的值
7、若 m n 10 ， mn 24 ，则 m2 n2
.
8、若 x y 8, xy 10 ,则 x 2 y 2 =
.
8、已知: x y 3, x 2 y 2 3xy 4 ， 求: x3 y xy 3 的值
、
考点 5：不含项
【例 7】
1、要使 6x a2x 1 的结果中不含 x 的一次项，则 a 等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2、使 x2 px 8 x2 3x q 的积中不含 x2 和 x3 ，求 p，q 的值。
变式训练
1、如果(x＋1)(x2－5ax＋a)的乘积中不含x2项，则a为
、
2、若
x
m
考点 4：乘法公式的灵活运用与拓展
【例 6】
1、已知 x y 6, xy 8 ；则 x2 y2 =
.
2、已知 m2 9m 1 0 ，则 m2 m2 =
.
3、若 x2 8x 18 2k 是一个完全平方式，则 k
.
、
变式训练
1、已知 x 2 5x 1 0 ，则 x 2 x 2 =
x
1 3
的乘积中不含
x
的一次项，则
m
等于______．
3、当 k =
时,多项式 x 2 3kxy 3y 2 1 xy 8 中不含 xy 项. 3
4、已知 ax2 bx 1 与 2x2 3x 1 的积不含 x3 的项，也不含 x 的项，试求 a 与 b 的值。
4、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值。
北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除(二) 讲义(无答案)
第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。
北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的乘除培优说课教学复习课件拔高
1
(a+b)(m+n)=
am1
+a2n +bm3
+b4n
34
这个结果还可以从下面的图中反映出来
an
bn n
am
bm m
a
b
探究新知
议一议
如何进行多项式与多项式的运算？ 多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加.
多项式 ×
多项式
单项式 ×
探究新知
知识点 1
多项式乘多项式的法则
图1是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和 宽分别增加a， b，所得长方形(图2)的面积可以怎样表示?
n
m
图1
b
n
m
a
图2
探究新知
方案一：S=mn+mb+na+nb b
方案二：S=m(n+b)+a(n+b)
方案三：S=n(m+a)+b(m+n) n
2.（南京）计算（x+y）（x2﹣xy+y2） 解：（x+y）（x2﹣xy+y2） =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3， =x3+y3．
课堂检测
基础巩固题
1.计算(x-1)(x-2)的结果为（ D ） A．x2+3x-2 B．x2-3x-2 C．x2+3x+2
D．x2-3x+2
2.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b满足（ C ） A．a=b B．a=0 C．a=-b D．b=0
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学科教师辅导讲义 学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第01讲---整式的乘除 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方） ② 掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为m n m n a a a +•=（m,n 都是正整数，底数a 不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++••=都是正整数） ②(,m n m n a a a m n +=•都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方体系搭建2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（五）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为m n m n a a a -÷= （0,,a m n ≠都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++÷÷=都是正整数）②(,m n m n a a a m n -=÷都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂①010)a a =≠（ ②1(0p p a a p a -=≠，是正整数），此式也可逆用，即11()(0,p p a a p p a a-==≠为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数一般地，一个小于1的正数可以表示为10n a ⨯的形式，其中1≤a ＜10，n 是负整数，且n 的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
（六）整式的除法1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。
考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方例1、若a m =2，a n =3，则a m+n 等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9例2、若5x =2，5y =，则x ，y 之间的关系为（ ）A ．x ，y 互为相反数B ．x ，y 互为倒数C ．x=yD ．无法判断典例分析例3、为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1 B．52013+1 C．D．例4、已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c例5、（1）已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．（2）已知3x+2•5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值例6、计算：（1）（﹣x5）•x3n﹣1+x3n•（﹣x）4（2）（3）a4•（3a3）2+（﹣4a5）2 （4）[（﹣x2）3•（﹣x3）2]3考点二：平方差与完全平方公式例1、可以用平方差公式进行计算的是（）A．（3a+2b）（﹣3a+3b）B．（3a﹣2b）（﹣3a+2b）C．（3a+2b）（﹣3a+2b）D．（﹣3a﹣2b）（3a+2b）例2、（1）已知a+b=2，求代数式a2﹣b2+4b的值（2）对于所有有理数，我们规定=ad﹣bc，按上述规定运算，求的值．例3、如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）例4、在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记n k=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知+4x+m，m的值是（）A．40 B．﹣70 C．﹣40 D．﹣20例5、（1）已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．（2）已知a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2﹣ab+b2的值．例6、图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1：（只列式，不化简）方法2：（只列式，不化简）（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．例7、计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）（3）（2x3y5﹣3a2b4）（﹣2x3y5﹣3a2b4）（4）（a+3）2﹣（a﹣2）（a+2）（5）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）（6）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）考点三：同底数幂的除法例1、下列计算正确的是（）A．a3+a3=a6B．a6÷a3=a2 C．（a2）3=a8 D．a2•a3=a5例2、计算﹣2016﹣1﹣（﹣2016）0的结果正确的是（）A．0 B．2016 C．﹣2016 D．﹣例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m，0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是（）A．9.1×10﹣8B．9.1×10﹣7C．0.91×10﹣8D．0.91×10﹣7例4、计算（1）（﹣）﹣1+（﹣2）2×20160﹣（）﹣2（2）4.4×10﹣19×109÷（2.2×10﹣11）+100（3）30（4）﹣（﹣）﹣2﹣24×（﹣2016）0例5、（1）若3m=6，3n=2，求32m﹣3n+1的值（2）已知9m÷32m+2=n，求n的值考点四：整式的乘法与除法、混合运算例1、下列计算正确的是（）A．（xy）3=xy3B．x5÷x5=xC．3x2•5x3=15x5D．5x2y3+2x2y3=10x4y9例2、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1例3、计算：（1）x2y×（﹣2xy2）（2）（4a3b﹣6a3b2﹣10ab2）÷（2ab）（3）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy）（4）（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）例4、化简求值（1）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值（2）已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值（3）已知（x﹣y）2=9，x2+y2=5，求[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y的值．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、计算（﹣a）3•（﹣a）2的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a52、（1）已知a m=7，a n=5，a p=6，求a m+n+a n+p的值（2）已知：2x+3y﹣4=0，求4x•8y的值3、基本事实：若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x=27；②2x+2+2x+1=24．4、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：① x+y=m；② x﹣y=n；③ xy=．其中正确的关系式的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5、如图的图形面积由以下哪个公式表示（）A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）6、计算：（1）（）5÷（）3•（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷（3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2（4）（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）（6）2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）27、（1）如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值（2）a2+2a﹣1=0，求a2+的值8、化简求值（1）当x=6，y=时，求（﹣x）9•[（﹣y）3]2•y3的值（2），其中，（3）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a=2，b=19、若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为．➢课后反击1、已知x a=2，x b=3，则x3a+2b=（）A．17 B．72 C．24 D．362、当m是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m．A．4个B．3个C．2个D．1个3、如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片张4、计算：（1）（2）3﹣2+（）﹣1+（﹣2）3+（892﹣890）0（3）（4）5、（1）已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值（2）已知实数a、b满足（a+b）2=3，（a﹣b）2=23，求a2+b2+ab的值．6、已知x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，求m的值．7、化简：（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）（2）5a（a2+2a+1）﹣（2a+3）（a﹣5）（3）（4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab8、先化简，再求值：（1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a=2，b=1（2）已知x=7，求1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2009的值直击中考1、【2015•成都】下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+12、【2016 常州】先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=3、【2013 义乌】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．S(Summary-Embedded)——归纳总结幂的乘方1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如53()a 是3个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方，()m n a 是n 个m a 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方。