备战高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题1.1 常用公式大全及必记结论

专题01 常用公式大全及必记结论一、集合与简易逻辑 1.几何关系及运算中常用结论A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U2．含有n 个元素的集合共有2n 个子集；2n –1个真子集；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.3.含逻辑连接词命题真假判定 ①p 与p ⌝真假相反；②p q ∧一假即为假，两真才为真； ③p q ∨一真即为真，两假才为假。

4.常见结论的否定形式5.特称命题与全称命题的否定全称命题：对x A ∀∈，使()p x 成立，其否定为：x A ∃∈，使()p x ⌝成立； 特称命题：x A ∃∈，使()p x 成立，其否定为：x A ∀∈，使()p x ⌝成立。

6. .四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题否 否 逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ原命题与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假 7.充要条件判定方法①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若BA ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法. 二、函数1.函数值域与最值求法(1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法.(2)换元法：换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括代数换元和三角代换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为t ，如是关于sin x 或cos x 的二次函数，如含sin cos x x +和cos sin x x 的函数等常用换元法，常设sin x =t ，cos x =t ，sin cos x x +=t ，等等，在用代数换元法时，注意①新变量的范围.②在换元前后原变量的范围应保持不变；对于x ，y 满足圆的方程或椭圆的方程或可化为平方和为1的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为[1,1]-或（0，1）的含二次根式的函数的最值问题，常设x =sin θ或x =2sin θ，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围.（3）利用函数有界性求值域（最值）若可化为关于2x 、x sin 、 cos x 、 xa （a ＞0且a ≠1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有界性求最值，这类问题通常有两种思路，（1）将函数解析式看作方程，用y 将2x ，x sin 或x 表示出来，利用2x ，x sin 等值域或x 范围，化为关于y 的不等式，通过解关于y 的不等式求出y 的范围，即可求出最值；利用这些函数的有界性，再利用不等式性质或函数的图像与性质，求出函数的最值. （4）不等式法若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域.若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和的形式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值时，.应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值. （5）利用判别式求值域（最值）对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用此法，另外要注意要验证判别式为0时是否成立． （6）数形结合法对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据x 的范围，求出内函数的值域，结合三角函数的图像，求出三角函数的范围，在利用不等式的性质求出值域，这类最值问题是高考考查的重点 （7）分段函数的值域先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域. （8）复合函数的值域先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，在求出完函数的值域就是复合函数的值域. 2.分式函数()ax bf x cx d+=+（0ab ≠）图像与性质 通过常量分离化为：()ax b f x cx d +=+=2bc ada c d c x c-++ 对称中心为（d c -，a c ），可将函数y =2bc adc x -的图像向左（d c ＞0）(向右（d c ＜0））平移|d c |个单位，再向上（a c ＞0）（向下（a c ＜0））平移|ac|个单位得到.当bc ad -＞0时，()f x 减区间为（-∞，d c -），（d c -，+∞）； 当bc ad -＜0时，()f x 的增区间为（-∞，d c -），（dc-，+∞）.3.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠解析式与性质 (1)解析式：①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; ②顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; ③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.（2）性质:顶点为（2b a -，244ac b a -），对称轴为：x =2ba -；当a ＞0时，减区间为（-∞，2b a -），增区间为（2ba -，+∞）； 当a ＜0时，增区间为（-∞，2b a -），减区间为（2ba-，+∞）4.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a ＞0时，[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =， {}min min ()(),()f x f p f q =.若[]q p a bx ,2∈-=，则min ()()2b f x f a=-；{}max max ()(),()f x f p f q = (2)当a ＜0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.5.一元二次方程的实根分布1x ，2x 是一元二次方程2ax bx c ++=0的根，设()f x =2ax bx c ++.6. 不等式恒成立、有解判断结论：(1)()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --< (2)对于参数a 及函数(),y f x x A =∈.若()a f x ≥恒成立，则max ()a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，则min ()a f x ≤； 若()a f x ≥有解，则min ()a f x ≥；若()a f x ≤有解，则max ()a f x ≤； 若()a f x =有解，则min max ()()f x a f x ≤≤. 7.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.8.单调函数性质与复合函数单调性如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则①增函数+增函数是增函数；②减函数+减函数是减函数；③增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数（增函数）,则复合函数)]([x g f y =是增函数.如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上一个是减函数另一个是增函数，则复合函数)]([x g f y =是减函数.9．函数的奇偶性()f x 是奇函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=-⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x -+=⇔()f x 图像关于原点对称；()f x 是偶函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x --=⇔()f x 图像关于y 轴对称；10.函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a fb x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+；⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.11.两个函数对称的结论①两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. ②函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ③函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =(即x 轴)对称。

④函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于点（0,0）（即原点)对称。