泛函与变分概念
泛函 变分
泛函变分泛函和变分是数学中重要的概念和工具，在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念入手，介绍泛函和变分的定义、性质以及应用。
一、泛函的概念和定义泛函是一类将函数映射到实数的映射。
具体而言，对于给定的函数空间，泛函可以将其中的每个函数映射到一个实数。
泛函常常用来描述函数的某种性质或者衡量函数的某种特征。
二、变分的概念和定义变分是泛函的一种特殊情况，它是一类将函数的微小变动映射到实数的映射。
变分可以用来求解极值问题，即找到使得泛函取得极大或极小值的函数。
三、泛函与变分的关系泛函和变分密切相关，它们在数学中经常一起出现。
泛函描述了函数的整体性质，而变分则是对函数的微小变动进行分析和求解。
通过变分的方法，可以求解泛函的极值问题，进而得到满足特定条件的函数。
四、泛函的性质和应用泛函具有一些重要的性质，如可加性、线性性等。
这些性质使得泛函能够在各个领域中得到广泛的应用。
在数学分析中，泛函可以用来描述函数的连续性、可导性等性质。
例如，利用泛函可以定义函数的Lipschitz连续性，这对于研究函数的性质和解的存在性有重要意义。
在变分法中，泛函和变分被广泛应用于物理学和工程学中的优化问题。
例如，通过变分的方法可以求解力学中的最小作用量原理，从而得到物体的运动方程。
在工程学中，泛函和变分可以用来求解最优控制问题，从而实现系统的优化和性能改善。
泛函和变分还在偏微分方程中发挥重要作用。
通过泛函和变分的理论，可以得到偏微分方程的解的存在性、唯一性以及一些性质。
例如，通过变分的方法可以得到椭圆型偏微分方程的变分形式，从而研究其解的性质和存在性。
五、总结泛函和变分是数学中重要的概念和工具。
泛函是一类将函数映射到实数的映射，而变分是对函数的微小变动进行分析和求解。
泛函和变分在数学分析、物理学、工程学以及偏微分方程等领域中都有广泛的应用。
通过泛函和变分的理论和方法，可以求解极值问题、优化问题以及研究函数和方程的性质。
这些都使得泛函和变分成为数学中重要的研究方向。
数学中的泛函方程与变分法
数学中的泛函方程与变分法泛函方程与变分法是数学中重要的概念和方法，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍泛函方程的定义和变分法的基本原理，并通过实例来说明其在数学中的应用。
一、泛函方程的定义泛函方程是指以函数为未知量的方程。
与常见的代数方程不同，泛函方程涉及到函数的变化与整体性质，需要运用变分法来求解。
以泛函方程的典型形式为例，设函数空间F中的函数为y(x)，泛函方程可写为：J[y]=∫(a, b) F(x, y, y') dx = 0其中，a和b是给定的常数；F是一个关于x、y和y'（即y的导数）的已知函数。
二、变分法的基本原理变分法是通过对泛函进行极值问题的求解方法，其基本原理是最小作用量原理，即作用量的极值对应于物理系统的真实运动。
对于泛函J[y]，设有函数y(x)在区间[a, b]上有连续的变分δy(x)，则可定义泛函的变分为：δJ = J[y + δy] - J[y]根据变分的数学性质，可以将δJ展开为：δJ = ∫(a, b) [∂F/∂y δy + ∂F/∂y' δy'] dx其中，δy和δy'分别是y和y'的变分。
根据变分法的基本原理，要使泛函J[y]取得极值，必须满足变分δJ=0的条件。
三、泛函方程与变分法的应用举例1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的典型应用之一。
以经典力学中的拉格朗日力学为例，根据哈密顿原理，系统的运动轨迹为使作用量S取极值的轨迹。
作用量S可以表示为：S = ∫(t1, t2) L(q, q', t) dt其中，q是广义坐标；q'是广义速度；L是拉格朗日函数。
根据变分法的原理，要使作用量S取得极小值，即变分δS=0。
通过对作用量S进行变分运算，可以得到系统的欧拉－拉格朗日方程，从而求解系统的运动方程。
2. 微分方程的边界值问题变分法还可以应用于求解微分方程的边界值问题。
考虑一个一维边界值问题，设函数y(x)在区域[a, b]上满足微分方程和边界条件：F(x, y, y') = 0, G(y(a), y(b)) = 0通过引入拉格朗日乘子λ(x)和一个新的泛函K[y, λ]，可以将边界值问题转化为极值问题。
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分法
y B(x1,y1)
A(x0 , y0)
o C
y
x D
图1.2 曲边梯形的面积
y(x0) y0,
y(x1) y1,及
x1 x0
1[y(x)]2dx l
来确定。
引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函 数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不 变条件
y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
As
x1 ydx
x0
（1.2）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度
l
x1 x0
1[ y(x)]2 dx const
（1.3）
这是带约束条件的泛函极值由间接
变分法，泛函As的极值曲线为
(x c2 )2 ( y c1 )2 r 2
x1 x0
F
y
d dx
(
F y
)
ydx
端点固定条件 y(x0 ) y(x1) 0 由基本引理式(1.18)
x1 x0
F
y
d dx
( Fy )
ydx
F d (F ) 0 y dx y
(1 20)
, yn )dx
fi (x, y1, y2 , , yn ) 0
（i 1, 2, , k）
y1, y2 , , yn , 1(x), 2 (x), , k (x)
新泛函欧拉方程组
F y j
d dx
F yj
3[1].变分法与Hamilton原理
![3[1].变分法与Hamilton原理](https://img.taocdn.com/s3/m/2a287e52f01dc281e53af0f0.png)
；
泛函Φ 的自变量为
定义域 ，自变量的变分
,
数的无穷小改变。
，即函
小参量法的定义为
，其中 为任意无穷小量， 为任意连续有界函数。类似于数
学分析中的 ‐ 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
3. 泛函的变分
函数的微分
,,,
,
,,
,,, .
泛函的变分 Φ
Φ
Φ.
1 / 40
例Φ
解出 , ，得
⁄
0.562551 0.422487 π θ θ 0.211530 π θ θ 0.0604328 π θ θ
⁄
0.0173699 π θ θ 0.00202953 π θ θ
0.000561428 π θ θ
⁄
0.00164894 π θ θ
1 绳长不变，得约束条件
0
1
由于有约束， 不独立。引进拉氏乘子，得 0
10 / 40
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
01
0 1
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
1 1
1
,
1 1
1
ln cosh
3 个待定常数（2 个积分常数，1 个来自拉氏乘子）由代数方程
,
,
1
1 sinh
2 cosh
点为原点，设 0, 0。 , 两点之间用曲线
连接，一个质点被束缚在曲线上运
动，在重力作用下自由下降，初速为 0。什么样的曲线形状可以使质点从 到 所花的时间最少？
解 机械能守恒， 通过这段弧所需的时间为
2 ；弧长
数学的泛函分析与变分法
数学的泛函分析与变分法泛函分析是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变换与性质。
而变分法是泛函分析的一个重要应用领域，用于求解函数的极值。
本文将介绍泛函分析的基本概念和变分法的原理，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、泛函分析的基本概念1. 范数与内积在泛函分析中，范数和内积是两个基本的概念。
范数是定义在向量空间上的一种函数，它满足非负性、零向量的范数为零、标量与向量乘积的齐次性和三角不等式。
而内积是一种满足对称性、线性性和正定性的二元运算。
范数和内积可以衡量向量空间中的距离和角度。
2. 巴拿赫空间巴拿赫空间是一种具有完备性的向量空间，即其中的柯西序列必有极限。
在巴拿赫空间中，可以定义连续性、收敛性和收缩原理等重要概念。
巴拿赫空间在泛函分析中有广泛的应用，如函数空间和算子空间等。
3. 算子理论算子是泛函分析中的一个重要概念，它是从一个向量空间映射到另一个向量空间的操作。
算子可以分为线性算子和非线性算子，并且可以进行加法、乘法和复合等运算。
算子理论在泛函分析中具有重要的地位，可以用来描述函数的性质和变换。
二、变分法的原理1. 极值问题变分法主要用于求解函数的极值问题。
极值问题是指在给定约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的函数。
变分法通过引入变分函数，将极值问题转化为求解变分函数的欧拉方程，再通过边界条件确定最优解。
2. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的关键方程，它描述了变分函数满足的条件。
根据欧拉-拉格朗日方程，可以将变分问题转化为求解常微分方程或偏微分方程的问题。
欧拉-拉格朗日方程在物理学、力学和优化等领域都有广泛的应用。
3. 约束条件在应用变分法求解极值问题时，通常需要考虑约束条件。
约束条件可以是等式约束或者不等式约束，通过引入拉格朗日乘子法或者松弛变分法进行处理。
约束条件的引入可以对极值问题进行限制，得到更加准确的结果。
三、泛函分析与变分法的应用1. 物理学中的应用泛函分析和变分法在物理学中有广泛的应用。
偏微分方程中的泛函与变分法
偏微分方程中的泛函与变分法在偏微分方程中，泛函与变分法是一种常用的数学工具和方法。
泛函是一个将函数映射到实数的函数，而变分法则是一种求解泛函的方法。
本文将介绍泛函和变分法在偏微分方程中的应用以及其原理和技巧。
通过对泛函的定义和变分法的基本理论的阐述，希望读者能够理解泛函和变分法在偏微分方程中的重要性和应用。
一、泛函的定义与性质在偏微分方程中，我们常常需要研究一个函数的变化对一个泛函的影响。
因此，我们首先要定义什么是泛函。
泛函是一个将一类函数映射到实数的函数。
假设我们有一个函数空间V，其中的函数可以满足某种条件，例如连续性、可微性等。
那么对于一个泛函J，它的定义可以写作J[y]=\int_a^b F(x,y(x),y'(x))dx，其中y(x)是函数y的表达式，F是关于x、y、y'的函数。
对于泛函，我们还常常需要研究它的性质。
例如，我们可以研究泛函的可微性、连续性、有界性等。
这些性质对于进一步分析泛函的性质和求解偏微分方程都非常重要。
二、变分法的基本原理变分法是一种以泛函为基础的求解方法。
对于一个给定的泛函J[y]，我们希望找到一个函数y(x)，使得J[y]取得极值。
为了求解极值问题，我们使用变分法。
变分法的基本思想是在一个函数空间中寻找一个函数y(x)，使得J[y]取得极值。
为了寻找这个函数，我们引入一个变分函数ε(t)，并对y(x)进行微小的变动，即y(x)+ε(t)。
然后利用一些数学运算，如极限、导数等，将泛函转化为一个可以求解的问题。
对于变分法的应用，我们常常需要使用变分法的基本原理。
例如，我们可以利用分部积分的方法，将泛函J[y]进行变形。
通过适当选择变分函数ε(t)，我们可以得到求解极值问题的一些等式和条件。
通过这些等式和条件，我们就可以利用数学技巧求解问题。
三、泛函与偏微分方程在偏微分方程的研究中，泛函和变分法是非常重要的工具和方法。
它们可以用于研究偏微分方程的解的存在性、唯一性以及特定解的性质等问题。
3.1泛函与变分法的基本概念
3.1泛函与变分法的基本概念第三章最优控制中的变分法 3.1泛函与变分法的基本概念一、泛函的定义函数：若对于变量x的某一集合中的每个x值，变量y均有一值与之对应，则称变量y是变量x的函数,记做y f ( x ),其中x是自变量，y是因变量。
泛函：若对于函数y( x )的某一集合中的每一函数y( x ),记做J J y( x ) ,其中y( x )也称为宗量。
变量J均有一值与之对应，则称变量J是函数y( x )的泛函, 容许函数类(空间):规定宗量取值范围的集合称为泛函的容许函数类(空间)。
最优控制问题中性能指标泛函的一般形式：J u( ) x ( t f ), t f L x ( t ), u( t ), t dttf t0二、泛函的变分求泛函极值的问题称为变分问题。
求泛函极值的方法称为变分法。
1.宗量的变分泛函J[ y( x )]的宗量y( x )的变分指的是两个宗量函数之间的差，也即y( x ) y( x ) y 0 ( x )2.泛函的连续性时，有J y( x ) J y0 ( x ) ,则称J y( x ) 在y0 ( x )处是连续的。
若对于任意给定的0,存在0,当y(x ) y( 0 x)3.线性泛函连续泛函J y( x ) 如果满足下列两个条件：J y1 ( x ) y2 ( x ) J y1 ( x ) J y2 ( x ) J cy( x ) cJ y( x )其中c是任意常数，则称为线性泛函。
4.泛函的变分函数的微分：如果函数y f ( x )具有连续的导数，那么它的增量可以表示为y f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x r ( x, x ) 等式右边第一项f ( x ) x是x的线性函数，第二项是x的高阶无穷小；第一项f ( x ) x称为函数增量的线性主部，也叫做函数的微分，记做dy f ( x ) x泛函的变分：如果连续泛函J[ y ( x )]的增量可表示为：J J[ y ( x ) y ( x )] J[ y ( x )] L[ y ( x ), y ( x )] R[ y ( x ), y ( x )]其中等式右边第一项L[ y ( x ), y ( x )]是y ( x )的线性连续泛函，第二项R[ y ( x ), y ( x )]是y ( x )的高阶无穷小，那么我们将第一项叫做泛函的变分，记做J L[ y ( x ), y ( x )]泛函的变分是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分也称为泛函的微分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f f dy dy) dy及dy高阶项） ]dx y y
b a
J [df dy及dy高阶项） ]dx
取线性主部
dJ dfdx
a
b
k d J d a fdx 函数的变分与积分运算可以交换. k
b
§i2 变分法9
三. 泛函极值与驻值
1、函数的极值 如果函数y(x) 在x＝x0的邻近任一点上的值都不大于（不 小于）y(x0)，即
函数变化的线性部分。
y f ( x)
x x dx
1 y f ( x dx) f ( x) f ( x)dx f ( x)dx 2 o(dx3 ) 2!
一阶微分：dy f ( x)dx
二阶微分：dy f ( x)dx 2
§i2 变分法4
2、曲线的邻域
sij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
§i1 张量3
应力张量
sij
s11 s12 s13 s xx xy s 21 s 22 s 23 yx s yy s 31 s 32 s 33 zx zy
xz yz s zz
变分法的基本问题 在满足约束条件的容许函数中，求能使泛函取极值的自变 函数y0(x) 。 泛函J[y(x)] 在y＝y0(x) 处达到极值的必要条件为一阶变 分等于0(驻值）
i=1,2,3 j=1,2,3
s z 2e z
§i1 张量10
（4）边界条件
应力边界条件
f x s x l yx m zx n f y xy l s y m zy n f z xz l yz m s z n
位移边界条件
设(n1 , n2 , n3 ) (l , m, n)
1 0 i j i j
克罗内克尔（Kronecker Delta）记号d ij
显然
d 11 d 11 d 13 1 0 0 d ij d 21 d 22 d 23 0 1 0 d 31 d 32 d 33 0 0 1
克罗内克尔记号是二阶张量 d ii d 11 d 22 d 33 3 运算规律
xy
u v y x
xz
yz s zz xz Fz 0 z x y
yz
u w z x v w z y
s ij,i F j 0( j 1,2,3)
j:自由标。
1 e ij (ui , j u j ,i ) 2
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
§i1 张量6
偏导数的下标记法
缩写张量对坐标xi偏导数的表达式 逗号约定 ： 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。
逗号后面紧跟2个下标ij时，表示某物理量对xi、xj求混合偏导数。
( ),
ui ,
i
( ) xi
( ),
e ij x k
i=1,2,3 j=1,2,3
§i1 张量9
（3）物理方程
1 e x [s x (s y s z )] E
2(1 ) xy xy E
1 e y [s y (s x s z )] xz 2(1 ) xz E E 1 e z [s z (s x s y )] yz 2(1 ) yz E E
(dx) (dy )
2
x1
1 [ y( x)]2 dx
y1(x)
L[ y ( x)]
B A
x1
y2(x)
x
曲线的长度取决于曲线方程y(x),即 L依赖于自变函数y(x),
x2
§i2 变分法3
二、 函数的微分和泛函的变分 1、函数的微分
自变量x 在区域内一点处的邻域内发生一个的改变，引起
1 e ij s ij s kkd ij E E
s kk s x s y s z
s x 2e x
s y 2e y
yz yz
zx zx
xy xy
s ij e kkd ij 2e ij
数J与之对应，那么，J就称为依赖于y(x)的泛函。记为: J=J[y(x)]
y(x)为自变函数。一个泛函定义了一个函数空间到实数空间的映
射，它是函数的函数。
实数空间 函数空间
§i2 变分法2
泛函的实例
已知平面上2点A(x1,y1)，B(x2,y2),求连接A和B两点曲线
的长度。
L
B
y
2 x2
A
f i s ij n j
i=1,2,3
ui u
§i2 变分法1
泛函、变分与变分法
一、函数与泛函 1、函数： y 是x 的函数，是指对于定义在某一实数域上的自变量x的 每一个值，就有一个实数y (因变量）与之对应。y=f(x) 2、泛函：
如果对某一类函数{ y(x) } 中的每一个函数y(x),有一个实
1 xy 2
e yy e m
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2
e zz
em
应变球张量
应变偏张量
§i1 张量5
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从1到3求和。
aii a11 a22 a33
aijbij a1 j b1 j a2 j b2 j a3 j b3 j (a11b11 a12b12 a13b13 ) (a21b21 a22b22 a23b23 ) (a31b31 a32b32 a33b33 )
s ij s ji
1 1 s m (s x s y s z ) s kk 3 3
sij
s m 0 0 0
sm
0
0 s xx s m 0 yx sm zx
xy
s yy s m zy s zz
xz yz
f f df dy dy y y
高阶变分：
对于复合函数 F ( x, y, y, y ( n) )
F F(n ) (n ) dF dy dy (n ) dy y y y
d 2 f d (df )
§i2 变分法8
6、泛函的变分
把复合函数f（x,y,y’)在其定义域内积分，定义了一个依赖
(2)
§i2 变分法5
3、函数的变分
y(x)和y1(x) 一阶导数连续， y1 ( x) y( x) e
dy y1 ( x) y( x) 为y(x)的变分。
δy是同一自变量x处相邻2条曲线间的 函数值之差。 注意：
y1(x) δy dx dy y(x)
B
( x) y( x) dy (dy) y1
y( x) y( x0 ) 0
则称函数y(x) 在x＝x0点处达到极大值（极小值）。函数极
值的必要条件为：
y( x) 0
充分条件
＜ 0，最大值 y( x) 0 y( x) ＞0，最小值
§i2 变分法10
2、泛函的极值
求连接AB连点最短的曲线方程
L
B
y y(x)
曲线y(x) 的邻域是指在整个区间[a, b]内满足不等式：
y1 ( x) y( x) e
的所有曲线。
(1)
如果仅满足(1) 式，称曲线y1(x)与曲线y(x) 有零级ε-接近度。 若同时还满足式(2)，则有一级ε-接近度。还可以有更高的 接近度。
( x) y( x) e y1
sm
应力球张量
应力偏张量
§i1 张量4
应变张量
eij
e11 e12 e 21 e 22 e 31 e 32 e xx e13 1 e 23 yx 2 e 33 1 2 zx 1 xy 2
e yy
一般张量——曲线坐标系定义
§i1 张量2
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相 关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3） 表示为u1, u2, u3 i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
sij和eij ——9个应力分量或应变分量
目录
附录1 张量基础
附录2 泛函与变分法概要
§i1 张量1
张量基础
张量特征
笛卡儿张量下标
求和定约 偏导数下标记法
§i1 张量1
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义
笛卡儿（Descartes）张量定义
ij
2 ( ) x i x j
s ij x k
kl
j
u i x j u i x j x k
e ij , k
e ij ,
s ij , k
e ij
u i , ik
kl
x k xl
s ij ,
s ij x k xl
§i1 张量7
特殊的张量符号
d ij
ai bi a1b1 a2b2 a3b3
哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标：非重复下标
xi cij y j
xi ci1y1 ci 2y 2 ci3y 3
x1 c11 y1 c12 y2 c13 y3 x2 c21 y1 c22 y2 c23 y3 x3 c31 y1 c32 y2 c33 y3