旋转矩阵公式表
8-旋转矩阵
该形式的旋转矩阵式罗德里格于1840年推倒而得 到的，因而称罗德里格矩阵。需要指出的是罗德 里格矩阵中三个参数a，b，c并不是方向余弦。
例题：
1、已知： 147'22"; 051'42"; 023'42";求：
① R , , R , R 和R
②计算 ' , ' , ' 和A, , v
RT R ( I S )( I S ) 1 ( I S )( I S ) 1 ( I S ) 1 ( I S )( I S )( I S ) 1 ( I S ) 1 ( I S )( I S )( I S ) 1 I
本节内容：旋转矩阵构成
旋转矩阵中有９个元素，只有３个是独立参数 （因为姿态角有三个）
a1 a2 R b1 b2 c c 2 1
a3 b2 c3
研究R构成规律的目的是：为了计算R矩阵的方便和快 速，尽量少的计算三角函数！
旋转矩阵构成有三种方法
用角元素构成旋转矩阵 利用３个独立方向余弦构成旋转矩阵 用反对称矩阵三元素构成
二、利用３个独立方向余弦构成旋转矩阵
利用正交矩阵的性质，给定３个独立元素
a2，a3，b3
b3 2 2 1 a3 b3 a3
其它６个元素为
2 c3 1 a3 b32 2 2 a1 1 a2 a3
旋转矩阵的构成为 1 a2 a2 2 3 a a b a c Ｒ＝ 1 3 3 2 2 3 1 a3 a2b3 a3b2 a2 1 b12 b32 a3b1 a1b3
回想：R矩阵的性质
坐标系转换旋转矩阵
坐标系转换旋转矩阵坐标系转换旋转矩阵是一种常用的数学工具，用于描述物体在不同坐标系中的方向和位置。
在三维空间中，坐标系转换旋转矩阵通常由一个3×3矩阵表示，称为旋转矩阵。
旋转矩阵可以将某个坐标系的坐标系旋转到另外一个坐标系中，从而实现坐标系的转换。
在描述一个物体的运动和姿态时，我们通常需要使用不同的坐标系。
例如，对于一架飞机来说，有地面坐标系、飞机坐标系、机身坐标系等不同的坐标系。
为了方便描述飞机的运动和姿态，需要将它们之间建立转换关系。
旋转矩阵就是用来描述不同坐标系之间的转换关系的。
旋转矩阵的定义非常简单，它可以由三个基本的旋转矩阵相乘得到。
这三个基本的旋转矩阵分别是绕x轴旋转、绕y轴旋转、绕z轴旋转的矩阵。
以绕z轴旋转为例，设旋转角度为θ，则绕z轴旋转的矩阵为：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1将绕x轴和绕y轴旋转的矩阵与绕z轴旋转的矩阵相乘，就可以得到任意旋转角度、任意旋转轴的旋转矩阵。
对于一个物体在坐标系A中的坐标点p，如果需要将其转换到坐标系B中，就需要使用旋转矩阵将坐标系A中的坐标点旋转到坐标系B中的位置。
即有以下公式：p_B = R*p_A其中，p_A和p_B分别表示在坐标系A和B中的坐标点，R表示A坐标系到B坐标系的转换矩阵。
需要注意的是，在实际应用中，旋转矩阵的计算并不简单。
例如，在真实的三维空间中，物体的旋转轴和旋转角度可以是任意的，这就需要使用更加复杂的旋转矩阵计算公式。
此外，还需要考虑形变、变形等因素对坐标系转换的影响。
总之，坐标系转换旋转矩阵是一种非常重要的数学工具，在计算机图形学、航空航天、机械制造等领域都有广泛的应用。
掌握旋转矩阵的基本概念和计算方法，对于理解和应用相关领域的知识都非常有帮助。
8-旋转矩阵
回想：R矩阵的性质
1、R是正交矩阵。即行、列、对角线元素平方和为 “1”,行列式的值是“1”。 1 T R R 2、正交矩阵的逆矩阵是它本身的转置即 。 3、R矩阵的9个元素中只有3个是独立的，是三个旋转 角的函数。 4、无论采用坐标系统如何(旋转参数不同)，但R是不 变的。因为其转换关系是唯一确定的。所以有课本上 2-10的公式。 tan a3 / c3 tan ' b3 / c3 tan A a3 / b3 ' sin b3 sin a3 cos c3 ' tan b1 / b2 tan a / a tan c / c 2 1 1 2
２、若采用以X为主轴的坐标系统，R矩阵中的 九个元素为
a1 cos ' cos ' a 2 sin ' sin ' a3 sin ' b1 cos ' sin ' sin ' sin ' cos ' b2 cos ' cos ' sin ' sin ' sin ' b sin ' cos ' 3 c1 sin ' cos ' cos ' sin ' cos ' c 2 sin ' cos ' cos ' sin ' sin ' c3 cos ' cos '
b1
a1a3b3 a2 c3 2 1 a3
b2 1 b12 b32 c1 a2b3 a3b2 c2 a3b1 a1b3
万四旋转矩阵
万四旋转矩阵1. 什么是旋转矩阵？在数学中，旋转矩阵是一种用来描述二维或三维空间中物体旋转的数学工具。
旋转矩阵可以通过矩阵乘法来实现旋转操作，它可以将一个向量绕着某个轴旋转一定角度。
在二维空间中，旋转矩阵是一个2x2的矩阵，而在三维空间中，旋转矩阵是一个3x3的矩阵。
旋转矩阵可以用来表示绕x、y、z轴的旋转，也可以用来表示绕任意轴的旋转。
2. 万四旋转矩阵简介万四旋转矩阵是一种特殊的旋转矩阵，它是由万能四元数（Quaternions）表示的旋转矩阵。
万四旋转矩阵具有很多优点，比如表示旋转操作的计算量小、避免了万能四元数的奇异性等。
万四旋转矩阵可以用来表示三维空间中的旋转操作，它可以将一个向量绕着任意轴旋转一定角度。
万四旋转矩阵的表示形式比较复杂，但是它的应用非常广泛，比如在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域都有重要的应用。
3. 万四旋转矩阵的计算方法万四旋转矩阵的计算方法相对复杂，但是可以通过万能四元数的运算来得到。
万能四元数是一种扩展了复数的数学工具，它可以用来表示旋转操作。
在万四旋转矩阵的计算中，需要用到四个参数：实部w和虚部x、y、z。
这四个参数可以通过万能四元数的运算来得到。
万四旋转矩阵的计算公式如下：M = | 1-2(y^2+z^2) 2(xy-wz) 2(xz+wy) || 2(xy+wz) 1-2(x^2+z^2) 2(yz-wx) || 2(xz-wy) 2(yz+wx) 1-2(x^2+y^2) |其中，x、y、z、w分别表示万能四元数的虚部和实部。
通过计算得到的矩阵M就是对应的万四旋转矩阵。
4. 万四旋转矩阵的应用万四旋转矩阵在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，万四旋转矩阵可以用来表示物体的旋转操作。
通过将物体的顶点坐标与旋转矩阵相乘，可以实现物体的旋转效果。
这在三维建模、动画制作等领域非常重要。
在机器人学中，万四旋转矩阵可以用来描述机器人的末端执行器的姿态。
旋转矩阵公式
旋转矩阵是一种用于描述平面或三维空间中物体旋转的数学工具，常用的旋转矩阵公式如下：
二维旋转矩阵（二维平面）：
设点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y')，则旋转矩阵表示为：
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
三维绕X轴旋转矩阵：
设点P(x, y, z)绕X轴逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y', z')，则旋转矩阵表示为：
x' = x
y' = y * cos(θ) - z * sin(θ)
z' = y * sin(θ) + z * cos(θ)
三维绕Y轴旋转矩阵：
设点P(x, y, z)绕Y轴逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y', z')，则旋转矩阵表示为：
x' = x * cos(θ) + z * sin(θ)
y' = y
z' = -x * sin(θ) + z * cos(θ)
三维绕Z轴旋转矩阵：
设点P(x, y, z)绕Z轴逆时针旋转θ角度后得到点P'(x', y', z')，则旋转矩阵表示为：
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
z' = z
这些公式描述了在二维平面和三维空间中绕不同轴进行旋转的变化规律。
具体应用时，根据需要进行相应的数值替换，即可得到具体的旋转结果。
矩阵的旋转公式
矩阵的旋转公式矩阵的旋转公式，这可是个挺有意思的数学概念。
咱先来说说啥是矩阵。
想象一下，矩阵就像是一个整齐排列的数字方队。
比如说一个 2×2 的矩阵，[1 2；3 4]，这就有两行两列的数字排得整整齐齐。
那旋转矩阵又是啥呢？这就好比让这个数字方队原地转个身。
比如说，原本横着排的，现在竖着排了。
咱们来具体讲讲矩阵的旋转公式。
简单点说，就是有一套数学方法能让这个数字方队准确地转到咱们想要的角度。
假设咱有个点（x，y），要把它绕原点逆时针旋转θ角度。
这时候新的坐标（x'，y'）就可以通过下面这两个公式算出来：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)这两个公式看起来有点复杂，但别怕，咱来举个例子。
就说有个点（1，0），要绕原点逆时针旋转 90 度。
cos(90°) = 0，sin(90°) = 1 。
按照公式算，x' = 1 * 0 - 0 * 1 = 0 ，y' = 1 * 1 + 0 * 0 = 1 。
所以旋转后的点就是（0，1），是不是挺神奇的？我记得有一次，我给学生们讲这个矩阵的旋转公式。
有个学生特别调皮，他瞪着大眼睛问我：“老师，这旋转公式能让我在游戏里让我的小飞机转得更酷吗？”我笑着回答他：“那当然啦，要是你能搞明白，说不定能设计出超厉害的游戏动作呢！”那矩阵的旋转公式在实际生活中有啥用呢？比如说计算机图形学里，要让一个图像旋转，就得靠这个公式来计算每个像素点的新位置。
还有机器人的运动控制，通过旋转矩阵能精确地控制机器人的手臂或者轮子的转动角度。
再比如说，在建筑设计中，设计师们想要让一个建筑模型在电脑里转个角度看看效果，也得用到矩阵的旋转公式。
总之，矩阵的旋转公式虽然看起来有点深奥，但用处可大着呢！希望大家通过我的讲解，能对矩阵的旋转公式有更清楚的认识，以后看到它就不会头疼啦！。
逆时针旋转矩阵公式
逆时针旋转矩阵公式
逆时针旋转矩阵公式是一种数学工具，用于描述二维平面上的旋转变换。
在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，逆时针旋转矩阵公式被广泛应用。
逆时针旋转矩阵公式的基本形式为：
R(θ) = [cos(θ) -sin(θ)]
[sin(θ) cos(θ)]
其中，θ表示旋转角度，R(θ)表示旋转矩阵。
这个公式的意义是，将一个向量绕原点逆时针旋转θ度后，得到的新向量可以通过旋转矩阵R(θ)与原向量相乘得到。
逆时针旋转矩阵公式的应用非常广泛。
在计算机图形学中，我们可以利用这个公式来实现图像的旋转变换。
例如，我们可以将一张图片绕中心点逆时针旋转90度，然后再将其显示出来。
在机器人学中，逆时针旋转矩阵公式可以用来描述机器人的运动轨迹。
在物理学中，逆时针旋转矩阵公式可以用来描述物体的旋转运动。
除了基本形式外，逆时针旋转矩阵公式还有一些变形。
例如，我们可以将旋转矩阵R(θ)分解为三个矩阵的乘积，即：
R(θ) = Rz(θ) Ry(θ) Rx(θ)
其中，Rx(θ)、Ry(θ)、Rz(θ)分别表示绕x轴、y轴、z轴逆时针旋
转θ度的矩阵。
这个分解形式可以更方便地描述三维空间中的旋转变换。
逆时针旋转矩阵公式的推导过程比较复杂，需要涉及到向量的内积、外积、三角函数等知识。
但是，一旦掌握了这个公式，就可以轻松地实现各种旋转变换，为我们的工作和生活带来便利。
逆时针旋转矩阵公式是一种非常重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
我们可以通过学习这个公式，更好地理解和应用旋转变换，为各种领域的研究和应用提供支持。
机器人学导论 等效旋转矩阵
机器人学导论等效旋转矩阵机器人学导论导论机器人学是研究机器人的运动、感知、决策和控制等方面的一门交叉学科。
它涉及多个领域，如计算机科学、电子工程、力学、控制理论等。
机器人学的目标是设计和开发能够完成特定任务的智能化机器人系统。
等效旋转矩阵等效旋转矩阵是机器人运动中常用的一种表示方法。
它可以将三维空间中的旋转变换表示为一个三维矩阵，从而方便进行运动规划和控制。
1. 旋转矩阵的定义在三维空间中，一个点P(x,y,z) 绕坐标轴分别旋转角度α,β,γ 后得到新点P’(x’,y’,z’)。
则可以通过如下公式计算旋转矩阵R：其中，Rx, Ry, Rz 分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的矩阵，α, β, γ 分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的角度。
2. 等效旋转矩阵的定义在机器人运动中，通常需要将多个旋转变换组合起来来实现特定任务。
这时，可以将多个旋转变换合并为一个等效旋转变换，从而简化运动规划和控制。
等效旋转矩阵的定义如下：其中，R1, R2, …, Rn 分别表示多个旋转变换的旋转矩阵。
3. 等效旋转矩阵的计算方法计算等效旋转矩阵的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。
（1）欧拉角法欧拉角法是一种将三个绕不同轴的旋转变换合并为一个等效旋转变换的方法。
具体步骤如下：① 将三个绕不同轴的旋转变换分别表示为三个矩阵R1, R2, R3。
② 将这三个矩阵相乘得到一个等效矩阵R = R3 × R2 × R1。
③ 将等效矩阵R分解为三个绕不同轴的旋转变换，即可得到欧拉角表示。
（2）四元数法四元数法是一种将多个旋转变换合并为一个等效旋转变换的方法。
具体步骤如下：① 将多个旋转变换分别表示为四元数q1, q2, …, q n。
② 将这些四元数相乘得到一个等效四元数q = qn × … × q2 × q1。
③ 将等效四元数q转换为等效旋转矩阵即可。
4. 总结等效旋转矩阵是机器人运动中常用的一种表示方法，它可以将多个旋转变换合并为一个等效变换，从而方便进行运动规划和控制。