充要条件练习题

第一章 第2课时

一、选择题

1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] C

[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；

当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2

＋y 2

－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |

2＝3得，m ＝3或－33，

故选A.

3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈(A ∪

B )”是“x ∈

C ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“lg x >lg y ”是“x

D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] lg x >lg y ?x >y >0?x >y ；而x ＝2，y ＝0时，x >y ?/ lg x >lg y ，故“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件．

5．设命题甲为：0

D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] 解不等式|x －2|<3得－1

6．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] ∵l ⊥α，m ?α，n ?α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ?α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.

二、填空题

7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的__________________条件．

[答案] 必要不充分

[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则

a 与

b 夹角不是钝角．

8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合__________________．

[答案] {－5,5，－10}

[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题

9．方程mx 2

＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么 [解析] 由题意知?????

2m ＋32

－4m 1－m >0

1－m

m <0，

∴m >1或m <0，

即所求充要条件是m >1或m <0.

10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n

＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的

充要条件为q ＝－1.

[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p

n －1

(p －1)，当n ＝1时也成立．

于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1

＝p ，即数列{a n }为等比数列．

必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p

n －1

(p －1)，

∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1

p n －1p －1

＝p ，

∵{a n }为等比数列， ∴a 2a 1＝

a n ＋1a n ＝p ，即p p －1

p ＋q

＝p ，

∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.

综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．

一、选择题

1．设{a n }是等比数列，则“a 1

D ．既不充分也不必要条件 [答案] C

[解析] 若a 1

，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0

2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2

－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |

在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 3．下列命题中的真命题有( )

①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

②△ABC 中，AB →·BC →

<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件； ④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

[答案] B

[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．

由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →

的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．

由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．

反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π

2，

∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B 0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．

4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.

二、填空题

5．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．

[答案] 必要不充分

[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ?/ q ，q ?p ，

∴p 是q 的必要不充分条件．

6．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________． [答案] b ≥4 [解析] f (x )＝???

??

x x －b x ≥0，－x

x －b x <0.

若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b

2≥2，∴b ≥4.

三、解答题

7．求关于x 的方程ax 2

＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [解析] ①a ＝0时适合．

②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根， 则a <0；若方程有两个负的实根，

则必须满足?????

1

a >0

－2a <0Δ＝4－4a ≥0

，解得0

综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2

＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.

[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2

＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．

8．已知p ：x ＋210－x

≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2

≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的

取值范围．

[解析] 由x ＋210－x

≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2

≤0可

得[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵

p 是q 的必要条件，∴q ?p 成立，即B ?A .

则????

?

1＋m ≥－21－m <10m <0

，解得－3≤m <0.