第4章 梁的弯曲

第4章 梁的弯曲
§4-1 弯曲的概念
§4-2 梁的弯曲应力
§4-3 弯曲正应力和强度计算 §4-4 提高梁弯曲强度的措施 §4-5 梁的刚度条件 §4-6 组合变形时的强度计算
第4章 梁的弯曲
• 重点：
– 熟练掌握梁剪力、弯矩的计算及剪力图、弯矩 图的绘制。 – 掌握弯曲正应力强度的计算。
• 难点：
FA FB F 15.15 kN
(2) 画弯矩图
M max FA a 15150 310 4.6965 106 ( N mm)
(3) 校核车轴的强度
Wz
D3 (1 4 )
32 4 1003 80 3 1 57962 (mm ) 32 100
一、平面弯曲的概念
二、梁的内力、弯矩图
1. 梁的内力——弯矩和剪力 2. 弯矩图 弯矩方程 M M ( x )
例 (增) 写出弯矩方程,并画出弯矩图 解: AC段: M ( x) FA x 6.25 x
A
FA
x x
F=10kN 1.5m 2.5m
B
FB
M
9.375 +
CB段: M ( x) FB x 3.75 x
F=10kN 1.5m n
2.5m
A
FA
0.8m
n
B
FB
C
(2) 求弯矩
取左段为研究对象 MC 0 : M FA 0.8 0
M F
C
FA
FQ
M FA 0.8 6.25 0.8 5 (kN m)
或: 取右段为研究对象
M
M
C
0 : FB 3.2 F 0.7 M 0
F A
F B
a
C
a
D
FA
FB
M
(3) 画弯矩图
+
注意
CD段:剪力Q=0 弯矩M=常量
x
O
纯弯曲
§4-3 弯曲正应力和强度计算
一、弯曲时的正应力
求出梁横截面上的剪力和弯矩后, 为了解决梁的强度问题, 必 须进一步研究横截面上各点的应力分布情况。 若梁横截面上只有弯矩而无剪力，则所产生的弯曲称为纯弯曲。
F2
x
B
剪力 FQ FA F1 弯矩 M FA x F1 ( x a )
FB M
FA
FQ F2 M FQ FB
取右段为研究对象：
剪力FQ、弯矩M
§4-2 梁的弯曲内力
一、平面弯曲的概念
二、梁的内力、弯矩图
1. 梁的内力——弯矩和剪力 规定：剪力FQ的正负（补）
A
y
a
F1 m
FA
M x O
(3) 画弯矩图
Pl
课堂练习二
试列图示梁的弯矩方程，作弯矩图，并求出 M max 。
解:(1) 求支反力
M 0 1000 FA FB 50 ( N ) 20 20
A FA
M0 =1000N· cm B C
(2) 列弯矩方程 AB段： M FA x 50 x ( N cm)
– 梁的内力分析。 – 梁最大弯矩的确定。
§4-1弯曲的概念
一、平面弯曲的概念
1. 弯曲的概念
简支梁
悬臂梁
外伸梁
• 受力特点：外力垂直于杆的轴线，或位于 其轴线所在平面内的外力偶作用。 • 变形特点：轴线由直线变为曲线，称弯曲 变形; • 发生弯曲或以弯曲为主要变形的构件，通 常称为梁。
§4-1弯曲的概念
Me
1. 正应力的分布规律 2. 最大正应力计算公式
z
max
M ymax Iz
max
Iz —— 轴惯性矩 Wz —— 抗弯截面系数
M M Iz Wz ymax
x
y
dA
z
y
拉压

max
扭 转
T T Ip WT
剪切
扭转
N A FQ A
max
Ip —— 极惯性矩 Wp —— 抗扭截面系数
1. 正应力的分布规律 (1) 变形几何关系
取微段(长为dx)； 变形后中性层长(O1 O2)保持为dx； 中性层曲率半径为ρ； 距中性层y处纵向线长变为 a1a2 ； 伸长量为：
d

a1a2 dx
︵
1
M
2
M
( y)d d yd
正应变：
a1a2 dx yd y dx d
max
强度计算目的:
(1) 即校核梁的强度 (2) 设计梁的截面尺寸 (3) 确定梁的许用载荷。
例
• 图示车轴，已知a =310mm，l＝1440mm，F＝15.15kN， [σ]=100MPa，若车轴的横截面为圆环形，外径D＝100mm,内 径d＝80mm，试校核车轴的强度。 解: (1) 求支反力
x
FAΒιβλιοθήκη F1CmB
FB
M
M
C
0 : M F1 ( x a) FA x 0
FA
FQ
弯矩 M FA x F1 ( x a )
§4-2 梁的弯曲内力
一、平面弯曲的概念
二、梁的内力、弯矩图
1. 梁的内力——弯矩和剪力
取左段为研究对象：
A x
FA F1
C
y
a
F1 m m
凸向下为正 凸向上为负 截面左侧外力对截面形心的力矩顺时 针转向取正值，逆时针转向取负值； 截面右侧外力对截面形心的力矩逆时 针转向取正值，顺时针转向取负值。
或: 取右段为研究对象
FB
C
M F
C
FA
FQ
M FQ FB
M FB 3.2 F 0.7 5(kN m)
§4-2 梁的弯曲内力
BC段： M M0 1000 ( N cm)
20cm
FB
M (N· cm)
10cm
1000
(3) 画弯矩图
+
注意
BC段剪力=0 弯矩M=常量
x
O
纯弯曲
课堂练习三
试列图示梁的弯矩方程，作弯矩图。
解: (1) 求支反力 FA FB F (2) 列弯矩方程
AC段： M FA x1 Fx1 CD段： M FA x1 F x1 a Fa DB段： M FB x2 Fx2
F F B
a
1. 正应力的分布规律 (1) 变形几何关系
A
C
a
D
(2) 应力应变关系
2. 最大正应力的计算公式
FA
M
CD段 纯弯曲
+
FB
x
O
§4-3 弯曲正应力和强度计算
1. 正应力的分布规律 (1) 变形几何关系
基本假设
梁的横截面在变形后仍为平面，并垂直于变 形后梁的轴线。只是绕横截面内的某一轴线 转过一个角度，横截面间没有相对错动。
F2 x
x
FA F1
C
m
B
FB M F2
FA FQ FQ M
FQ
FQ FQ FQ
(+)
(- )
左段对右段： 向上相对错动为正 向下相对错动为负
FB
§4-2 梁的弯曲内力
一、平面弯曲的概念
二、梁的内力、弯矩图
1. 梁的内力——弯矩和剪力 凸向下为正 规定：弯矩M的正负 凸向上为负
A
y
a
F1 m
F2 x
A A
对z轴的力偶矩: M z y dA 对y轴的力偶矩: M y z dA
A
z
y
dA
z
X 0 : N 0 m y 0 : M y 0
M M z y dA
A
y
§4-3 弯曲正应力和强度计算
Me
1. 正应力的分布规律 2. 最大正应力计算公式
FQ FB
M FB 3.2 F 0.7 5(kN m)
例
求简支梁n-n截面的弯矩
解:(1) 求支反力 (2) 求弯矩
取左段为研究对象
A
FA
0.8m
F=10kN 1.5m n n
2.5m
M
C
0 : M FA 0.8 0
B
M FA 0.8 6.25 0.8 5 (kN m)
x
O
例4-1
图示简支梁AB, 在梁的全长受均布载荷q的作用,试画出梁的弯矩图
解:(1) 求支反力
FA FB ql 2
A
x
q B
l
(2) 列弯矩方程
x ql qx 2 M ( x ) FA x qx x 2 2 2
FA
FB
(3) 画弯矩图
x=0和x=l 两处, M=0 二次方程，抛物线, x =?, M→max
M M z y dA
A
z x
y
E
M yE
A
y
dA
z

E
y

dA

A
y 2dA
I z y 2dA
A
y
(轴惯性矩)
M EI z
抗弯刚度
M yE
A
y

dA
EI z
1

M E y Iz
y
max
M ymax Iz
§4-3 弯曲正应力和强度计算
o1