运筹学重点习题及答案

综合习题二
1、自己选用适当的方法，对下图求最小(生成)树。

(12分)
解：（1）最小树为图中双线所示
（2）最小树长14
2、用破圈法求下面网络的最短树
解：最小树如下图所示
由于q=5，p=6，则q=p-1，故已得最短树。

最小树长为12
2、用标号法求下列网络V1→V7的最短路径及路长。

（12分）
V 1
2
3
3
5
2
4
5
5
6
V 3
V 2
V 4
V 5
V 6
5 6
V 1
V 2 V 4
4
3
5
3
V 3
V 5
V 6 5 2
2
V 1 V 7
V 5
V 6
V 4
V 3
V 2
5
4 3
5 3 1
7
6
1
7
3
1
解：
最短路径：v 1→v 3→v 5→v 6→v 7 L=10 4、解：
第一轮：
（1） 在G 中找到一个回路{v 1，v 2，v 3，v 1}；
（2） 此回路上的边[v 1，v 3]的权数6为最大，去掉[v 1，v 3]。

第二轮：
（1）在划掉[v 1，v 3]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 2}；
（2）去掉其中权数最大的边[v 2，v 5]。

第三轮：
（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 4，v 2} （2）去掉其中权数最大的边[v 3，v 5]。

第四轮：
（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]，[v 3，v 5]的图中找到一个回路{ v 4，v 5，v 6，v 4} （2）去掉其中权数最大的边[v 5，v 6]（或可以去掉边[v 4，v 6]，这两条边的权数都为最大）。

（2分）
在余下的图中已找不到任何一个回路了，此时所得图就是最小树，这个最小树的所有边
v 1
v 5
4
3
4
v 6
v 3
v 5
V 2 7 V 4 V 1 (v 1(v 1, 4) (v , 6) 1, 13) 5(v 1, 5)
的总权数为5+4+2+3+4=18，结果如下图所示，即按照下图设计网络路线，可使总的线路长度达到最短。

5、求下图的网络最大流，并写出最小割集。

（12分）
V 1 4 V 4
8 7 6 4 5 V s 9 V 2 3 V 5 3 V t
15 5 2 8 7
V 3 7 V 6
解：找增广链：
t s V V V V →→→41 41=f t s V V V V →→→52 32=f
t s V V V V →→→63 73=f （6分）
(V s ,4)
V 1 (4,4) V 4
(8,4) 7 6 4 (5,4) V s ( 9,3) V 2 (V 1,4) (3,3) V 5 (3,3) V t
(15,7) 5 2 8 (7,7)
V 3 (7,7) V 6
(V s ,8) （3分）
最小割集为：V *
={（V 3，V 6），（V 2，V 5），（V 1，V 4）} （1分） C *
（V ，V ）=14 （1分） 且V *
（f ）=14 5、如下图，（1）求v 1到v 10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。

图6－44
15
【解】给出初始流如下
15
第一轮标号：得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示
15
调整流量。

第二轮标号：得到一条增广链，调整量等于2，如下图所示
15
调整流量。

第三轮标号：得到一条增广链，调整量等于3，如下图所示
调整流量。

第四轮标号：不存在增广链，最大流量等于45，如下图所示
取 1123456817910{,,,,,,},{,,}V v v v v v v v V v v v ==，最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10)，最小截量等于45。

6、用狄克斯拉算法求解下图所示最短路问题。

解：先将图的网络用矩阵形式表示出来:
15
15
反向追踪，得到最优路线：
7、某蛋糕店有一服务员，顾客到达服从λ=30人/小时的Poisson 分布，当店里只有一个顾客时，平均服务时间为1.5分钟，当店里有2个或2个以上顾客时，平均服务时间缩减至1分钟。

两种服务时间均服从负指数分布。

试求： （1）此排队系统的状态转移图； （2）稳态下的概率转移平衡方程组； （3）店内有2个顾客的概率； （4）该系统的其它数量指标。

【解】（1）此系统为]//[:]1//[FCFS M M ∞∞排队模型，该系统的状态转移图如下：
（2）由转移图可得稳态下的差分方程组如下：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=++=++=+=+-n
n n P P P P P P P P P P P )()()(2121223211
12201
10λμμλλμμλλμμλμλ
011P P μλ=∴ 02122P P μμλ= 022133P P μμλ= 01
2
1P P n n
n -=μμλ （3）已知小时）
（人＝＝小时）（人＝＝
小时）（人/6060
11
/40605.11/3021μμλ
= 由
1i i P ∞
==∑得
01
112
1
1
02[1]111n n n P P λμμλμλμ∞
-=-+=⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+
⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
∑
令 1212303301
,404602
λλρρμμ＝＝＝＝＝＝，有
11102
1
01201
12
3
4[1][1]0.4
1112
n n n n P p p p ρ
ρλρρμμ----=+=+=--==
则 212031
0.40.1542
P P ρρ==
⨯⨯= （4）系统中的平均顾客数（队长期望值）
)(2.1)
5.01(1
4.043)1(1
...)
321(2
22010
320101210
人=-⨯⨯=-=+++===∑∑∞
=-∞
=ρρρρρρρP P P n nP L n n n n
在队列中等待的平均顾客数（队列长期望值）
)
(4.02
114.043
2.11...)...1()1(2
0112222011
1
1
人=-⨯-=--=+++++-=-=-=-∞
=∞
=∞
=∑∑∑ρρρρρρp L P L P nP P n L n n n
n n n n q
系统中顾客逗留时间
1.2
0.04()30
L
W λ
=
=
=小时 系统中顾客等待时间
)(013.030
4
.0小时===λq
q L W
8某商店每天开10个小时，一天平均有90个顾客到达商店，商店的服务平均速度是每小时服务10个，若假定顾客到达的规律是服从Poisson 分布，商店服务时间服从负指数分布，试求：
（1）在商店前等待服务的顾客平均数。

（2）在队长中多于2个人的概率。

（3）在商店中平均有顾客的人数。

（4）若希望商店平均顾客只有2人，平均服务速度应提高到多少。

【解】此题是属于]//[:]1//[FCFS M M ∞∞系统，其中：
λ=9（个/小时） μ=10(个/小时) μλρ/==9/10
(1) 1.8)1/(2
=-=ρρq L （个）
(2) 729.0)2(3==
>ρN P
(3) 9)1/(=-=ρρL （个） (4) /()2L λμλ=-=
2918
13.522
λλμ++=
==(个/小时) 9、某产品中有一外购件，年需求量为10000件，单价为100元，由于该件可在市场采购，
故订货提前期为零，并不允许缺货。

已知每组织一次采购需2000元，每件每年的库存费为该件单价的20%，试求经济订货批量及每年最小的总费用。

解：根据题意，知D=10000，C 1=100*20%=20，C 3=100*2000=200000
141420
200000
1000020=⨯⨯=
Q (件)
7.282842100002000002022310=⨯⨯⨯==D C C C （元）
10、工厂每月需要甲零件3000件，每件零件120元，月存储费率为1.5%，每批订货费为150元，求经济订货批量及订货周期。

【解】模型4。

D=3000，A=150，H=120×0.015＝1.8，
C=120
707()/0.24()1203000361272.79()
Q t Q D f CD =
=≈===⨯=件月元
则经济订货批量为707件，订货周期为0.24月。