旋转矩阵公式法
旋转矩阵
三维旋转矩阵三维旋转特性给定单位向量u和旋转角度φ，则R(φ,u)表示绕单位向量u旋转φ角度。
R(0,u)表示旋转零度。
R(φ,u)= R(−φ,−u)。
R(π+φ,u)= R(π−φ,−u)。
如果φ=0，则u为任意值。
如果0<φ<π,则u唯一确定。
如果φ= π，则符号不是很重要。
因为- π和π是一致的，结果相同，动作不同。
由旋转矩阵求旋转角和旋转轴每一个三维旋转都能有旋转轴和旋转角唯一确定，好多方法都可以从旋转矩阵求出旋转轴和旋转角，下面简单介绍用特征值和特征向量确定旋转轴和旋转角的方法。
将旋转矩阵作用在旋转轴上，则旋转轴还是原来的旋转轴，公式表示如下：Ru=u转化得：Ru=Iu =>(R−I)u=0可以确定的是u在R-I的零空间中，角度可有下面的公式求得，Tr表示矩阵的迹：Tr(R)=1+2cosθ从旋转轴和旋转角求旋转矩阵假设给定单位向量u=(ux，uy，u z)T，并且u为单位向量即：u x2+u y2+u z2=1，给定绕u旋转的角度θ，可以得出旋转矩阵R：R=[cosθ+u x2(1−cosθ)u x u y(1−cosθ)−u z sinθu x u z(1−cosθ)+u y sinθu y u x(1−cosθ)+u z sinθcosθ+u y2(1−cosθ)u y u z(1−cosθ)−u x sinθu z u x(1−cosθ)−u y sinθu z u y(1−cosθ)+u x sinθcosθ+u z2(1−cosθ)]上面的公式等价于：R=cosθI+sinθ[u]×+(1−cosθ)u⊗u其中[u]×是单位向量u的叉乘矩阵，⊗表示张量积，I是单位向量. 这是罗德里格斯旋转方程的矩阵表示。
下面给出叉乘和张量积的公式：u⊗u=[u x2u x u y u x u zu x u y u y2u y u z u x u z u y u z u z2][u]×=[0−u z u y u z0−u x −u y u x0]面向旋转轴，逆时针旋转为正方向，此时旋转矩阵的行列式为1，反之为反方向，旋转矩阵的行列式为-1。
旋转矩阵公式
旋转矩阵是一种用于描述平面或三维空间中物体旋转的数学工具，常用的旋转矩阵公式如下：
二维旋转矩阵（二维平面）：
设点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y')，则旋转矩阵表示为：
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
三维绕X轴旋转矩阵：
设点P(x, y, z)绕X轴逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y', z')，则旋转矩阵表示为：
x' = x
y' = y * cos(θ) - z * sin(θ)
z' = y * sin(θ) + z * cos(θ)
三维绕Y轴旋转矩阵：
设点P(x, y, z)绕Y轴逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y', z')，则旋转矩阵表示为：
x' = x * cos(θ) + z * sin(θ)
y' = y
z' = -x * sin(θ) + z * cos(θ)
三维绕Z轴旋转矩阵：
设点P(x, y, z)绕Z轴逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y', z')，则旋转矩阵表示为：
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
z' = z
这些公式描述了在二维平面和三维空间中绕不同轴进行旋转的变化规律。
具体应用时，根据需要进行相应的数值替换，即可得到具体的旋转结果。
欧拉角与旋转矩阵的转换方法
欧拉角与旋转矩阵的转换方法欧拉角（Euler angles）和旋转矩阵（rotation matrix）是描述物体在三维空间中旋转的常用数学工具。
欧拉角由三个旋转轴和三个旋转角度组成，而旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵。
这两种表示方法之间的转换方法可以分为两个步骤：将欧拉角转换为旋转矩阵，或将旋转矩阵转换为欧拉角。
一、欧拉角转换为旋转矩阵欧拉角的转换公式有多种实现方式，其中最为常用的是Z-Y-X欧拉角序列的转换公式。
假设欧拉角序列为ψ、θ、φ（分别表示绕Z轴、Y轴和X轴的旋转角度），则对应的旋转矩阵R可以通过以下的步骤来计算：1.将ψ、θ、φ分别转换为对应的旋转矩阵Rz(ψ)、Ry(θ)和Rx(φ)，这里Rz、Ry和Rx分别表示绕Z轴、Y轴和X轴的旋转矩阵。
2.将Rz(ψ)、Ry(θ)和Rx(φ)按照Z-Y-X的次序相乘，得到最终的旋转矩阵R=Rz(ψ)Ry(θ)Rx(φ)。
具体地，Rz(ψ)、Ry(θ)和Rx(φ)的计算公式如下：Rz(ψ) = [[cos(ψ), -sin(ψ), 0], [sin(ψ), cos(ψ), 0], [0, 0, 1]]Ry(θ) = [[cos(θ), 0, sin(θ)], [0, 1, 0], [-sin(θ), 0, cos(θ)]]Rx(φ) = [[1, 0, 0], [0, cos(φ), -sin(φ)], [0, sin(φ), cos(φ)]]将以上的计算公式代入到步骤2中，就可以得到欧拉角对应的旋转矩阵R。
二、旋转矩阵转换为欧拉角将旋转矩阵转换为欧拉角的过程比较复杂，通常需要分解出旋转矩阵的三个旋转角度。
下面介绍一种常用的分解方法，即将旋转矩阵分解为绕Z轴、Y轴和X轴旋转的角度。
假设旋转矩阵为R，则分解的步骤如下：1.计算R矩阵第三列的单位向量v32. 计算v3在xz平面上的投影v3_projected，即将v3的y分量设为0。
3. 计算v3与单位向量z的夹角θ1、可以使用反余弦函数计算cos(θ1) = v3_projected · z，其中·表示向量的点积。
旋转矩阵计算
旋转矩阵计算**旋转矩阵计算**在计算机图形学和计算几何学中，旋转矩阵是一种常用的数学工具，用于描述物体在二维或三维空间内的旋转运动。
通过旋转矩阵，我们可以精确地描述物体如何绕着某个中心点进行旋转，并可以实现旋转变换的运算。
本文将详细介绍旋转矩阵的原理、应用、以及如何进行旋转矩阵计算。
### 一、旋转矩阵的原理旋转矩阵是一个二维或三维的方阵，可以用来描述一个向量或坐标点绕着原点或其他中心点进行旋转的变换。
在二维空间中，一个二维向量 $(x, y)$ 绕着原点逆时针旋转一个角度 $\theta$，可以通过以下的矩阵形式进行表示：$$\begin{bmatrix}x' \\y'\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}$$其中，$(x', y')$ 是旋转后的坐标，$(x, y)$ 是旋转前的坐标。
$\theta$ 是旋转的角度，$\cos(\theta)$ 和 $\sin(\theta)$ 分别表示角度 $\theta$ 的余弦值和正弦值。
### 二、旋转矩阵的应用旋转矩阵广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、机器人学、物理仿真等领域。
在计算机图形学中，旋转矩阵通常用于实现三维模型的旋转、平移、缩放等操作，使得物体能够在屏幕上进行动态的显示。
在计算机视觉中，旋转矩阵可以用于图像处理中的旋转、仿射变换等操作，从而实现图像的处理和分析。
在机器人学中，旋转矩阵可以描述机器人末端执行器的姿态变换，实现机器人的运动规划和控制。
在物理仿真中，旋转矩阵可以描述刚体在三维空间内的旋转运动，模拟真实物体的运动轨迹和动态行为。
### 三、旋转矩阵的计算方法旋转矩阵的计算方法主要包括以下几种：1. **通过旋转角度计算旋转矩阵**：根据旋转角度的不同，可以通过余弦和正弦值计算旋转矩阵的各个元素，从而得到具体的旋转矩阵。
计算旋转矩阵
计算旋转矩阵旋转矩阵是一种常见的数学变换，它允许我们旋转一个几何图形，而不会更改其形状。
旋转矩阵也可以被用来改变坐标系的特定方向，比如在把笛卡尔坐标系改变为极坐标系，或者相反。
要计算旋转矩阵，我们首先必须了解旋转角度和旋转向量。
旋转角度是指旋转几何图形或坐标轴时所需要的角度。
旋转向量在旋转过程中提供方向，可以理解为旋转面的法向量。
旋转矩阵是一个3x3的方阵，可以用来表示旋转变换。
它可以用关于旋转向量u和旋转角度θ的表达式来构造。
旋转矩阵的构造方式如下：R(u,θ) = cosθ I + (1-cosθ)uuT + sinθ[u]×其中，[u]×是旋转向量的叉乘矩阵。
旋转矩阵的构造需要知道旋转角度和旋转向量。
为计算旋转矩阵，第一步可以用下述公式计算旋转角度θ：tanθ=u×v/|u||v|其中，u和v分别为原始向量和新向量。
旋转矩阵也可以用矩阵操作来构造，它可以用余弦、正弦和叉乘算子构造出来。
它是一个3x3的方阵，可以表示任意旋转对三维空间中的任何一点的影响。
另外，旋转矩阵也可以用欧拉角表示：R(α,β,γ)=cosαcosγsinαsinβcosγsinαcosβsinγcosαsinγ+sinαsinβsinγ+sinαcosβcosγsinαcosβ+cosαsinβcosγcosαsinβsinγsinαsinβ+cosαcosβcosγ+cosαcosβsinγ其中，α、β、γ分别为欧拉角的三个轴方向角。
要计算旋转矩阵，我们需要明确旋转角度和旋转向量，以及对象的原始坐标和新坐标位置，并按照上述方法计算旋转矩阵。
旋转矩阵可以用来改变坐标系的方向，可以用来旋转几何图形，也可以用来改变三维空间中的任意一点的坐标位置，从而实现更好的空间变换。
旋转矩阵和四元数
旋转矩阵和四元数旋转矩阵和四元数是描述三维空间中旋转的两种常见方法。
旋转矩阵使用一个3x3的矩阵来表示旋转，而四元数则是一个四元组。
虽然这两种方法在数学上等价，但它们在计算机图形学中的应用场景不同，因此有各自的优缺点。
旋转矩阵是最常见的旋转表示方式之一。
旋转矩阵是一个正交矩阵（orthogonal matrix），它保持向量的长度不变，并且保持向量间的夹角不变。
对于三维空间中的旋转，旋转矩阵由三个互相垂直的单位向量组成。
这三个向量描述了三个轴上的旋转：x轴、y轴、z轴，每个轴上的旋转由一个角度表示。
例如，以下是绕x轴旋转45度的旋转矩阵：{1, 0, 0,0, cosθ, -sinθ,0, sinθ, cosθ}其中，θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ表示角度θ的余弦和正弦。
类似地，绕y 轴或z轴旋转也可以得到对应的旋转矩阵。
旋转矩阵可以直接用于对三维模型进行变换。
假设我们有一个三维向量v，它的x、y、z分别表示其在三个轴上的位置。
我们将它与旋转矩阵R相乘，得到新的向量v'，它表示将v绕R所描述的轴旋转后的新位置。
这个过程可以用以下公式表示：v' = R * v其中*表示矩阵乘法。
该公式的意义是将v先保持长度不变地旋转至与R所描述的轴重合，然后再按R所描述的角度进行旋转，最终得到一个新的向量v'。
然而，旋转矩阵有一个问题：当连续执行多次旋转时，误差会逐渐积累，导致精度下降。
此时，可以使用四元数来避免这个问题。
四元数是一个四元组，通常用(qw, qx, qy, qz)来表示。
其中qw是实部，qx、qy、qz 是虚部，因此四元数可以写成以下形式：q = qw + qx i + qy j + qz k其中i、j、k是三个虚数单位，它们满足以下关系：i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1四元数可以用来描述三维空间中的旋转。
具体地，一个表示绕轴(n, θ)旋转的四元数可以表示为：q = cos(θ/2) + n * sin(θ/2)其中n是一个单位向量，表示旋转轴的方向，θ是旋转的角度。
(完整word版)旋转矩阵公式法
旋转矩阵公式法！一，选11个号，中了5个号，100%能组合到 4 个号。
假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下22 注，需投入44 元：1)01、05、07、09、112)01、05、06、08、103)01、04、06、08、094)01、04、05、07、105)01、03、07、08、116)01、03、04、09、107)01、02、06、10、118)01、02、04、08、119)01、02、03、06、0710)01、02、03、05、0911)02、07、08、09、1012)02、05、06、07、0813)02、04、07、09、1114)02、04、05、06、0915)02、03、05、10、1116)02、03、04、08、1017)03、06、08、09、1118)03、06、07、09、1019)03、04、05、07、0820)03、04、05、06、1121)04、06、07、10、1122)05、08、09、10、11二，选11个号，中了4 个号，100%能组合到 4 个号。
假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下66 注，只要132 元就能搞定：1)01、07、08、09、102)01、06、07、09、113)01、05、08、09、114)01、05、07、10、115)01、05、06、08、106)01、04、09、10、117)01、04、06、08、118)01、04、06、07、109)01、04、05、07、0810)01、04、05、06、0911)01、03、08、10、1112)01、03、06、09、1013)01、03、06、07、0814)01、03、05、07、0915)01、03、05、06、1116)01、03、04、08、0917)01、03、04、07、1118)01、03、04、05、1019)01、02、07、08、1120)01、02、06、10、1121)01、02、06、08、0922)01、02、05、09、1023)01、02、05、06、0724)01、02、04、08、1025)01、02、04、07、0926)01、02、04、05、1127)01、02、03、09、1128)01、02、03、07、1029)01、02、03、05、0830)01、02、03、04、0631)02、08、09、10、1132)02、06、07、09、1033)02、05、07、09、1134)02、05、07、08、1035)02、05、06、08、1136)02、04、07、10、1137)02、04、06、09、1138)02、04、06、07、0839)02、04、05、08、0940)02、04、05、06、1041)02、03、07、08、0942)02、03、06、08、1043)02、03、06、07、1144)02、03、05、10、1145)02、03、05、06、0946)02、03、04、09、1047)02、03、04、08、1148)02、03、04、05、0749)03、07、09、10、1150)03、06、08、09、1151)03、05、08、09、1052)03、05、07、08、1153)03、05、06、07、1054)03、04、07、08、1055)03、04、06、10、1156)03、04、06、07、0957)03、04、05、09、1158)03、04、05、06、0859)04、07、08、09、1160)04、06、08、09、1061)04、05、08、10、1162)04、05、07、09、1063) 04、 05、 06、 07、 11 64) 05、 06、 09、 10、 11 65) 05、06、 07、 08、 0966) 06、 07、 08、 10、 11 三，选 11 个号，以每注 6个号的小复式进行组合，中了5 个号， 100%能组合到 5个号。
三维旋转矩阵公式
三维旋转矩阵公式在数学和计算机图形学中，三维旋转矩阵是一种用来描述在三维空间中进行旋转操作的数学工具。
通过旋转矩阵，我们可以方便地对三维物体进行旋转，从而实现各种视觉效果和动画效果。
三维旋转矩阵的表示通常是一个3x3的矩阵，其中包含了关于旋转的所有信息。
在三维空间中，我们通常使用三个轴来描述旋转，分别是x轴、y轴和z轴。
对应地，我们可以构造三个旋转矩阵，分别是绕x轴旋转的矩阵、绕y轴旋转的矩阵和绕z轴旋转的矩阵。
绕x轴旋转的矩阵可以表示为：R_x = |1 0 0||0 cosθ -sinθ||0 sinθ cosθ|其中θ表示旋转的角度。
这个矩阵描述了一个绕x轴旋转了θ角度的旋转操作。
类似地，绕y轴旋转的矩阵可以表示为：R_y = |cosθ 0 sinθ|| 0 1 0||-sinθ 0 cosθ|绕z轴旋转的矩阵可以表示为：R_z = |cosθ -sinθ 0||sinθ cosθ 0|| 0 0 1|这三个矩阵分别描述了绕不同轴旋转的操作，通过它们可以实现任意三维空间中的旋转。
同时，这些矩阵也可以组合使用，实现复杂的旋转效果，比如先绕x轴旋转，再绕y轴旋转，最后绕z轴旋转。
除了绕轴旋转的矩阵之外，还有其他表示旋转的方法，比如四元数。
四元数是一种更为复杂的数学工具，可以描述旋转、缩放和平移等操作。
在计算机图形学中，四元数通常用来表示物体的旋转状态，比传统的旋转矩阵更为高效和精确。
总的来说，三维旋转矩阵是描述三维空间中旋转操作的重要工具，通过它们可以实现各种炫酷的视觉效果和动画效果。
掌握旋转矩阵的原理和应用，可以帮助我们更好地理解和实现三维空间中的旋转操作，为计算机图形学和动画领域的发展提供强有力的支持。
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旋转矩阵公式法！一，选11个号，中了5个号，100%能组合到4个号。
假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下22注，需投入44元：（1）01、05、07、09、11（2）01、05、06、08、10（3）01、04、06、08、09（4）01、04、05、07、10（5）01、03、07、08、11（6）01、03、04、09、10（7）01、02、06、10、11（8）01、02、04、08、11（9）01、02、03、06、07（10）01、02、03、05、09（11）02、07、08、09、10（12）02、05、06、07、08（13）02、04、07、09、11（14）02、04、05、06、09（15）02、03、05、10、11（16）02、03、04、08、10（17）03、06、08、09、11（18）03、06、07、09、10（19）03、04、05、07、08（20）03、04、05、06、11（21）04、06、07、10、11（22）05、08、09、10、11二，选11个号，中了4个号，100%能组合到4个号。
假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下66注，只要132元就能搞定：（1）01、07、08、09、10（2）01、06、07、09、11（3）01、05、08、09、11（4）01、05、07、10、11（5）01、05、06、08、10（6）01、04、09、10、11（7）01、04、06、08、11（8）01、04、06、07、10（9）01、04、05、07、08（10）01、04、05、06、09（11）01、03、08、10、11（12）01、03、06、09、10（13）01、03、06、07、08（14）01、03、05、07、09（15）01、03、05、06、11（16）01、03、04、08、09（17）01、03、04、07、11（18）01、03、04、05、10（20）01、02、06、10、11 （21）01、02、06、08、09 （22）01、02、05、09、10 （23）01、02、05、06、07 （24）01、02、04、08、10 （25）01、02、04、07、09 （26）01、02、04、05、11 （27）01、02、03、09、11 （28）01、02、03、07、10 （29）01、02、03、05、08 （30）01、02、03、04、06 （31）02、08、09、10、11 （32）02、06、07、09、10 （33）02、05、07、09、11 （34）02、05、07、08、10 （35）02、05、06、08、11 （36）02、04、07、10、11 （37）02、04、06、09、11 （38）02、04、06、07、08 （39）02、04、05、08、09 （40）02、04、05、06、10 （41）02、03、07、08、09 （42）02、03、06、08、10 （43）02、03、06、07、11 （44）02、03、05、10、11 （45）02、03、05、06、09 （46）02、03、04、09、10 （47）02、03、04、08、11 （48）02、03、04、05、07 （49）03、07、09、10、11 （50）03、06、08、09、11 （51）03、05、08、09、10 （52）03、05、07、08、11 （53）03、05、06、07、10 （54）03、04、07、08、10 （55）03、04、06、10、11 （56）03、04、06、07、09 （57）03、04、05、09、11 （58）03、04、05、06、08 （59）04、07、08、09、11 （60）04、06、08、09、10 （61）04、05、08、10、11 （62）04、05、07、09、10（64）05、06、09、10、11（65）05、06、07、08、09（66）06、07、08、10、11三，选11个号，以每注6个号的小复式进行组合，中了5个号，100%能组合到5个号。
假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下100注，需要投入1200元：（1）01、07、08、09、10、11（2）01、06、07、08、09、11（3）01、05、06、09、10、11（4）01、05、06、07、08、10（5）01、04、08、09、10、11（6）01、04、06、07、08、10（7）01、04、05、07、09、10（8）01、04、05、07、08、11（9）01、04、05、07、08、09（10）01、04、05、06、10、11（11）01、04、05、06、09、11（12）01、03、06、08、09、10（13）01、03、06、07、10、11（14）01、03、05、08、10、11（15）01、03、05、07、09、11（16）01、03、05、07、09、10（17）01、03、05、06、08、11（18）01、03、05、06、08、09（19）01、03、04、08、09、11（20）01、03、04、07、10、11（21）01、03、04、06、09、10（22）01、03、04、06、08、11（23）01、03、04、06、07、09（24）01、03、04、05、08、10（25）01、03、04、05、06、07（26）01、02、06、08、10、11（27）01、02、06、07、09、10（28）01、02、05、08、09、11（29）01、02、05、08、09、10（30）01、02、05、07、10、11（31）01、02、05、06、07、11（32）01、02、05、06、07、09（33）01、02、04、08、10、11（34）01、02、04、07、09、11（35）01、02、04、06、08、09（36）01、02、04、06、07、11（37）01、02、04、05、07、10（38）01、02、04、05、06、08（40）01、02、03、07、08、11 （41）01、02、03、07、08、10 （42）01、02、03、07、08、09 （43）01、02、03、06、09、11 （44）01、02、03、06、07、08 （45）01、02、03、05、07、08 （46）01、02、03、05、06、10 （47）01、02、03、04、09、10 （48）01、02、03、04、07、08 （49）01、02、03、04、06、10 （50）01、02、03、04、05、11 （51）01、02、03、04、05、09 （52）02、06、07、08、09、11 （53）02、05、07、08、10、11 （54）02、05、06、08、09、11 （55）02、05、06、07、09、10 （56）02、04、07、08、09、10 （57）02、04、06、09、10、11 （58）02、04、06、07、08、10 （59）02、04、05、09、10、11 （60）02、04、05、07、09、11 （61）02、04、05、07、08、11 （62）02、04、05、07、08、09 （63）02、04、05、06、08、10 （64）02、04、05、06、07、11 （65）02、03、08、09、10、11 （66）02、03、07、09、10、11 （67）02、03、06、08、09、10 （68）02、03、06、07、10、11 （69）02、03、05、08、09、11 （70）02、03、05、07、09、10 （71）02、03、05、06、10、11 （72）02、03、05、06、07、08 （73）02、03、04、08、09、11 （74）02、03、04、07、10、11 （75）02、03、04、06、08、11 （76）02、03、04、06、07、09 （77）02、03、04、05、08、10 （78）02、03、04、05、07、11 （79）02、03、04、05、06、09 （80）03、06、08、09、10、11 （81）03、06、07、08、09、10 （82）03、05、07、08、10、11（84）03、05、06、07、09、11（85）03、04、07、08、09、11（86）03、04、07、08、09、10（87）03、04、06、08、10、11（88）03、04、06、08、09、11（89）03、04、06、07、08、11（90）03、04、05、09、10、11（91）03、04、05、07、08、09（92）03、04、05、06、08、11（93）03、04、05、06、07、10（94）04、06、07、09、10、11（95）04、05、08、09、10、11（96）04、05、07、08、10、11（97）04、05、06、08、09、10（98）04、05、06、07、08、09（99）05、07、08、09、10、11(100）05、06、07、08、10、11因为第三种方案是6个号的小复式组合，所以投入比全包11个号要多。
但是，这种6个号的小复式组合的优势在于，一旦命中全部5个开奖号码，能够中一注以上的一等奖，而全包11个号最多只会有一注一等奖。
有兴趣的读者不妨检测一下。