第九章 哈密顿理论在物理学中的应用20161205_61758
物理学中的哈密顿原理
物理学中的哈密顿原理哈密顿原理是物理学中的一种基本原理，它指出了物理系统最小作用量的原则。
该原理由英国物理学家威廉·哈密顿在19世纪初提出，对于物理学的发展有着极为重要的意义。
一、哈密顿原理是什么？哈密顿原理可以理解为：一个物理系统从其初状态到终状态所需的时间最短路径，也就是最小作用量。
其中，“作用量”是一种测量物理系统运动状态的量，它等于系统中的所有运动量在时间上积分后的结果，即作为整体的瞬时动能与势能之和。
物理系统从一个状态到另一个状态的路径，就是使得其作用量最小的路径。
而这一路径就被称为系统的正解。
二、哈密顿原理的意义和应用哈密顿原理提供了一种优雅且彻底的求解物理问题的方法。
通过将物理系统的演化从初始状态到终态视为从一个定点到另一个定点的稳定性问题，可以轻松得到此类问题的数学表达式。
同时，哈密顿原理也可以用于描述量子系统和场论的稳定性问题，因此其适用范围非常广泛。
另外，哈密顿原理也有着广泛的实用价值。
利用哈密顿原理可以推导出物理系统的运动方程，揭示出物理系统运动的本质规律，对于科学家们的研究工作具有极为重要的帮助。
此外，哈密顿原理也被广泛应用于电磁场、相对论、统计力学等多个领域，成为了这些领域中不可或缺的工具。
三、哈密顿原理与其他热力学原理的联系哈密顿原理与热力学中的另外两个基本原理——熵增原理和能量守恒原理有着密切的联系。
从熵增角度来看，哈密顿原理可以看作是熵增原理的推广，熵增原理是指任何一个物理系统在宏观上总是趋向于熵增大的方向演化；而哈密顿原理则可以更加细致地说明物理系统整体的演化方向，并与熵增原理形成相互印证的关系。
形象地说，熵增原理描述了自然界的宏观趋势，而哈密顿原理则揭示了物理系统的微观运动本质。
与能量守恒原理相比，哈密顿原理则是更进一步地明确了能量守恒关系。
应该指出的是，在哈密顿原理的框架下，能量守恒原理可以被视为系统的“可观测性”问题——也就是一个系统的可测量状态始终是相似的，换句话说，一个物理系统不会在不改变自身的能量条件下发生任何改变。
哈密尔顿原理的应用
哈密尔顿原理的应用1. 什么是哈密尔顿原理哈密尔顿原理是经典力学中的一种基本原理，它描述了系统的运动必须使作用量取极值。
作用量的正式定义是系统在一段时间内的拉格朗日函数与时间之间的积分。
2. 哈密尔顿原理的应用领域哈密尔顿原理在物理学的各个领域中都有广泛应用。
以下是一些应用领域的例子：•动力学：通过应用哈密尔顿原理，可以推导出系统的运动方程。
这在研究物体的运动和力学性质中非常有用。
例如，通过哈密尔顿原理，可以推导出牛顿力学中的运动方程。
•光学：哈密尔顿原理在光学中的应用也非常重要。
利用哈密尔顿原理，我们可以推导出光的传播方程和介质中的光学性质。
这在光学器件的设计和研究中起着至关重要的作用。
•量子力学：哈密尔顿原理在量子力学中也有应用。
通过哈密尔顿原理，可以推导出薛定谔方程，描述了量子体系的演化。
量子力学中的哈密尔顿原理是理解微观尺度上的粒子行为非常重要的工具。
3. 哈密尔顿原理的优点和局限性3.1 优点•哈密尔顿原理提供了一种非常统一的描述物理系统的方法。
它可以应用于各种不同领域的问题，从经典力学到量子力学。
•哈密尔顿原理的推导过程相对简单，可以写成普遍的形式，易于应用。
3.2 局限性•哈密尔顿原理假设系统的运动是可逆的，即系统在任意时间段内都有唯一的运动路径。
然而，在一些实际情况下，系统的运动可能是不可逆的，例如存在摩擦力的情况。
•哈密尔顿原理只适用于经典力学和量子力学中的一些特定问题。
对于一些复杂系统和非线性问题，哈密尔顿原理可能无法提供准确的描述。
4. 哈密尔顿原理的应用案例4.1 应用于经典力学在经典力学中，哈密尔顿原理可以应用于许多问题，例如：•多体系统：通过将系统的拉格朗日函数写成广义坐标和广义动量的函数，可以利用哈密尔顿原理推导出多体系统的运动方程。
•微振动问题：哈密尔顿原理可以用来推导简谐振动的解析解，从而可以计算出系统的频率和振幅。
4.2 应用于光学在光学中，哈密尔顿原理的应用案例包括：•光的传播：通过将光学系统的光程函数写成广义坐标和广义动量的函数，可以利用哈密尔顿原理推导出光的传播方程。
物理学中的哈密顿原理及其应用
物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。
根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。
在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。
在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。
此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
哈密顿原理的应用例子
哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理，描述了自然界中各种物理系统的运动规律。
它起源于数学家威廉·哈密顿的研究，也称为最小作用量原理。
哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较，找到系统运动的真实路径，从而得到最小作用量原理。
二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面，光从一个介质传播到另一个介质。
根据哈密顿原理，光的传播路径满足最小作用量原理。
这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。
光的传播路径应满足以下条件：•光线传播的路径必须满足费马原理，即光线传播的路径是光程的极值路径；•光的传播路径必须满足最小作用量原理，即光的光程在所有可能路径中取得极值。
通过应用哈密顿原理，可以求解光的传播路径，从而揭示光在界面传播的规律。
2. 量子力学中的路径积分在量子力学中，粒子的运动可以用路径积分来描述。
路径积分是一种数学工具，通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加，来得到粒子的全体运动。
哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。
应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论：•粒子在各个可能路径上的振幅相加，得到了粒子的全体运动；•粒子的运动路径满足最小作用量原理，即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。
路径积分理论是现代量子力学的基石之一，它可以用来描述和计算微观粒子的行为。
3. 经典力学中的质点运动在经典力学中，物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具，基于哈密顿原理进行建模和计算。
哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为：•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动；•通过求解哈密顿原理，可以得到物体的运动方程和运动轨迹。
哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。
4. 量子场论中的路径积分在量子场论中，我们可以将经典场进行量子化，并通过路径积分来解析量子场的运动。
量子力学哈密顿
量子力学哈密顿量子力学哈密顿(Hamiltonian in Quantum Mechanics)量子力学是关于微观世界行为的理论，描述了原子和分子等微观粒子的性质和相互作用。
哈密顿量是量子力学中最重要的数学工具之一，用于描述物理系统的能量和演化规律。
本文将介绍量子力学哈密顿量的概念、性质以及在物理学中的重要应用。
1. 哈密顿量的概念和性质在量子力学中，哈密顿量是一个算符(Operator)，用于描述一个物理系统的总能量。
它通常由动能项和势能项组成，可以写作哈密顿算符的矩阵形式。
哈密顿量的本征态和本征值是描述系统可能状态和相应能量的重要工具。
根据量子力学的基本假设，系统的状态可以用波函数表示，而哈密顿量则是描述波函数时间演化的基础算符。
2. 哈密顿量的数学表达在量子力学中，哈密顿量通常用简化的形式来描述系统的动能和势能项。
例如，对于一个质量为m的自由电子，其哈密顿量可以写作：H = (p^2/2m) + V(x)其中，p是动量算符，x是位置算符，V(x)是电子受到的势能。
这个哈密顿量描述了电子在无外力作用下的能量和动态演化。
3. 哈密顿量的重要应用哈密顿量在量子力学中有着广泛的应用。
它可以用来研究原子、分子、固体和基本粒子等微观系统。
例如，在原子物理中，利用薛定谔方程和哈密顿量可以推导出原子的能级结构和谱线。
在固体物理中，哈密顿量可以用来描述电子在晶格中的行为，解释材料的导电性和磁性等性质。
在量子信息科学中，利用哈密顿量可以实现量子比特之间的相互作用，用于构建量子计算和量子通信系统。
4. 哈密顿量的扩展除了常见的哈密顿量形式之外，对于复杂的量子系统，还存在一些特殊的哈密顿算符。
例如，对于多粒子系统，可以使用相互作用哈密顿量来描述粒子之间的相互作用。
对于自旋系统，可以引入自旋哈密顿量来描述粒子的自旋行为。
此外，还有一些非常规的哈密顿量，如哈密顿量的延拓和广义哈密顿量，这些扩展形式在量子力学的研究中也有重要的应用。
哈密顿算子在物理中的应用
哈密顿算子在物理中的应用哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
本文将介绍哈密顿算子的定义和性质，并探讨其在物理中的应用。
一、哈密顿算子的定义和性质哈密顿算子是量子力学中的一个算符，通常用H表示。
它的定义如下：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。
动能算符描述了粒子的运动状态，势能算符描述了粒子所处的势能场。
哈密顿算子的本征值和本征函数分别表示了系统的能量和相应的态。
哈密顿算子具有以下性质：1. 哈密顿算子是厄米算子，即H† = H。
这意味着它的本征值是实数，本征函数之间是正交的。
2. 哈密顿算子是线性算子，即对于任意的常数a和b，有aH + bH = (a + b)H。
3. 哈密顿算子是可观测量的算符，即它的本征值可以通过实验进行测量。
二、哈密顿算子在量子力学中的应用1. 薛定谔方程哈密顿算子在薛定谔方程中起着重要的作用。
薛定谔方程描述了量子力学中粒子的运动状态，它的一般形式为：Hψ = Eψ其中，ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能级和相应的波函数。
2. 能级结构哈密顿算子的本征值表示了系统的能级，而本征函数表示了相应的态。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能级结构。
这在原子物理学和固体物理学中有着重要的应用。
3. 动力学演化哈密顿算子还可以用来描述系统的动力学演化。
根据薛定谔方程，系统的波函数随时间的演化可以通过哈密顿算子进行描述。
这在量子力学中有着重要的应用，例如描述粒子在势能场中的运动。
4. 算符的期望值哈密顿算子还可以用来计算算符的期望值。
对于任意的算符A，其在态ψ下的期望值可以表示为：< A > = < ψ | A | ψ >其中，| ψ > 表示态ψ，< ψ | 表示其共轭转置。
通过计算算符的期望值，可以得到系统的物理量的平均值。
三、结论哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
哈密顿力学的数学原理和实际应用案例
哈密顿力学的数学原理和实际应用案例哈密顿力学是经典力学的一种扩展形式，由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿在19世纪50年代提出，是研究动力学系统的一种重要方法。
哈密顿力学可以用更加简洁直观的数学形式描述动力学系统的演化过程，同时也是理解量子力学的重要基础。
本文将介绍哈密顿力学的数学原理和实际应用案例。
一、哈密顿力学的数学原理哈密顿力学的核心概念是哈密顿量和哈密顿函数。
哈密顿量是动力学系统中的一个函数，表示了系统的总能量，它通常用动力学变量如位置和动量表示。
哈密顿函数是哈密顿量的数学形式，通常用来描述物理系统的演化过程。
以一维简谐振子为例，其哈密顿量为：$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$其中，$m$是振子的质量，$\omega$是振子的角频率，$p$是振子的动量，$x$是振子的位置。
该哈密顿量表示了振子的总能量，包括动能和势能。
哈密顿函数是由哈密顿量推导出来的一个函数，它的形式为：$H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$哈密顿函数描述了物理系统在不同时间点的状态，可以通过哈密顿函数来预测系统随时间的演化过程。
在哈密顿力学中，物理系统的演化是通过哈密顿函数所描述的哈密顿运动方程来描绘的：$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p},\ \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}$哈密顿运动方程可以用于求解物理系统的演化过程，其数学形式非常简洁美观，因此在物理学和数学领域中得到广泛的应用。
二、哈密顿力学的实际应用案例哈密顿力学不仅是物理学中的重要研究工具，还被广泛应用于数学、工程、化学、生物等领域。
下面介绍几个实际应用案例。
1. 铁磁共振铁磁共振是一种重要的谱学技术，用于研究固体物理、化学和生物学等领域中的分子结构。
哈密顿原理
哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。
哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。
在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。
拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。
然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。
接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。
通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。
哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。
作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。
根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。
这就是哈密顿原理的核心思想。
哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。
在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。
在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。
此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。
除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。
在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。
在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。
总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。
它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。
通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。
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第九章哈密顿理论
在物理学中的应用一．电磁场中的拉格朗日形式
二．薛定谔波动方程的建立
三．统计物理学中的刘维定理
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2E x
ηη∂-∂
0001B B E t E E
B j t ρ
εμεμ⎧∇∙=⎪
∂⎪∇⨯=-∂⎪
⎨
∇∙=⎪
⎪∂∇⨯-=⎪∂⎩
j
：传导电流；E 和B 共有6个分量，量并非彼此都是独立的，由于洛仑兹力并非是保守力，所以在非保守力体系下应用拉格朗日方程我们选取：()
()
00A
A E t
B A ϕϕ∂⎛⎫⎧∇∙∇⨯==-∇-
⎪ ⎪∂⎨
⎪∇⨯∇==∇⨯安培定律
j A ∙ 0ϕ=0k E E ρρ+=∇∙=
A ：
A A
()
2
2
01j A A A j A t ϕρϕμ∙⎭
⎫
⎫∂⎪∇+-∇⨯-+∙⎪⎪∂⎭⎭
110101
11:E l
A E E A A εε∂∂==-∂
00E B j
μεμ∂∇⨯-=拉格朗日密度的选择方法： ）l 中一定包含A 和ϕ，而且也一定包含激发电磁场的
j
ρl
（4）验证l的正确性，方法是将l代入连续媒质的拉格朗日方程中，得到电磁场的运动方程；
（5）对于不同结构的l我们可以选取最简单的形式
应用拉格朗日方程建立电磁场运动方程的物理意义：
应用麦克斯韦方程组我们可以清晰地解释电磁场的运动，再应用拉格朗日方程，我们已经无法在此基础上得到更多更新的内容，但是，它有力地表明，物理学的统一性“力学运动和电磁学运动具有完全相同的运动规律，因此，我们可以在如粒子物理学中应用连续媒质的拉格朗日方程得到其运动规律，然后与实验结果去对比，或预言新的实验，如果得到的结果都被验证，那么原来的未知的领域的正确理论就被建立起来了。
”
经典力学的拉格朗日-哈密顿理论是我们探索未知物理世界的一个有力的工具！
三．薛定谔波动方程的建立
1．经典物理学的危机之一：“以太漂移”
笛卡尔（17世纪的物理学家）从朴素的唯物主义出发，为了说明“虚空不虚”最先在物理学中引进了以太。
笛卡尔认为，以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但是有以太。
18世纪由于力的平方反比定律得发现，超距作用的观点取得了主导的地位，但是作为传输光波的介质，以太又被重新提起。
（1）近代物理学中的三大发现：
a.阴极射线的发现------1897年汤姆逊（英）
b.X射线的发现---------1895年伦琴（德）
c.放射线的发现----------1898年居里夫人（波兰）
上述的三大发现使得物理学界感到不安，同时也使得物理学界出现的分裂，
一个观点：经典物理学毁灭了，物质消灭了，没有衡量真理的标准了，洛仑兹：“我为什么没有在矛盾出现
的5年前死去”。
另一观点：新物理将出现。
光波的进一步研究使得“以太”又具有了很多的性质，“光
12,,;,,,s s W W W q E q q q ⎫∂∂∂=⎪∂∂∂⎭
),,s q A +
lg ψ
其中：
为常量；量纲为零。
因此与x y z ψψψψψψ∂∂∂∂∂∂ E r + ⎝
上式没有任何经典假设。
假设：电子不是经典粒子，具有波粒二象性，由于不知道运动规律，我们可以假想电子象电磁波一样具有物质波，假设一个适当的拉格朗日量密度通过最小作用里昂原理，我们就可以推导出电子的波动方程。
薛定谔的做法：
设：
()21,,0
J F x y z dxdydz δδ==⎰
他认为：凡是具有波粒二象性的非经典粒子都可以由上式推导出运动方程。
上式与：
()21,,0
L l x y z dxdydz δδ==⎰
一致。
问题是如何确定或选取 (),,F x y z ？
对于物质波,一个普遍的结论是：体系的平均动能恒等于平均势能，因此0L T V =-=，所以上式中(),,0F x y z =。
上面是紧紧考虑波动性的结果，如果将粒子性也考虑在内： 由哈密顿-雅可比方程：
E r + ⎝E r + ⎝E r + ⎝222m x ⎡⎛⎫∂⎢ ⎪∂⎝⎭⎣
2222
2e V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂++-=-∇+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ˆp p i →
=-∇
22V m
∇+ ()22
1,2,2n
上式即为波尔1913年用定态跃迁假设得出的氢原子的能级公式。
薛定谔上述理论与其他量子力学在概念上的主要区别为：（1）在薛定谔以前的理论中：（a）黑体辐射（普朗克）；
（b）光量子假设（爱因斯坦）；（c）矩阵力学（海森
堡）都将量子化概念作为基本假设之一。
在上述的薛
定谔理论中不需要假设，量子化结论是由氢原子能量
的本征值自然给出的。
（2）
lg
Wψ
=变换。
（3）
ψ代表具有波粒二象性的客体本身的性质，因此ψ
就像电磁波、流体的速度场、温度场密度场一样是物
理实在，这与现在正统的量子力学的解释完全不同。
),x x T V =-
)(()((22x a V x mx mxa V x mxa aV x +-+-'-+
]mxa aV dt '-22
2t t t t t xadt xa xadt axdt
=-=-⎰⎰
(mx V x '=-)
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∇⎪
⎫-∇⎪
⎭=∂∂=
22
;
,E P p P P P m c ⎫⎛⎫
=-⎪ ⎪∙=;i
P i t
∂
→-∇∂
(
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m φφ⎛⎫∙==+=2
2
2i m t
φ
φ∂∇=-∂
薛定谔方程。
(
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φφφφ
=-∇-∇
()(
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⎪∂⎭⎝⎭
)(***0
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∂∂⎛⎫-=∂ ⎪⎭=∂∂≡
()**
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2
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φ∇-
()2mφ
+=
Klein-Gordon 方程
*2*m φφφφ∇∙∇+
()()i x i f x φ∂'∂。