2015-2016学年高中数学 1.2.1几个常用函数的导数练习 新人教A版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.1几个常用函数的导数练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2014～2015·潍坊市五县期中)双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( )A.14x ＋y ＝0 B ．14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x2，∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14，∴切线方程是y －12＝－14(x －2)，化简得，14x ＋y －1＝0，故选D.2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D. 3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒[答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ， ∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．(2014～2015·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C ．π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．(2015·天津高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f－f －x2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0f－f －x2x＝12lim x →0f －f －xx＝12lim －x →0f－x －f －x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________________(填序号)．[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________________． [答案] (2,8)或(－2，－8) [解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．(2014～2015·枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2，令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.三、解答题10．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． [解析] 平移直线x －y －2＝0与抛物线y ＝x 2相切， 设切点为P (x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14，由点到直线的距离公式，得最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.一、选择题11．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B ．174C ．154D ．134[答案] D[解析] ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134，故选D.12．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B ．333C． 3 D．3 9 3[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x20，曲线y＝3－12x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x20·(－x0)＝－1，∴x0＝393，故选D.13．曲线y＝3x上的点P(0,0)处的切线方程为( )A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3x，∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x3x＋Δx2＋3x x＋Δx ＋3x2＝Δx3x＋Δx2＋3x x ＋Δx ＋3x2，∴ΔyΔx＝13x＋Δx2＋3x x ＋Δx ＋3x2，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝13x23.∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.14．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2[答案] A[解析] 本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．∵f′(－1)＝limΔx→0－1＋Δx－1＋Δx ＋2－－Δx＝lim Δx →0 －1＋Δx ＋1＋Δx ＋Δx Δx＝lim Δx →0 21＋Δx ＝2， ∴曲线在(－1，－1)处的切线方程为y －(－1)＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 二、填空题15．(2015·全国Ⅰ文，14)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)， 解之得a ＝1. 故本题正确答案为1.16．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题 17．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x .∴Δy Δx＝f x ＋Δx －f x Δx＝11－x ＋Δx －11－xΔx＝1－x －Δx－x，∴lim Δx →0 Δy Δx＝1－x2，∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1－2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1－x 02，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)．∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.。